2024年中考數(shù)學(xué)常見(jiàn)幾何模型全歸納（全國(guó)通用）專(zhuān)題37 圖形變換模型之翻折（折疊）模型（解析版）

專(zhuān)題37圖形變換模型之翻折（折疊）模型幾何變換中的翻折（折疊、對(duì)稱(chēng))問(wèn)題是歷年中考的熱點(diǎn)問(wèn)題，試題立意新穎，變幻巧妙，主要考查學(xué)生的識(shí)圖能力及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。涉及翻折問(wèn)題，以矩形對(duì)稱(chēng)最常見(jiàn)，變化形式多樣。無(wú)論如何變化，解題工具無(wú)非全等、相似、勾股以及三角函數(shù)，從條件出發(fā)，找到每種對(duì)稱(chēng)下隱藏的結(jié)論，往往是解題關(guān)鍵。本專(zhuān)題以各類(lèi)幾個(gè)圖形（三角形、平行四邊形、菱形、矩形、正方形、圓等）為背景進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。【知識(shí)儲(chǔ)備】翻折和折疊問(wèn)題其實(shí)質(zhì)就是對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，翻折圖形的性質(zhì)就是翻折前后圖形是全等的，對(duì)應(yīng)的邊和角都是相等的。以這個(gè)性質(zhì)為基礎(chǔ)，結(jié)合三角形、四邊形、圓的性質(zhì)，三角形相似，勾股定理設(shè)方程思想來(lái)考查。解決翻折題型的策略：1）利用翻折的性質(zhì)：①翻折前后兩個(gè)圖形全等；②對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分；2）結(jié)合相關(guān)圖形的性質(zhì)(三角形，四邊形等)；3）運(yùn)用勾股定理或者三角形相似建立方程。模型1.矩形中的翻折模型【模型解讀】例1．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊，分別在軸、軸正半軸上，點(diǎn)在邊上，將矩形沿折疊，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處．若，，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．

【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，在中，勾股定理求得，進(jìn)而得出，在中，勾股定理建立方程，求得的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∵折疊，∴，在中，∴，∴設(shè)，則，∵折疊，∴，在中，，∴，解得：，∴，∴的坐標(biāo)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查矩形與折疊，勾股定理，坐標(biāo)與圖形，熟練掌握折疊的性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．例2．（2023春·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，，E是的中點(diǎn)，將沿直線翻折，點(diǎn)落B在點(diǎn)F處，連結(jié)，則的長(zhǎng)為（

）

A．6 B． C． D．【答案】B【分析】連接交于點(diǎn)，根據(jù)三角形的面積公式求出，得到，根據(jù)直角三角形的判定得到，根據(jù)勾股定理求出答案．【詳解】解：連接交于點(diǎn)，

將沿直線翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)、關(guān)于對(duì)稱(chēng)，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，又，，，則，，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，掌握折疊是一種對(duì)稱(chēng)變換，它屬于軸對(duì)稱(chēng)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖，將邊長(zhǎng)為3的正方形沿直線折疊，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊上（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），點(diǎn)落在點(diǎn)處，與交于點(diǎn)，折痕分別與邊，交于點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．

【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由折疊和正方形的性質(zhì)得到，則，進(jìn)而證明，再由平行線的性質(zhì)證明即可證明；（2）如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．證明得到，，設(shè)，則，．由，得到．則．由勾股定理建立方程，解方程即可得到．【詳解】（1）證明：由翻折和正方形的性質(zhì)可得，．∴．∴，即，∵四邊形是正方形，∴．∴．∴．（2）解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．∵，∴．又∵，正方形邊長(zhǎng)為3，∴∴，∴，，設(shè)，則，∴．∵，即，∴．∴．在中，，∴．解得：（舍），．∴．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形與折疊問(wèn)題，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．例4．（2023春·江蘇宿遷·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，，．點(diǎn)O為矩形的對(duì)稱(chēng)中心，點(diǎn)E為邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F．將四邊形沿著翻折，得到四邊形，邊交邊于點(diǎn)G，連接，則的面積的最小值為（

）

A．18－3 B． C． D．【答案】D【分析】在上截取，連接，證明，所以，即可得最短時(shí)，也就最短，而當(dāng)時(shí)，最短，且，再過(guò)點(diǎn)作，得，又因?yàn)椋涂梢愿鶕?jù)勾股定理計(jì)算、的長(zhǎng)，從而計(jì)算出最小面積．【詳解】解：在上截取，連接，

由折疊得：，又，，，最短時(shí)，也就最短，而當(dāng)時(shí)，最短，此時(shí)，點(diǎn)為矩形的對(duì)稱(chēng)中心，，即的最小值是4，在中，點(diǎn)為矩形的對(duì)稱(chēng)中心，長(zhǎng)度是矩形對(duì)角線長(zhǎng)度的一半，即是5，定值，度數(shù)也不變，是定值，當(dāng)最小值時(shí)，面積最?。^(guò)點(diǎn)作，點(diǎn)為矩形的對(duì)稱(chēng)中心，

，中，，中，，，面積的最小值是．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及垂線段最短等知識(shí)，解題關(guān)鍵是找到最小值．例5．（2023春·遼寧撫順·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，矩形紙片中，，，點(diǎn)E、G分別在上，將、分別沿翻折，翻折后點(diǎn)C與點(diǎn)F重合，點(diǎn)B與點(diǎn)P重合．當(dāng)A、P、F、E四點(diǎn)在同一直線上時(shí)，線段長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，，據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，，根據(jù)勾股定理得到，設(shè)，由勾股定理列方程得到，由折疊的性質(zhì)得到，，，求得，設(shè)，則，據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．【詳解】解：在矩形紙片中，，，∴，，，∵將沿翻折，翻折后點(diǎn)C與點(diǎn)F重合，∴，，，∴，設(shè)，∴，，∵，∴，解得：，∴，∵將沿翻折，翻折后點(diǎn)B與點(diǎn)P重合，∴，，，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴，∴線段GP長(zhǎng)為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換（折疊問(wèn)題），矩形的性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)勾股定理列方程是解題關(guān)鍵．例6．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐【問(wèn)題情境】如圖1，小華將矩形紙片先沿對(duì)角線折疊，展開(kāi)后再折疊，使點(diǎn)落在對(duì)角線上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，折痕與邊，分別交于點(diǎn)，.【活動(dòng)猜想】（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，四邊形是哪種特殊的四邊形？答：_________.【問(wèn)題解決】（2）如圖3，當(dāng)，，時(shí)，求證：點(diǎn)，，在同一條直線上.【深入探究】（3）如圖4，當(dāng)與滿足什么關(guān)系時(shí)，始終有與對(duì)角線平行？請(qǐng)說(shuō)明理由.（4）在（3）的情形下，設(shè)與，分別交于點(diǎn)，，試探究三條線段，，之間滿足的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由.【答案】（1）菱形；（2）證明見(jiàn)解答；（3），證明見(jiàn)解析；（4），理由見(jiàn)解析【分析】（1）由折疊可得：，，再證得，可得，利用菱形的判定定理即可得出答案；（2）設(shè)與交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，利用勾股定理可得，再證明，可求得，進(jìn)而可得，再由，可求得，，，運(yùn)用勾股定理可得，運(yùn)用勾股定理逆定理可得，進(jìn)而可得，即可證得結(jié)論；（3）設(shè)，則，利用折疊的性質(zhì)和平行線性質(zhì)可得：，再運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理即可求得，利用解直角三角形即可求得答案；（4）過(guò)點(diǎn)作于，設(shè)交于，設(shè)，，利用解直角三角形可得，，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，四邊形是菱形．理由：設(shè)與交于點(diǎn)，如圖，由折疊得：，，，四邊形是矩形，，，，，四邊形是菱形．故答案為：菱形．（2）證明：四邊形是矩形，，，，，，，，，如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，由折疊得：，，，，，，，即，，，，，，，即，，，，，，，，，，點(diǎn)，，在同一條直線上．（3）當(dāng)時(shí)，始終有與對(duì)角線平行．理由：如圖，設(shè)、交于點(diǎn)，四邊形是矩形，，，，設(shè)，則，由折疊得：，，，，，，，，，即，，，，；（4），理由如下：如圖，過(guò)點(diǎn)作于，設(shè)交于，由折疊得：，，，設(shè)，，由（3）得：，，，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，即．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，勾股定理，直角三角形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，平行線性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等，涉及知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，難度較大．模型2.正方形中的翻折模型【模型解讀】例1．（2023·河南洛陽(yáng)·統(tǒng)考二模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)F為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊上不與端點(diǎn)重合的一動(dòng)點(diǎn)，連接．將沿翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，則線段長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先確定線段EF的最小值的臨界點(diǎn)，然后結(jié)合正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，以及勾股定理，即可求出答案．【詳解】連接BF，則EF≥BF－BE，當(dāng)點(diǎn)B、E、F在同一條直線上時(shí)，EF的長(zhǎng)度有最小值，如圖由翻折的性質(zhì)，BE=AB=4，在正方形ABCD中，BC=CD=4，∠C=90°，∵點(diǎn)F為邊的中點(diǎn)，∴CF=2，∴，∴；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，最短路徑問(wèn)題，解題的關(guān)鍵掌握所學(xué)的知識(shí)，正確找出線段最小值的臨界點(diǎn)，從而進(jìn)行解題．例2．（2023·廣西玉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形ABCD的邊AB上取一點(diǎn)E，連接CE，將△BCE沿CE翻折，點(diǎn)B恰好與對(duì)角線AC上的點(diǎn)F重合，連接DF，若BE＝2，則△CDF的面積是（）A．1 B．3 C．6 D．【答案】B【分析】由折疊可得EF＝BE＝2，∠CFE＝∠B＝90°，且∠FAE＝45°可得AF＝2，AE＝2，即可求對(duì)角線BD的長(zhǎng)，則可求△CDF面積.【詳解】如圖連接BD交AC于O，∵ABCD為正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，AC⊥BD，DO＝BO，∠BAC＝45°，∵△BCE沿CE翻折，∴BE＝EF＝2，BC＝CF，∠EFC＝90°，∵∠BAC＝45°，∠EFC＝90°，∴∠EAF＝∠AEF＝45°，∴AF＝EF＝2，∴AE＝2，∴AB＝2+2＝BC＝CF，∴BD＝AB＝4+2，∴OD＝2+，∵S△CDF＝×CF×DO＝3+4，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、正方形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．例3．（2023·廣東九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，正方形中，，點(diǎn)E在邊上，且．將沿對(duì)折至，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)G，連接，則下列結(jié)論：①；②③；④AG//CF；其中正確的有（填序號(hào)）．【答案】①②③④【分析】根據(jù)折疊，得到AD=AF，∠D=∠AFE=90°，推出AB=AF，∠AFG=∠B=90°，可證明Rt△ABG≌Rt△AFG，即可判斷①正確；根據(jù)，進(jìn)而可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得∠AEF+∠ADF＝135°，得到∠AGB+∠AED＝135°，進(jìn)而判斷②正確；設(shè)BG＝GF＝x，則CG＝6﹣x，EG＝x+2，CE＝4，在Rt△EGC中，根據(jù)勾股定理建立方程（x+2）2＝（6﹣x）2+42，解方程可得，即可判斷③正確；根據(jù)BG=FG=3，得到CG=BC-BG=6-3=3，得到CG=FG，推出∠GCF=∠GFC，根據(jù)∠AGB=∠AGF，得到∠BGF=2∠AGF=2∠GFC，得到∠AGF=∠GFC，推出AG∥CF，即可判斷④正確【詳解】∵四邊形是正方形，∴，AB＝BC＝CD=AD＝6，∵，∴DE＝2，∴CE＝4，∵將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，∴∠AFE＝∠ADE＝90°，AF＝AD，EF＝DE＝2，∴∠AFG＝∠ABG＝90°，AF＝AB，在Rt△ABG和Rt△AFG中，，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴①正確；∵將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，∴，∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴，∵，∴，∴∠AEF+∠ADF＝135°，∴∠AGB+∠AED＝135°，∴②正確；設(shè)BG＝GF＝x，則CG＝6﹣x，EG＝x+2，∵CE＝4，∴（x+2）2＝（6﹣x）2+42，解得x＝3，∴BG＝GF＝3，∴③正確；∵BG=FG=3,∴CG=BC-BG=6-3=3，∴CG=FG，∴∠GCF=∠GFC，∵∠AGB=∠AGF，∴∠BGF=2∠AGF=2∠GFC，∴∠AGF=∠GFC，∴AG∥CF∴④正確；故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形性質(zhì)，折疊圖形全等的性質(zhì)，三角形全等的判斷和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．例4．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E、F分別在邊上，將正方形沿著翻折，點(diǎn)B恰好落在邊上的點(diǎn)處，如果四邊形與四邊形的面積比為3∶5，那么線段的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，則，根據(jù)已知條件，分別表示出，證明，得出，在中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵正方形的邊長(zhǎng)為1，四邊形與四邊形的面積比為3∶5，∴，設(shè)，則，則∴即∴∴，∴，∵折疊，∴，∴，∵，∴，又,∴，∴在中，即解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．例5．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐定義：將寬與長(zhǎng)的比值為（為正整數(shù)）的矩形稱(chēng)為階奇妙矩形．（1）概念理解：當(dāng)時(shí)，這個(gè)矩形為1階奇妙矩形，如圖（1），這就是我們學(xué)習(xí)過(guò)的黃金矩形，它的寬（）與長(zhǎng)的比值是_________．（2）操作驗(yàn)證：用正方形紙片進(jìn)行如下操作（如圖（2））：第一步：對(duì)折正方形紙片，展開(kāi)，折痕為，連接；第二步：折疊紙片使落在上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，展開(kāi)，折痕為；第三步：過(guò)點(diǎn)折疊紙片，使得點(diǎn)分別落在邊上，展開(kāi)，折痕為．試說(shuō)明：矩形是1階奇妙矩形．

（3）方法遷移：用正方形紙片折疊出一個(gè)2階奇妙矩形．要求：在圖（3）中畫(huà)出折疊示意圖并作簡(jiǎn)要標(biāo)注．（4）探究發(fā)現(xiàn)：小明操作發(fā)現(xiàn)任一個(gè)階奇妙矩形都可以通過(guò)折紙得到．他還發(fā)現(xiàn)：如圖（4），點(diǎn)為正方形邊上（不與端點(diǎn)重合）任意一點(diǎn)，連接，繼續(xù)（2）中操作的第二步、第三步，四邊形的周長(zhǎng)與矩形的周長(zhǎng)比值總是定值．請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)定值，并說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3），理由見(jiàn)解析【分析】（1）將代入，即可求解．（2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得，設(shè)，則，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解；（3）仿照（2）的方法得出2階奇妙矩形．（4）根據(jù)（2）的方法，分別求得四邊形的周長(zhǎng)與矩形的周長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，故答案為：．（2）如圖（2），連接，

設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得設(shè)，則根據(jù)折疊，可得，，在中，，∴，在中，∴解得：∴∴矩形是1階奇妙矩形．（3）用正方形紙片進(jìn)行如下操作（如圖）：第一步：對(duì)折正方形紙片，展開(kāi)，折痕為，再對(duì)折，折痕為，連接；第二步：折疊紙片使落在上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，展開(kāi)，折痕為；第三步：過(guò)點(diǎn)折疊紙片，使得點(diǎn)分別落在邊上，展開(kāi)，折痕為．矩形是2階奇妙矩形，理由如下，連接，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)折疊可得，則，設(shè)，則根據(jù)折疊，可得，，在中，，∴，在中，∴解得：∴當(dāng)時(shí)，∴矩形是2階奇妙矩形．（4）如圖（4），連接誒，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，設(shè)，則，設(shè)，則根據(jù)折疊，可得，，在中，，∴，在中，∴整理得，∴四邊形的邊長(zhǎng)為矩形的周長(zhǎng)為，∴四邊形的周長(zhǎng)與矩形的周長(zhǎng)比值總是定值【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的折疊問(wèn)題，勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．模型3.菱形中的翻折模型【模型解讀】例1．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形中，，將菱形折疊，使點(diǎn)恰好落在對(duì)角線上的點(diǎn)處不與、重合，折痕為，若，，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】作于，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，根據(jù)菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定定理得到為等邊三角形，得到，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可．【詳解】解：作于，由折疊的性質(zhì)可知，，由題意得，，四邊形是菱形，，，為等邊三角形，，設(shè)，則，在中，，，在中，，即，解得，，即，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形，掌握翻轉(zhuǎn)變換是一種對(duì)稱(chēng)變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·安徽·統(tǒng)考一模）如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠A=60°，點(diǎn)M是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A’MN，連結(jié)A’C，則A’C長(zhǎng)度的最小值是（

）.A． B． C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)題意，在N的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中A′在以M為圓心、AD為直徑的圓上的弧AD上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A′C取最小值時(shí)，由兩點(diǎn)之間線段最短知此時(shí)M、A′、C三點(diǎn)共線，得出A′的位置，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出A′C的長(zhǎng)即可．【詳解】如圖所示：∵M(jìn)A′是定值，A′C長(zhǎng)度取最小值時(shí)，即A′在MC上時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥DC于點(diǎn)F，∵在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M為AD中點(diǎn)，∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，∴∠FMD=30°，∴FD=MD=，∴FM=DM×cos30°=，∴MC=，∴A′C=MC-MA′=-1．故選B．例3．（2023·山東棗莊·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在菱形紙片中，，，將菱形紙片翻折，使點(diǎn)A落在的中點(diǎn)處，折痕為，點(diǎn)，分別在邊，上，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接、，根據(jù)菱形的性質(zhì)可知是等邊三角形，由是中點(diǎn)，可求得，，又因?yàn)镃D∥AB，可得，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：連接、，四邊形為菱形，，，，是等邊三角形，是中點(diǎn)，，，，，∵CD∥AB，，由折疊可得，，，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線得到等邊三角形再由勾股定理求解．例4．（2023春·湖北十堰·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在菱形紙片中，，E是邊的中點(diǎn)，將菱形紙片沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在直線上的點(diǎn)G處，折痕為，與交于點(diǎn)H，有如下結(jié)論：①；②；③；④，上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④【答案】B【分析】連接，得到是等邊三角形，根據(jù)三線合一的性質(zhì)得到，由折疊得，求出的度數(shù)即可判斷①；利用30度角的性質(zhì)求出，勾股定理求出，即可判斷②；連接，由折疊得，根據(jù)等邊對(duì)等角求出，得到，即可判斷③；過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)M，先求出，由折疊得，，設(shè)，則，求出，再得到，根據(jù)求出四邊形的面積，即可判斷④．【詳解】解：連接，∵四邊形是菱形，∴，，∴是等邊三角形，∵E是邊的中點(diǎn)，∴，∴，由折疊得，∴，∵，∴，故①正確；∵，∴，∴，∴，即，故②正確；連接，由折疊得，∴，∵，∴，∴，故③正確；過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)M，∵，∴，由折疊得，∴，∴，∵，∴，設(shè)，則，∴，，∵，∴，∴，∴四邊形的面積，∴，故④錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形30度角的性質(zhì)，三線合一的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并綜合應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．例5．（2023·浙江·九年級(jí)期末）對(duì)角線長(zhǎng)分別為6和8的菱形如圖所示，點(diǎn)O為對(duì)角線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O折疊菱形，使B，兩點(diǎn)重合，是折痕．若，則的長(zhǎng)為．【答案】4【分析】連接、，如圖，利用菱形的性質(zhì)得，，，再利用勾股定理計(jì)算出，接著證明得到，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)得，從而有，于是計(jì)算即可．【詳解】解：連接、，如圖，點(diǎn)為菱形的對(duì)角線的交點(diǎn)，，，，在中，，，，在和中，，，過(guò)點(diǎn)折疊菱形，使，兩點(diǎn)重合，是折痕，，，，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱(chēng)變換，它屬于軸對(duì)稱(chēng)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．也考查了菱形的性質(zhì)．例6．（2023秋·重慶·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，以為對(duì)稱(chēng)軸將折疊得到，以為對(duì)稱(chēng)軸將折疊得到，使得點(diǎn)落到上，連接．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】A.由折疊的性質(zhì)可以知道和分別是和的平分線，同時(shí)是平角，所以可知，故選項(xiàng)A正確；B.由題意和折疊的性質(zhì)可以知道、，就可以得到，選項(xiàng)B正確；C和D.過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，可得，．設(shè)，可以得到，．根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，根據(jù)勾股定理，求得，即可得到，，所以．故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．【詳解】解：A.由折疊可知和分別是和的平分線．又，，故選項(xiàng)A正確．B.又點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，，又，，故選項(xiàng)B正確．C和D.如答圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．

，，，易知，，設(shè)，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，折疊后點(diǎn)落到上，點(diǎn)與點(diǎn)重合，．易知點(diǎn)共線，．，，解得．，，，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．綜上，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換（折疊問(wèn)題）、菱形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握翻折的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．模型4.三角形中的翻折模型【模型解讀】例1．（2023·內(nèi)江九年級(jí)期中）如圖，在RtABC的紙片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．點(diǎn)D在邊BC上，以AD為折痕將ADB折疊得到，與邊BC交于點(diǎn)E．若為直角三角形，則BD的長(zhǎng)是_____．【答案】17或【分析】由勾股定理可以求出的長(zhǎng)，由折疊可知對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，當(dāng)為直角三角形時(shí)，可以分為兩種情況進(jìn)行考慮，分別利用勾股定理可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：在中，，（1）當(dāng)時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由折疊得：，，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得：，即：，解得：（舍去），，因此，．（2）當(dāng)時(shí)，如圖2，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，由折疊得：，則，設(shè)，則，，在△中，由勾股定理得：，解得：，因此．故答案為：17或．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是：分類(lèi)討論思想的應(yīng)用注意分類(lèi)的原則是不遺漏、不重復(fù)．例2．（2023年四川省成都市數(shù)學(xué)中考真題）如圖，在中，，平分交于點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)，將沿折疊得到，交于點(diǎn)．若，則．

【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作于，證明，得出，根據(jù)，得，設(shè)，，則，則，在中，，在中，，則，解方程求得，則，，勾股定理求得，根據(jù)正切的定義，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于，

∵平分交于點(diǎn)，∴,∴∴∵折疊，∴，∴,又∵∴∴∴∵，，則，∴∴，，∵設(shè)，，則，則，∵∴在中，在中，∴即解得：∴，則∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了求正切，折疊的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．例3．（2023·湖北襄陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將沿折疊得到，連接.若于點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】取中點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接，作于點(diǎn)．設(shè)，由折疊可知?jiǎng)t，得到，從而推導(dǎo)出，由三角形中位線定理得到，從而推導(dǎo)出，得到四邊形是正方形，，，最后利用勾股定理解答即可．【詳解】解：取中點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)，連接，作于點(diǎn)．∵，為的中點(diǎn)，∴，，．∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，則于點(diǎn)，

設(shè)，由折疊可知?jiǎng)t，∵，∴，，又由折疊得，，∴，∴，即，∴，解得：，∴，∵是的中位線，∴，，∴，由折疊知，，在和中，，∴，∴．∵，∴，∴．又∵，且，∴，∴，∴，∴四邊形是正方形，∴，∴．在中，，∴，解得：，∴，，即，，在中，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，正方形的判定及性質(zhì)等，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)邊長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理列方程求解．例4．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）如圖，平分等邊的面積，折疊得到分別與相交于兩點(diǎn)．若，用含的式子表示的長(zhǎng)是．

【答案】【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，從而可得，再根據(jù)相似三角形的判定可證，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，，然后將兩個(gè)等式相加即可得．【詳解】解：是等邊三角形，，∵折疊得到，，，，平分等邊的面積，，，又，，，，，，解得或（不符合題意，舍去），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．模型5.圓中的翻折模型（弧翻折必出等腰）如圖，以圓O的一條弦BC為對(duì)稱(chēng)軸將弧BC折疊后與弦AB交于點(diǎn)D，則CD=CA特別的，若將弧BC折疊后過(guò)圓心，則CD=CA，∠CAB=60°例1．（2022秋·浙江寧波·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，是的外接圓，，把弧沿弦向下折疊交于點(diǎn)D，若點(diǎn)D為中點(diǎn)，則長(zhǎng)為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可得，由折疊的性質(zhì)和圓周角定理可得可得，可證，可得，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵，∴，∵點(diǎn)D為中點(diǎn)，∴，∵弧沿弦向下折疊交于點(diǎn)D，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴（負(fù)值舍去），故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外接圓與外心，等腰三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）如圖，為的直徑，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，，將劣弧沿弦所在的直線翻折，交于點(diǎn)，則的度數(shù)等于(

)．A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角求出，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出，再根據(jù)優(yōu)弧所對(duì)的圓周角為，得到，然后根據(jù)，計(jì)算求得的度數(shù)．【詳解】解：如圖，連接，是直徑，，，．根據(jù)翻折的性質(zhì)，所對(duì)的圓周角為，優(yōu)弧所對(duì)的圓周角為，，，，故選:B．【點(diǎn)睛】本題考查的是翻折變換，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．根據(jù)題意作出直徑所對(duì)的圓周角，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．難點(diǎn)是理解.例3．（2023·浙江寧波·?？家荒＃┤鐖D，的半徑為4．將的一部分沿著弦AB翻折，劣弧恰好經(jīng)過(guò)圓心O．則這條劣弧的弧長(zhǎng)為．【答案】【分析】過(guò)O作垂直于AB的半徑OC，設(shè)交點(diǎn)為D，連接,根據(jù)折疊的性質(zhì)可求出OD的長(zhǎng)；根據(jù)勾股定理可求出AD的長(zhǎng)，由垂徑定理知AB=2AD，解，求得,即可求得，進(jìn)而求得劣弧的長(zhǎng)．【詳解】解：過(guò)O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，連接OA，Rt△OAD中，OD=CD=OC=2，OA=4，根據(jù)勾股定理，得：AD==2，故答案：【點(diǎn)睛】本題考查的是翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、解直角三角形，求弧長(zhǎng)，掌握翻轉(zhuǎn)變換是一種對(duì)稱(chēng)變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．例4．（2022春·湖北荊州·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，為的直徑，將沿翻折，翻折后的弧交于D．若，，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C．8 D．10【答案】C【分析】連結(jié)AC，DC，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB與E，點(diǎn)D關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′，連結(jié)CD′，BD，設(shè)AC=x，根據(jù)直徑時(shí)圓周角性質(zhì)得出∠ACB=90°，利用三角函數(shù)求出，然后利用勾股定理構(gòu)建方程，即，求出，，利用面積橋求出斜邊上高CE與AE，根據(jù)BC為折痕，點(diǎn)D與點(diǎn)D′對(duì)稱(chēng)，得出∠ABC=∠D′BC，，可得AC=CD，利用等腰三角形性質(zhì)求出AE=DE=2，利用弓形AC=弓形DC進(jìn)行面積轉(zhuǎn)化求即即可．【詳解】解：連接AC，DC，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB與E，點(diǎn)D關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′，連接CD′，BD′設(shè)AC=x，∵AB為直徑，∴∠ACB=90°，∵，∴，∴，即，解得，，∴，∴，∴AE=，∵BC為折痕，點(diǎn)D與點(diǎn)D′對(duì)稱(chēng)，∴∠ABC=∠D′BC，，∴，∴AC=CD，∵CE⊥AD，∴AE=DE=2，AD=4，∴弓形AC=弓形DC，∴S陰影=S△ACD=．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角的性質(zhì)綜合，折疊性質(zhì)，等腰三角形三線合一性質(zhì)，不規(guī)則圖形的面積，掌握?qǐng)A周角的性質(zhì)綜合，折疊性質(zhì)，等腰三角形三線合一性質(zhì)，不規(guī)則圖形的面積是解題關(guān)鍵．例5．（2023·河南商丘·統(tǒng)考二模）如圖，在扇形中，，點(diǎn)C，D分別是和上的點(diǎn)，且，將扇形沿翻折，翻折后的恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)O．若，則圖中陰影部分的面積是．

【答案】【詳解】過(guò)點(diǎn)O作交于點(diǎn)E，連接OC，CE，由折疊的性質(zhì)結(jié)合所作輔助線可得出為等邊三角形，即．再根據(jù)平行線的性質(zhì)可求出，從而可求出，進(jìn)而可求出，利用銳角三角函數(shù)可求出，最后根據(jù)，結(jié)合扇形面積公式和三角形面積公式求解即可．【分析】解：過(guò)點(diǎn)O作交于點(diǎn)E，連接，如圖，

∴，∴為等邊三角形，∴．∵，，∴．∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)，扇形的面積公式，平行線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)．正確作出輔助線并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．例6．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在⊙O中，點(diǎn)C在優(yōu)弧上，將沿BC折疊后剛好經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)D，連接AC，CD．則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）①AC＝CD；②AD＝BD；③+＝；④CD平分∠ACBA．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AD＝CD；根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得AD＝BD；根據(jù)垂徑定理可作判斷③；延長(zhǎng)OD交⊙O于E，連接CE，根據(jù)垂徑定理可作判斷④．【詳解】過(guò)D作DD'⊥BC，交⊙O于D'，連接CD'、BD'，由折疊得：CD＝CD'，∠ABC＝∠CBD'，∴AC＝CD'＝CD，故①正確；∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴AD＝BD，∵AC＝CD'，故②正確；∴，由折疊得：，∴；故③正確；延長(zhǎng)OD交⊙O于E，連接CE，∵OD⊥AB，∴∠ACE＝∠BCE，∴CD不平分∠ACB，故④錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱(chēng)變換，它屬于軸對(duì)稱(chēng)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．也考查了圓周角定理和垂徑定理．例7．（2021·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是的弦，先將沿翻折交于點(diǎn)．再將沿翻折交于點(diǎn)．若，設(shè)，則所在的范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】將⊙O沿BC翻折得到⊙O′，將⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，則⊙O、⊙O′、⊙O″為等圓．依據(jù)在同圓或等圓中相等的圓周角所對(duì)的弧相等可證明，從而可得到弧AC的度數(shù)，由弧AC的度數(shù)可求得∠B的度數(shù)．【詳解】解：將⊙O沿BC翻折得到⊙O′，將⊙O′沿BD翻折得到⊙O″，則⊙O、⊙O′、⊙O″為等圓．∵⊙O與⊙O′為等圓，劣弧AC與劣弧CD所對(duì)的角均為∠ABC，∴．同理：．又∵F是劣弧BD的中點(diǎn)，∴．∴．∴弧AC的度數(shù)=180°÷4=45°．∴∠B=×45°=22.5°．∴所在的范圍是；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是圓的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了翻折的性質(zhì)、弧、弦、圓周角之間的關(guān)系、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，找出圖形中的等弧是解題的關(guān)鍵．例8．（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）如圖，將⊙O沿弦AB折疊，使折疊后的弧恰好經(jīng)過(guò)圓心O，點(diǎn)P是優(yōu)弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與A、B兩點(diǎn)不重合），若⊙O的半徑是2cm，則△APB面積的最大值是cm2【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)T，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)H，交于點(diǎn)K，連接AO，AK，PO，解直角三角形求出AB，求出PT的最大值，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)T，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)H，交于點(diǎn)K，連接AO，AK，PO．由題意得AB垂直平分線段OK，∴．∵，∴，∴．∴，∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴PT的最大值為3，∴的面積的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，三角形的面積，垂線段最短等知識(shí)，解題關(guān)鍵是求出PT的最大值．課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·浙江·一模）如圖，在矩形中，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F在上，連接，將沿翻折，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰為點(diǎn)E，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)、折疊性質(zhì)以及勾股定理求解即可．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，，由折疊性質(zhì)得，∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∴，在中，，，由勾股定理得，解得，在中，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、折疊性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握折疊性質(zhì)和勾股定理建立方程思想是解答的關(guān)鍵．2．（2023年湖北省黃石市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，有一張矩形紙片．先對(duì)折矩形，使與重合，得到折痕，把紙片展平．再一次折疊紙片，使點(diǎn)落在上，并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)，得到折痕﹐同時(shí)得到線段，．觀察所得的線段，若，則（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，得出，，進(jìn)而得到，在中，由特殊銳角的三角函數(shù)可求即可．【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：，，，，∴∵四邊形是矩形，∴，，∴，在中，，∴，∴∴，在中，，∴，∴，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，折疊軸對(duì)稱(chēng)，掌握折疊前后對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，以及直角三角形的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)中，矩形的邊，將矩形沿直線折疊到如圖所示的位置，線段恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)落在軸的點(diǎn)位置，點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】首先證明，求出，連結(jié)，設(shè)與交于點(diǎn)F，然后求出，可得，再用含的式子表示出，最后在中，利用勾股定理構(gòu)建方程求出即可解決問(wèn)題．【詳解】解：∵矩形的邊，，∴，，，由題意知，∴，又∵，∴，∴，由折疊知，，∴，∴，即，連接，設(shè)與交于點(diǎn)F，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，，，∴，由折疊知，，∴，∵在中，，∴，解得：，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，通過(guò)證明三角形相似，利用相似三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·福建莆田·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，點(diǎn)在優(yōu)弧上，將弧沿折疊后剛好經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)．若的半徑為5，，則的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接AC、OB、OD、CD，作于點(diǎn)F，作于點(diǎn)E，由垂徑定理可知于點(diǎn)D，由勾股定理可知OD的值，再利用折疊性質(zhì)判斷AC=DC，利用等腰三角形性質(zhì)得出，再證明四邊形ODFE為正方形，得到△CFB為等腰三角形，計(jì)算出弧AC所對(duì)圓周角度數(shù)，進(jìn)而得弧AC所對(duì)圓周角度數(shù)，再代入弧長(zhǎng)公式可得弧長(zhǎng)．【詳解】解：連接AC、OB、OD、CD，作于點(diǎn)F，作于點(diǎn)E，由垂徑定理可知于點(diǎn)D，又CA、CD所對(duì)的圓周角為、，且，△CAD為等腰三角形又四邊形ODFE為矩形且OD=DF=四邊形ODFE為正方形故△CFB為等腰三角形，所對(duì)的圓心角為故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算、圓的折疊的性質(zhì)、圓周角定理和垂徑定理，熟練掌握性質(zhì)定理和弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．5．（2022·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，是半徑為4的的弦，且，將沿著弦折疊，點(diǎn)C是折疊后的上一動(dòng)點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連接.則的最小值為．【答案】【分析】如解析中的圖，連結(jié)AD、AC，過(guò)點(diǎn)O作AB的垂線交AB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作AB對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C’，連結(jié)EF、AC’，可得AC’=AD=AC，EOEF-OF，根據(jù)當(dāng)E、O、F三點(diǎn)共線時(shí)，EO的值最小為EF-OF，求出EF的長(zhǎng)，最后根據(jù)勾股定理可得答案．【詳解】解：連結(jié)AD、AC，過(guò)點(diǎn)O作AB的垂線交AB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)C作AB對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C’，連結(jié)EF、AC’，則AC’=AD=AC，EOEF-OF，∴EO的最小值為EF-OF，當(dāng)E、O、F三點(diǎn)共線時(shí)，EO的值最小為EF-OF，∵AD=AC，且E為DC的中點(diǎn)，∴AEDC，∴EF=AB=，OF=，∴OE的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，最路線的問(wèn)題，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是添加輔助線．6．（2023·遼寧盤(pán)錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是矩形，，．點(diǎn)E為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F為邊上一點(diǎn)，將四邊形沿折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)H，若，則的長(zhǎng)是．

【答案】或【分析】分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，設(shè)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形為矩形，，由折疊可知，，由平行線的性質(zhì)可得，于是，，利用勾股定理求得，證明，利用相似三角形的性質(zhì)求得，，于是，，則，代入計(jì)算即可得到答案；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，設(shè)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，同理可得，，四邊形為矩形，，利用相似三角形的性質(zhì)求得，，進(jìn)而去除，則，代入計(jì)算即可求解．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，如圖，設(shè)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，，四邊形為矩形，，，，，，四邊形為矩形，，，由折疊可知，，，，，，即，，，，在中，，，，，，，，，即，，，，，；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，如圖，設(shè)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，同理可得：，，四邊形為矩形，，，在中，，，，即，，，，．綜上，的長(zhǎng)是或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題是解題關(guān)鍵．7．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考中考真題）如圖，將菱形紙片沿過(guò)點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)落在射線上的點(diǎn)處，折痕交于點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)等于．

【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)Q，根據(jù)菱形性質(zhì)可得，根據(jù)折疊所得，結(jié)合三角形的外角定理得出，最后根據(jù)，即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)Q，∵四邊形為菱形，，∴，，∴，∵由沿折疊所得，∴，∴，∵，，∴，則，∴，∴，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形和折疊的性質(zhì)，正確畫(huà)出輔助線，構(gòu)造直角三角形求解．8．（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖所示，有一塊直角三角形紙片，，將斜邊翻折，使點(diǎn)B落在直角邊的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處，折痕為，則的長(zhǎng)是___________．【答案】【分析】先利用勾股定理求出，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：，，進(jìn)一步求出，設(shè)，則，由勾股定理得，解得，則．【詳解】解：在中，由勾股定理得，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：，，∵，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得∴，解得∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理與折疊問(wèn)題，正確利用勾股定理結(jié)合方程的思想求解是解題的關(guān)鍵．9．（2023秋·四川雅安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，點(diǎn)D在邊上，連接，將沿直線翻折，點(diǎn)A恰好落在邊上的點(diǎn)E處，若，，則的長(zhǎng)是．

【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作于，于，由折疊的性質(zhì)可得，，由勾股定理可求，由面積法可求的長(zhǎng)，由勾股定理可求的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于，于，

將沿直線翻折，，，，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，求出的長(zhǎng)是本題的關(guān)鍵．10．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖，小宇將一張平行四邊形紙片折疊，使點(diǎn)落在長(zhǎng)邊上的點(diǎn)處，并得到折痕，小宇測(cè)得長(zhǎng)邊，則四邊形的周長(zhǎng)為．

【答案】【分析】可證，從而可得，再證四邊形是平行四邊形，可得，即可求解．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，由折疊得：，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，．故答案：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形判定及性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2023·新疆·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，將沿折疊得到，當(dāng)點(diǎn)恰好落在上時(shí)，的長(zhǎng)為．

【答案】/【分析】過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及已知條件得出，進(jìn)而求得，根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，進(jìn)而在中，勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，

∵在中，，，，∴，∴，在中，∵將沿折疊得到，當(dāng)點(diǎn)恰好落在上時(shí)，∴又∴∴∴設(shè)，∴在中，∴解得：（負(fù)整數(shù)）故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2023春·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，，，現(xiàn)將矩形沿折疊，點(diǎn)C翻折后交于點(diǎn)G，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)H，當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)為．

【答案】5【分析】由矩形的性質(zhì)可知，由折疊可知，，易得，設(shè)，則，由勾股定理可得，即，可得，，可證，可得．【詳解】解：由矩形的性質(zhì)可知：，由折疊可知：，，則，∴，∵，，，∴，設(shè)，則，由勾股定理可得：，即，解得，∴，，∴，∴，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查矩形與折疊，勾股定理，全等三角形的判定及性質(zhì)，證明是解決問(wèn)題關(guān)鍵．13．（2023春·安徽安慶·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方形沿著對(duì)角線翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)處，與相交于點(diǎn)E，若，，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)，證明，然后求出，最后根據(jù)勾股定理即可求出結(jié)果．【詳解】由翻折的性質(zhì)可知，在與中，，，，，，長(zhǎng)方形，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理和矩形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖（1），在等腰直角三角形紙片中，，，點(diǎn)D，E分別為上的動(dòng)點(diǎn)，將紙片沿翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上，如圖（2），再將紙片沿翻折，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，如圖（3）.當(dāng)，的重合部分（即陰影部分）為直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_____．

【答案】1或【分析】分兩種情況：當(dāng)時(shí)，此時(shí)可得E是的中點(diǎn)，得；當(dāng)時(shí)，此時(shí)D、A重合，是的平分線，由勾股定理易得結(jié)果．【詳解】解：∵，，∴；①如圖，當(dāng)時(shí)，由折疊性質(zhì)得：，，∴；∵，，∴，∴，∴，此時(shí)B、重合，則，即點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴；

②如圖，當(dāng)時(shí)，所在直線重合，∴，∴，此時(shí)D、A重合，在邊上，∴是的平分線，∴，由勾股定理，∴．在中，，由勾股定理得：；故答案為：1或．

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，角平分線的性質(zhì)定理等知識(shí)，熟練掌握這些知識(shí)是關(guān)鍵，注意分類(lèi)討論．15．（2022·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）如圖，在扇形中，點(diǎn)C，D在上，將沿弦折疊后恰好與，相切于點(diǎn)E，F(xiàn)．已知，，則的度數(shù)為；折痕的長(zhǎng)為．【答案】60°/60度【分析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)性作O關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，則點(diǎn)D、E、F、B都在以M為圓心，半徑為6的圓上，再結(jié)合切線的性質(zhì)和垂徑定理求解即可．【詳解】作O關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，則ON=MN連接MD、ME、MF、MO，MO交CD于N∵將沿弦折疊∴點(diǎn)D、E、F、B都在以M為圓心，半徑為6的圓上∵將沿弦折疊后恰好與，相切于點(diǎn)E，F(xiàn)．∴ME⊥OA，MF⊥OB∴∵∴四邊形MEOF中即的度數(shù)為60°；∵，∴（HL）∴∴∴∵M(jìn)O⊥DC∴∴故答案為：60°；【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理；熟練掌握折疊的性質(zhì)作出輔助線是解題的關(guān)鍵．16．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，的半徑為，為的弦，點(diǎn)為上的一點(diǎn)，將沿弦翻折，使點(diǎn)與圓心重合，則陰影部分的面積為．（結(jié)果保留與根號(hào)）

【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出是等邊三角形，則，，根據(jù)陰影部分面積即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，設(shè)交于點(diǎn)

∵將沿弦翻折，使點(diǎn)與圓心重合，∴，又∴，∴是等邊三角形，∴，，∴,∴陰影部分面積故答案為：．17．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）如圖，將邊長(zhǎng)為3的正方形沿直線折疊，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊上（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），點(diǎn)落在點(diǎn)處，與交于點(diǎn)，折痕分別與邊，交于點(diǎn)，連接．

(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由折疊和正方形的性質(zhì)得到，則，進(jìn)而證明，再由平行線的性質(zhì)證明即可證明；（2）如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．證明得到，，設(shè)，則，．由，得到．則．由勾股定理建立方程，解方程即可得到．【詳解】（1）證明：由翻折和正方形的性質(zhì)可得，．∴．∴，即，∵四邊形是正方形，∴．∴．∴．（2）解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．∵，∴．又∵，正方形邊長(zhǎng)為3，∴∴，∴，，設(shè)，則，∴．∵，即，∴．∴．在中，，∴．解得：（舍），．∴．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形與折疊問(wèn)題，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．18．（2023·寧夏·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐問(wèn)題背景：數(shù)學(xué)小組發(fā)現(xiàn)國(guó)旗上五角星的五個(gè)角都是頂角為的等腰三角形，對(duì)此三角形產(chǎn)生了極大興趣并展開(kāi)探究．探究發(fā)現(xiàn)：如圖1，在中，，．（1）操作發(fā)現(xiàn)：將折疊，使邊落在邊上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，折痕交于點(diǎn)，連接，，則_______，設(shè)，，那么______（用含的式子表示）；（2）進(jìn)一