2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國版）第2講 一元二次方程（考點精析+真題精講）（原卷版）

備戰(zhàn)2024中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)備戰(zhàn)2024中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第2講一元二次方程第二章方程（組）與不等式（組）第2講一元二次方程第2講一元二次方程第二章方程（組）與不等式（組）→?考點精析←→?真題精講←考向一一元二次方程的解考向二解一元二次方程考向三一元二次方程根的判別式考向四含參問題考向五根與系數(shù)關(guān)系考向六一元二次方程在實際問題中的應(yīng)用第2講一元二次方程本考點內(nèi)容以考查一元二次方程的相關(guān)概念、解一元二次方程、根的判別式、韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）、一元二次方程的應(yīng)用題為主,既有單獨考查,也有和二次函數(shù)結(jié)合考察最值問題,年年考查,分值為20分左右,預(yù)計2024年各地中考還將繼續(xù)考查上述的幾個題型,為避免丟分,學(xué)生應(yīng)扎實掌握.→?考點精析←一、一元二次方程的概念1．一元二次方程：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程．2．一般形式：（其中為常數(shù)，），其中分別叫做二次項、一次項和常數(shù)項，分別稱為二次項系數(shù)和一次項系數(shù)．注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意，因為當(dāng)時，不含有二次項，即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必須具備三個條件：①必須是整式方程；②必須只含有一個未知數(shù)；③所含未知數(shù)的最高次數(shù)是2．二、一元二次方程的解法1．直接開平方法：適合于或形式的方程．2．配方法：（1）化二次項系數(shù)為1；（2）移項，使方程左邊只含有二次項和一次項，右邊為常數(shù)項；（3）方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方；（4）把方程整理成的形式；（5）運(yùn)用直接開平方法解方程．3．公式法：（1）把方程化為一般形式，即；（2）確定的值；（3）求出的值；（4）將的值代入即可．4．因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得或．三、一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系1．根的判別式：一元二次方程是否有實數(shù)根，由的符號來確定，我們把叫做一元二次方程根的判別式．2．一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系（1）當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）當(dāng)時，方程有1個（兩個相等的）實數(shù)根；（3）當(dāng)時，方程沒有實數(shù)根．3．根與系數(shù)關(guān)系：對于一元二次方程（其中為常數(shù)，），設(shè)其兩根分別為，，則，．四、利用一元二次方程解決實際問題列一元二次方程解應(yīng)用題步驟和列一元一次方程(組)解應(yīng)用題步驟一樣，即審、設(shè)、列、解、驗、答六步．列一元二次方程解應(yīng)用題，經(jīng)濟(jì)類和面積類問題是?？純?nèi)容．1．增長率等量關(guān)系（1）增長率=增長量÷基礎(chǔ)量．（2）設(shè)為原來量，為平均增長率，為增長次數(shù)，為增長后的量，則；當(dāng)為平均下降率時，則有．2．利潤等量關(guān)系：（1）利潤=售價－成本．（2）利潤率=×100％．3．面積問題（1）類型1：如圖1所示的矩形長為，寬為，空白“回形”道路的寬為，則陰影部分的面積為．（2）類型2：如圖2所示的矩形長為，寬為，陰影道路的寬為，則空白部分的面積為．（3）類型3：如圖3所示的矩形長為，寬為，陰影道路的寬為，則4塊空白部分的面積之和可轉(zhuǎn)化為．圖1圖2圖34.碰面問題（循環(huán)問題）（1）重疊類型（雙循環(huán)）：n支球隊互相之間都要打一場比賽，總共比賽場次為m?！?支球隊要和剩下的（n－1）支球隊比賽，∴1支球隊需要比（n－1）場∵存在n支這樣的球隊，∴比賽場次為：n（n－1）場∵A與B比賽和B與A比賽是同一場比賽，∴上述求法有重疊部分.∴m=1（2）不重疊類型（單循環(huán)）：n支球隊，每支球隊要在主場與所有球隊各打一場，總共比賽場次為m?！?支球隊要和剩下的（n－1）支球隊比賽，∴1支球隊需要比（n－1）場∵存在n支這樣的球隊，∴比賽場次為：n（n－1）場.∵A與B比賽在A的主場，B與A比賽在B的主場，不是同一場比賽，∴上述求法無重疊.∴m=n→?真題精講←考向一一元二次方程的解緊扣一元二次方程的概念，方程的解直接代入方程中，等式成立，化簡變形求解。1．（2020·甘肅金昌·中考真題）已知是一元二次方程的一個根，則的值為（）A．-1或2 B．-1 C．2 D．0考向二解一元二次方程一元二次方程的常見解法及適用情形：一般形式：直接開平方法形如的方程，可直接開方求解，則，因式分解法可化為的方程，用因式分解法求解，則，配方法若不易于使用分解因式法求解，可考慮配方為，再直接開方求解公式法利用求根公式：2．（2023秋·遼寧沈陽·九年級統(tǒng)考期末）解方程：．3．（2020·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）解方程：x2﹣5x+6＝04．（2020·山東聊城·中考真題）用配方法解一元二次方程，配方正確的是（）．A．B．C．D．5．（2020·四川樂山·中考真題）已知，且．則的值是_________．考向三一元二次方程根的判別式對于方程，，①若，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②若，方程有兩個相等的實數(shù)根；③若，方程沒有實數(shù)根．6．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于的一元二次方程的根的情況是（）A．沒有實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．實數(shù)根的個數(shù)與實數(shù)的取值有關(guān)7．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）設(shè)一元二次方程．在下面的四組條件中選擇其中一組的值，使這個方程有兩個不相等的實數(shù)根，并解這個方程．①；②；③；④．注：如果選擇多組條件分別作答，按第一個解答計分．考向四含參問題8．（2023·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．（2023·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）若一元二次方程有實數(shù)解，則m的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且10．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）若是關(guān)x的方程的解，則的值為___________．11．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)當(dāng)時，用配方法解方程．12．（2020·四川南充·中考真題）已知，是一元二次方程的兩個實數(shù)根．（1）求k的取值范圍；（2）是否存在實數(shù)k，使得等式成立？如果存在，請求出k的值，如果不存在，請說明理由．考向五根與系數(shù)關(guān)系設(shè)一元二次方程的兩根分別為，，則，．13．（2023·四川樂山·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程兩根為，且，則m的值為（

）A．4 B．8 C．12 D．1614．（2020·河南中考真題）定義運(yùn)算：．例如．則方程的根的情況為（）A．有兩個不相等的實數(shù)根B．有兩個相等的實數(shù)根C．無實數(shù)根D．只有一個實數(shù)根15．（2023·天津·統(tǒng)考中考真題）若是方程的兩個根，則（

）A． B． C． D．16．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）已知、是方程的兩根，則代數(shù)式的值為_________．17．（2023·湖北·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：無論m取何值時，方程都有兩個不相等的實數(shù)根；(2)設(shè)該方程的兩個實數(shù)根為a，b，若，求m的值．考向六一元二次方程在實際問題中的應(yīng)用列一元二次方程解實際問題的關(guān)鍵是找出題中的等量關(guān)系，利用等量關(guān)系列出方程．其中分析實際問題是解決問題的前提和基礎(chǔ)，解一元二次方程是重要方法和手段，并注意解出的方程的解是否符合實際問題．18．（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）據(jù)國家統(tǒng)計局發(fā)布的《2022年國民經(jīng)濟(jì)和社會發(fā)展統(tǒng)計公報》顯示，2020年和2022年全國居民人均可支配收入分別為3.2萬元和3.7萬元．設(shè)2020年至2022年全國居民人均可支配收入的年平均增長率為x，依題意可列方程為（

）A． B．C． D．19．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在長為，寬為的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路，若余下的部分全部種上花卉，且花圃的面積是，則小路的寬是（

）

A． B． C．或 D．20．（2020·遼寧大連·中考真題）1275年，我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《田畝比類乘除算法》中提出這樣一個問題：直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步．問闊及長各幾步．意思是：矩形面積864平方步，寬比長少12步，問寬和長各幾步．若設(shè)長為x步，則可列方程為_____．21．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）某新建工業(yè)園區(qū)今年六月份提供就業(yè)崗位個，并按計劃逐月增長，預(yù)計八月份將提供崗位個．設(shè)七、八兩個月提供就業(yè)崗位數(shù)量的月平均增長率為，根據(jù)題意，可列方程為___________．22．（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）為了讓學(xué)生養(yǎng)成熱愛圖書的習(xí)慣，某學(xué)校抽出一部分資金用于購買書籍．已知2020年該學(xué)校用于購買圖書的費用為5000元，2022年用于購買圖書的費用是7200元，求年買書資金的平均增長率．23．（2020·山東濱州·中考真題）某水果商店銷售一種進(jìn)價為40元/千克的優(yōu)質(zhì)水果，若售價為50元/千克，則一個月可售出500千克；若售價在50元/千克的基礎(chǔ)上每漲價1元，則月銷售量就減少10千克．（1）當(dāng)售價為55元/千克時，每月銷售水果多少千克？（2）當(dāng)月利潤為8750元時，每千克水果售價為多少元?（3）當(dāng)每千克水果售價為多少元時，獲得的月利潤最大？24．（2020·貴州黔南·中考真題）在2020年新冠肺炎疫情期間，某中學(xué)響應(yīng)政府有“停課不停學(xué)”的號召，充分利用網(wǎng)絡(luò)資源進(jìn)行網(wǎng)上學(xué)習(xí)，九年級1班的全體同學(xué)在自主完成學(xué)習(xí)任務(wù)的同時，彼此關(guān)懷，全班每兩個同學(xué)都通過一次電話，互相勉勵，共同提高，如果該班共有48名同學(xué)，若每兩名同學(xué)之間僅通過一次電話，那么全同學(xué)共通過