2023-2024學年黑龍江省高一年級下冊冊期中數(shù)學模擬試題

2023-2024學年黑龍江省高一下冊期中數(shù)學模擬試題

一、單選題

1.在空間中，下列命題不正確的是（）

A.若兩個平面有一個公共點，則它們有無數(shù)個公共點.且在一條直線上

B.若已知四個點不共面，則其中任意三點不共線

C.梯形可確定一個平面

D.任意三點能確定一個平面

【正確答案】D

【分析】利用平面的相關(guān)公理和推論逐項進行判斷即可求解.

【詳解】對于選項A,若兩個平面有一個公共點，則它們有經(jīng)過該公共點的一條直線，即兩平面有無

數(shù)個公共點，故選項A正確：

對于選項B,若已知四個點不共面，則其中任意三點不共線，否則，若存在三點共線，則問題轉(zhuǎn)化為

一條直線與直線外一點，則四點共面，故選項B正確；

對于選項C,因為兩條平行直線確定一個平面，所以梯形可確定一個平面，故選項C正確；

對于選項D,共線的三點不能確定一個平面，故選項D錯誤；

故選：D.

2.已知復數(shù)Z滿足（2+i）z=2-4i,則Z的虛部為（）

A.-2iB.2iC.-2D.2

【正確答案】C

【分析】計算z=-2i,確定虛部得到答案.

2-4i(2-4i)(2-i)-IQj

【詳解】2+i^^(2+i)(2-i)--Γ-故虛部為-2.

故選：C

3.在,,ABC中，角A,B,C所對的邊分別為mb,c.已知“=及，b=6,e=p則角A為（）

3ππ?πC兀一3π

A.—B.—C.-D.一或i一

43444

【正確答案】C

【分析】由正弦定理即可求解.

h萬、.火

【詳解】由正弦定理上7=-?,得"nA_asin8_VSmq.亞，

smAsinBsιnzι~—%一~一耳一—"y

又a<b,所以A<3,所以A為銳角，所以A=：.

4

故選：C.

4.向量α,b，c在邊長為1的正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若e為與W同方向的單位向量，則

C.-4.5D.-3

【正確答案】D

【分析】首先建系，確定向量的坐標，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示求解.

【詳解】如圖，建立平面直角坐標系，由圖可知α=(T,l),6=(-2,-1),e=(l,0),

則α+h=(-3,0),所以(α+b卜e=-3.

5.在..ABC中，角A,8,C所對的邊分別為α,b,c,已知a：b:c=3:3:4,則下列結(jié)論正確的是()

UUUUUU

A.sinA:sinB:sinC=4:3:3B.CA?CB<0

C.若c=8,則一ABC的面積是8石D.若6+c=7,則一ΛfiC外接圓半徑是拽

10

【正確答案】C

【分析】根據(jù)題意，由正弦定理可判定A錯誤；由余弦定理求得CoSC>0,結(jié)合向量的數(shù)量積的定義,

可判定B錯誤；由三角形的面積公式，可判定C正確；由正弦定理求得外接圓的半徑，可判定D錯

誤.

【詳解】由題意，在./BC中，滿足。為:。=3:3:4,

對于A中，由正弦定理=所以SinA:sinB:SinC=3:3:4,

sinAsinBsinC

所以A不正確；

對于B中，設..ABC三邊的長分別為α=3H7,b=3m,c=4∕%,

由余弦定理得cosC=(3m?3nt)?(㈣2=1>0)

2×3m×3m9

所以CA?C8=αbcosC>0,所以B錯誤；

對于C中，若c=8,可得。=。=6,可得COSC=則SinC=生叵，

99

所以，ABC的面積為S=La。SinC=Lχ6x6χ生叵=8百，所以C正確；

229

對于D中，設/3C三邊的長分別為。=3加力=3∕%,c=4∕x,

由6+c=7,BP3m+4m=l,可得加=1,所以c=4,

2R；C4=96

設一ΛBC外接圓的半徑為R,則^sinC^4√5^5，

9

所以R=地,所以D錯誤.

10

故選：C.

6.已知非零向量〃，b滿足(a+b)~L(。-匕)，且向量b在向量〃方向的投影向量是-;。，則向量〃與

。的夾角是()

A-B.工C.二D.至

6336

【正確答案】C

【分析】運用數(shù)量積和投影向量的定義求解.

【詳解】由題意,(α+?)?(a-?)=0,則J=丁，即問=M,

設α與/7的夾角為6,則h在。方向的投影MCOS/百=-y,

17π

.?.cos^=-—,0∈[θ,π],則9=7；

故選：C.

r3-sin50/、

7.------=()

2-cos-20

A.?B.—C.—D.2

222

【正確答案】D

【分析】根據(jù)降事公式及變名的誘導公式進行化簡.

3-sin50_3-sin50_2(3-sin50)_2(3-sin50)_?

【詳解】2-COS2201+cos403-cos403-sin50?

L-------------

2

故選：D.

8.已知函數(shù)/(x)=8SX,若存在實數(shù)2,％2,…，Z，滿足0≤%ι…＜乙＜4兀,且

∣∕(xι)-∕(?)∣+∣∕(x2)-∕(?)∣+???+∣∕(?-∣)-∕(?)∣=8?n≥2,"∈N*,,則"的最小值為()

A.4B.5C.6D.7

【正確答案】B

【分析】由"x)=COSX的性質(zhì)，根據(jù)|/(王)-〃々)|+|/伍)-〃玉)|++|/(%)-/(匕)|=8的特點

以及題意求解.

【詳解】由題意，〃要盡可能地小，則等式If(XJT(X2)∣+∣"w)-f(玉)∣++∣∕(?-l)-∕(?)∣=8φ,

每一項要盡可能地大，

?(x)=cos%,.?.∣/(xπ-1)-/(x,,)∣≤2,顯然∣∕(x,ι)-∕(x,,)∣=2時，”最小，

∣∕(Λ?I)-∕(X2)∣=∣∕(X2)-∕(X3)∣=.?=∣∕(xπ.l)-∕(x,,)∣=2,即"-1=∣=4,.?."=5,

此時不妨取XI=O,Λ2=兀，W=2兀，Z=3π,Λ5=4π,滿足題意；

故選：B.

二、多選題

9.如圖，正方形A8CZ)的邊長為3,點E是線段48的靠近點3的一個三等分點，若邊OC上存在點

凡使得EA?EF=∕l成立，則下列選項中符合題意的力的值有()

【正確答案】ABD

【分析】以BABC為基底，設CT=Xa)(O≤x≤l),用基底表示出E4?EF,根據(jù)X的范圍可求得彳的

范圍即可.

【詳解】記8A=a,8C=b,設CF=XCi>(O≤x≤l),

由題知，忖=W=3,“小=0,

又因為E4=gq,E尸=E8+8C+CF=-gα+b+xα=[t-g]α+b,

所以E4?EF=?∣q?(X-；)a+Z?=6x-2,

因為O≤x≤l,所以一2≤E4?EF≤4,即一2≤2≤4.

故選：ABD.

10.已知不是函數(shù)y=2sin(ox+VCoS"+"WHO)的一個周期，則0的取值可能為()

A.-2B.1C.?D.3

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)三角恒等變換公式進行化簡，根據(jù)周期函數(shù)定義求出。的表達式即可求解.

【詳解】依題意得，

y=2sinωx-?--cosωx+-=sin2ωx+—

I6；I6jI3)

由周期函數(shù)定義得：

f(x+π)=/(?),即：sin^26υ(x+?)+y=Sin(2GX+?)

gp：sin(2ωx+2ωπ+=sin(2ωx+

71Ji

2ωx+2ωπ+—=2s+—+2%m?∈Z

33

解得：ω=k,keZ

又'ω≠0

69=1或69=3,—2

故選：ABD.

11.在TIBC中，角A,B,C所對的邊分別為〃，b,c.若h=ccosA,內(nèi)角A的平分線交BC于點。,

AD=],cosA=J,以下結(jié)論正確的是()

O

3C.經(jīng)=LD.ZiABD的面積為邁

A.AC=-B.AB—6

2BD84

【正確答案】BCD

【分析】首先根據(jù)題意結(jié)合余弦定理可得C=],并根據(jù)二倍角公式得到COS/CA。=?,依次計算

24

AC,AB的值，根據(jù)面積公式，分析判斷選項C和D.

【詳解】在一ABC中，

V?=CvosA,則…χ∕+c2-",整理得從+/=2,所以c=5，

2bc2

1?

由二倍角公式得CoSNBAC=2COS2Z<CAD-I=-,解得cos/。。=

84

3

在RtZ?AC0中，則AC=ADCOS/CAO=-,故選項A錯誤；

4

3

在RtAABC中，則AB=—?-=4=6,故選項B正確；

cosZBAC?

8

由題意可知：^CAD=^BAD1即SinNC4D=SinNB4￡),

W-CDAC-ACAD^nZCAD「「

由產(chǎn)-------=J---------------------------，解得累=喘=!，故選項C正確；

3ADBIJBDAC-ABADSinZBADBDAB8

22

在4A5Q中，

VCOsZBAD=^-,則sin∕B4f>=Jl-Cos=BAD=也,

44

/.5λβn=-AD-ABsinZBAD=-×↑×6×-=^-,故選項D正確?

abd2244

故選：BCD.

12.如圖甲所示，古代中國的太極八卦圖是以同圓內(nèi)的圓心為界，畫出相等的兩個陰陽魚，陽魚的頭

部有眼，陰魚的頭部有個陽殿，表示萬物都在相互轉(zhuǎn)化，互相涉透，陰中有陽，陽中有陰，陰陽相合,

相生相克，蘊含現(xiàn)代哲學中的矛盾對立統(tǒng)一規(guī)律，其平面圖形記為圖乙中的正八邊形ABCDE打汨，

其中Q4=2,則()

A.y∕2OB+OE+OG=0B.OAOD=-2y∣2

C.?AH+EH?=4D.∣A∕∕+G∕7∣=4+2√2

【正確答案】ABC

【分析】分別以“28尸所在的直線為X軸和y軸，建立的平面直角坐標系，作AMJ結(jié)合向量

的坐標運算，逐項判定，即可求解.

【詳解】由題意，分別以"RBF所在的直線為X軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，

因為正八邊形ABCDEFGH,所以ZAOH=/HOG=NAoB=NEoF=NFOG

=ADOE=ZCOB=ZCOD==45，

8

作AMLHD,則QW=AA7,

因為。4=2,所以OM=AΛ∕=，所以A(—?∕Σ,—JΣ),

同理可得其余各點坐標，S(0,-2),f(√2,√2),G(-√2,√2),￡>(2,0),W(-2,0),

對于A中，√2C>β+OE+OG=(0+√^+(-√2),-2√2+√2+√2)=0,故A正確；

對于B中，OA?OQ=(-√Σ)χ2+(-√Σ)χO=-2√Σ,故B正確；

對于C中，A∕7=(-2+√2,√2),=(-2-√2,-√2),AH+EH=(-4,0),

所以∣A"+E"∣=用赤斤=4,故C正確；

對于D中，A∕7=(-2+√2,√2),G∕∕=(-2+√2,-√2),AH+G”=(-4+2√Σ,0),

?AH+GH?=√(-4+2√2)2+02=4-2√2,故D不正確.

三、填空題

13.若復數(shù)F為純虛數(shù)，則|2+同=__________.

1—1

【正確答案】√5

【分析】由復數(shù)除法法則化簡后求得。，再由復數(shù)模的定義求解.

α+i(α+i)(l+i)a—l+(α+l)icι—1〃+l.cι—1Ia+1

【詳解】~~Γ=-一———=----?--------=F—+f-1為純虛數(shù)，則工一=O且一^―*0,?,??=1,

1-1(l-ι)(l+ι)22222

∣2+tzi∣=∣2+i∣=√5,

故√L

14.圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角為60。，底面圓的半徑為6,則圓錐的側(cè)面積為.

【正確答案】216π

【分析】運用扇形的弧長公式以及圓錐的側(cè)面積公式計算即可求解.

【詳解】設圓錐的底面周長為c,母線長為/,則c=2τrx6=12兀，

因為圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角為60°,

所以TT尸C=↑2.7?1，解得/=36，

則圓錐的側(cè)面積為1/c==x36xl2兀=216π,

22

故答案為.216π

四、雙空題

15.已知e∣,e?是單位向量，且e∣?e2=0,設向量a=2e∣+“e?,當2=〃=1時，(α,q)=；當

2+〃=4時，卜-N的最小值為.

【正確答案】￡/45。迪∕j√∑

422

【分析】求出口，根據(jù)夾角公式可得卜咫)，將表示為關(guān)于幾的二次函數(shù)，求出最小值即可.

2

［詳解］當丸=〃=］時，a=el+e2,p∕∣^=e,+2e1?e2+e2^=2,即W=血，

/?a?e.(eι+e2Veι1?∣2

因為α,e∣)e［0,τι］,所以(a,q)=；；

當4+χz=4時，a-ei=(Λ-l)el+μe2=(Λ-l)e1+(4-Λ)e2,

則卜_ej=(義_〔J+(4々J=2(4__I)+∣,

當X=MkLd的最小值為半，

故；,3√2

五、填空題

16.在,ABC中，若AC=2,NB=60。，NA=45。，點力為AB邊上的動點，有如下結(jié)論:

①不存在點。使得ABCD為等邊三角形②存在點。使得COSNCD4=g

③存在點。使得BDOC=TLG④存在點。使得CD=I

上述結(jié)論中正確的有

【正確答案】②③

【分析】運用三角形的正弦定理和三角形的內(nèi)角和定理、邊角關(guān)系，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，對選項一

一判斷，即可得到結(jié)論.

【詳解】若C。為邊長為X的等邊三角形，可得

X22√6

丁解得X=<2,

sin45sin60~S^

滿足AC>CD,所以存在點。使得ABCD為等邊三角形，則①不正確;

因為CoSNCDA=；<；=cos60o,且0°<NCDA<180°,

可得∕CD4>B,所以AB上存在點。，則②正確；

sin/.BCDBD

由BQ：DC=√2r√3,可得√Σ

sin60~DC

可得SinNBeO=在，即有NBC￡)=45o<NBCA=75。，則③正確;

2

cnAC

若CD=I,在二ACD中可得J?=.：：、「，

sin45sinZADC

八點—

可得SinNAQC=X)=近>1，/4。C不存在，則④不正確.

I

故②③.

六、解答題

17.某廣場內(nèi)設置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個一樣的四面體得到的，如圖

所示，若被截正方體的棱長是60cm.

(1)求石凳的體積;

(2)為了美觀工人準備將石凳的表面進行粉刷，已知每平方米造價50元，請問粉刷一個石凳需要多少

錢？

【正確答案】(1)180000Cm3

⑵（54+186）元

【分析】(1)計算出正方體的體積減去8個小正三棱錐的體積，得到答案；

(2)計算出石凳的表面積，從而求出粉刷一個石凳的錢數(shù).

【詳解】⑴正方體的體積為萬3=216000cπ√,

石凳的體積為正方體的體積減去8個正三棱錐的體積，其中一個小正三棱錐的三條側(cè)棱邊長為3()cm,

故一個小正三棱錐的體積為∣χ→3O2×3O=45∞cm?,,

故石凳的體積為216000-4500×8=180000cm,；

(2)石凳的表面由6個正方形和8個正三角形組成，其中正方形和正三角形的邊長均為3θJ5cm,

則石凳的表面積為6×(30√2)^+-X30√2×30√2sin60o×8=(360OG+10800)cm2,

則粉刷一個石凳需要36°°G+1°8°°X50=(54+186)元.

10000'>

222

18._AeC角A,B,C對邊分別為",4c,向量機=(αcos8+bcosA必C),?=(?+?-c,-l),Kw1?.

⑴求角C；

(2)若一ΛBC的周長為66,且ABC外接圓半徑為2,求ASC的面積.

TT

【正確答案】(I)C=I

(2)3√3

【分析】(1)運用數(shù)量積以及三角函數(shù)和差公式，正弦定理，余弦定理求解;

(2)運用正弦定理余弦定理求出而，再利用面積公式計算.

【詳解】(1)由得：(αcosB+6cosA)(a2+?2-c2)-α?c=0,由余弦定理知：

a2+h2-C2=2abcosC,

.,.2abcosC^acosB+bcosA)-abc=0,a≠0,b≠0,..2cosC(acosB-ι-bcosA)-c=0,

由正弦定理得：2cosC(sinΛcosB+sinScosA)-sinC=O,即

2cosCsin(A÷B)-sinC=0,2∞sCsinC-sinC=0,

C∈(0,π),.?.sinC≠O,?,?C=-；

(2)由正弦定理得一-——=2R,.,.c=2×2×^-=2>/3，即α+b=4?∕J，

SinC2

由余弦定理得/=Ci2÷?2-2abcosC=cΓ+b2-ab=(a+b)2-3ab=12,

s.ab=?2,Sabc=^absinC=3Λ∕3；

即SABC=??/?.

19.已知點A(3,0),B(0,3),C(COSX,sinx),x∈R

⑴若且x∈[0,2π],求X的值

⑵設函數(shù)/(x)=AC?3C,求〃％)的單調(diào)遞增區(qū)間.

(3)對于(2)中的函數(shù)/(x),/(α)=l-√2,α{gθ),求SinC

【正確答案】(I)X=3或手

44

Tr5元

(2)增區(qū)間為2?π+-,2?π+-(ZWZ)

/2、.5/2-4

(3)sma=——一

6

【分析】(1)求得AC=(COSR-3,SinX),BC=(cosx,sinx-3),根據(jù)模長坐標公式并化簡得到tanx=l,

結(jié)合x∈[0,2π]即可求解;

(2)化簡得至lJ/(x)=-3&sin(x+；)+l,4∣+2?π≤x+^≤y+2?πΛ∈Z,即可得到增區(qū)間;

⑶代入可得sin(a+：)=g,由αe(gθ)得到a+從而得到

,而Sina=Sin+利用差角正弦公式即可求解.

【詳解】(1)AC=(cosX-3,sinx),BC=(cosxysinx-3),

因為IAq==Bq,所以(COSX-3)2+si∏2χ=cos2χ+(sinx-3)2,

BPcos2x-6cosx+9+sin2x=cos2x+sin2x-6sinx+9，艮IJcosx=sinx,

所以tanx=l,又xe[(),2τt],所以或弓.

(2)f(x)=ACBC=(cosx-3)cosx+sinx(sinx-3)=Cos2x-3cosx+sin2x-3sinx

=-3(sinX÷cosx)+1=-3>∕2sinx+-+1,

7Γπ3JΓ

令一+2kπ≤x+-≤-——F2kπ,kwZ,

242

解得二+2E≤x42+2?π,A∈Z,

44

所以〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間為2E+^,2E+自(Z∈Z).

(3)f(a)=-3?∕2sinfa+?'j+1=1->/2,即Sinla+：)=；

因為α∈b/,θ),所以a+所以cos［二

兀、.(兀、兀(兀、.兀

、兀

所dL以t1S?Ina=S?lnIa+———=sιna+—cos——cosa+—sin—

I44j{4J4{4j4

1√22√2√2√2-4

=—X------×--=----.

32326

20.已知函數(shù)〃X)=ASin(2x+斗>0,o>0,M<郛J部分圖像如圖所示.∕W=√2,/[y]=0.

⑴求f(x)的解析式;

(2)將y=∕(χ)的圖像先向右平移得個單位，再將圖像上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼腡倍(縱坐標不

變)，所得到的圖像對應的函數(shù)為y=g(x),若Ig(X)-N≤2對于Xeθ?恒成立，求實數(shù)加取值范

圍.

【正確答案】⑴〃x)=2sin(2x+：).

⑵me[θ,2-6]

【分析XD根據(jù)圖像求出函數(shù)的周期,進而求出0,再由特殊點以及求出夕，然后由

求出4,從而得出答案;

(2)利用圖像的平移伸縮變換求出y=g(χ),再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

T37ΓitTiT2π

【詳解】(1)由圖像可得：5=芋一￡故T=同=π,且口＞0,解得G=2,

可得/(%)=ASin(2x+0),

?.?∕(x)的圖像過點(∣,θ),則ASin(2x3]πUQI=ASi3nπ+T=O,

84

可得Sin仁+9)=0,ππ3ππ5π

且夕e則丁凄

2,24,T

?,?τ+^=π＞解得Y'

可得/(x)=ASin(2x+?J,

又；f(x)的圖像過點仔,問，則Asin0X+：)=Asin?^A=√2

解得A=2,

故〃x)=2sin(2x+：]

(2)將y="x)的圖像先向右平移,個單位，得到y(tǒng)=2sin21一號)+：=2Sin12》一1

再將圖像上的所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼腡倍(縱坐標不變)，得到y(tǒng)=2sin(4x-?^),

故g(x)=2sin(4x-1}

?71_.TCTC2TT

.?χ∈0,—,貝∣tJ4X-7∈,

4333

.,.sin^4x--j∈——,1,可得g(九)∈[―6,2],

Tr

故y=g(x)在Xe0,-上的最大值為2,最小值為-√L

因為Ig(X)r"∣M2對于Xe0,；恒成立，所以m-2≤g(x)≤m+2,可得g(x)-2≤m≤g(x)+2恒成立,

g(x)a-2≤"7≤g(x)mjn+2∕S∏等0≤"i≤2-√5'所以機w[θ,2-6].

21.目前，中國已經(jīng)建成全球最大的5G網(wǎng)絡，無論是大山深處還是廣袤平原，處處都能見到5G基

站的身影.如圖，某同學在一條水平公路上觀測對面山頂上的一座5G基站AS已知基站高A3=5()m,

該同學眼高1.5m(眼睛到地面的距離)，該同學在初始位置C處(眼睛所在位置)測得基站底部8的

仰角為37°,測得基站頂場A的仰角為45。.

⑴求出山高BE(結(jié)果保留一位小數(shù))；

(2)如圖，當該同學面向基站A8前行時(保持在同一鉛垂面內(nèi))，記該同學所在位置M處(眼睛所在

位置)到基站AB所在直線的距離MO=Am,且記在M處觀測基站底部B的仰角為α,觀測基站頂端

A的仰角為夕.試問當X多大時，觀測基站的視角NAMB最大？

參考數(shù)據(jù)：sin8o≈0.14,sin37o≈0.6,sin45o≈0.7,sinl27o≈0.8.

【正確答案】(l)151.5m

(2)X=10()Gm

【分析】(1)在ABC中，利用正弦定理求出8C,再在RIBcD中，求出BZ)即可；

TT

(2)易得0<N4WB=/?-a<5，分別在在Rt和在Rtz?AWL>中，求出tanα,tan/7,再根據(jù)兩

角和的正切公式結(jié)合基本不等式求出tanNAMB取得最大值時，X的值，再根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性即

可得解.

【詳解】(1)由題意可知，NBCQ=37。,NAC￡>=45。,NACB=8。,A=45。,

在58C中’—2^=—

所以BC=吧2'250'

0.14

在RtBCz)中，BD=BC-sinZBCD≈250×0.6=150,

所以出山高龐;=150+L5=15L5m;

(2)由題意知NAMo=A∕3MO=α,且0<α<夕<],

TT

則OC/一a<5,

一—BD150

在RtABMD中，tana=-----

MDX

,A…AD200

在RtZVLMD中，tanλ/=——=—

MDX

200150

tan0-tana

則tanNAMB=tan(jβ-a)=

1+tany0tana∣+200150

xx

50X50“50√3

S----,==-----

X2+300∞30000C,3000012,

v+2.Ix---------

XX

3ΩΩ∩∩

當且僅當x即X=I(X)6時，取等號,

X

所以tanZAMB取得最大值時，χ=∣()()√3,

TT

又因為°<NAMB<5,所以此時NA也最大,

所以當X=IOOGm時，NAMB最大.

22.在，48C中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為4,h,c,請在①HCOSC=CSin8；

②(c+a)(c-α)=h(b-a)；③丁等J?=里這三個條件中任選一個，完成下列問題.

2sιnB-sιnΛcosΛ

⑴求角C的大??；

⑵若b=2,當sin8-cos(A+［取最大值時，求..ABC外