第9講 數(shù)論綜合（講義）人教版六年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)

第9講小升初專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)(6)

數(shù)論綜合

思維啟航

一、訓(xùn)練目標(biāo)

知識(shí)傳遞：掌握數(shù)論的相關(guān)知識(shí),并能用之分析、解決一些數(shù)論基本問(wèn)題。

能力強(qiáng)化：分析能力、理解能力、推理能力、轉(zhuǎn)化能力、推算能力、綜合能力。

思想方法：整除思想、奇偶思想、比較思想、對(duì)應(yīng)思想、恒等思想、同余思想。

二、知識(shí)與方法歸納

1.數(shù)的整除

(1)熟悉并掌握2、3、5、9的倍數(shù)的特征。

(2)一個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)能被4或25整除,這個(gè)數(shù)就一定能被4或25整除。(4X25=100)

(3)一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)能被8或125整除。那么這個(gè)數(shù)就能被8或125整除。(8×

125=1000)

(4)一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)的差分別能被7、11、13整除,

這個(gè)數(shù)就能被7、11、13整除。另外，一個(gè)數(shù)奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位上的數(shù)字和的

差(差等于0比較常見(jiàn))能被11整除，這個(gè)數(shù)就能被11整除。(很常用，請(qǐng)牢記。)

(7×ll×13=1001)

(5)如果兩個(gè)數(shù)都能被同一個(gè)數(shù)整除，那么這兩個(gè)數(shù)的和或差也能被這個(gè)數(shù)整除。即

如果CIa,

cIb,貝IJCl(a+b)或c∣(a-b)。

(6)如果一個(gè)數(shù)能被另一個(gè)數(shù)整除，那么這個(gè)數(shù)的整倍數(shù)也一定能被另一個(gè)數(shù)整除。

即如果CIa,b是整數(shù)，則CIab?

(7)如果一個(gè)數(shù)能被第二個(gè)數(shù)整除，第二個(gè)數(shù)又能被第三個(gè)數(shù)整除，那么，第一個(gè)數(shù)

也能被第三個(gè)數(shù)整除。即如果aIb,bIc,則aIc。

(8)如果一個(gè)數(shù)能同時(shí)被另外兩個(gè)數(shù)整除，而且這兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，那么這一個(gè)數(shù)一寂能

被另外兩個(gè)數(shù)的積整除。即如果a∣c,bIc,且a、b互質(zhì)，則able。

2.奇數(shù)和偶數(shù)

(1)兩個(gè)奇偶性相同的數(shù)的和(或差)一定是偶數(shù)；兩個(gè)奇偶性不同的數(shù)的和(或差)

一定是奇數(shù)。反過(guò)來(lái)，兩個(gè)數(shù)的和(或差)是偶數(shù)，這兩個(gè)數(shù)奇偶性相同；兩個(gè)數(shù)的和

(或差)是奇數(shù)，這兩個(gè)數(shù)肯定是一奇一偶。

(2)奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和(或差)是奇數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和(或差)是偶數(shù)。任意多個(gè)偶

數(shù)的和(或差)是偶數(shù)。

(3)若干個(gè)數(shù)相乘，如果其中有一個(gè)因數(shù)是偶數(shù)，那么積必是偶數(shù)；如果所有因數(shù)都

是奇數(shù)，那么積就是奇數(shù)。反過(guò)來(lái)，如果若干個(gè)數(shù)的積是偶數(shù)，那么因數(shù)中至少有一個(gè)

是偶數(shù)；如果若干個(gè)數(shù)的積是奇數(shù)，那么所有的因數(shù)都是奇數(shù)。

(4)相鄰兩個(gè)自然數(shù)的乘積必是偶數(shù)，其和必是奇數(shù)。

(5)在能整除的情況下，偶數(shù)除以奇數(shù)得偶數(shù)；偶數(shù)除以偶數(shù)可能得偶數(shù)，也可能得

奇數(shù)?奇數(shù)肯定不能被偶數(shù)整除。

(6)偶數(shù)的平方能被4整除；奇數(shù)的平方除以4的余數(shù)是1。

22

因?yàn)?2n)=4∏2=4x∏2,所以(2n)能被4整除；

22

因?yàn)?2n+1)=4∏2+4π+1=4X(n?+1)+1,所以(2n+1)

除以4余1。

(7)如果一個(gè)整數(shù)有奇數(shù)個(gè)約數(shù)(包括1和這個(gè)數(shù)本身)，那么這個(gè)數(shù)一定是平方數(shù);

如果一個(gè)整數(shù)有偶數(shù)個(gè)約數(shù)，那么這個(gè)數(shù)一定不是平方數(shù)。

3.質(zhì)數(shù)與合數(shù)

(1)一個(gè)數(shù)的約數(shù)只有1和它本身的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫素?cái)?shù)。反之，一個(gè)數(shù)的約數(shù)除

了1和它本身以外，還有其他的約數(shù)，這個(gè)數(shù)就叫合數(shù)。

(2)由于1的約數(shù)只有1個(gè)，所以1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。

(3)兩個(gè)數(shù)的公約數(shù)只有1,而沒(méi)有其他公約數(shù)的，這兩個(gè)數(shù)就叫互質(zhì)數(shù)。

(4)質(zhì)數(shù)與互質(zhì)數(shù)

這兩個(gè)概念沒(méi)有什么聯(lián)系。兩個(gè)質(zhì)數(shù)，不能肯定就是互質(zhì)數(shù)。只有兩個(gè)不相同的

質(zhì)數(shù)，才能肯定是互質(zhì)數(shù)。另外，兩個(gè)合數(shù)既可能是互質(zhì)數(shù)，也可能不是互質(zhì)數(shù)，但不

能說(shuō)兩個(gè)合數(shù)一定不是互質(zhì)數(shù)。

(5)把一個(gè)合數(shù)分解成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的過(guò)程，就叫做分解質(zhì)因數(shù)。

4.公因數(shù)和最大公因數(shù)

幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)；其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公

因數(shù)。

一般地我們用(a,b)表示a,b這兩個(gè)自然數(shù)的最大公因數(shù),如(12,30)=6o如果(a,b)

=1,則a,b兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)。

5.公倍數(shù)和最小公倍數(shù)

幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公

倍數(shù)。

一般地，我們用[a,b]表示自然數(shù)a,b的最小公倍數(shù)，如[12,18]=36。

6.最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)

(1)最大公因數(shù)

求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)一般有以下幾種方法：

①分解質(zhì)因數(shù)法

②短除法

③輾轉(zhuǎn)相除法

④小數(shù)縮倍法

⑤公式法：aXb=(a,b)X[a,b],這個(gè)公式表示：兩個(gè)數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的最

大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的乘積。

(2)最小公倍數(shù)

求幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的方法也有以下幾種：

①分解質(zhì)因數(shù)法

②短除法

③公式法：a×b=(a,b)X[a,b],這個(gè)公式表示：兩個(gè)數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的最大

公約數(shù)和最小公倍數(shù)的乘積。

④大數(shù)翻倍法

惑思維進(jìn)階

例1.有四個(gè)小朋友，年齡逐個(gè)增加兩歲，4個(gè)人年齡的乘積是9009,問(wèn)其中年齡最大

的一個(gè)是幾歲？

例2.要使4個(gè)數(shù)的乘積135X975X342X()的結(jié)果最后5位數(shù)字全是0,

()內(nèi)的數(shù)最小應(yīng)是多少？

思維訓(xùn)練1

一個(gè)正整數(shù)4與1080的乘積是一個(gè)完全平方數(shù)，4的最小值與這個(gè)完全平方數(shù)分別是

多少？

例3.求5957與4107的最大公因數(shù)。

例4.在2012后面補(bǔ)上3個(gè)數(shù)字，組成一個(gè)七位數(shù)，使它能分別被3、4、5整除，這個(gè)

七位數(shù)最大是多少？

思維訓(xùn)練2

一本陳年老賬上記著：88只桶，共口67.9口元。這里口處字跡不清。口處數(shù)字是多少？

桶的單價(jià)是多少元？

例5.(1)480有幾個(gè)因數(shù)？

(2)求3715X266+4583X2172-1518X216除以11的余數(shù)。

例6?(1)一堆蘋(píng)果,7個(gè)數(shù)余6個(gè),9個(gè)數(shù)余8個(gè)，11個(gè)數(shù)余10個(gè),這堆蘋(píng)果至少是多少

個(gè)？

(2)有一堆水果，按3個(gè)一堆分多1個(gè)，按4個(gè)一堆分也多1個(gè)，按5個(gè)一堆分也多

1個(gè)。這堆水果至少有多少個(gè)？

(3)一個(gè)大于1的整數(shù)，除300,262,205,得到相同的余數(shù)，這個(gè)整數(shù)是多少？

思維深化

(訓(xùn)練時(shí)間：滿分：120分，訓(xùn)練得分：)

1.計(jì)算題。(每小題5分，共20分)

(1)計(jì)算下面各題：

Illl11179111315

2+4+8+16+32+64131220304256

(2)解下列方程:

53

X——X=44-X+284-(x-10)=-(x-6)

544

2.填空題。(每空10分，共60分)

(1)分解質(zhì)因數(shù)：54=()；120=()。

(2)在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)馁|(zhì)數(shù)：148=()+()+()o

(3)三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積是120,這三個(gè)數(shù)分別是()、()、()。

(4)一個(gè)兩位數(shù)去除253,得到的余數(shù)是43,那么這個(gè)兩位數(shù)是().

(5)已知六位數(shù)33口34口,如果它能被28整除，這個(gè)六位數(shù)是()。

(6)一堆水果，按3個(gè)一堆分少1個(gè)，按4個(gè)一堆分也少1個(gè)，按5個(gè)一堆分也少1

個(gè)。這堆水果至少有()個(gè)。

3.解答題。(每小題10分，共40分)

(1)有12張卡片，其中有3張上面寫(xiě)著1,3張寫(xiě)著3,3張寫(xiě)著5,3張寫(xiě)著7.

問(wèn)：能否從中選出5張，使它們上面的數(shù)字之和為20?為什么？

(2)現(xiàn)在有100枝玫瑰花，80枝康乃馨和60枝蘭花，要配成同樣的花束，最多可以

配多少束？每束中三種花各有幾枝？

(3)l×2×3×4×5×???×50,積的末尾一共有多少個(gè)0?

(4)69,90,125被某個(gè)正整數(shù)除時(shí)，余數(shù)相同，試求這個(gè)數(shù)的最大是多少？

思維體操

猜牌問(wèn)題

S先生、P先生、Q先生他們知道桌子的抽屜里有16張撲克牌：紅桃A、Q、4黑桃J、

8、4、2、7、3草花K、Q、5、4、6方塊A、5。約翰教授從這16張牌中挑出一張牌來(lái),

并把這張牌的點(diǎn)數(shù)告訴P先生，把這張牌的花色告訴Q先生。這時(shí)，約翰教授問(wèn)P先

生和Q先生：你們能從已知的點(diǎn)數(shù)或花色中推知這張牌是什么牌嗎？于是，S先生聽(tīng)

到如下的對(duì)話：

P先生：我不知道這張牌。

Q先生：我知道你不知道這張牌。

P先生：現(xiàn)在我知道這張牌了。

Q先生：我也知道了。

聽(tīng)罷以上的對(duì)話，S