2022-2023學(xué)年陜西省渭南市澄城縣高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷-普通用卷

2022-2023學(xué)年陜西省渭南市澄城縣高一(下)期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.若集合4={-1,0,1},B=[0,1,2},則4nB=()

A.{0,1}B.{-1,0,1}C.[0,1,2}D.{-1,0,1,2}

2.已知復(fù)數(shù)z=(2--)(2+i),則z=()

A.3-iB.3+iC.-3+4iD.3+4i

3.已知命題p：BxER,2x-1<0,那么-^是()

A.3xGR,2x-1>0B.3xeR,2x-1>0

C.Vxe/?,2x-1<0D.Vxe/?,2x-1>0

4.已知sin。與cos。是方程/+gx+m=o的兩個根，則實數(shù)m的值為()

A.B.5C.D.

5.在△力BC中，角4,B,C所對的邊分別是，a,b,c,a=2,b=VT，B=24則cos4=()

A.6B.蟲CTD.口

3243

6.在△ABC中，a=l,b=，？，A=45。，則滿足此條件的三角形的個數(shù)是()

A.0個B.1個C.2個D.無數(shù)個

7.若向量2=(1,1),3=(2,5)，c=(3,x),滿足(81一3)1=30，則%=()

A.6B.5C.4D.3

8.若一個球的表面積和體積的數(shù)值相等，則該球的半徑為()

A.V-3B.C與D.3

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.已知函數(shù)/(x)、g(x)定義域均為R,且/'(X+4)+/(_%)=2,/(2x+l)為偶函數(shù)，若

g(x)=-/(2-x),則下面一定成立的是()

A./(0)=1B.g⑶=0

C./(2023)=/(3)=1D.g(2024)=g(0)=-1

10.光明學(xué)校組建了演講、舞蹈、航模、合唱、機器人五個社團，全校所有學(xué)生每人都參加

且只參加其中一個社團，校團委在全校學(xué)生中隨機選取一部分學(xué)生(這部分學(xué)生人數(shù)少于全校

學(xué)生人數(shù))進行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成了如圖兩個不完整的統(tǒng)計圖：則()

A.選取的這部分學(xué)生的總?cè)藬?shù)為500人

B.合唱社團的人數(shù)占樣本總量的40%

C.選取的學(xué)生中參加機器人社團的學(xué)生數(shù)為78人

D.選取的學(xué)生中參加合唱社團的人數(shù)比參加機器人社團人數(shù)多125

11.已知函數(shù)/'(x)=|sinx|+cos|x|,則下列結(jié)論正確的有()

A./(%)為偶函數(shù)

B./(x)的最小值為-

C./(%)在區(qū)間［一區(qū)一爭上單調(diào)遞增

D.方程f(x)=g在區(qū)間［0,4兀］內(nèi)的所有根的和為87r

12.已知函數(shù)/'(x)=若a<b<c,且/(b)<f(c)</(a),則()

A.a<1B.b>1C.c>1D.ac>1

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.若把總長為207n的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是.

14.血263。皿203。+s譏83。5譏23。的值為.

15.從4,5,6,7這4個數(shù)字中選出3個不同的數(shù)字組成一個三位數(shù)，百位上的數(shù)字是質(zhì)數(shù)、

個位上的數(shù)字是合數(shù)的概率為.

16.在△ABC中，若4B=4,AC=m,cosB=j,若AABC中存在且唯一，則△ABC面積的

最小值為；此時m的值為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知集合4={x\2a—1<%<a+3),集合B={y\y=x+3,2<%<4}.

(I)當a=?時，求4nB及aUB；

(n)若anB=A,求實數(shù)a的取值范圍.

18.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(%)的定義域是(0,+8),滿足/(2)=1,無>1時/。)>0,對任意正實數(shù)x,y,都

有fQy)"(x)+f(y).

(1)求/⑴,”4)的值；

(2)證明：函數(shù)/'(%)在(0,+8)上是增函數(shù)；

(3)求不等式f(x)-/(%-3)>2的解集.

19.(本小題12.0分)

為了了解學(xué)生考試時的緊張程度，現(xiàn)對100名同學(xué)進行評估，打分區(qū)間為[50,100],得到頻率

分布直方圖如下，其中a,b,c成等差數(shù)列，且a=0.01.

⑴求b,c的值；

(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方式從緊張度值在[60,70),[70,80)中共抽取5名同學(xué)，再從這5名同學(xué)

中隨機抽取2人，求至少有一名同學(xué)是緊張度值在[60,70)的概率.

20.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=4sinx-cos(x+3)+1.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間：

(2)將/(X)的圖象向左平移期個單位,得到g(x)的圖象,求y=g(x)+/(|),xe[/，芻的值域.

21.(本小題12.0分)

已知a,b,c分別為銳角△ABC三個內(nèi)角4,B,C的對邊，且2as=

⑴求4

(2)若a=2,則△ABC的面積為C，求b,c.

22.(本小題12.0分)

如圖，在棱長為a的正方體ABCC—4iBiGDi中，P為DD1的中點.

(1)求BDi的長；

(2)求證：BO1〃平面APC.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】W：vA={-1,0,1}?B=[0,1,2)；

：.ACtB={0,1}.

故選：A.

進行交集的運算即可.

考查列舉法的定義，以及交集的運算.

2.【答案】D

【解析】解：z=(2-；)(2+i)=(2+i)(2+i)=3+4i.

故選：D.

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，命題p：3%eR,2x-1<0,

那么-ip為：Vx€R,2x-1>0.

故選：D.

根據(jù)題意，由全稱命題和特稱命題的關(guān)系，分析可得答案.

本題考查命題的否定，注意全稱命題和特稱命題的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：,??s譏。與cos。是方程/+；%+?n=0的兩個根，

???sind+cos0=兩邊平方得：(sin。+cosd)2=g,

???1+2sin9cos6=g,^sindcosd=一1.

BPm=sinOcosd=-

故選：D.

由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求解.

本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，是基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：因為a=2,b=/%，B=2A,

由正弦定理可得急—,可得，L=―—,

sinBsinA2sinAcosA

所以。=焉，可得cosA=/=W=票

故選：C.

由已知利用二倍角的正弦公式以及正弦定理即可求解.

本題考查了二倍角的正弦公式以及正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解：因為a=l,b=C，4=45。，

由正弦定理號=與，可得與=w，

解得sinB=?>1，

可得B不存在，即滿足此條件的三角形的個數(shù)是0.

故選：

由已知結(jié)合正弦定理可求sbiB即可得解.

本題主要考查了正弦定理在三角形個數(shù)判斷中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，向量五=(1,1),3=(2,5)，c=(3,x),

則8五一3=(6,3)，

若(83一萬)々=30，則有(8五一萬)々=18+3x=30，

解可得：%=4；

故選：C.

根據(jù)題意，由向量的坐標計算公式可得83-3=(6,3)，進而由數(shù)量積的計算公式可得(8五-尤)-

c=18+3x=30,解可得x的值，即可得答案.

本題考查向量數(shù)量積的坐標計算，關(guān)鍵是掌握向量數(shù)量積的坐標計算公式.

8.【答案】D

【解析】解：設(shè)球的半徑為R,由題意可得4兀/?2=?兀R3,

解得R=3.

故選：D.

設(shè)球的半徑為R,直接由球的表面積與體積相等列式求得R值.

本題考查球的表面積與體積公式，屬基礎(chǔ)題.

9.【答案】AD

【解析】解：由/(x+4)+/?(-x)=2,得函數(shù)f(x)關(guān)于(2,1)中心對稱,

令》=-2得(2)=1,

???f(2x+l)為偶函數(shù)，

???/(I+2%)=/(I-2x),得f(x)關(guān)于％=，軸對稱，

則"一x)=/(2+x)，

即/(x+4)+/(-%)=2等價為/(x+4)+/(2+%)=2,

即fQ+2)+f(x)=2,

得f(%+4)+f[2+x)=f[x+2)+f(x),

得/'(x+4)=/(%),即T=4是函數(shù)y=/(x)的周期；

?."(2)=1,.?./(())=/(2)=1,故A正確，

???7=4是函數(shù)y=f(%)的周期，

??.”2023)=f(3),由已知條件無法求得/(3)=1,故C錯誤.

由。。)=一/(2-x)可知，9(3)=—/(—，)=一/(3)，所以B錯誤.

由g(x)=-/(2-X)可知兩函數(shù)y=f(x)與y=g(x)關(guān)于(L0)中心對稱，所以T=4是函數(shù)y=

g(x)的周期,

則g(2024)=g(0)=--(2)=-1,故。正確.

故答案選：AD.

根據(jù)條件判斷f(x)關(guān)于(2,1)中心對稱，同時判斷/(x)關(guān)于x=1對稱，根據(jù)對稱性求出/(x)的周期

是4,利用函數(shù)對稱性和周期性進行轉(zhuǎn)化求解即可.

本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)條件判斷函數(shù)f(x),g(x)的對稱性和周期性，利用函數(shù)的對稱性

和周期性進行轉(zhuǎn)化求解是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題.

10.【答案】ABD

【解析】解：由題圖知：選取人數(shù)為50+10%=500人，故合唱社團占比為需x100%=40%,

故AB正確，

所以機器人社團占比為1—20%-15%-10%-40%=15%,故該社團人數(shù)為500x15%=75

人，故C錯誤，

所以選取的學(xué)生中參加合唱社團的人數(shù)比參加機器人社團人數(shù)多(40%-15%)x500=125人，

故O正確.

故選：ABD.

根據(jù)題圖數(shù)據(jù)分析選取人數(shù)、合唱社團占比、機器人社團占比及其人數(shù)，并判斷兩社團人數(shù)數(shù)量

關(guān)系，即可得答案.

本題考查頻率分布直方圖以及統(tǒng)計相關(guān)知識，屬于中檔題，

11.【答案】ACD

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于4函數(shù)/'(%)=|sinx|+cos|x|,其定義域為R,有

/(—x)—|sin(—x)|+cos|—x\=|sinx|+cos|x|—

/(%),f(x)為偶函數(shù)，故A正確;

對于B,由cos(—x)=cosx,得cos|x|=cosx,/(x)=|sinx|+cosx,f(x+2n)=|sin(x+2n)\+

cos(x+2?r)=|sinx|+cosx=/(x),

所以函數(shù)/'(x)是以27r為周期的周期函數(shù)，/(%)=|sinx|+cosx=

(sinx+cosx,xG[2kn,2kn:+兀),

(-sinx+cosx,xG[2kn+n,2kn+2TT),'G'

h/~^cos(x—7),x6[2kn,2kn+TT),

即/(x)==fkez,故函數(shù)的圖象如圖:

{V2cos(x+-),%￡\2kn+n,2krt+2兀)，

所以函數(shù)fQ)的最小值為-1,所以2錯誤；

對于C,由函數(shù)的圖象，當g時，/(%)=-sinx+cosx=V_2cos(x+^),函數(shù)/(x)單

調(diào)遞增，所以C正確;

對于。，函數(shù)/'(x)與直線y=3在區(qū)間［0,4兀］有四個交點，

則方程/(x)=；在區(qū)間［0,4兀］有四個根與<刀2<%3<%4，目“/=超/=2兀，所以/+%2+

x3+x4=8n,故。正確?

故選:ACD.

根據(jù)題意，依次分析選項是否正確，綜合可得答案.

本題考查函數(shù)與方程的關(guān)系，涉及分段函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

12.【答案】AC

【解析】解：由題意得/(x)=\lgx\=X<1>作出其圖象如圖:

在(0,1)上，函數(shù)是減函數(shù)；在(1,+8)上，函數(shù)是增函數(shù)，

a<b<c,.?.若c<1,則/(a)>/(/?)>/(c),不合題意，［c>1,C正確；

若a21,則/(a)</(b)</(c),也不合題意，??.()<&<1,A正確；

結(jié)合圖象可知b可大于1,可小于1或等于1,3錯誤；

由/(a)>/(c),可得一lga>Ige,：.lga+Ige<0,：.Igac<0,

故0<ac<1,D錯誤.

故選：AC.

作出函數(shù)/(x)=|lgx|的圖象，根據(jù)題意分類討論，可確定a,b,c的范圍，可判斷4B,C,由

/(a)>/(c),利用對數(shù)的運算可得加ac<0,可判斷D.

本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了函數(shù)的圖象變換，以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬

于中檔題.

13.【答案】257n2

【解析】解：設(shè)矩形的一邊為笛垢則另一邊為^><(20-2%)=(10-％)小，

所以y=%(10-%)<廣+(-—力2=25,

2

當且僅當％=10-即％=5時，ymax=25m.

故答案為:25m2.

設(shè)矩形的一邊為xm,則另一邊為2X(2O—2X)=(1O-X)M,然后利用矩形的面積公式及基本不

等式即可求解.

本題主要考查了利用基本不等式求解最值，屬于基礎(chǔ)試題.

14.【答案】1

【解析】解：cos263°cos2030+sin830sin23°

=cos(180°+83°)cos(180°4-23°)+sin830sin23°

=sin83°sin230+cos830cos23°

=cos60°

1

=2'

故答案為：

利用誘導(dǎo)公式，兩角差的余弦函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值化簡即可得解.

本題主要考查了誘導(dǎo)公式，兩角差的余弦函數(shù)公式，特殊角的三角函數(shù)值在三角函數(shù)化簡求值中

的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案埒

【解析】解：從4,5,6,7這4個數(shù)字中選出3個不同的數(shù)字組成一個三位數(shù)，

有：456,465,457,475,467,476,546,564,547,574,567,576,645,654,647,674,

657,675,745,754,764,746,756,765,

故共有24個不同的三位數(shù)，

這些三位數(shù)中，百位上的數(shù)字是質(zhì)數(shù)、個位上的數(shù)字是合數(shù)的有564,574,546,576,754,764,

746,756,共8個,

故所求的概率為盤=

故答案為：g.

列出所有的基本事件，找出所求事件的基本事件個數(shù)，利用古典概型概率公式求解即可.

本題主要考查了古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】16n4門

93

【解析】解：設(shè)BC=a,△4BC面積為S,由余弦定理得c°sB=《士《=也生這=2，

2ac8a3

所以3a2—16a+48-37n2=0①，由題意△ABC中存在且唯一，所以方程①有唯一解，

所以4=(-16)2-4x3x(48-3m2)=0,解得m=警或一=—殍(舍去)，

代入方程①得a=由cosB=|及。<B<兀得sinB=V1—cos2B=三^，

所以S=:acsinB=x|x4x=16^>

此時三角形的三邊為4悔,殍，滿足三角形成立條件，且巾=警.

故答案為：竽，殍.

根據(jù)余弦定理及三角形唯一存在建立方程求解邊長，利用同角函數(shù)基本關(guān)系求出sinB,代入面積

公式求解即可.

本題考查了余弦定理和三角形的面積公式，屬于中檔題.

17.【答案】解:(I)當a=|時,4={x[4={y\y=x+3,2<x<4}={y|5<x<7],

則AClB={x|5<x<y],4UB={x[4<x<7].

(口)???ZnB=4則4是B的子集，

①當4=0時，2a-1>a+3,解得：a>4；

2,(1—1WQ+3

②當4#。時，2a-1>5,解得3<a<4,

a+3V7

綜上所述,ae(3,4)U(4,+8).

【解析】(I)當a=|時，求得集合4根據(jù)交集、并集的運算求解即可；

(H)AnB=a,貝必是B的子集，根據(jù)集合之間的關(guān)系即可求解.

此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵.

18.【答案】解：(1)因為對任意正實數(shù)x,y,都有f(町)=f(x)+f(y),

所以f(l)=/(l)+f(l)，即〃1)=0，

因為/"(2)=1,

所以/(4)=/⑵+"2)=2.

(2)證明:由/'(盯)=/(%)+((y)得/1(盯)-f(x)=/(y)=〃芝)，

任取*i，x2e(0,+oo),且％>x2,則)>1,

-/(x2)=/'(2?)>o,即/(Xi)>/(x2),

所以函數(shù)f(x)在(0,+8)上是增函數(shù)；

(3)由(1)知，/(4)=2,

因為〃久)一/。-3)>2,

所以/(x)>f(x-3)+”4),即/(x)>/(4(x-3)),

由(2)知，函數(shù)/(x)在(0,+8)上是增函數(shù)；

X>0

所以卜。-3)>0,解得3<x<4,

x>4(%—3)

故不等式/Q)-f(x-3)>2的解集為{x|3<x<4}.

【解析】(1)根據(jù)已知條件及賦值法即可求解：

(2)根據(jù)已知條件及函數(shù)單調(diào)性的定義即可求解；

(3)利用(1)(2)的結(jié)論及函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

本題主要考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)設(shè)公差為d,則b=a+d,c=a+2d,

由(0.01+0.015+0.01+d+0.025+0.01+2d)x10=1,解得d=0.01,

b=0.02,c=0.03,

(2)由(1)可得［60,70),［70,80)的人數(shù)分別為20,30,

利用分層抽樣可得從［60,70)中抽取2人，表示為4B,從［70,80)中抽取3人，分別為C,D,E,

從這5名同學(xué)中隨機抽取2人，共有10種，分別為AB,4C,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,

其中來自[60,70)的有共有7種，分別為AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,

故至少有一名同學(xué)是緊張度值在[60,70)的概率為卷.

【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖的縱坐標和等差數(shù)列的性質(zhì)即可求出b，c的值.

(2)先利用分層抽樣可得從[60,70)中抽取2人，表示為4,B,從[70,80)中抽取3人，分別為C,D,

E,再根據(jù)概率公式即可求出.

本題考查了頻率分布直方圖的性質(zhì)、分層抽樣，及古典概型的計算公式是解題的關(guān)鍵.

20.【答案】解:⑴由題,/(%)=4sinx(^cosx-sinx)+1=V"^sin2x4-cos2x=2sin(2x+凱

令2kir—<2x+^<2kn+與，解得上兀—%<kir+，，

40L3O

故有/"(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[/OTkez.

(2)將f(x)=2sin(2x+*)的圖象向左平移整個單位，

得到g(x)=2szn[2(x+卷)+g=-2cos(2x+1).

???g(x)+居)=-2cos(2x+今+2sin[x+^)=-2[1-2sin2(x+^)]+2sin(x+看).

4t=2sin(x+4，則g(x)+居)=t2+t-2=(t+1)2-

當xe[-亨，芻時,X+看6[-看，爭,t6[—1,2],

故當t=—"時，g(x)+居)