湖南省衡陽市2022-2023學(xué)年高一年級上冊期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

2022年衡陽市高一年級期末質(zhì)量監(jiān)測

數(shù)學(xué)卷

注意事項：

1.本試卷共四道大題，滿分150分.

2.測試時量：120分鐘，請同學(xué)們科學(xué)、合理地安排好答題時間.

3.本卷為試題卷，答案必須答在答題卡的指定位置，答在試題卷上無效.

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一

個選項是符合題目要求的.

L集合4={小。以，＞1},則（）

A.leAB.2w4C.3eAD.4eA

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合A,結(jié)合元素與集合關(guān)系判斷即可.

【詳解】..Tog1tx＞1=10gli兀，；.%＞兀，；.A={x|x＞7i},

可知故A、B、C錯誤；4wA,故D正確.

故選：D.

3

2.函數(shù)/（x）=lnx--的零點所在區(qū)間為（）

A.（1.5,2）B,（2,2.5）C.（2.5,3）D.（3,3.5）

【答案】C

【解析】

【分析】結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與零點存在定理即可得答案.

【詳解】/（X）在定義域（0,+8）上單調(diào)遞增，

/（2.5）=ln|-1＜lne-|=-1＜0,/（3）=ln3-l＞0,

而/（1.5）＜/（2）＜/（2.5）＜0,/（3.5）＞/（3）＞0,

由“2.5）〃3）＜0,根據(jù)零點存在定理，可知零點/42.5,3）,

故選：C.

1

3.相的值為（）

1

A.10B.C.1D.不能確定

10

【答案】A

【解析】

【分析】令，，兩邊取常用對數(shù)，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)即可得解.

a6=t

i1.

【詳解】令c嬴，，兩邊取常用對數(shù)，得;一?lg〃=lg%,解得U10,

a=tIga

故選：A.

4.如圖為函數(shù)/(司的大致圖象，其解析式可能為()

?or

B.小)=則

A.〃x)=

COSTLXX

c.y(x)=^^D-/(^)=—

Xsin

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)圖象的特征及選項中的解析式,利用排除法進行選擇.

<1.6兀<2兀,/.sin1.6K<0,cos1.6K>0

由圖知XHO,排除A；

由圖知/(1.6)<0,進而排除C；

對于D中解析式，顯然x/2,與圖不符,排除D,

所以函數(shù)/(尤)的解析式可能為B.

故選：B.

5.已知。為第三象限角，且tan[5——,則COS[0+5)=()

【答案】c

【解析】

【分析】已知條件式切化弦，結(jié)合誘導(dǎo)公式可得3cos6>=4sin。，又6為第三象限角，sin26?+cos26>=1.

可解得sin8,cos。，化簡所求式子即可得出答案.

即3cos8=4sin8,

又sin2，+cos20=l，。為第三象限角，sin。<0,cos。<0,

sin0——,cos0——,

55

//)兀、.c3

I2j5

故選：C.

6.Jsin3，2,叫l(wèi)n(sin3)的大小關(guān)系為()

A.ln(sin3)>2sin3>V^3B.2sin3>ln(sin3)

C.V^3>2sin3>ln(sin3)D.2sin3>ln(sin3)>

【答案】B

【解析】

【分析】由一<3<兀得0<sin3<l,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及中間值。和1求得結(jié)果.

2

71

【詳解】V—<3<71,0<sin3<1,

2

，0<倔己<1，ln(sin3)<0,*>1，

2sin3>V^3>ln(sin3).

故選：B.

7.若(a—Ip+Qb—I)?=0,則2"+十的最小值為()

A.8B.6C.4D.2

【答案】C

【解析】

【分析】由題可知。+26=2,利用基本不等式即可求解.

【詳解】由題可知：a—1=—（2〃-1）=>“+2Z?=2,

2"+4"=T+22b>2^12a-22b=2^2a+2b=4，當(dāng)且僅當(dāng)a=2Z?=l時等號成立，

故選：C.

8."。〉；”是“函數(shù)/（%）=坨（依-1）在區(qū)間（《,+8）上單調(diào)遞增”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】結(jié)合對數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及充分條件、必要條件的定義，即可得答案.

【詳解】令"=依一1,y=lg〃，

若/（力=坨（依—1）在（。,+8）上單調(diào)遞增，因為y=lg〃是（0,+s）上的增函數(shù)，

則需使“=依一1是（。,+8）上的增函數(shù)且u>0，則。>0且I2。，解得a?l.

因為1g,+co][1,+8）,故a〉g是的必要不充分條件，

故選：B.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分.

9.若a>b>0>c>d,則下列不等式恒成立的是（）

11LL

A.—>—B.^]c>yjdC.a—d>b—cD.aobd

cd

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷A、B、C,利用特殊值判斷D.

【詳解】解：因為d<c<0,所以!<工<0,故A錯誤；

ca

因為d<c<o,所以版〉17,故B正確，

因為d<cv0,所以一">一。>0,又a>b,：.a-d>b-c,故C正確；

對于D：令a=l,b=—,。=一1,d=-2,滿足但是=故D錯誤.

2

故選：BC

10.能正確表示圖中陰影部分的是(

A.Bn(^A)B.AA(^B)C.Q⑷AD.8)

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)集合運算，結(jié)合圖形分析可得.

【詳解】因為陰影部分在B中不在A中，根據(jù)集合的運算分析可知ACD正確.

故選：ACD

11.函數(shù)/(x)=sin(@x+e)(0>0)的部分圖象如圖所示，則下列正確的是()

C.若%+/=等，則/(%)=/(%)

D.若上一司=；,則/&)—/(々)|的最大值要大于孝

【答案】BCD

【解析】

【分析】由圖象確定函數(shù)的周期求得。，再由零點求得。，從而得函數(shù)解析式，然后由結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)、

輔助角公式，判斷各選項.

27r1jr3

【詳解】選項A,T=2,。=——=兀，x=—是/(x)的零點，由圖象得一+。=兀+2也，得6=—兀+2版,

T444

3

keZ(以下只要取。=—兀即可)，A錯；

4

選項B,/I-1=0,則1+彳=2&兀+兀，kfZ,-=-+k2^k=l+4k2f故女為奇數(shù)，B對;

37r37rQar+r2023

選項C,由兀r+工=k2Ji+—,k2GZ,可得%=+—,即/(x)對稱軸為元=+&，122=4

2023

%=-----為其對稱軸，C對；

4

選項D,當(dāng)%=0,時，|/(七)_/(々)卜乎，

137171371

設(shè)g(x)=于(X)-/(%+-)=sing+—)-sing+-+—)

4444

.3兀.3兀.V2.0

=SinTLXCOS-----FCOS7LXS1I1-----FSH17LX=(1------)Sin7LXH------COS7LX，

4422

易知g(x)的最大值是J(1—生+()2=也―0>與，

所以|/(石)—/(%2)|的最大值為亞二75，大于9，D對.

故選：BCD.

12.奇函數(shù)/(x)aeR)滿足/(x)=/(l—x),則下列選項正確的是()

A./(九)的一個周期為2B./(100.4)</(2.6)

C.—g］為偶函數(shù)D.〃2x—4)為奇函數(shù)

【答案】ACD

【解析】

【分析】由/⑴=/(1一%)得/(%)的對稱軸為x=g，結(jié)合/(%)的奇函數(shù)性質(zhì)對選項逐一辨析即可.

【詳解】/(x)=/(l—x),/(%)的對稱軸為x=g,

/(x+2)=/(-x-l)=-/(%+1)=-/(-%)=/(%),.*.7=2,A正確；

T=2,故“100.4）=/（0.4）,/（2.6）=/（0.6）,

/（可關(guān)于x=g時稱，故/（0.4）=/（0.6）,B錯誤；

/[Zx-]]=—=—/[g+Zx]=-,/[zx-]]偶函數(shù)，C正確；

/（2x-4）=/（2x+4）=-/（-2x-4）,〃2x—4）為奇函數(shù)，D正確，

故選：ACD.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.函數(shù)“X）與y=2,互為反函數(shù)，則/（〃2））=.

【答案】0

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互反函數(shù)求解即可.

【詳解】/（X）與y=2'互為反函數(shù)，

.-./（x）=log2%,^/（2）=log22=l,

???/（/（2））=〃1）=1鳴1=。.

故答案為：0

14.命題）：HxeR,依2_.%—“wo的否定為；使命題p成立的一個無的值為.

【答案】①.VxeR,ax2+x-a>0②?1

【解析】

【分析】由特稱命題的否定為全稱命題得第一空的答案；驗證x=l時，命題p成立，即得第二空答案.

【詳解】解：因為命題p：HXGR,依2_%_〃W0，

所以命題p：—'P-VxeR,ax2—x—a>0;

當(dāng)x=1時，ax1—x—a=a—l—a=—lv0成立，

所以命題P成立的一個工的值為1.

故答案為：VxeR,ax2+x—a>0?L

15.2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會，會標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計的，弦圖是由四

個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖），直角三角形中較小的銳角為0,若

sine+cos9=：6,則圖中的大正方形與小正方形的面積之比為

【答案】5

【解析】

【分析】用三角函數(shù)表示直角三角形的兩條直角邊，得小正方形的邊長為cos。-sin。，由

sin8+cos9=|逐解出cos6—sin6,即可求大正方形與小正方形的面積之比.

【詳解】如圖所示,

設(shè)大正方形邊長為1,則￡>G=sin6=CF\CG=cos8,小正方形的邊長為cos6—sin。,

94

由sine+cos8=-6,兩邊同時平方得l+2sin9cose=y,2sin^cos6^=—

5

91

所以(cosS—sin。)=l-2cos^sin<9=-

I2

則圖中的大正方形與小正方形的面積之比為7一-——=5

(cos"-sin")

故答案為：5

二|lnx|[,x>V0。’若函數(shù)°

16.已知函數(shù)/(%)=y"所有零點的乘積為1,則實數(shù)〃的取值范圍為

【答案】(0,1](2,”)

【解析】

【分析】令=則可得/（x）=a,結(jié)合/（尤）的圖象，即可得答案.

a

【詳解】解：令叢立=t,

a

則有==1，

/(%)=a,

如圖，當(dāng)。>2或0<aWl,|lnxj=|lnx21nxi±=L滿足題意.

故答案為：（0,1]（2,+8）

四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知函數(shù)〃x）=x+L

X

（1）若于（a）=]，求。；

（2）用定義法證明：函數(shù)/（九）在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減.

【答案】（1）。=3或。=,

3

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）直接解方程可得；

（2）根據(jù)定取值、作差、定號、下結(jié)論的步驟證明即可.

【小問1詳解】

由,〃,Za）X=《10，ZB1_1§0

故3a2—10。+3=0,解得。=3或”;

【小問2詳解】

證：任取

則了⑴-/伍)=0+2］/Z+工］=5—)。-x㈤

\再JIX?)再尤2

0<Xj<x2<1,/.Xj-x2<0,xxx2-1<0

故/(%)—/(々)>。，即〃%)>/(/)

故/(九)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減

18.己知函數(shù)/(x)=2sin12x—t］.

(1)求函數(shù)/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間；

JTJT

(2)求/(%)在區(qū)間—a，］上的最值.

【答案】⑴］三+伍焉兀+左兀)/￡Z

⑵〃力"="/(」-2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性，利用整體代換法求解即可;

(2)先求出2x-f的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

6

【小問1詳解】

因f(x)=2sin^2x-^,

.71_,_兀3_,

令—F2kli<2x<—7i+2kjifk1r￡Z,

262

兀5

解得—Fkit<x<—7i+kitk￡Z,

36f

所以/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間為1三+也,，兀+也),左€2.

【小問2詳解】

兀兀,2兀71

由工￡-知，￡

44

nrIT)TTyr

所以要求/(x)在區(qū)間一17上的最值，即求y=2sin/在1￡--上的最值,

當(dāng)"-'時,Wn=2sin(qJ=—2,當(dāng)/=g時,y111ax=2sing=G，

所以〃xL=g"(xL=-2.

19.如圖為傳統(tǒng)節(jié)日玩具之一走馬燈，常見于除夕、元宵、中秋等節(jié)日燈內(nèi)點上蠟燭，蠟燭燃燒產(chǎn)生的熱力

造成氣流，令輪軸轉(zhuǎn)動.輪軸上有剪紙，燭光將剪紙的影投射在屏上，圖像便不斷走動，因剪細圖像為古

代武將騎馬的圖畫，在轉(zhuǎn)動時看起來好像幾個人你追我趕一樣,故名走馬燈,現(xiàn)打算做一個體積為96000cm3

的如圖長方體狀的走馬燈(題中不考慮木料的厚薄粗細).

(1)若底面大矩形的周長為160cm,當(dāng)?shù)酌孢呴L為多少時，底面面積最大？

(2)若燈籠高為40cm,現(xiàn)只考慮燈籠的主要框架，當(dāng)?shù)酌孢呴L為多少時，框架用料最少？

【答案】(1)當(dāng)長、寬皆為20cm時，底面矩形面積最大

(2)當(dāng)長為60cm、寬為40cm時，用料最少

【解析】

【分析】(1)設(shè)大矩形的長為x,寬為y,則有x+y=80,借助基本不等式計算面積的最大值;

⑵易得底面面積5=孫=2400,借助基本不等式計算底面周長最小值.

【小問1詳解】

設(shè)大矩形的長為無，寬為y

X

y

(x+y)2

依題有：2(x+y)=160,即x+y=80,貝|15=孫★~^-=1600

4

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=40時，底面矩形面積最大

【小問2詳解】

依題有5=孫=也也=2400,

4

框架用料最少等價于底面用料為2x+3y最小即可,

2x+3yN216xy=240,當(dāng)2x=3y,即y=40,x=60取等

故當(dāng)長為60cm、寬為40cm時，用料最少

20.已知函數(shù)/(x)=cos[ix-zj+l.

(1)求函數(shù)y=J/(2x+l)—g的定義域；

44

【答案】（1）4A：--,4A：+—（左eZ）；

（2）36

【解析】

【分析】（1）由題意可得/'（2x+l）-；三0,結(jié)合余弦函數(shù)的圖象求解即可;

（2）由題意可得/（尤）+/（-2-%）=2,將所求式子重新結(jié)合，即可得答案.

【小問1詳解】

解：由題知：/（2x+l）-1^0,

1

/(2x+l)=cos—x+l>

22

.兀1

cos—x2—,

22

所以———+2kn<—x<—Ti+2kii.kGZ,

323

44

--+4Z:<x<—+4^(Z:eZ),

44

其定義域為^k--,4k+—(左6Z).

【小問2詳解】

解：因為/(x)=cos[ax-j+1，

所以

y(-2-X)=cos[-^(-2_X)—：]+1=cos(-￡X_彳)+1=cos[-7l_(弓X_^)]+1=-COS(:X―:)+1,

所以/(%)+/(-2-％)=2,

Pi373335313_1_2

又因為-----1--=---1--=

222222

所以/2,

所以/

2L〃z,〃為函數(shù)/(%)=%2-2%1。8“/?+1089的兩個零點，￡.0<n<l<m.

⑴若m=2,求不等式〃“<0的解集；

(2)比較a,6,1的大小關(guān)系.

【答案】(1)(72-1,2)

(2)b>a>1^0<b<a<l

【解析】

【分析】⑴由韋達定理聯(lián)立消去log06得(m+n)-mn=2,從而求得”的值，得到/(x)<0的解集;

(2)解法一：根據(jù)零點的分布列出滿足的不等式組求解即可；

解法二：根據(jù)不等式m+〃〉2j嬴及韋達定理得log〃6〉l，求解即可.

【小問1詳解】

,,,IgbIga,

由換底公式得log。b-loga=----——=1,

6IgaIgb

m+n=2\ogb.、

依題意得《,兩式相乘得(機+〃)?"加=2

mn=log；,a

代入m=2,得n2+2〃—1=0

由0<〃<l，得n=6-l，而/(%)<0

故不等式解集為(&T2)

【小問2詳解】

y(o)=iog^>o

解法一：因0<n<l<m,故，/⑴=l-log〃<0,

log”b>0

化簡得log“b>l,

a>\0<a<l

故<或<

b>a\Q<b<a

即b