新教材人教A版高中數(shù)學(xué) 選擇性必修第一冊(cè) ?？碱}型練習(xí) 06 圓

專題6圓

目錄

一、熱點(diǎn)題型歸納

【題型一】求圓1：圓心在直線上求方程...........................................................1

【題型二】求圓2：外接圓.......................................................................3

【題型三】求圓3：內(nèi)切圓.......................................................................5

【題型四】點(diǎn)與圓的關(guān)系.......................................................................7

【題型五】弦長(zhǎng)與弦心距........................................................................8

【題型六】到直線距離為定值的圓上點(diǎn)個(gè)數(shù)......................................................10

【題型七】弦長(zhǎng)與弦心距：弦心角...............................................................11

【題型八】圓過(guò)定點(diǎn)............................................................................12

【題型九】?jī)蓤A位置關(guān)系........................................................................14

【題型十】?jī)蓤A公共弦.........................................................................16

培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練.....................................................................17

培優(yōu)第二階——能力提升練.....................................................................20

培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練.....................................................................23

熱點(diǎn)題型歸納

【題型一】求圓1：圓心在直線上求方程

【典例分析】

(2022?全國(guó)?高二)已知圓M的圓心在直線x+y-4=0上，且點(diǎn)A(1,0),3(0,1)在M上，則M的方程為()

A.(x-2)2+(y-2)2=13B.(x-l)2+(y-l)2=1

C.U-2)2+(y-2)2=5D.(x+l)2+(j+l)2=5

【答案】C

【分析】由題設(shè)寫(xiě)出AB的中垂線，求其與χ+y-4=0的交點(diǎn)即得圓心坐標(biāo)，再應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式求半徑,

即可得圓的方程.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)A。。，8(0,1)在M上，所以圓心在AB的中垂線x-y=O上.

由Ix-y=o,解得∣y=2'即圓心為(2,2)，則半徑r=J(2-l)2+(2-0)2=√5,

所以M的方程為(x-2)2+(y-2)2=5.

故選：C

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.圓的一般方程d+V+m+或+尸=0(4+序一4/>0)表示的圓的圓心為(-?,-弓)，半徑長(zhǎng)為

D2+E2-AF.

2

2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(X—6J)2÷(JJ-?)2=r(r>0),其中(4,6)為圓心,二為半徑

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?安徽省亳州市第一中學(xué)高二階段練習(xí))已知圓C過(guò)點(diǎn)47,-2),8(4,1),且圓心在X軸上，則圓C的

方程是()

A.U-5)2+/=8B.(X-6)2+∕=5C.(x-5)2+y2=4D.(x-4)2+γ2=13

【答案】B

【分析】根據(jù)圓心在X軸匕設(shè)出圓C的方程，把點(diǎn)47,-2),8(4,1)的坐標(biāo)代入圓的方程即可求出答案.

【詳解】因?yàn)閳AC的圓心在X軸上，所以設(shè)圓C的方程為(x-α)2+y2=/,

(7-a)2+4=r2

因?yàn)辄c(diǎn)A(7,-2),8(4,D在圓C匕所以'',解得"=6,∕=5,

(4-a)-+l=r2

所以圓C的方程是(X-6)2+V=5.

故選：B.

2.(2021.山西?太原市第六十六中學(xué)校高二期中)過(guò)點(diǎn)M(2,-l),且經(jīng)過(guò)圓f+y2-4x-4y+4=0與圓

/+V-4=0的交點(diǎn)的圓的方程為()

A.X1+y2+x+γ-6=0B.x2+y2+x-y-S=O

C.X2÷y2-x+y-2=0D.x2+y2-x-y-4=0

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，設(shè)所求圓的方程為χ2+y2-4x-4y+4+%(χ2+y2-4)=0,再待定系數(shù)求解即可.

【詳解】解：由圓系方程的性質(zhì)可設(shè)所求圓的方程為/+y2-4x-4y+4+%(χ2+y2-4)=0,

因?yàn)樗髨A過(guò)點(diǎn)M(2,T),

所以22+(-l)—4×2-4×(-l)+4+λ^2^+(-l)—=0,解得：2=—5

所以所求圓的方程為：x2+y2+x+y-6=0

故選：A

【題型二】求圓2：外接圓

【典例分析】

(2022?福建漳州?高二期末)在平面幾何中，將完全覆蓋某平面圖形且直徑最小的圓，稱為該平面圖形的最

小覆蓋圓.如線段的最小覆蓋圓就是以該線段為直徑的圓，銳角三角形的最小覆蓋圓就是該三角形的外接圓.

若A(-2,0),B(2,0),C(0,4),則ABC的最小覆蓋圓的半徑為()

35

A.-B.2C.-D.3

22

【答案】C

【分析】根據(jù)新定義只需求銳角三角形外接圓的方程即可得解.【詳解】?4-2,0),8(2,0),C(0,4),

.?.AABC為銳角三角形，.?.ZXABC的外接圓就是它的最小覆蓋圓,

4-2D+F=0Q=O

設(shè)外接圓方程為丁+丁與,+尸則彳。+

L48C+6+=o,4+2F=0,解得E=-3

16+4E+F=0F=-Ar

??.△ABC的最小覆蓋圓方程為/+y2-3y-4=0,BP%2+(>-∣)2=y

??.ZXABC的最小覆蓋圓的半徑為∣?.故選：C

【提分秘籍】

基本規(guī)律

求外接圓：

1.利用一般方程，把三個(gè)點(diǎn)代入求解

2.外接圓是三邊中垂線的交點(diǎn)，可以分別求出兩邊的中垂線方程，接觸交點(diǎn)坐標(biāo)即為圓心。

【變式訓(xùn)練】

1.(202)全國(guó)?高二專題練習(xí))已知ZkABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,3),8(-2,2),CQ,-7),則該三

角形外接圓的圓心及半徑分別為()

A.(2,-2),√5B.(1,-2),√5

C.(1,-2),5D.(2,-2),5

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，設(shè)三角形外接圓的圓心為其坐標(biāo)為(小b),半徑為r,由IAMl=IMeI和∣ΛM∣=∣何8|,

求出〃、〃的值，可得圓心坐標(biāo)，進(jìn)而可得，?的值，即可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)三角形外接圓的圓心為M,其坐標(biāo)為(a,b),半徑為r,

△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(1,3),8(-2,2),C(1,-7),

IMAl=IMq,必有6=-2,

IMAI=IM陰,則有(a-1)2+25=(a+2)2+16,解可得a=l,

則r=∣ΛM∣=5;

即圓心為C1>-2),半徑r=5；

故選：C.

2.(2021?全國(guó)?高二專題練習(xí))已知曲線y=∕+x-2020與X軸交于M,N兩點(diǎn)，與)，軸交于P點(diǎn)，則AMVP

外接圓的方程為()

A.x2+√+x-2019y-2020=0B.√+√+x-2021y-2020=0

C.x2+r+x+2019y-2020=0D.x2+y2+x+2021y-2020=0

【答案】C

【分析】設(shè)RkWP外接圓的方程為/+/+瓜+Ey+F=0,分別令X=O,)，=。，結(jié)合韋達(dá)定理求得RE/,代

入即可求得圓的方程.

【詳解】設(shè)4MNP外接圓的方程為/+V+Dx+Ey+F=。，點(diǎn)。是AMNP的外接圓與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)，

分別令X=O,y=0,則y2+fy+尸=0,χ2+Dx+F=Q.

設(shè)M(Λl,0),N(Λ2,0),P(0,χ),Q(0,y2),則占%=/%，又曲線y=d+x-2020與X軸交于Λ7,N兩點(diǎn)，

貝∣Jx∕2=-2020,%+七=T,X=-2020,D=I,F=—2020,所以%=1,E=-(y+%)=-(-2020+l)=2019,

故z?MMJ夕卜接圓的方程χ2+y2+χ+2019y-2020=0.

故選：C.

3.(2022.江蘇?高二單元測(cè)試)已知圓C:(x—l)2+(y-l)2=4,P為直線/：2x+y+2=0上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作

圓C的切線期,切點(diǎn)為A,當(dāng)APAC的面積最小時(shí)，△弘C的外接圓的方程為()

「，(1丫5nf1Y25

I2)4k2J-4

【答案】C

【分析】先確定ARAC的面積最小時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)，再由ARAC是直角三角形求出外接圓的圓心和半徑，即可

求出外接圓方程.

【詳解】

由題可知，PAlAC,半徑AC=2,圓心C(U),所以S/C=jPAH4C∣=∣PA∣=J|PC『TAC『=JIPC『-4,

要使4P4C的面積最小，即PC最小，PC的最小值為點(diǎn)C(LI)到直線/:2x+y+2=。的距離母上I=右,

√22+l2

即當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到PC_U時(shí)，SJAC最小，直線/的斜率為-2,此時(shí)直線PC的方程為y-l=；(x-1),由

y—1=—(x—1)(χ=-↑(1?

Γ2'，，解得n,所以P(TO),因?yàn)锳RAC是直角三角形,所以斜邊PC的中點(diǎn)坐標(biāo)為0,彳，

∣2x+y+2=0〔尸。I2J

而IPq=J(I+iy+(l-0)2=石,所以APAC的外接圓圓心為(Og),半徑為岑，所以的外接圓的

方程為一+(,一;5

4

故選：C.

【題型三】求圓3：內(nèi)切圓

【典例分析】

(2022?全國(guó)?高二單元測(cè)試)已知三角形三邊所在直線的方程分別為N=O、x-y+2=0和x+y-4=0,求

這個(gè)三角形的內(nèi)切圓圓心和半徑.

【答案】圓心(1,3α-3)；半徑為3√Σ-3?

【分析】由三角形所在位置設(shè)出其內(nèi)切圓圓心坐標(biāo)，利用三角形內(nèi)切圓性質(zhì)列方程，求解作答.

【詳解】依題意，由P'=°CC得直線y=o與χ-y+2=0的交點(diǎn)B(-2,0),

[x-y+2=0

[y=0

由廠ZI八得直線y=。與χ+y-4=o的交點(diǎn)c(4,o),

[x+y-4=0

fx-y+2=0

由八得直線%-丁+2=()與%+丁-4=0的交點(diǎn)41,3),

[x+y-4Z=i0

顯然AC_LAB,且IACHABl=3近，即,ABC是等腰直角三角形，則直線X=I平分Zfi4C,

設(shè)；ASC的內(nèi)切圓圓心為M(Lb),0<h<3>則人―一-=■一j?一->解得b=3>∕∑-3，

即M(1,3夜-3),Wr=?=3√2-3.

所以這個(gè)三角形的內(nèi)切圓圓心和半徑分別為圓心(1,3α-3),3√2-3?

【提分秘籍】

基本規(guī)律

求內(nèi)切圓：

1.內(nèi)切圓是角平分線的交點(diǎn)，可以求出三角形兩條角平分線，解出交點(diǎn)即為圓心

2.待定系數(shù)法，到三邊距離相等的點(diǎn)即為內(nèi)心

【變式訓(xùn)練】

1.(2022.全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))若直線3x+4y+12=0與兩坐標(biāo)軸分別交于A,B兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則AAOB

的內(nèi)切圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

【答案】(x+l>+(y+l)2=l

【分析】結(jié)合三角形面積計(jì)算公式，建立等式，計(jì)算半徑r,得到圓方程，即可.

【詳解】設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r,結(jié)合面積公式1?OA?r+:?OB?r+:?AB"=1?3?4

2222

則r=l因而圓心坐標(biāo)為(TT),圓的方程為(x+iy+(y+l)2=l

2.(2022?重慶南開(kāi)中學(xué)高二階段練習(xí))平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)人-瘋3)、B(-√3-3),c(2√3,θ),動(dòng)點(diǎn)尸

在LABC的內(nèi)切圓上，則;IPClTPAl的最小值為.

【答案】繇幣

22

【分析】求出?.ΛBC的內(nèi)切圓方程，設(shè)點(diǎn)尸(x,y),計(jì)算得出儼q=2∣PE∣,其中點(diǎn)E卜g,θ],數(shù)形結(jié)合可求

\>

得JPCITPAl的最小值.

【詳解】由兩點(diǎn)間的距離公式可知IASl=忸CI=IAa=6,則AABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，

設(shè)：ABC的內(nèi)切圓的半徑為，則SΔABC=乎x62=grxl8,解得r=√5,

因?yàn)辄c(diǎn)A、8關(guān)于X軸對(duì)稱，所以，ASC的內(nèi)切圓圓心在X軸上，

易知Fi線AB的方程為X=-g,原點(diǎn)。到自:線AB的距離為G,

所以，.ABC的內(nèi)切圓為圓O：Y+y2=3,設(shè)點(diǎn)P(X,)，),

222

IPcI二小卜一2廚+y2=λ∕x+√-4√3x+12=y∣4x-4^3x+3+4y

=JQX-⑹+4/=2.一等+/=2∣PE∣,其中點(diǎn)E[*,O],

所以，TPaTpAITPEI-IPAIN-∣4E∣=-卜廝用=32=-乎，

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為射線AE與圓。的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，故g|P。TPAl的最小值為-哼.

故答案為：-逆.

2

3.(2016?重慶,一模(理))已知直線∕∣:x+2y=a+2和直線4:2X-y=2α-l分別與圓(x-a)-+(y-l)?=16相

交于A8和C,力，則四邊形ACBD的內(nèi)切圓的面積為.

【答案】8π

【分析】由兩直線方程，得出兩直線垂直且交于點(diǎn)(α,l),結(jié)合圓的幾何性質(zhì)判斷出四邊形ACBD是邊長(zhǎng)為

4立的正方形，其內(nèi)切圓半徑為2夜，由此可求得答案.

【詳解】聯(lián)立【：+2"：+2解得匕：，

[2x-y=2a-?Iy=I

即直線4：》+2丫=。+2和直線4：2A。=24-1互相垂直且交于點(diǎn)31),

而(a,l)恰好是圓(X-0)-+(?-l)2=16的圓心，

則AACD為圓的兩條互相垂直的直徑，且ΛB=CO=8,

所以，四邊形AC5。是邊長(zhǎng)為4夜的正方形，

因此其內(nèi)切圓半徑是2√2,面積是πX(2近尸=8兀,

故答案為：8九

【題型四】點(diǎn)與圓的關(guān)系

【典例分析】

(2021?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))如果直線20r-by+14=0(4>0,方>0)和函數(shù)/(X)=機(jī)'+∣+l(m>0,機(jī)Wl)的圖象

恒過(guò)同一個(gè)定點(diǎn)，且該定點(diǎn)始終落在圓(x-α+l)2+(y+人-2)2=25的內(nèi)部或圓上，那么2的取值范圍是()

3434

4,34,3

34

4,3

【答案】C

【分析】由已知可得α+4=7,(α>0,b>0).再由由點(diǎn)(一1,2)在圓(x-α+lp+(y+6-2)?=25內(nèi)部或圓上可

^a2+b2≤25(Λ>0,?>0).由此可解得點(diǎn)(ɑ,b)在以A(3,4)和3(4,3)為端點(diǎn)的線段上運(yùn)動(dòng).由￡表示以

A(3,4)和8(4,3)為端點(diǎn)的線段上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率可得選項(xiàng).

【詳解】函數(shù)〃力=+1恒過(guò)定點(diǎn)(-1,2).將點(diǎn)(T2)代入直線26—勿+14=0可得-24-2b+14=0,

BP^+Z?=7,(6Z>0,Z?>0).

由點(diǎn)(-1,2)在圓(X-ɑ+l)2+(y+。-2)2=25內(nèi)部或圓上可得(T一ɑ+l)2+(2+8—2)2≤25,

/、[a+b=7[a=3[a=4/八

即/+b2≤25(α>0,6>0)./+/=25?b=4或6=3.所以點(diǎn)(4力)在以A(z二中x和儀z4,3x)為端點(diǎn)的

線段上運(yùn)動(dòng).

2表示以A(3,4)和5(4,3)為端點(diǎn)的線段上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率.所以=沿=',

故選：C.

杖

,40,4)

.W)

【提分秘籍】

基本規(guī)律

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(X—Qp+Cy—〃)2=戶，一般方程/+y2+Q%+Ey+F=0,點(diǎn)M(Xo，yo)，則有:

(1)點(diǎn)在圓上：(沏一”)2+(y°-力2=戶,xo2+yo2+A)xo+^Jo+F=O;

(2)點(diǎn)在圓外：CrQ—a)?+(即一〃)2>戶,X(2+泗2+Dm+￡y0+F>0；

(3)點(diǎn)在圓內(nèi)：(期一4)2+(Vo—b)2<戶,xo1+yo1+Dxo+Eyo+F<O.

【變式訓(xùn)練】

1.(2022.安徽.合肥市第八中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試)若點(diǎn)R(T2)在圓c：χ2+),2-2x-2y+α=°的外部，則實(shí)

數(shù)。的取值范圍為()

?.a<—3B.ci≥—3C.—3VaV2D?—2VaV3

【答案】C

【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系建立不等式求解，并注意方程表示圓所滿足的條件.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)R(T,2)在圓C：χ2+∕-2χ-2y+α=o的外部，

所以l+4+2-4+α>0,

解得4>—3,

又方程f+∕-2x-2y+α=0表示圓，

所以(—2)2+(―2)2—4?>O,

解得α<2,

故實(shí)數(shù)。的取值范圍為-3<α<2.

故選：C

2.(2020.河北.高二期中)直線"+S-與圓V+9=1有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么點(diǎn)(α,b)與圓Y+y?=1的位置關(guān)系是

()

A.點(diǎn)在圓外B.點(diǎn)在圓內(nèi)C.點(diǎn)在圓上D.不能確定

【答案】A

【解析】直線如力0與圓/+丁=1有兩個(gè)公共點(diǎn)，可得/JL</,即為GTF>1，由此可得點(diǎn)引現(xiàn)

?∣a+b

的位置關(guān)系.

【詳解】因?yàn)橹本€與圓/+/=］有兩個(gè)公共點(diǎn)，

所以有-/":</，即JT萬(wàn)>1，因?yàn)辄c(diǎn)S,a)與/+V=1的圓心的距離為爐石，

√α+b

圓/+y2=4的半徑為1,所以點(diǎn)P在圓外.故選：A.

3.(2021?遼寧?沈陽(yáng)市第一中學(xué)高二階段練習(xí))己知三點(diǎn)A(3,2),B(5,-3),C(-l,3),以2(2,-1)為圓心作一

個(gè)圓，使得A,B,C三點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，一個(gè)點(diǎn)在圓上，一個(gè)點(diǎn)在圓外，則這個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

【答案】(x-2)2+(γ+l)2=13

【分析】計(jì)算PAPB,PC,根據(jù)大小確定半徑，即可求出圓的方程.

【詳解】PA=√iθ,PB=瓜PC=St

.?.PA<PB<PC,

故所求圓以尸B為半徑，方程為(x-2)2+(y+l)2=13.

故答案為:(x-2)2+(y+l)2=13

【題型五】弦長(zhǎng)與弦心距

【典例分析】

(202卜江蘇?濱?？h八灘中學(xué)高二期中)已知圓C：(x-3p+(y-2)2=I6,直線/：P=x+t與圓C交于A,

B兩點(diǎn)，且ABC的面積為8,則直線/的方程為()

A.y=x-3^y=x-5B.y=%+3或y=x+5

C.y=x+3或y=x-5D.y=x-3或y=x+5

【答案】C

【分析】由三角形面積定理求出等腰三角形頂角，進(jìn)而求出其高，再用點(diǎn)到直線距離得解.

【詳解】由圓C的方程可得圓心C的坐標(biāo)為（3,2）,半徑為4.：ABC的面積為gχ4χ4sin∕ACB=8,

ΛZACB=90o,.?.CBJ?C4,...點(diǎn)C到直線AB的距離為2夜.

M

由點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)C到直線AB的距離為?=2√2,

.?.f=3或f=-5,，/的方程為y=X+3或y=x-5.

故選：C.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

弦長(zhǎng)問(wèn)題：用勾股，即圓的半徑為r,弦心距為“，弦長(zhǎng)為/,則根據(jù)勾股得（§2=/一42

【變式訓(xùn)練】

1.（2021?江蘇?高二期中）己知的OMN三個(gè)頂點(diǎn)為。（0,0）,M（6,0）,N（8,4）,過(guò)點(diǎn)（3,5）作其外接圓的

弦，若最長(zhǎng)弦與最短弦分別為AC,BD,則四邊形ABS的面積為（）

A.10√6B.20√6C.30√6D.40√6

【答案】B

【分析】由已知。，M,N三點(diǎn)的坐標(biāo)可得aOMN外接圓的方程，根據(jù)題意可知，過(guò)（3,5）的最長(zhǎng)弦為

直徑，最短弦為過(guò)（3,5）且垂直于該直徑的弦，利用對(duì)角線垂直的四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半

即可求得面積.

【詳解】設(shè)OMN的外接圓的方程為（x-α）2+（y-h）

由0（O,O）,M（6,O）,N（8,4）,得

a2+b2=r2卜=3

1（6-?）2+b2=r2,解得,8=4.

（8-α）2+（4-?）2=r2［「=5

.?.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（χ-3）2+（y-4）2=52,

點(diǎn)（3,5）在圓內(nèi)部，

由題意得最長(zhǎng)的弦IACl=2x5=10,

點(diǎn)（3,5）到圓心（3,4）的距離為1.

根據(jù)勾股定理得最短的弦IBz）I=2√F≡I=4√6，且AClBD,

四邊形A8C。的面積S=y∣4q?∣BD∣=y×10×4√6=20√6.

故選：B.

2.（2022?四川成都.高二開(kāi)學(xué)考試（文））直線/與圓（x-2）?+y2=4相交于4B兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)IABI=2行且

在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線/共有（）.

A.1條B.2條C.3條D.4條

［答案］D

【?析】先利用題意得到圓心到直線/的距離，然后分直線過(guò)原點(diǎn)和不過(guò)原點(diǎn)進(jìn)行假設(shè)直線方程，結(jié)合弦長(zhǎng)

即可得到答案；

【詳解】解：由（“一2）2+/=4可得圓心為（2,0）,半徑為2,

所以圓心到直線/的距離為d=J22-（^）2=1，

當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線/的方程為±+2=1即χ+y-α=o,

aa

所以圓心到直線/的距離為“=上M=1,解得a=2±&，

√12+12

止匕時(shí)直線/為x+y-2+?∕2=O或x+y-2->∕Σ=O；

當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線/的方程為y=依即履-y=0,

∣2?∣/7

所以圓心到直線/的距離為d=J/、2=1,解得k=±里，

收+(T)3

此時(shí)直線/為尸旦或y=-冬；

綜上所述，直線/共有4條，

故選：D.

3.(2022?江西南昌?模擬預(yù)測(cè)(文))若直線x=2√Σy-3√Σ與圓Y+y2=4相交于A,8兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

則OAAB=()

A.2&B.4C.-2√2D.—4

【答案】D

【分析】先求出圓心到直線的距離，再利用弦心距，半徑和弦的關(guān)系可求出IABI,然后利用向量的數(shù)量積

的定義及幾何意義可求得結(jié)果.

(詳解】由題意得圓犬+V=4的圓心0(0,0)到直線X=2√Σy-3√Σ的距離為

d=/P閩=近,所以網(wǎng)=J4-(√Σ)2=血,所以∣Aδ∣=2上，

√12+(2√2)22

所以04AB=畫(huà)網(wǎng)cos(乃-NOAB)=T網(wǎng)AqCOSNQA3=_^|=_4，故選：D

【題型六】到直線距離為定值的圓上點(diǎn)個(gè)數(shù)

【典例分析】

(2021?天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)高二期中)已知圓。:(*-1)2+。-2)2=9上存在四個(gè)點(diǎn)到直線

/:x-y+》=O的距離等于2,則實(shí)數(shù)b范圍是()

A.(-∞,l-5√2)u(l+5√2,+∞)B.(l-5√2,l+5√2)

C.(-∞,1—λ∕2)u^l+??∕2,+∞jD.ɑ-Λ∕2,l+??∕2j

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可知，圓心到直線的距離小于1,即求.

【詳解】由C:(x-iy+(y-2)2=9知圓心C(l,2),半徑為3,

若圓C:(X-I)2+(y-2)2=9上存在四個(gè)點(diǎn)到直線/：x-y+b=O的距離等于2,

則點(diǎn)C到直線/：X-y+b=0的距離d<1,???'1?l-√2<?<l+√2??≡:D.

【變式訓(xùn)練】

1.(2020?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))已知圓(X-2)2+(y+l)2=12上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線，/+y=0距離等于百,

則直線/的斜率為()

A.2+-76B.-2+yf6C.?∣6±2D.—?/e±2

【答案】A

【分析】由于圓(x-2y+(y+l)2=12上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線/：丘+y=0距離等于石，而圓的半徑為26，所

以只要圓心到宜線/的距離等于半徑的一半即可，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式列方程可求出宜線的斜率.

12?-11-

【詳解】解：由題意，圓心到直線/的距離等于半徑的一半，所以i7hi=Jr3,解得么=2±#，

故選：A.

2.(2016?湖北黃石?高二階段練習(xí))能夠使得圓V+y2-2x+4y+l=0上恰好有兩個(gè)點(diǎn)到直線2x+y+c=0的距

離等于1的一個(gè)C值為

A.2B.MC.3D.3石

【答案】C

【分析】根據(jù)當(dāng)M到直線/：2x+y+c=0的距離d∈(1,3)時(shí)，OM上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線/的距離等于1求

解.

【詳解】解：圓的方程可化為：(x-iy+(y+2)2=4,

所以圓心M(1,-2),半徑尸2,

由題意知：當(dāng)M到直線/：2x+.y+c=0的距離"∈(1,3)時(shí)，G)M上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線/的距離等于1,

d=夢(mèng)(1.3),得ce(-3鳳石)5石,3屈，而后<3<3石，所以滿足題意的C可以是3故選：C

3.(2021?山東?日照青山學(xué)校高二期末)定義：如果在一圓上恰有四個(gè)點(diǎn)到一直線的距離等于1,那么這條直

線叫做這個(gè)圓的“相關(guān)直線''.則下列直線是圓C:(x+1)2+()-2)2=4的“相關(guān)直線”的為()

A.y=lB.3x-4y÷12=0

C.2x+y=0D.12x-5γ-17=0

【答案】BC

【分析】分析可知，圓心C至廠相關(guān)直線”的距離"滿足d<l,然后汁算出圓心到每個(gè)選項(xiàng)中直線的距離，

即可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】由題意可知，圓C的圓心為c(-1,2),半徑為r=2.

【題型七】弦長(zhǎng)與弦心距：弦心角

【典例分析】

(2022?江蘇?高二課時(shí)練習(xí))若直線y=kx+l與圓/+V=I相交于A,B兩點(diǎn)，且NAOB=60(其中。為原

點(diǎn))，則％的值為()

A.或BB.—C.-五或近D.√2

333

【答案】A

【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.

【詳解】由NAoB=60可知，圓心(0,0)到直線y=kx+l的距離為也，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得

2

y

【變式訓(xùn)練】

3

L（2023?全國(guó)?高二專題練習(xí)）已知直線/：x+my+l=0與圓O：x2+y2相交于不同的兩點(diǎn)A,B,若NAOB

4

為銳角，則，〃的取值范圍為（）

好G

3~,~3~

【答案】A

【分析】以NAoB為直角時(shí)為臨界，此時(shí)圓心。到直線/的距離I=，」方=工，根據(jù)題意可得

-?＜rf＜-,代入求解.

2√22

【詳解】因?yàn)橹本€/：x+沖+1=0經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（TO）,圓。：f+y2='的半徑為冬

當(dāng)/AOB為直角時(shí)，此時(shí)圓心。到直線/的距離d=J.=￡*，解得碗=巫，

＜叵

則當(dāng)/408為銳角時(shí),

又直線與圓相交于48兩點(diǎn)，則d="^＜坐，即加|＞立,

所以一皿＜機(jī)＜_立或￡機(jī)＜巫，故選：A.

3

【題型八】圓過(guò)定點(diǎn)

【典例分析】

（2022?江蘇?高二課時(shí)練習(xí)）點(diǎn)P（X,y）是直線2x+y-5=0上任意一點(diǎn)，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，則以。P為直徑的

圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（）

A.（0,0）和（1,1）B.（0,0）和（2,2）C.（0,0）和（1,2）D.（0,0）和（2,1）

【答案】D

【分析】設(shè)點(diǎn)P（t,5-2f）,求出以O(shè)P為直徑的圓的方程，并將圓的方程變形，可求得定點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】設(shè)點(diǎn)P（f,5—2f）,則線段OP的中點(diǎn)為Mjm,

r2+(5-2r)2√5∕2-20r+25

圓M的半徑為IOM=

4―2

所以，以O(shè)P為直徑為圓的方程為卜—￡|一+1一手［=衛(wèi)YT

即x2+y2-α+(2f-5)y=0,gp(x2+√-5γ)+r(2γ-x)≈0,

2y-x=0X=Ox=2

解得或

X2+y2-5y=0fy=0J=I

因此，以O(shè)P為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)、(2,1).

故選：D.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

f(x,y)=O

類比含參直線過(guò)定點(diǎn)。形如f(x,y)+λg(x,y)=0則圓恒過(guò)jg(χ,y)=°交點(diǎn)

【變式訓(xùn)練】

1.

(2022?河北滄州?高二期末)已知點(diǎn)A為直線2x+y-10=0上任意一點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn).則以為直徑的

圓除過(guò)定點(diǎn)(0,0)外還過(guò)定點(diǎn)()

A.(10,0)B.(0,10)C.(2,4)D.(4,2)

【答案】D

【分析】設(shè)。8垂直于直線2x+y-10=0,可知圓恒過(guò)垂足人兩條直線方程聯(lián)立可求得E點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】設(shè)垂直于直線2x+y-10=0,垂足為8,則直線OB方程為：y=∣x,

由圓的性質(zhì)可知：以O(shè)A為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)8,

'2x+)To=O除=4

由I='、得：［y=2,二以。4為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)(42)?

2

故選：D.

2.(2022?寧夏?銀川一中高二期末)如果直線2如一切+14=0(a>0,b>0)和函數(shù)AX)=/√M+l(zw>0,mwl)的

圖象恒過(guò)同一個(gè)定點(diǎn)，且該定點(diǎn)始終落在圓(》-。+1)2+(乃匕-2)2=25的內(nèi)部或圓上，那么2的取值范圍是

a

()

【答案】C

【分析】由已知可得〃+力=7,(α>0∕>0).再由由點(diǎn)(-1,2)在圓(x-α+l)2+(y+匕-2尸=25內(nèi)部或圓上可

^a2+b2≤25(Λ>0,?>0).由此可解得點(diǎn)(ɑ,b)在以A(3,4)和8(4,3)為端點(diǎn)的線段上運(yùn)動(dòng).由￡表示以

A(3,4)和8(4,3)為端點(diǎn)的線段上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率可得選項(xiàng).

【詳解】函數(shù)./■(X)="+'+1恒過(guò)定點(diǎn)(—1,2).將點(diǎn)(―1,2)代入直線20x-勿+14=OUJ得—2a—2b+14=O,

B∣Jα+∕j=7,(α>0,∕j>0).

由點(diǎn)(-1,2)在圓(X-〃+1)2+(>/>-2)2=25內(nèi)部或圓上可得(一1一“+1)2+(2+&-2)—25,

a+。=7/α=3?Ci-4

{4+3=25=614或人工，所以點(diǎn)(0⑼在以AR4)和3(4,3)為端點(diǎn)的

線段上運(yùn)動(dòng).

，表示以A(3,4)和3(4,3)為端點(diǎn)的線段上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率.所以(：)=言=:

↑y，

/妗,4)

4-04304石(43)

(?所以W故迄c?

-Z

3.(2022?全國(guó)?高二)若動(dòng)圓C過(guò)定點(diǎn)A(4,0),且在y軸上截得的弦MN的長(zhǎng)為8,則動(dòng)圓圓心C的軌跡方程是

()

2222

A.—-?=1B.---二=l(y>2)C.y2=8xD.∕=8Λ(X≠0)

412412υ7

【答案】C

【分析】設(shè)CaM并作CELy軸于E，由垂徑定理得IM同=4,又ICAICM「=|ME『+|EC『，利用兩點(diǎn)間

的距離公式化簡(jiǎn)，即可得結(jié)果.

【詳解】設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(x,y),過(guò)C作CELy軸，垂足為E,則IMEI=4,

.?.∣G4∣2=∣CM∣2=∣MS∣2+∣FC∣2,

.?.(^-4)2+y2=42+x2,得V=8χ.

故選：C.

【題型九】?jī)蓤A位置關(guān)系

【典例分析】

(2021?浙江?蘭溪市厚仁中學(xué)高二期中)已知圓G：f+y2=]6和圓c”(χ-3)2+(y-4)2=r2(r>0),則

()

A.r=2時(shí)，兩圓相交B.r=l時(shí)，兩圓內(nèi)切

C.廠=9時(shí)，兩圓外切D.r=10時(shí)，兩圓內(nèi)含

【答案】AD

【分析】根據(jù)題意得兩圓圓心距為IGG卜5,圓G半徑R=4,再依次討論求解即可得答案.

【詳解】解：由題知圓C∣:/+y2=16的圓心為（0,0）,半徑R=4:

圓C2：卜_3）2+@-4）2=產(chǎn)（少0）的圓心為（3,4）,半徑r,

所以兩圓圓心距為ICC2卜5,

故對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)r=2,2=Λ-r<∣C1C2∣=5<Λ+r=6,故兩圓相交，正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)r=l,ICCz∣=5=R+r,故兩圓外切，錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)r=9,r—R=IGGl=5,故兩圓內(nèi)切，錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)r=10,r-R>?CiC2?,故兩圓內(nèi)含，正確.

故選：AD

【提分秘籍】

基本規(guī)律

圓與圓位置關(guān)系的判定

（1）幾何法：若兩圓的半徑分別為4,兩圓連心線的長(zhǎng)為4則兩圓的位置關(guān)系的判斷方法如下:

位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含

圖示00O電

d與弓，4ICC1>/;+/;?r-r?<?CC?<r+r

12IGGl=/+弓t2l2s2ICCI=任-目ICIGl>|彳-目

的關(guān)系

（2）代數(shù)法：通過(guò)兩圓方程組成方程組的公共解的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷.

m磬消元，一元二次方程

圓C2萬(wàn)桂J△>0口相交一

A=On內(nèi)切或外切

A<0=>外離或內(nèi)含

【變式訓(xùn)練】

22

1.（2020?湖南省邵東市第一中學(xué)高二期末）已知圓。?。▁—4+。一與2=4,02：（χ-a-?）+（y-b-2）

=l（α.6GR）,則兩圓的位置關(guān)系是（）

A.內(nèi)含B.內(nèi)切C.相交D.外切

【答案】C

【詳解】?jī)蓤A圓心之間的距離為IOChI=6,t?1<√5<2+1=3,所以兩圓相交，答案C

22

2.（2022?全國(guó)?高二專題練習(xí)）分別求當(dāng)實(shí)數(shù)Z為何值時(shí)，兩圓C/：x+∕+4χ-6γ+12≈0,C2:X+∕-2Λ

-14y+A=0相交和相切.

【答案】答案見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)兩圓的位置關(guān)系，可得圓心距和半徑之間的關(guān)系，由兩圓半徑分別為I和同二I,以及圓心

距IaC2∣=5,進(jìn)行比較即可得解.

【詳解】將兩圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，

Ci：(x+2)2+(>-3)2=1,

C2：(χ-l)2+Cv-7)2=50-?,

圓C/的圓心為。(一2,3),半徑長(zhǎng)〃=1；

圓C2的圓心為C2(l,7),半徑長(zhǎng)「2=回二I(k<50),

從而IaC2∣=√(-2-I)2+(3-7)2=5,

當(dāng)l+√^=I=5,即々=34時(shí)，兩圓外切.

當(dāng)∣x∕5O-k—1|=5,即J50-&=6,

即A=14時(shí)，兩圓內(nèi)切.

當(dāng)I√50-?-1∣<5<1+√50-?，

即14Vk<34時(shí)，兩圓相交，

.?.當(dāng)左=14或k=34時(shí)，兩圓相切，當(dāng)14<%<34時(shí)，兩圓相交.

【題型十】?jī)蓤A公共弦

【典例分析】

(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))已知圓G：工2+/-京-2y=0和圓C2：/+丁-2&y-2=0相交，則圓Cl和圓C2的

公共弦所在的直線恒過(guò)的定點(diǎn)為()

A.(2,2)B.(2,1)C.(1,2)D.(1,1)

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，聯(lián)立兩個(gè)圓的方程可得兩圓公共弦所在的直線方程，由此分析可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，圓G∕2+y2-fcr-2y=0和圓G：/+y2-2矽-2=0相交，

則卜'j-2y=0

、［%2+∕-2Ay-2=0

則圓C和圓C2的公共弦所在的直線為依-26，+2)，-2=0,變形可得&(x-2y)=2(y-l),

則有］一,：°,則有U即兩圓公共弦所在的直線恒過(guò)的定點(diǎn)為(2,1),

IyT=OIy=I

故選：B.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

公共弦直線：當(dāng)兩圓相交時(shí)，兩圓方程(x2,y2項(xiàng)系數(shù)相同)相減便可得公共弦所在直線的方程

如果“貌似兩圓”的方程含參數(shù)，則必須先保證兩點(diǎn)以限定參數(shù)范圍：

1.保證是兩個(gè)圓。

2.保證兩圓相交。

【變式訓(xùn)練】

1.(2021?全國(guó)?高二專題練習(xí))垂直平分兩圓χ2+∕-2x+6y+2=0,f++4χ-2y-4=0的公共弦的直

線方程為()

A.3x-4y-3=0B.4x+3y+5=0C.3x+4y+9=0D.4x-3y+5=0

【答案】B

【分析】分別求解兩個(gè)圓的圓心，圓心連線即為所求.

【詳解】根據(jù)題意，圓J