第二章矩陣教材

第二章矩陣1、矩陣的概念2、矩陣的運(yùn)算3、可逆矩陣4、矩陣的初等變換與矩陣的秩注：矩陣與行列式的區(qū)別

由m

n個(gè)數(shù)aij

(i

1,2,

,m；j

1,2,

,n)排成的一個(gè)m行n列的矩形數(shù)表，稱(chēng)為一個(gè)m

n矩陣，a11

a12

a1n

a21

a22

a2nam1

am2

amnAm

n=記作只能用[]or(),不能用{}1.1矩陣的定義注：矩陣的行數(shù)m和列數(shù)n可相同，也可不同。簡(jiǎn)記為-a11

-a12

-a1n

-a21

-a22

-a2n-am1

-am2

-amn-Am

n=稱(chēng)對(duì)于矩陣負(fù)矩陣：為矩陣A的負(fù)矩陣，記為-A，即同型矩陣：兩個(gè)矩陣具有相同的行數(shù)和相同的列數(shù)，稱(chēng)為同型矩陣。例A=23456B=86253同型矩陣A=2394568B=86253不同型即對(duì)于有則稱(chēng)矩陣A和B相等，記為。矩陣相等：設(shè)矩陣A和B為同型矩陣，且它們對(duì)應(yīng)的元素分別相等,1、零矩陣所有元素均為0的矩陣稱(chēng)為零矩陣，1.2特殊矩陣記為。例注：不同型的零矩陣不相等

若矩陣A的行數(shù)與列數(shù)都等于n，則稱(chēng)A為n階矩陣，或稱(chēng)為n階方陣。2、方陣?yán)?、行矩陣與列矩陣只有一行的矩陣稱(chēng)為行矩陣只有一列的矩陣稱(chēng)為列矩陣

or行向量or列向量例用逗號(hào)將各元素隔開(kāi)b11b21

bn10b22

bn2

00

bnnB=A=a11a12

a1n

0a22

a2n

00

ann

n階上三角形矩陣4、上（下）三角矩陣

n階下三角形矩陣?yán)?、對(duì)角矩陣如下形式的n階矩陣稱(chēng)為n階對(duì)角矩陣，記為數(shù)量矩陣是特殊的對(duì)角矩陣如下形式的n階矩陣稱(chēng)為數(shù)量矩陣(or純量矩陣)6、數(shù)量矩陣?yán)绾?jiǎn)記為

如下形式的n階矩陣稱(chēng)為單位矩陣,記為In或En

7、單位矩陣單位矩陣是特殊的數(shù)量矩陣?yán)?/p>

如果n階矩陣A滿(mǎn)足AT=A(即aij

=aji

),則稱(chēng)A為對(duì)稱(chēng)矩陣，即8、對(duì)稱(chēng)矩陣?yán)?/p>

2358386

38674249762710

A=a11a12

a1na12

a22

a2n

a1n

a2n

ann

如果n階矩陣A滿(mǎn)足AT=-A(即aij

=-aji

),則稱(chēng)A為反對(duì)稱(chēng)矩陣，即9、反對(duì)稱(chēng)矩陣

首非零元:每個(gè)非零行的第一個(gè)不為0的元素。10、階梯形矩陣階梯形矩陣:1）如果存在零行,則零行都在矩陣的最下方；2）首非零元的列標(biāo)隨行標(biāo)增加而嚴(yán)格增加。11、行簡(jiǎn)化階梯形矩陣

滿(mǎn)足以下條件的階梯形矩陣（1）首非零元都為1；（2）首非零元所在列其余的元素全為0，稱(chēng)為行簡(jiǎn)化階梯形矩陣。

12、標(biāo)準(zhǔn)形矩陣左上角為單位矩陣其余位置全為02、矩陣的運(yùn)算2.1矩陣的加法2.2矩陣的數(shù)乘2.3矩陣的乘法2.4矩陣的轉(zhuǎn)置2.5方陣的行列式同型矩陣才能相加定義:設(shè)A與B為兩個(gè)m

n階矩陣，A+B=2.1矩陣的加法則有

例：設(shè)求A+B=?解：1+52+63+74+8681012同型矩陣才能相減設(shè)A與B為兩個(gè)m

n階矩陣，A-B=則有矩陣的減法矩陣加法的運(yùn)算律（2）加法結(jié)合律：（1）加法交換律：（3）加法消去律：（4）（5）（零矩陣的作用）（負(fù)矩陣的作用）k遍乘A的所有元素（注意：與行列式數(shù)乘的區(qū)別）設(shè)矩陣kA=2.2矩陣的數(shù)乘定義：則且k為實(shí)數(shù)，特別地，-A=(-1)A矩陣數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律（3）分配律：（2）結(jié)合律：（1）交換律：例：設(shè)，求3A+2B。

注：矩陣的加法與數(shù)乘運(yùn)算，統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的線(xiàn)性運(yùn)算。解：cij

=A的第i行與B的第j列的乘積設(shè)A是一個(gè)m

s矩陣，B是一個(gè)s

n矩陣，AB=b11

b12

b1j…

b1n

b21

b22

b2j

…

b2nbs1

bs2

bsj

…

bsna11

a12

a1s

a21

a22

a2sai1

ai2

ais

am1

am2

amsc11

c12

c1n

c21

c22

c2ncm1

cm2

cmnm×n=cij

(i

1,2,

,m；j

1,2,

,n)ai1b1j

ai2b2j

aisbsj2.3矩陣的乘法B=

求ABA=，

例:設(shè)231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-783×3231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-33×3231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-353×3練習(xí)：A×B==1×22×1+1×(-2)+7×22×3+1×1+7×6=[14,49]

關(guān)于矩陣乘法需要注意的是：（1）不是任意兩個(gè)矩陣的乘積AB都有意義；（2）兩個(gè)矩陣的乘積AB有意義的條件是：即且Am×s

Bs×n=Cm×nAm×s

Bt×n有意義的條件是:左邊的矩陣A的列數(shù)與右邊的矩陣B的行數(shù)相等，s=t左矩陣右矩陣讀作：A左乘B，orB右乘A例34572225A=B=(1)AB無(wú)意義，

585722952764C=D=(2)CD有意義，BA有意義，DC無(wú)意義注一：當(dāng)AB有意義時(shí)，BA未必有意義。456例：A=123B=維數(shù)相同注二：當(dāng)AB和BA都有意義時(shí)，AB和BA的階數(shù)未必相等。231-2311-2-32-10BA==4-983231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-352×2B=A=，

例：設(shè)231-2311-2-32-10解：3×3例：設(shè)A=

，4-2-21B=

，求AB及BA。4

2-6-3AB=4-2-214

2-6-3

解：-32

-16168=BA=4-2-214

2-6-30

000=2×22×2注三:當(dāng)AB和BA都有意義，且AB和BA的階數(shù)也相等時(shí)，AB未必等于BA。矩陣乘法一般不滿(mǎn)足交換律，即AB

BA1110例

設(shè)A=

，B=

，求AB及BA2110解：11102110AB=3110=21101110BA=3110=如果AB=BA，則稱(chēng)矩陣A與矩陣B可交換的。AB=BA成立可交換矩陣的定義:解:可交換的一切矩陣。例

求與矩陣A=010001000B=abca1b1c1a2b2c2AB=010001000abca1b1c1a2b2c2a1b1c1a2b2c2000=BA=010001000abca1b1c1a2b2c20ab0a1b10a2b2=若AB=BA,則B定為3×3矩陣設(shè)Babc0ab00a=其中a，b，c為任意數(shù)。則有

a1=a2=b2=0，

b1=c2=a，c1=b，所以，例：設(shè)A=，4-2-21B=

，求AB及BA。4

2-6-3AB=4-2-214

2-6-3

解：-32

-16168=BA=4-2-214

2-6-30

000=2×22×2注四:AB=OA=OorB=O例：設(shè)A=

，5000求A2解：0

000=2×2注五:A2=OA2=50005000A=O矩陣乘法一般不滿(mǎn)足消去律例:設(shè)

A=203,B=004,C=100求AC=?BC=?解:=2×21100=2×21100注六:AC=BCA=B

(1)

AB

BA

(3)

AB=OA=O或B=O

/

(2)

AC=BCA=B

/

A=O

/

乘法一般不滿(mǎn)足交換律乘法一般不滿(mǎn)足消去律,但如果C可逆,則A=B矩陣乘法小結(jié)(4)

A2=O矩陣乘法運(yùn)算的運(yùn)算律（3）左分配律：（2）數(shù)乘結(jié)合律：（1）結(jié)合律：（4）右分配律：a11x1+a12x2+

+a1nxn

=b1a21x1+a22x2+

+a2nxn

=b2am1x1+am2x2+

+amnxn=bm

x1x2

xn

a11

a12

a1n

a21

a22

a2nam1

am2

amnb1b2

bm

=系數(shù)矩陣?yán)?2x1+5x2+7x3+9x4=5x1-3x2+7x3+x4=33x1-x2+x3+x4=10

579-3713-111x1x2x3x4=5310線(xiàn)性方程組可用矩陣乘法表示:對(duì)于方陣A及自然數(shù)k

，

記Ak=A

A

A

(k個(gè)A相乘)只有方陣才能自乘規(guī)定:性質(zhì)：(1)

ArAs=Ar+s(2)

(Ar)s=Ars注:一般(AB)k≠AkBk但如果AB=BA,則(AB)k=AkBk方陣的冪：特別地，同理，（只有當(dāng)A與B可交換時(shí)，等號(hào)才成立）若矩陣A、B為同階方陣，則練習(xí)：計(jì)算下列矩陣：解：(1)

2

0

1

1

1=

0

1

1

1

0

1

1

1=

0

1

1

2

3

0

1

1

1=

0

1

1

2

0

1

1

1=

0

1

1

3

(2)

a

0

0

0

0

c

0

b

0

2

a

0

0

0

0

c

0

b

0

a

0

0

0

0

c

0

b

0=

a2

0

0

0

0

c2

0

b2

0=

3

0

1

1

1

(1)

(2)

a

0

0

0

0

c

0

b

0

2，定義：設(shè)f(x)=ax2+bx

+c,A為n階矩陣，則矩陣A的多項(xiàng)式為f(A)=aA2+bA

+cE

，其中，E為與A同階的單位矩陣。矩陣的多項(xiàng)式例：已知f(x)=x2-x-1，A=

，求f(A)。

3

1

2

1-1

0

3

1

1=

解：

3

1

2

1-1

0

3

1

1

2

3

1

2

1-1

0

3

1

1-

0

1

0

0

0

1

1

0

0-

14

2

5

0

0-1

13

3

5=

3

1

2

1-1

0

3

1

1-

0

1

0

0

0

1

1

0

0-

11

0

3

-1

1-2

9

2

4=f(A)=A2-A-E將矩陣A的同號(hào)數(shù)的行換為同號(hào)數(shù)的列得到的矩陣稱(chēng)為A的轉(zhuǎn)置矩陣,記為AT或A

。a11a21…am1

a12a22…am2

a1na2n…amn

…………

A=a11a12…a1n

a21a22…a2n

am1am2…amn

…………

AT

=第1行變?yōu)榈?列，第2行變?yōu)榈?列,…第n行變?yōu)榈趎列2.4矩陣的轉(zhuǎn)置(4)(AB)T=BTAT

(A1A2A3….An)T

=(An)T(An-1)T….(A2)T(A1)T轉(zhuǎn)置矩陣有下列性質(zhì)：(1)(AT)T=A

(2)(A+B)T=AT+BT

(3)(kA)T=kAT

注意矩陣的次序推廣：例求：1）、對(duì)角矩陣的性質(zhì)(1)

kA=diag(ka11,ka22,

,kann

)

(2)

A+B=diag(a11+b11,a22+b22,

,ann+bnn

)設(shè)A=diag(a11,a22,

,ann),B=diag(b11,b22,

,bnn)(3)

AB=diag(a11b11,a22b22,

,annbnn

)對(duì)角矩陣的數(shù)乘,和,差,積仍為對(duì)角矩陣。(4)

A=AT對(duì)于特殊矩陣的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)角矩陣、單位矩陣、數(shù)量矩陣、對(duì)稱(chēng)矩陣2）、單位矩陣的性質(zhì)EmAm

n=Am

n=1

Am

nAm

nEn=Am

n

=Am

n

1注：

(1)單位矩陣與任意矩陣相乘(只要有意義)結(jié)果不變;

(2)單位矩陣En與任意同階方陣可交換。注意：矩陣相乘的條件3）、數(shù)量矩陣的性質(zhì)b11

b12

b1n

b21

b22

b2nbm1bm2

bmna0

00a

0

00

aab11

ab12

ab1n

ab21

ab22

ab2nabm1

abm2

abmn=數(shù)量矩陣A左乘or右乘矩陣B，相當(dāng)于數(shù)a乘B。b11

b12

b1n

b21

b22

b2nbm1bm2

bmna0

00a

0

00

aab11

ab12

ab1n

ab21

ab22

ab2nabm1

abm2

abmn=特別地，(kEn)An=kAn

；An(kEn)=kAn

注：數(shù)量矩陣與任意的同階方陣可交換。數(shù)量矩陣則4）、對(duì)稱(chēng)矩陣的性質(zhì)(1)kA為對(duì)稱(chēng)陣；設(shè)A,B為對(duì)稱(chēng)陣,則(2)A+B與A-B為對(duì)稱(chēng)陣；(3)AB未必是對(duì)稱(chēng)陣。

例A=B=

是對(duì)稱(chēng)陣，但-1

0

1-1

1

1

1

1-1-1

0

0=不是對(duì)稱(chēng)矩陣AB=-1

0

1-1

1

1

1

1

例:設(shè)A與B是兩個(gè)n階對(duì)稱(chēng)矩陣證明：AB對(duì)稱(chēng)AB=BA證明:(1)充分性：即，AB為對(duì)稱(chēng)矩陣。(2)必要性:且且

例:設(shè)列矩陣E為n階單位矩陣，且證明：H是對(duì)稱(chēng)矩陣，且。

滿(mǎn)足且Proof:

由n階矩陣A的元素按原來(lái)的位置關(guān)系構(gòu)成的n階行列式稱(chēng)為矩陣A的行列式,記為|A|或det(A)。a11a21…an1

a12a22…an2

a1na2n…ann

…………

A=，

|A|=a11a21…an1

a12a22…an2

a1na2n…ann

…………

det(A)

=例A=

234

|A|=det(A)=

234=-22.5方陣的行列式

定義：非奇異矩陣（or非退化矩陣）:如果行列式|A|

0,則稱(chēng)A為非奇異矩陣。奇異矩陣（or退化矩陣）:如果行列式|A|=0,則稱(chēng)A為奇異矩陣。方陣積的行列式=行列式的積方陣的行列式具有的運(yùn)算律：

(1)|AB|=|A|·|B||ABCD|=|A|·|B|·|C|·|D||Ak|=|AAA…A|k個(gè)A=|A|k|BA|=|AB|=|BA|

推廣：|B|·|A|n為方陣A的階數(shù)(2)|lA|

ln|A|例：有|lA|==l3

l3|A|則(3)

|AT|

|A|例:設(shè)A為三階矩陣，已知|A|=-2,求||A|A|。解：||A|A|==(-2)3|A|=(-2)3(-2)=16|-2A|例:設(shè)

A=254-4-53134B=C=求

(1)|ATB2C|(2)|(3BBT)2|解:(1)|ATB2C|=|AT||B2||C|=|A|

|B|2|C|254-4-53134××2=2×12×5=10(2)|(3BBT)2|

=(|3BBT

|)2=(32|

BBT

|)2=81=C稱(chēng)為Ａ的逆矩陣3.1可逆矩陣的引入(1)、實(shí)數(shù)a的倒數(shù)實(shí)數(shù)的除法：(3)、實(shí)數(shù)的除法可以轉(zhuǎn)化為乘法(2)、實(shí)數(shù)a的倒數(shù)性質(zhì)商=分子×分母的倒數(shù)給定矩陣

滿(mǎn)足：ＡＸ＝Ｂ，問(wèn)Ｘ＝？分析：如果我們找到矩陣Ｃ，使得ＣＡ＝E，那么，ＣＡＸ＝ＣＢ，則Ｘ＝ＣＢ定理：如果矩陣A可逆，則A的逆矩陣是唯一的。對(duì)于n階方陣A，如果存在一個(gè)n階方陣B，AB

BA

E

，且稱(chēng)B為A的逆矩陣，只有方陣才可能有逆矩陣記為A-1。3.2可逆矩陣的定義使得則稱(chēng)A為可逆矩陣，Proof：設(shè)B1、B2均為矩陣A的逆矩陣，第1行的代數(shù)余子式作為第1列，….

第n行的代數(shù)余子式作為第n列伴隨矩陣：

矩陣A=(aij)的行列式|A|中元素aij的代數(shù)余子式構(gòu)成的矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，稱(chēng)為矩陣A的伴隨矩陣，記為A*，即A11A12A1n

A21A22A2n

An1An2Ann

a11a21…an1

a12a22…an2

a1na2n…ann

…………

A=A*=3.3矩陣可逆的充要條件所以,|A|

0由于A可逆,有|A|·|A

1|

|E|

1,則AA

1

E,證明：定理：

n階矩陣A為可逆

|A|

0,A為非奇異矩陣a11a12

a1na21a22

a2nan1an2

ann

A11A21

An1A12A22

A2nA1nA2n

Ann

AA*==|A|E|A|

0

0

0|A|

0

0

0|A|

=所以,=—A*1|A|A-1且AA*=A*A=|A|E

A*的性質(zhì):(當(dāng)|A|≠0時(shí))n為方陣A的階數(shù)例:設(shè)n階矩陣A可逆,證明：因?yàn)锳可逆,又因?yàn)樵僖驗(yàn)樽C明A*也可逆,且所以|A|≠0,例：求矩陣A=的逆矩陣。

2-3

1

1

2

0

0-5

1

2-3

1

1

2

0

0-5

1解:=2

0A12A13A11A22A23A21A32A33A31A*

=10

7-5-2-2

2

2

1-1==

—A*1|A|=

—12A-110

7-5-2-2

2

2

1-1

5

7/2-5/2-1-1

1

1

1/2-1/2=

|A|=A可逆

例:求A=

的逆矩陣(其中a11a22-a12a21≠0)a11a21a12a22解:A*=A11A12A21A22a22-a21-a12a11==a11a22-a12a21a11a21a12a22|A|==—A*1|A|A-1a22-a21-a12a11=—————

1a11a22-a12a21則例：a100

0a20

00an

已知A=

，驗(yàn)證a1-100

0a2-10

00an-1

A-1=

。其中ai

0(i=1,2,

n)提示：a100

0a20

00an

a1-100

0a2-10

00an-1

100

010

001

=(2)若A可逆，數(shù)(1)若A可逆，證明:AA

1=E(3)若A可逆，則證明：AT(A-1)T=(A-1A)T=ET=E，3.4可逆矩陣的性質(zhì)，則則(A

1)

1

A(AT

)

1

(A

1)T

(4)若A、B為同階可逆矩陣，則證明:(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=E推論:注意逆矩陣順序(A1A2A3…An)

1(An)

1(An-1)

1….(A1)

1(ABC)

1

C

1B

1A

1(ABCD)

1

D-1C

1B

1A

1(AB

)

1

B

1A

1例:設(shè)n階矩陣A滿(mǎn)足aA2+bA+cE=O，證明A為可逆矩陣，并求A-1(a,b,c為常數(shù)，c

0)aA2+bA=-cEaA2+bA+cE=O-c-1aA2-c-1bA=E(-c-1aA-c-1bE)A=E所以，A可逆，且A-1=-c-1aA-c-1bE解:例:設(shè)n階矩陣A滿(mǎn)足A2-A-2E=O，證明:(1)A可逆，求A-1；A2-A=2E(1)

A2-A-2E=O所以，A可逆，且證明：(2)A+2E可逆，求(A+2E)-1

。且(2)

A2-A-2E=O(A+2E-2E)2-(A+2E)=O所以,A+2E可逆,且且例:設(shè)3階矩陣A的伴隨陣為A*,且

求解：對(duì)于含有n個(gè)方程，n個(gè)未知量的線(xiàn)性方程組AX=B，其中A為n階方陣。若A可逆，3.5利用逆矩陣解矩陣方程則若A可逆，則對(duì)于XA=B，若A、B可逆，則對(duì)于AXB=C，轉(zhuǎn)例例:設(shè)(E-A)X=B所以，且AX+B=X，解:求X。由AX+B=X返回A-1=

，

3

1-3-2-15/2

1

1-3/2

1

3

2

2

4

2

3

3

1例：設(shè)A=，B=,C=

5

2

3

1

1

3

2

3

1

0求矩陣X

使AXB

C。-5

3

2-1B-1=，解:X

A-1CB-1

=

3

1-3-2-15/2

1

1-3/2

1

3

2

3

1

0-5

3

2-1-2-10

10

1

4-4=注意矩陣次序4、矩陣的初等變換4.1初等變換的定義4.2初等變換與初等矩陣的關(guān)系4.3矩陣的秩4.4用初等變換求逆矩陣4.5用初等變換求解矩陣方程初等行變換：(1)交換矩陣的兩行，ri

rj(2)以數(shù)k

0乘矩陣的某一行，ri×k(3)把矩陣的某一行的k倍加到另一行上，ri

+krj初等列變換：(1)交換矩陣的兩列,ci

cj(2)以數(shù)k

0乘矩陣的某一列,ci×k(3)把矩陣的某一列的k倍加到另一列上,ci

+kcj初等變換:初等行變換與初等列變換的統(tǒng)稱(chēng)4.1矩陣的初等變換矩陣的等價(jià)矩陣A經(jīng)過(guò)初等變換變成矩陣B，則稱(chēng)A與B等價(jià)，記為A->B。注意與行列式中相關(guān)變換相區(qū)別

1

5-1-1

1-2

1

3

1-9

3

7

3

8-1

1

1-2

1

3

1-9

3

7———

1

5-1-1

3

8-1

1r2

r4r1×2———-9378-111-213210-2-2———r1+r4×(-2)-9378-111-213014-4-8初等矩陣對(duì)單位矩陣E作一次初等變換后，得到的矩陣稱(chēng)為初等矩陣。初等矩陣一定是方陣行：ri×k行：ri+krj初等矩陣有如下三種類(lèi)型（對(duì)應(yīng)于三種變換），分別記作P(i,j

)，P(i[k])，P(i,j[k])。行：ri

rj列：ci

cj列：ci×k列：cj+kci例：（1）r1

r2：（2）kr3:（3）r2+kr1:4.2初等變換與初等矩陣的關(guān)系例：定理：（1）對(duì)Am×n進(jìn)行一次初等行變換，相當(dāng)于用相應(yīng)的m階初等矩陣左乘矩陣A；例：定理：（2）對(duì)Am×n進(jìn)行一次初等列變換，相當(dāng)于用相應(yīng)的n階初等矩陣右乘矩陣A；任意一個(gè)非零矩陣Am×n總可以經(jīng)過(guò)有限次的初等行變換化為行階梯形矩陣；同樣地，對(duì)這個(gè)行階梯形矩陣再進(jìn)行初等行變換，可化為行簡(jiǎn)化階梯形矩陣。定理：初等行變換行簡(jiǎn)化階梯形矩陣行階梯形矩陣初等行變換Step1:(1)在第一列中選一個(gè)非0元作為首元,

（一般選較小接近1的數(shù)）并將此元素交換到a11位置;(2)將首元變?yōu)?，此列其余元素全變?yōu)?;Step2:選定下一個(gè)首元，將首元變?yōu)?，此列其余元素全變?yōu)?將矩陣用初等行變換化為行簡(jiǎn)化階梯形的步驟:Step3:重復(fù)第二步,直至得到行簡(jiǎn)化階梯形。23454681000002A=23450000200000234500000000022

3400000000001例：用初等行變換化為行簡(jiǎn)化階梯形r2+(-2)r10.5×r2r2

r3r1+(-5)r2對(duì)矩陣Am×n的行簡(jiǎn)化階梯形矩陣施以有限次的初等列變換，可化為Am×n的標(biāo)準(zhǔn)形，即定理：例：4.3矩陣的秩例：子式：在矩陣Am×n中任取k行與k列，位于這些行與列交叉處的k2個(gè)元素按照原來(lái)的位置所構(gòu)成的一個(gè)k階行列式，稱(chēng)為A的一個(gè)k階子式。r1,r2與c1,c3交叉處構(gòu)成的二階子式

注：若A中所有k階子式都等于0，則A中所有的k+1階子式（若存在的話(huà)）也都等于0。A中不為零的子式的最高階數(shù)r矩陣在作初等變換后其秩不改變。定義：設(shè)矩陣Am×n中有一個(gè)不等于0的r階子式，且所有r+1階子式(如果存在的話(huà))全等于0，則r稱(chēng)為矩陣A的秩，記為R(A)orr(A)orrA

。

注：矩陣A的行階梯形矩陣中非零行的數(shù)目，稱(chēng)為A的秩r(A)。矩陣秩的性質(zhì)：例：求矩陣A的秩，其中解：在A中，二階子式A的三階子式只有一個(gè)，且|A|=0則R(A)=2即|A|，解：B是一個(gè)行階梯形矩陣，其非零行有3行，三階子式

則R(B)=3例：求矩陣B的秩,則B的四階子式全為零。例：求矩陣的秩，并求A

的一個(gè)最高階非零子式。行階梯形矩陣有3個(gè)非零行，故R(A)=3

．