2023-2024學(xué)年四川省綿陽高二年級下冊4月月考數(shù)學(xué)（文）模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年四川省綿陽高二下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)(文)

模擬試題

一、單選題

1.函數(shù)/(H=/在區(qū)間［-1,2］上的平均變化率為()

A.-1B.1C.2D.3

【正確答案】B

直接利用平均變化率公式一進(jìn)行求值.

X2~X\

【詳解】因?yàn)?(x)=χ2,

f{2}-f(-?}4-1

所以f(X)在區(qū)間［-1,2］上的平均變化率為八;/：、==-=1.

故選：B

本題考查函數(shù)的平均變化率，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.已知復(fù)數(shù)z=i(l-2i),貝IJZ的共軌復(fù)數(shù)［的虛部為()

A.2B.1C.-1D.-2

【正確答案】C

【分析】由已知復(fù)數(shù)等式求復(fù)數(shù)z,進(jìn)而寫出共軌復(fù)數(shù)W,即可確定虛部.

2

【詳解】由題設(shè)，Z=(?(1-2Z)=1?-2Z=∕+2,即W=2T,其虛部為-1.

故選：C

3.不等式<2"是''108/>1”成立的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】B

【分析】分別解不等式后即可判斷.

【詳解】由可得x>—1，充分性不成立；由log,x>l,可得x>2,可得必要

性成立.

故選：B

4.已知命題P：3x∈R,sinx<l;命題4：VxeR,小≥1，則下列命題中為真命題的是()

A.PAqB.-τP^?C.PdTlD.TPVq)

【正確答案】A

【分析】根據(jù)題意，分析p、q的真假，即可得答案.

【詳解】對于命題P，當(dāng)X=O時，Sinx=Ovl,，是真命題；

對于命題4，WX∈R,W≥0,必有J"≥e°=l,q是真命題,

故p、q都是真命題，由復(fù)合命題的真假可得A選項(xiàng)正確，其他錯誤.

故選：A.

5.已知函數(shù)/(x)=Y-2COSX,貝1」/(0),/[-￡|,/(|)的大/」、關(guān)系是()

A./(O)<∕βp(t]B?((∣<A))<閽

c?/(?K-?d?…圖T㈢

【正確答案】A

判斷了(x)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)判斷S,D上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性以及奇偶性比較大小即可.

【詳解】易知/(x)=∕-2CoSX為偶函數(shù)

V∕,(x)=2x+2sinx,當(dāng)χ∈(0,1)時,f'(x)>0,F(X)在(0,D上為增函數(shù)

.?.∕(θX∕g)<∕g)

“(。)<(小/(I)

故選：A

yy

C.

X

【正確答案】A

【分析】根據(jù)奇偶性的定義，結(jié)合函數(shù)極限以及利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性，即可判斷和選擇.

【詳解】容易得/(x)定義域?yàn)?-∞,0)7(0,的)關(guān)于原點(diǎn)對稱,

又Z(X)=2√-InI%I=f(-x),

故函數(shù)/*)是偶函數(shù)，

???fM的圖象關(guān)于)'軸對稱，

故排除B,

又?.理/(x)f+00,

故排除D.

當(dāng)x>0時，/'(x)=4x-J,令∕,(x)=0,解得X=:；

故當(dāng)XW(Og)時，f(x)單調(diào)遞減，在(；,+8)單調(diào)遞增.

此時/^j=∣-?n→θ

故排除C.

故選.A

本題考查函數(shù)圖象的辨識，涉及函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷，屬綜合基礎(chǔ)題.

7.下面是“神舟七號”宇宙飛船從發(fā)射到返回的主要環(huán)節(jié)：①箭船分離；②出艙行走；③點(diǎn)火發(fā)射；

④返回地球；⑤軌道艙和返回艙分離.圖中正確的是()

A.③T⑤T②T①T④B.③T⑤T②T④1①

C.③T①T②T⑤—④D.④T⑤T②T①一③

【正確答案】C

【分析】細(xì)讀題意，根據(jù)流程圖的表示方式及生活實(shí)際：先將所給環(huán)節(jié)根據(jù)生活實(shí)際排序，再用流

程圖表示出來即可.

【詳解】結(jié)合生活實(shí)際可得，神舟七號''宇宙飛船從發(fā)射到返回的主要環(huán)節(jié)的步驟為：③點(diǎn)火發(fā)射；

①箭船分離；②出倉行走；⑤航道艙和返回艙分離；④返回地球.

用流程圖表示出來為C選項(xiàng)的形式.

故選：C

本題是一道關(guān)于流程圖的題目，解答本題的關(guān)鍵是熟悉流程圖的概念，細(xì)讀題意，根據(jù)流程圖的表

示方式及生活實(shí)際是解答本題的基本方法，屬于基礎(chǔ)題.

8.已知函數(shù)"x)=lnx+}直線y=τ+3與曲線y=∕(x)相切，則α=()

A.1B.2C.3D.4

【正確答案】B

設(shè)切點(diǎn)為(x°,%),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義與(XI),%)在“x)=lnx+q與y=-x+3上聯(lián)立求解即可.

【詳解】設(shè)切點(diǎn)為CWo),則尸(X)W-M又直線y=r+3與曲線y"(x)相切故%=f+3,

a

y=1Inx+一

IQ0?

消去光有一ΛO+3=In/-="=-??+3-InXO,代入第一個式子有

??

]—(一/÷3—InX0)=—?=>2x0+InX。-2=0.易得XO=I.代入τ=-1有Q=2.

?xo

故選：B

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的運(yùn)用,需要根據(jù)在某點(diǎn)處導(dǎo)函數(shù)的值等于在該點(diǎn)處切線的斜率以

及切點(diǎn)在切線方程與函數(shù)式上聯(lián)立求解即可.屬于中等題型.

9.一個矩形鐵皮的長為16cm,寬為IOCm,在四個角上截去四個相同的小正方形，制成一個無蓋的

小盒子，若記小正方形的邊長為X(Cm),小盒子的容積為V(Cm3),則()

A.當(dāng)x=2時，V有極小值B.當(dāng)x=2時，V有極大值

C.當(dāng)X=與時，V有極小值D.當(dāng)X=當(dāng)時，V有極大值

33

【正確答案】B

求出小盒子的容積，通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的極值情況可得答案.

【詳解】小盒子的容積為V=X16-2x)(10-2x)=4√-52x2+160x(0<x<5),

20

所以V'=12χ2-104χ+160,令S=O得x=2,或x=1舍去，

當(dāng)0<x<2時,V,>0,Y(X)單調(diào)遞增，當(dāng)2<x<5時，V,<0,V(X)單調(diào)遞減,

所以當(dāng)x=2時V(X)有極大值為144.

故選：B.

10.已知曲線"x)=(x+a)e*在點(diǎn)(TJ(T))處的切線與直線2x+y-1=0垂直,則實(shí)數(shù)。的值為

()

A.-B.￡+1C.-?D.上

e222

【正確答案】D

【分析】根據(jù)兩直線垂直斜率的關(guān)系，可求出切線斜率，然后求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義用含。的

式子表示出斜率，列方程求解即可.

【詳解】由題意得，切線和2x+y-I=0垂直，切線斜率顯然存在，設(shè)為3根據(jù)直線垂直的斜率關(guān)

系可得，-2%=-1,那么切線斜率左=由導(dǎo)數(shù)的幾何意義：∕,(-l)=p而

∕,(x)=eιr+(x+α)ev=(x+α+l)ev,∕,(-l)=αe^'??,解得α=?∣.

故選：D

11.已知函數(shù)/(x)=W+a∣nX的圖象在(1,/(1))處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則函數(shù)廣於)的最小值

為()

A.---?n2B.'+ln2C.'+'ln2D.1

22422

【正確答案】C

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出4=τ,從而可得/(X)=￡-Inx,求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單

調(diào)性，由單調(diào)性即可求出最值.

【詳解】函數(shù)/(x)=χ2+3nx,則/(I)=/+,/1=]

且尸(X)=2x+(所以/⑴=2+α,

所以:⑴J。)一0=]=2+q,解得Q=-1，

所以/(x)=%2-In%,(χ>0)

,廣(町=2犬-：,

令/'(x)≥0,即2x-g≥0,解得X≥等，

令r(x)<O,即2x-g<0,解得o<χ<容

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

所以=/立]=心]-ln^??l-ln-=i÷lln2.

J?/minJ2222222

?)?)

故選：C

12.設(shè)函數(shù)函x)=r(x-a>(xwR),當(dāng)4>3時，不等式函-"sine-lRf^-sii?。)對任意的

%e[-1,0]恒成立，則O的可能取值是()

A.-&B.%C.-?D.2

3326

【正確答案】D

利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)/(x)的單調(diào)性，得至∣J-2≤-A-Sine-l≤l,T≤∕-sin20≤l,把不等式恒成立，

轉(zhuǎn)化為得si??6—sin"1≤〃+A+“一」對任意的左e[-1,0]恒成立，求得一14sin。41,結(jié)合

I2)42

選項(xiàng)，即可求解.

【詳解】由題意,函數(shù)f(x)=τ(x-α)2,可得/'(X)=—(3x-α)?(x-α),

令;(X)=0,解得X=W或尤=",當(dāng)α>3時，可得二<0,

33

所以/S)在(-8,1,[a,+8)上單調(diào)遞減，在(],4)上單調(diào)遞增，

又當(dāng)α>3時，→1,所以/(χ)在(-∞J上為減函數(shù)，

X^∈[-l,0],sin6^∈[-l,l],所以-2≤-Z-Sine-1≤1,-1≤/一sii?"l,

由不等式f(-k-sin夕一1)≥/(?2-Sin2②對任意的％G[―1,0]恒成立，

Wsin20-sin1≤?2+%=(%+g)-;對任意的kw[T,0]恒成立，

113\

所以SiYe-Sine-1≤-2恒成立，解得一一≤sin^≤-,即一一≤sin6≤l,

4222

結(jié)合選項(xiàng)知，可得。的可能取值是努.

O

故選：D.

易錯警示：利用單調(diào)性解決相關(guān)應(yīng)用問題時，要注意單調(diào)區(qū)間的判定，當(dāng)自變量都在同一個單調(diào)區(qū)

間內(nèi)才能利用相應(yīng)的單調(diào)性，解題時防止漏證導(dǎo)致解題錯誤.

二、填空題

13.已知/'(Xo)=S,則Iim/(*°一3.)一/(*。)=

【正確答案】-3/72

利用導(dǎo)數(shù)的定義可得答案.

【詳解】?：f?x0)=m,

.?.原式=-3Iimf(LAX)-八/)

2。-3?x

=-3∕'(x0)=-3∕n.

故-3m

14.已知函數(shù)/(x)=gχ2-2αr-αlnX在(1,2)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是.

【正確答案】［,+∞)

【分析】根據(jù)題意求出/S)的導(dǎo)函數(shù)/(X),然后令/(X)在(1,2)上小于等于零恒成立，由二次函數(shù)

的性質(zhì)求出函數(shù)值的范圍，即可得到。的取值范圍.

【詳解】由"x)=:χ2-20x-alnΛ?可得：f?x)=x-2a--=x'~2ax~a,

2XX

函數(shù)=-2以一。InX在(1,2)上單調(diào)遞減，

.1⑶=JEZ網(wǎng)二Ξ≤O在(1,2)上恒成立，

X

?'?g(x)=/-20x-o≤0在(1,2)上恒成立，

???根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)可知要使g(x)=∕-2辦-α≤O在(1,2)上恒成立,

a≥-

g⑴=l-3α≤03

則:,解得:

g(2)=4-54≤00≥±

5

?的取值范圍是p+∞

故答案為［,+S)

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的知識，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸思想的運(yùn)用能力，屬于中檔題.

15.點(diǎn)P是曲線y=χ2+χ-inx上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)尸到直線2x-y-2=O的最短距離為.

【正確答案】乎

當(dāng)P為與直線2x-y-2=0平行且與曲線相切的切線的切點(diǎn)時，點(diǎn)尸到直線2x-y-2=0的距離最短,

根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得點(diǎn)P坐標(biāo)，最后根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式得結(jié)果.

【詳解】設(shè)2x-y+機(jī)=。與函數(shù)y=f+K-InX的圖象相切于點(diǎn)尸(Xo,y0).

■所以解得

Qy'=2x+l-?!2x°+l-'=2,ΛO>O,Λ0=1,%=2

??

∣2-2-2∣2√5

點(diǎn)P(l,2)到直線2x-y-2=0的距離為最小距離d

故答案為.平

X3-3x+2,x≥0

若方程/(刈-=。有兩個不相等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)。的取值范

16.已知函數(shù)/(x)=<2x4

-xe9x<0

圍可以是.

【正確答案】l^-?θju(O,2]

分段求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間，畫出函數(shù)圖像，f(x)-a=O,即.f(x)=α,根據(jù)圖像得到答案.

【詳解】當(dāng)x≥0時，/(X)=Λ3-3x+2,∕,(X)=3X2-3=3(X-1)(X+1),

令r(H=o,解得占=1,W=T(舍去).

xe[0,l),∕,(x)<0,/(x)為減函數(shù)，

XW(L+8),>0,/(x)為增函數(shù).

/(χ)χ"ι)=s

當(dāng)x<0時，/(x)=-x2ev,f'(x)--2xex-x2ex=-xex(x+2),

令/'(x)=0,解得玉=O,A=-2

x∈(τo,-2),∕,(x)<0,/(x)為減函數(shù),

x∈(-2,0),第x)>0,〃x)為增函數(shù).

2

∕ωmin=∕(-)=-7'且當(dāng)XfF時，/(6→0?

函數(shù)〃X)的圖像如圖所示：

因?yàn)榉匠蘤(χ)-α=o有兩個不相等的實(shí)根，

等價于函數(shù)y=∕(x)與y="有2個交點(diǎn)，

4

所以—-<。<0或OVa≤2.

e

故答案為.(-*,θ)u(θ,2]

【點(diǎn)晴】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間得到函數(shù)圖像是解題的關(guān)

鍵.

三、解答題

+3

17.已知P:-X2-x+6≤0,q：1----/.

⑴若力是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)〃2的取值范圍；

⑵當(dāng)W=I時，若HP）V4為真，（［/，）人4為假，，求實(shí)數(shù)X的取值范圍.

【正確答案】（1）|，+8）

⑵（1,2）5-3}

【分析】（1）解出兩個命題中的不等式，即是g的充分不必要條件，則力是q的真子集，解不等

式組即可；

（2）由題意-p,q中一真一假，分類討論求實(shí)數(shù)X的取值范圍.

【詳解】（1）因?yàn)槊}〃：-X2-X+6≤0,所以χ≤-3或XN2,

所以r7為：{x∣-3<x<2},

命題4：?——≤m9解得—2機(jī)—1≤x≤2/%—1,所以命題4為：{x∣—2m—1≤x≤2m-1},

若力是4的充分不必要條件，則力是4的真子集，

-3≥—2m—13

所以解得m≥1?

2<2m-?

實(shí)數(shù)〃?的取值范圍為|，+8

（2）當(dāng)小=1時，命題<7：-3≤x≤l,

若(r>)vg為真，(力)人4為假，則力，q中一真一假，

當(dāng)力真4假時，即{才一3<犬<2}門{X?〈-3或工>1}=卜［1<彳<2}.

當(dāng)了假4真時，即Wx≤-3或x≥2}c{x∣-3≤x≤l}={-3},

所以實(shí)數(shù)X的取值范圍為(l,2)u{-3}.

18.己知函數(shù)/(X)=F?

e

(1)求函數(shù)f(χ)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求函數(shù)f(χ)在區(qū)間-；,+<?)上的值域.

^4^

【正確答案】(D單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2),單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0),(2,+∞);(2)0—.

e^

(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的極值點(diǎn)，從而求出函數(shù)的最值即可.

【詳解】解：(1)由題意得，r(x)=電守，令rα)>o,得0<x<2,

e

令/G)V0,得工〉2或XV0,故函數(shù)AX)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2),單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0),(2,+∞).

(2)易知f(O)=OJ(2)=邛，

?6-e2y∣e

因?yàn)椤?)-/

4e2

16-2e28-e2(2√2+^)(2√2-e)

>------=-----=----------------

4e22e22e2

所以/⑵>

(或由7(2)=4?>[,dT)=坐<黑>半可得〃2)>/卜介，

e~9\2)4494k2√

又當(dāng)%>O時，/(x)=—>O,

ex

「1、「4

所以函數(shù)/(x)在區(qū)間-不+8上的值域?yàn)镺-

L2)L/

確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟：

第一步，確定函數(shù)/(X)的定義域;

第二步，求

第三步，解不等式f(x)>O,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；解不等式解集在

定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間.

19.已知函數(shù)/(x)=(α-b)χ2-x—xlnx.

(1)若曲線y="x)在點(diǎn)(Ij⑴)處的切線與X軸平行，且/(1)=。，求。力的值；

(2)若α=l,"x)≥0對XG(O,÷w)恒成立，求b的取值范圍.

【正確答案】(1)：=[；(2)?∈(→x>,0]

[?=-l

【分析】(1)對/(X)求導(dǎo)，/'(1)=0，/(l)="解方程組求出4,b即可.(2)將α=l代入，利用

參變分離可以將問題轉(zhuǎn)化為6≤1-'-叵在(O,y)恒成立，求出g(χ)=ι-L-也的最小值，令

XXXX

b4g(")min即可?

【詳解】(1)/(x)=(^-?)x2-x-x?nx,/'(x)=2(α-Z?)九一InX-2,

f[?)=a-h-?=a∫6f=0

由fjf(l)=2(α")-2=0,"N=-1'

(2)因?yàn)棣?l,/(x)=(1-b)x2-x-xlnx,

/(x)≥0等價于小」-嗎

XX

令g(χ)=--Mg<χ)=M

當(dāng)Xe(0,1)時，g'(x)<O,所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,

當(dāng)xw(l,~)時，g'(x)>O,所以g(x)在(1,一)上單調(diào)遞增，

所以g(x)mil,=g(l)=O,

所以b∈(τo,0].

本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，屬于中檔題.

20.工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每日的成本C(單位：元)與日產(chǎn)量X(單位：噸)滿足函數(shù)關(guān)系式

C=IOoOO+20x,每日的銷售額R(單位：元)與日產(chǎn)量X滿足函數(shù)關(guān)系式：

I32

-----X+cιx~+290,X<X<120_

R=30,已知每日的利潤y=R-C,且當(dāng)χ=30時y=-100.

20400,x>120

⑴求〃的值；

(2)當(dāng)日產(chǎn)量為多少噸時，每日的利潤可以達(dá)到最大，并求出最大值.

【正確答案】（l）a=3

⑵當(dāng)日產(chǎn)量為90噸時每日的利潤可以達(dá)到最大值14300元

【分析】（1）由題意列出利潤y與日產(chǎn)量X滿足函數(shù)關(guān)系式，由當(dāng)χ=30時y=-100,求出〃的值；

（2）由利潤y與日產(chǎn)量X滿足函數(shù)關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，求出最大值及取最大值的條

件.

——X3+ar2+270x-10000,0<x<120

【詳解】（1）由題意可得，y=30

l0400-20x,x≥120

因?yàn)閤=30時y=-100,J??-100=-^×30,+tι×302+270×30-10000.

解得α=3.

（2）當(dāng)0<x<120時，y=--X3+3X2+270X-10000,

2

∕=-^X+6X+270,由y=-?^χ2+6χ+270=0可得：χ∣=90,Λ2=-30（舍）

所以當(dāng)X∈（O,9O）時，y>0,原函數(shù)是增函數(shù)，當(dāng)xe（90,120）時，/<0,原函數(shù)是減函數(shù)，所以

當(dāng)x=90時，V取得最大值14300.

當(dāng)x≥120時，y=10400-20x≤8000.

所以當(dāng)日產(chǎn)量為90噸時每日的利潤可以達(dá)到最大值14300元.

21.已知函數(shù)/（x）=InX+g0χ2+（α+］）χ.

（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（2）設(shè)函數(shù)，（為圖象上不重合的兩點(diǎn)人（西方）,8（々,%）（%>々）.證明.砥3>/'（五產(chǎn)）（心8是直線

AB的斜率）

【正確答案】（1）①當(dāng)“20時，函數(shù)/O）在（0,m）上單調(diào)遞增；②當(dāng)α<0時，函數(shù)/O）在（0,-L）上

a

單調(diào)遞增，在（-L+∞）上單調(diào)遞減.（2）證明見解析

a

（1）先由題意，得到函數(shù)定義域，對函數(shù)求導(dǎo)，分別討論“≥0和”<0兩種情況，解對應(yīng)的不等式,

即可得出其單調(diào)性；

（2）根據(jù)斜率公式，由題意，得到％AB=y二&=嶼二電衛(wèi)+幽守+m+i）,再由

x1-x2X1-X22

/??/_\2（--1）

/（與歪）=^^+巴土善+（4+1）,將證明的問題轉(zhuǎn)化為證明ln±>上二=T-,令

2xi+x22x2x1+x2五+1

五=f(f>l),即證fG(l,+8)時，inf>組?成立，設(shè)g?)=Inf-型二D,(Cl),對其求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)

-r2t+?t+?

的方法求其范圍，即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)函數(shù)/O)的定義域?yàn)?0,”)，

且/,(X)=L-I)=.+S+Dx+1=3+D(x+D

XXX

①當(dāng)α≥0時，/'(X)=J+αv+(α+l)>0,此時/(x)在(O,+θθ)單調(diào)遞增;

X

②當(dāng)α<0時，令/(%)=?？傻肵=—或X=-I(舍)，-~>ɑ,

aa

由/'(幻〉0得O<x<-L,由廣(幻<0得天>」，

aa

所以/(X)在(0,-L上單調(diào)遞增，在(-±+8)上單調(diào)遞減.

aa

綜上：①當(dāng)?！?時，函數(shù)/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

②當(dāng)“<0時，函數(shù)AX)在(0,-1)上單調(diào)遞增，在(-L+8)上單調(diào)遞減.

a

(2)由題意得X=InXl+gar；+(4+l)χ,%=InX2+g渥+(df+l)x2,

1212

所以),_)、Inxl÷-ar；÷(Λ+1)X1-(Inx2+-OV2+(tz+l)x2)

*=二一一

?i-?z

Inxl-InX+Q(Xl+x)

22+3+1)

2

又八/)=上+返產(chǎn)1+3+1),

2x1+x22

要證砥B>/(后強(qiáng))成立,

InX.-InX,2

即證：——->京成山

-X2

即證：ln%>生二⑷=?-0

成立.

X2xi+X2Jl

X2

令:心D,即證止"+8)時，心甘成立.

設(shè)g(f)=lnι-2(/,,?>])

r+1

14"N

則g'(f)=---π=-?-?>0,a>D

t(r+l)^r(r+l)^

所以函數(shù)g(f)在(1,K)上是增函數(shù)，

所以V∕e(l,?κo),都有g(shù)(∕)>g⑴=0,

g∣JV/∈(l,-κo),Inf>也a,

r+1

所以％.>r(詈)

本題主要考查用導(dǎo)數(shù)的方法判定函數(shù)單調(diào)性，以及用導(dǎo)數(shù)的方法證明不等式恒成立，通常需要對函

數(shù)求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)的方法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，以及最值等，屬于常考題型.

_?

l^x=4coYex=t+~,

22.已知曲線C/,C2的參數(shù)方程分別為C/：一“.2八(。為參數(shù))，C2:為參數(shù)).

∣y=4sm~0,1

3y=t--

t

(1)將C/,C2的參數(shù)方程化為普通方程；

(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.設(shè)C/,C2的交點(diǎn)為P,求圓心在極軸上,

且經(jīng)過極點(diǎn)和P的圓的極坐標(biāo)方程.

、17

22

【正確答案】(1)CI/+y=4(0≤x≤4)；C2?.x-y=4；(2)/?=—cos0.

【分析】(1)分別消去參數(shù)。和f即可得到所求普通方程；

(2)兩方程聯(lián)立求得點(diǎn)P,求得所求圓的直角坐標(biāo)方程后，根據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化即可得到

所求極坐標(biāo)方程.

【詳解】(1)［方法一］：消元法

由CoS2O+siMJ=I得α的普通方程為χ+y=4(0≤χ≤4).

2

由參數(shù)方程可得x+y=2f,x-y=±,

t

兩式相乘得普通方程為/-V=4.

［方法二］【最優(yōu)解】：代入消元法

由cos*+sin2(9=l得G的普通方程為x+y=4(0≤x≤4),

由參數(shù)方程可得f=巖，

代入X=r+1中并化簡得普通方程為X2-/=4.

(2)［方法一］：幾何意義+極坐標(biāo)

X=/_|_1

將<；代入χ+y=4中解得/=2,故P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為I

y=t—

t

設(shè)P點(diǎn)的極坐標(biāo)為P(R?),

p2=x2+y2I-I—

由tanθ=2得R=*，tan%=丁cos4=登.

.X

故所求圓的直徑為2r=3=1,

cosθ5

17

所求圓的極坐標(biāo)方程為。=2rcos0,即P=??cos。.

［方法二］：

5

x,

Vz得~2

由所以P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為尸

χ-y^=43

1萬，

設(shè)圓C的極坐標(biāo)方程為p=2acosd,所以cos。=5兩=而

從而=2a--j->解得2。=二.

2√345

故所求圓的極坐標(biāo)方程為夕=MCOS氏

［方法三］：利用幾何意義

5

X=

χ+y=4,,曰；所以尸點(diǎn)的直角坐標(biāo)為p(H)，

由?2得1

χ--y=4Zl

y二

2,

化為極坐標(biāo)為PJa,其中CoSa=忌.

I2)√34

如圖，設(shè)所求圓與極軸交于E點(diǎn)，則NOP￡=90。，

所以O(shè)E=WOP=17所以所求圓的極坐標(biāo)方程為p==17cosO.

cosa55

［方法四］【最優(yōu)解】:

由題意設(shè)所求圓的圓心直角坐標(biāo)為30),則圓的極坐標(biāo)方程為P=2acos0.

5

χ÷γ-4=0,戈一2，

聯(lián)立02