上海市高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：直線與圓錐曲線綜合題的“一題多解”對直線的向量參數(shù)方程的理解與應(yīng)用

【學(xué)生版】例析對直線的向量參數(shù)方程的理解與應(yīng)用

向量是近代數(shù)學(xué)最重要和最基本的數(shù)學(xué)概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的橋梁，對更新和

完善中學(xué)數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)起著重要的作用。向量集數(shù)與形于一身，有著極其豐富的實(shí)際背景；向量又作為數(shù)

學(xué)模型，廣泛地應(yīng)用于解決數(shù)學(xué)、物理學(xué)科及實(shí)際生活中的問題；因此，它在整個高中數(shù)學(xué)的地位是不言

而喻的。本文，不妨以直線的向量參數(shù)方程的定義、推導(dǎo)、變式與應(yīng)用為例，說明平面向量的工具性；

1、直線的向量參數(shù)方程的定義

給定平面上不共線的三點(diǎn)。、A與8,對于直線AB上任意一點(diǎn)P一定存在唯一的實(shí)數(shù)〃，

使下列向量等式：OP=(I-+成立；/7

反之，對任意給定的實(shí)數(shù)〃，在直線AB上都有唯一的點(diǎn)P與之對應(yīng)；

上述向量等式在將μ視為變動參數(shù)時，叫做直線AB的向量參數(shù)方程。

2、直線的向量參數(shù)方程的推導(dǎo)

設(shè)點(diǎn)P在直線AB上，則由平行向量基本定理可知，存在實(shí)數(shù)〃，

使AP=μAB=MOB-OA),所以O(shè)P=+AP=QA+μOB-μOA=(1一〃)OA++μOB①

結(jié)合以上推導(dǎo)過程；由此可見，對直線AB上任意一點(diǎn)P,一定存在唯一的實(shí)數(shù)〃滿足該向量等式；反之,

對每一個實(shí)數(shù)μ,在直線AB上都有唯一的一個點(diǎn)P與之對應(yīng)。

特別的，當(dāng)時，點(diǎn)P是AB中點(diǎn)，即OP=B(Q4++08)②，這是線段中點(diǎn)的向量表達(dá)式；

3、直線的向量參數(shù)方程的拓展

當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時，不妨設(shè)AP=m，OP=〃(加>0,n>0)A一

則①中則〃=」∏7^一，1—〃=」n一,所以，0尸=」n~。∕4T++7，L-OB③力/N

【說明】公式③相比較于公式①具有高度對稱性，且不需要計(jì)算實(shí)數(shù)〃，進(jìn)一步降低學(xué)生學(xué)習(xí)難度，有利

于公式的應(yīng)用，大幅度降低錯誤率；尤其適合在解答填充、選擇題時自然使用。

4、直線的向量參數(shù)方程在證明“三點(diǎn)共線”方面的應(yīng)用

如圖，給定平面上不共線的三點(diǎn)。、A與5,根據(jù)平面向量基本定理，

對平面上任意一點(diǎn)P,都有實(shí)數(shù)2與〃使得3*=λθA+μθfe;

則A、8、P三點(diǎn)共線的充要條件是λ+μ=l;

0

證明：①先證必要性：

②再證充分性:

綜合①、②可知，原命題成立；

【說明】證明三點(diǎn)A,B,P共線，借助向量，只需證明由這三點(diǎn)A,B,P所組成的向量中有兩個向量共

線，即證明存在一個實(shí)數(shù)λ,使X?=λR；但證明兩條直線AB〃PD,除了證明存在一個實(shí)數(shù)λ,使m=

λP?外，還要說明兩直線不重合；注意：本例的結(jié)論在解答填充、選擇題時可以直接使用。

例1、在AABC中，M為BC上一等分前,請用AB和AC來表示AM；

（1）當(dāng)M為BC中點(diǎn)時；（2）當(dāng)BM=2Md時；（3）當(dāng)=3MC時；（4）當(dāng)=XAlC時，

說明本題是直線的向量參數(shù)方程的表達(dá)式②、③的理解與直接應(yīng)用；

例2、已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)A,B,對該平面內(nèi)任一動點(diǎn)C,總有OC=32OA+（1-34）03（ZleR）（點(diǎn)。

為直線AB外一點(diǎn)），則點(diǎn)C的軌跡是什么圖形？并說明理由；

說明理解直線的向量參數(shù)方程式時要注意OP=（I-r）OA+。。6。∈R）中三向量共始點(diǎn)，左邊向量的系

數(shù)是1,右邊兩向量的系數(shù)之和為1,也可以結(jié)合向量加法的平行四邊形法則進(jìn)行理解。

例3、在AABC中，點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，且即=2成，Q是BC的中點(diǎn)，AQ與CP的交點(diǎn)為M,又&!=◎,

則t的值為.

說明本題屬于：利用平面向量基本定理求參數(shù)的值（或范圍）；揭示用平面向量基本定理解決問題的一

般思路：（1）先選擇一組基向量，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示為向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來

解決；（2）在基向量未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便.另外，要熟練運(yùn)用平面幾何

的一些性質(zhì)與直線的向量參數(shù)方程揭示的“爪”子圖形的關(guān)聯(lián)理.

例4、如圖，在AABC中，點(diǎn)。在線段BC上，且滿足DC,

過點(diǎn)。的直線分別交直線A8,AC于不同的兩點(diǎn)M,N,

若晶f=ntXh,AN=nAC,則（）

A.nt+”是定值，定值為2B.2,〃+"是定值，定值為3

C."1力1是定值，定值為2D."2掘1定值，定值為3

說明本題說明利用與用好直線的向量參數(shù)方程，對于解答題設(shè)條件含“三點(diǎn)共線”、三角形與四邊形邊

上的“分點(diǎn)”；可以起到簡單合理之效。

例5、已知在中，點(diǎn)。滿足2沉）+祖=0,過點(diǎn)。的直線/與直線AB,AC分別交于點(diǎn)M,N,磁

=/見，赤=武：.若拉0,〃>0,貝心+”的最小值為.

說明本題是直線的向量參數(shù)方程與基本不等式的整合；屬于“向量線性運(yùn)算求參數(shù)的取值范圍（最值）問

題”，一般有：（1）幾何法：即臨界位置法，結(jié)合圖形，確定臨界位置的動態(tài)分析求出范圍；（2）代數(shù)

法：即目標(biāo)函數(shù)法，將參數(shù)表示為某一個變量或兩個變量的函數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用三角函數(shù)有界

性、二次函數(shù)或基本不等式求最值或范圍。

3

例6、如圖，在AABC中，AC=-6C,點(diǎn)M,N分別在AC,BCk,

2

HAM=-AC,BN=-BC.若與AN相交于點(diǎn)P,

32

則JCP的取值范圍是

AB

說明本題考查三角形中的幾何計(jì)算，涉及了平面向量基本定理的運(yùn)用，數(shù)量積的運(yùn)算等基礎(chǔ)知識點(diǎn)，考

查運(yùn)算求解能力；直線的向量參數(shù)方程是解答本題的切入點(diǎn)。

綜上，涉及平面向量線性運(yùn)算問題的求解策略，就是：1、適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之間的聯(lián)系;

2、進(jìn)行向量運(yùn)算時，要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用“在平面內(nèi)，oi>=λθA

+μ6?是不共線向量，設(shè)。1>=λθλ+μθ?（2與M是實(shí)數(shù)），則P、A、B三點(diǎn)共線Qλ+μ=l;上述結(jié)

論可概括為“起點(diǎn)一致，終點(diǎn)共線，系數(shù)和為1”；利用此結(jié)論，可求交點(diǎn)位置向量或者兩條線段長度的

比值；當(dāng)條件中出現(xiàn)共起點(diǎn)的兩個向量的線性組合時，應(yīng)往三點(diǎn)共線方向考慮，特別的，當(dāng)系數(shù)和不是“1”

時，應(yīng)化“1”；把未知向量用已知向量表示出來，再進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到

解決。

【教師版】例析對直線的向量參數(shù)方程的理解與應(yīng)用

向量是近代數(shù)學(xué)最重要和最基本的數(shù)學(xué)概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的橋梁，對更新和

完善中學(xué)數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)起著重要的作用。向量集數(shù)與形于一身，有著極其豐富的實(shí)際背景；向量又作為數(shù)

學(xué)模型，廣泛地應(yīng)用于解決數(shù)學(xué)、物理學(xué)科及實(shí)際生活中的問題；因此，它在整個高中數(shù)學(xué)的地位是不言

而喻的。本文，不妨以直線的向量參數(shù)方程的定義、推導(dǎo)、變式與應(yīng)用為例，說明平面向量的工具性；

1、直線的向量參數(shù)方程的定義

給定平面上不共線的三點(diǎn)。、A與對于直線AS上任意一點(diǎn)P一定存在唯一的實(shí)數(shù)〃，

使下列向量等式：OP=（I-〃）。4+〃08成立；

反之，對任意給定的實(shí)數(shù)〃，在直線AB上都有唯一的點(diǎn)P與之對應(yīng)；

（J

上述向量等式在將μ視為變動參數(shù)時，叫做直線AB的向量參數(shù)方程。

2、直線的向量參數(shù)方程的推導(dǎo)

設(shè)點(diǎn)P在直線AB上，則由平行向量基本定理可知，存在實(shí)數(shù)〃，

使AP=μAB=μ（OB-OA）,所以O(shè)P=QA+AP=OA+μOB-μOA=（1一μ）Oλ++〃OB①

結(jié)合以上推導(dǎo)過程；由此可見，對直線AB上任意一點(diǎn)P,一定存在唯一的實(shí)數(shù)〃滿足該向量等式；反之,

對每一個實(shí)數(shù)μ,在直線AB上都有唯一的一個點(diǎn)P與之對應(yīng)。

特別的，當(dāng)〃時，點(diǎn)P是AB中點(diǎn)，即0尸=g（。4++。B）②，這是線段AB中點(diǎn)的向量表達(dá)式；

3、直線的向量參數(shù)方程的拓展

當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時，不妨設(shè)AP=機(jī)，OP=〃（加>0,">0）

則①中則〃="一,1一〃=—所以，。尸=—^。4++上一。B③

m+nm+nm+nm+nU

【說明】公式③相比較于公式①具有高度對稱性，且不需要計(jì)算實(shí)數(shù)〃，進(jìn)一步降低學(xué)生學(xué)習(xí)難度，有利

于公式的應(yīng)用，大幅度降低錯誤率；尤其適合在解答填充、選擇題時自然使用。

4、直線的向量參數(shù)方程在證明“三點(diǎn)共線”方面的應(yīng)用

如圖，給定平面上不共線的三點(diǎn)。、4與8,根據(jù)平面向量基本定理,

對平面上任意一點(diǎn)P,都有實(shí)數(shù)2與M使得帥=λθA+μO?;

則A、B、尸三點(diǎn)共線的充要條件是λ+μ=l;

證明：①先證必要性：

若GA,O?,θt＞的終點(diǎn)A,B,P共線，則X?〃國，

所以，存在實(shí)數(shù)m使得前=mλ?,即m-θfc=m(O?-θA),

所以，θt*=-mθA+(l÷m)θ?.令λ=-m,μ=l÷m,則λ+μ=-m+l+m=l,即存在實(shí)數(shù)λ,μ,

使得/=λθA+μθ?,且λ+μ=l;

②再證充分性：

若司》=λ6λ+μ6?,且λ+μ=l,貝!∣∕=入樂+(1—λ)0?,所以，司＞一0?=λ(6A-6?),即配=λC,

所以，Bt〃就，又BP與BA有公共點(diǎn)B,所以A,B,P三點(diǎn)共線；

綜合①、②可知，原命題成立；

【說明】證明三點(diǎn)A,B,P共線，借助向量，只需證明由這三點(diǎn)A,B,P所組成的向量中有兩個向量共

線，即證明存在一個實(shí)數(shù)λ,使皿=λ前；但證明兩條直線AB〃PD,除了證明存在一個實(shí)數(shù)λ,使a=

λ而夕卜，還要說明兩直線不重合；注意：本例的結(jié)論在解答填充、選擇題時可以直接使用。

例1、在AABC中，M為BC上一等分氤,請用AB和AC來表示AM；

(1)當(dāng)M為BC中點(diǎn)時：(2)當(dāng)8M=2Md時；(3)當(dāng)BM=3MC時：(4)當(dāng)IMC時，

提示注意題設(shè)中的，“點(diǎn)M為BC上一等分點(diǎn)”，“點(diǎn)A在直線BC外”；符合直線的向量參數(shù)方程的

前提；

解析ɑ)由以上②式，

得AM=LAB+工AC；

22

(2)由以上③式，

12

得AM=—A5+-AC

33

(3)由以上②式，

13

^AM=-AB+-AC;

44

(4)由以上③式,C

λ

得AM=——AB+AC

Λ+lI+T

說明本題是直線的向量參數(shù)方程的表達(dá)式②、③的理解與直接應(yīng)用;

例2、已知平面內(nèi)兩定點(diǎn)A,B,對該平面內(nèi)任一動點(diǎn)C,總有OC=34OA+(1-3∕l)O3(∕l∈R)(點(diǎn)0

為直線AB外一點(diǎn))，則點(diǎn)C的軌跡是什么圖形？并說明理由;

提示注意題設(shè)條件隱含“三點(diǎn)共線”的代數(shù)條件；將所給向量式與直線的向量參數(shù)方程式比較易得答案,

也可以考慮將所給向量式化簡后再觀察特點(diǎn)；

答案直線A3；

解析將已知向量等式兩邊同時減去。4,得OC-Q4=(3；I-I)Q4+(1-3；I)OB=(I-32)(08—04)

即AC=(I-3；I)AB,Λ∈∕?,又AC,AB共始點(diǎn)，所以，A,B,。三點(diǎn)共線，即點(diǎn)C的軌跡是

直線AB-,

說明理解直線的向量參數(shù)方程式時要注意OP=(I-f)0A+tOB?！蔙)中三向量共始點(diǎn)，左邊向量的系

數(shù)是I,右邊兩向量的系數(shù)之和為1,也可以結(jié)合向量加法的平行四邊形法則進(jìn)行理解。

例3、在MBC中，點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，且成=2成，。是BC的中點(diǎn)，4Q與CP的交點(diǎn)為M,又加=E,

則t的值為.

提示注意結(jié)合題設(shè)中的“等分點(diǎn)”、“中點(diǎn)”挖掘“三點(diǎn)共線”與直線的向量參數(shù)方程的關(guān)聯(lián);

答案?3

解析Bp=2Pλ,即尸為AB的一個三等分點(diǎn)，如圖所示.

X

因?yàn)锳,M,。三點(diǎn)共線，所以擊f=x曲+(Ir)由=5訪+(xT)At,

Ifncli=Ah-At,所以^￠∕=5A?+Q-ι)∕Γt.

可得%>+住—1)祀=/一就+聶。.

又舁=或+#=-At+防力，由已知所=見>,

NL

2=3?3

又誦，At不共線，所以“

X解得t=4?

J-I=

說明本題屬于：利用平面向量基本定理求參數(shù)的值(或范圍)；揭示用平面向量基本定理解決問題的一

般思路：(1)先選擇一組基向量，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示為向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來

解決；(2)在基向量未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便.另外，要熟練運(yùn)用平面幾何

的一些性質(zhì)與直線的向量參數(shù)方程揭示的“爪”子圖形的關(guān)聯(lián)理.

例4、如圖，在AABC中，點(diǎn)。在線段BC上，且滿足BD=gθC,

過點(diǎn)力的直線分別交直線AB,AC于不同的兩點(diǎn)M,N,

若病=〃以方，AN=nAC,則()

A.%+〃是定值，定值為2B.2機(jī)+〃是定值，定值為3

C.扛1盟1定值，定值為2D.?2是1定值,定值為3

提示注意根據(jù)需要尋找“可用”的“爪"子圖形；

答案D；

解析(方法1)如圖，過點(diǎn)C作CE平行于MN交45于點(diǎn)E,

由病="公可得表所以部=將=尚，

.zBΛ∕1?AΛ/〃2〃

由80=/C可r得a砥=5,所rζcκ以l商=-H=藐=P

n+~Γ~

因?yàn)榇舊嘉，所以,〃=產(chǎn)不，整理可得三+：=3,故選D；

3〃-1mn

(方法2)因?yàn)镸,D,N三點(diǎn)共線，所以而+(1—2)?俞.5UM=mAfi,AN=nAC,所以初

=λmABΛ-(?-λ)?nAC.XM)=?,所以筋一叁=；/一當(dāng)%，所以4方/+編；比較系數(shù)知λm

乙乙乙??

2121

=§,(1—z)n=j,所以益+片=3，故選D；

說明本題說明利用與用好直線的向量參數(shù)方程，對于解答題設(shè)條件含“三點(diǎn)共線”、三角形與四邊形邊

上的“分點(diǎn)”；可以起到簡單合理之效。

例5、已知在AABC中，點(diǎn)。滿足2前十仍=0,過點(diǎn)。的直線/與直線AB,AC分別交于點(diǎn)M,MA?

=聞，A^=μAt.若%>0,〃>0,則4+〃的最小值為.

提示注意題設(shè)條件“2防+5)=0”的轉(zhuǎn)化；

答案呼

解析連接AO.因?yàn)?通+5)=0,所以前=Tm，

Ab=Ah+βb=λii+^Bt=Ab+^(At-Aii)=^Aii+^At;

因?yàn)镺,M,N三點(diǎn)共線，所以存在XGR,使At)=X才宓+(I-X)R,

則n=xλIδ+(i-x)”At,所以&n+(i-x)〃At=/+§At,

212121

所以Kl=3，（i—x）〃=3，所以X=皆，i—χ=工，所以歪+需=1，

所以工+片和+/+力扣+與+級孚,

當(dāng)且僅當(dāng)；ι=√i"時等號成立，所以:.+〃的最小值為"普；

說明本題是直線的向量參數(shù)方程與基本不等式的整合；屬于“向量線性運(yùn)算求參數(shù)的取值范圍（最值）問

題”，一般有：（1）幾何法：即臨界位置法，結(jié)合圖形，確定臨界位置的動態(tài)分析求出范圍；（2）代數(shù)

法：即目標(biāo)函數(shù)法，將參數(shù)表示為某一個變量或兩個變量的函數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用三角函數(shù)有界

性、二次函數(shù)或基本不等式求最值或范圍。

3

例6、如圖，在AABC中，AC=-BC?M,N分別在AC,BC上,

29

且AM=：AC,BN=-BC.若與AN相交于點(diǎn)P,

32

則匕CP的取值范圍是

AB

提示注意尋找可用的“爪”字圖形

答案（（,2）；

解析設(shè)BC=2,AC=3,由三點(diǎn)共線的向量表示可設(shè)。尸=（1一》）。4+;?＜囚=（1一丫）。5+），。〃，

結(jié)合已知條件進(jìn)一步得到CP^-CA+-CB,

24

（CP.2

由此可得（A3）8+813-12CoS(CA,可,結(jié)合余弦函數(shù)的有界性即可得出答案.

不妨設(shè)BC=2,AC=3,由于A,P,N三點(diǎn)共線，M,P,3三點(diǎn)共線,

故由平面向量基本定理可設(shè)，CP=(I-X)C4+xCN=(l-y)C8+yCM,

因?yàn)椋珹M=-AC,BN=-BC,

32

f2

l1-x=-y

所以，CP=(I—x)C4+2cB=(l—y)CB+0C4,貝〃3,解得＜

23X,

所以，CP