河北省保定市2024屆高三年級(jí)上冊(cè)期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)

2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期高三期末調(diào)研考試

數(shù)學(xué)試題

本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

L答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡或簽字筆將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位

號(hào)填寫在答題卡上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處".

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆2B把答題卡對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如

需改動(dòng)，用格皮擦干凈后，再選涂其它答案，答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置

上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要

求作答的答案無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.集合4={,爐+工—6=0卜3={2,3},則AB=（）

A.0B.{2}C.{3}D.{2,3}

2.己知i為虛數(shù)單位，且力=l+i,則z-z=（）

A.lB.A/2C.6D.2

3.己知"為兩條不同的直線，a,僅為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）

A.al113,mHa,則初B.mc?,ncza,ml113,nil13,則?！▍^(qū)

C.m±n,m±a,nil,則cr_L/?D.m±cr,mlIn,all/3,則〃_1_尸

/、2x+m,x<0_一

4.若=|是奇函數(shù)，則（）

以+1,%>。

A.m=-l,n=2B.m=1,〃=一2

C.m=l,n=2D.m=-1,〃=一2

5.已知銳角a的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊在九軸非負(fù)半軸,現(xiàn)將角a的終邊繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)2后，交以原點(diǎn)為圓心

3

的單位圓于點(diǎn)則cos。的值為（

,3用446+3勺SD0

A■?

10101010

6.已知向量a=。為單位向量，且滿足,+囚=卜—2a],則向量b在向量a方向的投影向量為（）

7.保定的府河發(fā)源于保定市西郊，止于白洋淀藻雜淀，全長26公里.府河作為保定城區(qū)主要的河網(wǎng)水系，是城

區(qū)內(nèi)主要的排瀝河道.府河橋其橋拱曲線形似懸鏈線，橋型優(yōu)美，是我市的標(biāo)志性建筑之一，懸鏈線函數(shù)形式

，1%、x—x

a——。—I-p

為y=—,當(dāng)其中參數(shù)〃=1時(shí)，該函數(shù)就是雙曲余弦函數(shù)COSh%=-------，類似地有雙曲正弦

22

函數(shù)sinhx=^―（—.若設(shè)函數(shù)/（x）=sinhx-coshx,若實(shí)數(shù)x滿足不等式/（3x-4）+/（x2）<o,則%的

取值范圍為（）

D.(l,4)

V2y2

8.在橢圓一十=1（Q>Z?>0）中，F(xiàn)],尸2分別是左，右焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn)（非頂點(diǎn)），I為APFR

a

若上返=’,則橢圓的離心率e為（

內(nèi)切圓圓心,)

。△「片后丁

11

A.-B.-c正

32.3

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列說法正確的是（）

A.從50個(gè)個(gè)體中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為20的樣本，則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為0.4

B.數(shù)據(jù)11,19,15,16,19眾數(shù)是19,中位數(shù)是15

C.數(shù)據(jù)0,1,5,6,7,11,12,這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為7

D.對(duì)于隨機(jī)事件A與5,若P（豆）=0.3,尸（叫A）=0.7,則事件A與5獨(dú)立

sinx圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來的一1，縱坐標(biāo)不變，再把圖象向右平移上71個(gè)單位

長度，最后把所得圖象向上平移一個(gè)單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖象，則關(guān)于函數(shù)g（x）,下列說法正確的

是（）

A.最小正周期為萬上單調(diào)遞增

2+0

時(shí)g(x)eD.其圖象關(guān)于點(diǎn)

4'2

11.已知曲線C:?+（1—帆）丁2=1,則以下說法正確的是（）

A.若曲線。表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則0〈根（工

2

B.若曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則其短軸長取值范圍是（2,2J5）

1—2m

J--------

D.若曲線。為雙曲線，則浙近線方程為＞=土.'------x

m-1

12.《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉腌.如圖，在四面體S-ABC中，△ABC是

直角三角形，ZB為直角，點(diǎn)E,尸分別是S3,的中點(diǎn)，且AELSC,SA=AB=2,SC=2瓜BC=4,

則（）

A.BCJL平面&LB

B.四面體S—ABC是鱉席

C.E是四面體S—A5C外接球球心

14〃

D.過A、E、歹三點(diǎn)的平面截四面體S-ABC的外接球，則截面的面積是一

3

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知圓0：x2+y2=4,過作圓。的切線/,則直線/的傾斜角為.

14.保定某中學(xué)舉行歌詠比賽，每班抽簽選唱5首歌曲中的1首(歌曲可重復(fù)被抽取)，則高三1班和高三2

班抽到不同歌曲的概率為.

15.等差數(shù)列｛4｝前13項(xiàng)和為91,正項(xiàng)等比數(shù)列｛/?“｝滿足偽=%，貝！Hog74+log7b2+…+1。87々3=■

二b

16.已知不等式e?！?依+2。對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則一的最大值為.

a

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)

△ABC的內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,且QcosA+asinC=G。.

B

(1)求角。的大小；

(2)若NACB的角平分線交AB于點(diǎn)D,CD=4,AD=2DB,求a.

18.(12分)

在菱形ABC。中，AB=26,ZBCD=60°,E,尸分別為A3,的中點(diǎn)，將菱形A5CD沿3。折

起，使=M為線段3。中點(diǎn).

(1)求NEMF大??；

(2)求直線AC與平面EF70所成角的大小.

19.(12分)

n+1

在正項(xiàng)數(shù)列｛a“｝中，％=3,且a?！?42.

(1)求證：數(shù)列［地］是常數(shù)列，并求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

⑵若止叱"31

、，記數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和為S,,,求證：-<sn<-.

)164

20.（12分）

已知拋物線C：x1=2py（p>0）的焦點(diǎn)為歹，準(zhǔn)線交y軸于點(diǎn)E,點(diǎn)H，若的面積為

1，過點(diǎn)〃作拋物線。的兩條切線切點(diǎn)分別為N.

（1）求0的值及直線肱V的方程;

（2）點(diǎn)3是拋物線弧上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)3處的切線與分別交于點(diǎn)C,D,證明：一=—.

\CH\m

21.（12分）

杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物為一組名為“江南憶”的三個(gè)吉祥物“宸宸”，“琮琮”，“蓮蓮”，聚焦共同的文化基因，

蘊(yùn)含獨(dú)特的城市元素.本次亞運(yùn)會(huì)極大地鼓舞了中國人民參與運(yùn)動(dòng)的熱情.某體能訓(xùn)練營為了激勵(lì)參訓(xùn)隊(duì)員，在

訓(xùn)練之余組織了一個(gè)“玩骰子贏禮品”的活動(dòng)，他們來到一處訓(xùn)練場(chǎng)地，恰有20步臺(tái)階，現(xiàn)有一枚質(zhì)地均勻

的骰子，游戲規(guī)則如下：擲一次骰子，出現(xiàn)3的倍數(shù)，則往上爬兩步臺(tái)階，否則爬一步臺(tái)階，再重復(fù)以上步驟，

當(dāng)隊(duì)員到達(dá)第7或第8步臺(tái)階時(shí)，游戲結(jié)束.規(guī)定：到達(dá)第7步臺(tái)階，認(rèn)定失敗；到達(dá)第8步臺(tái)階可贏得一組

吉祥物.假設(shè)平地記為第0步臺(tái)階.記隊(duì)員到達(dá)第九步臺(tái)階的概率為乙（0W〃W8）,記4=1.

（1）投擲4次后，隊(duì)員站在的臺(tái)階數(shù)為第X階，求X的分布列；

（2）（i）求證：數(shù)列｛匕―/J（1"W7）是等比數(shù)列；

（ii）求隊(duì)員贏得吉祥物的概率.

22.（12分）

己知函數(shù)/；以2.

（1）若/（x）在（0,y）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）若/（X）有兩個(gè)極值點(diǎn)分別為石，％2（再<尤2），當(dāng)4〉1時(shí)，證明：\+2%2>2+1.

高三期末調(diào)研數(shù)學(xué)試題參考答案

一、選擇題

12345678

BDDADCAB

二、選擇題

9101112

ACDABABDABD

三、填空題

57r43

13.—（或?qū)憺?50。）14.-15.1316.——In3

652

四、解答題

17.【解】（1）由百ccosA+〃sinC=及正弦定理,

可得6sinCeosA+sinAsinC=A/3sinB.

因?yàn)閟in5=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以sinAsinC=J^sinAcosC.

又sinA>0,所以sinC=GcosC,則tanC=G，

JT

又Ce(O,?),所以C=§.

(2)：CD為NACB的平分線，AD=2DB,

—BCd

設(shè)點(diǎn)。到BC和AC的距離為d,則以色=3---------=—,

S*LAC.d5

2

即—空?…〃「_c

即一'??〃一/〃，乂?十口4BCD—°AABCJ

ACAD

.1Al.乃1/.?17.71r\32

..—x4x^xsin——F—x4x?xsin—=—x6zxZ?xsin—,貝可有3。=——a，

2626232

.,.a=2g或a=0(舍去)，所以〃二2，§\

(2)方法2：???CD為NACB的平分線，AD=2DB,由內(nèi)角平分線性質(zhì)定理，b=2a,

又：C=工由余弦定理AB2=K。，3=工，

32

又,：AD=2DB,：.BD=Ba,又：CD=4,

3

...在中，cz2+—=16,：.a=2yf3.

3

18.【解】(1)方法1：由已知得三棱錐A—BCD為正四面體，棱長為2君,

又,：E,M,尸分別為AB,BD,CD中點(diǎn)

EM=MF=6

又,：AF=BF=3,：/=而

VEM2+MF2=EF2,:.EM工MF,：.NEMF=90。

方法2：取BC中點(diǎn)N,連接DN

VAN±BC,DN±BC,ANDN=N

，平面AM),BC_LAD

又,：EMHAD,MFUBC

C.EMLMF,.\ZEMF=90°

方法3：為3￡>中點(diǎn)，ND，平面AMC,

平面AMCJ_平面BCD,平面AMC平面38=。/,

...過A作AO，。/,則AO_L平面BCD,

以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，00所在直線為x軸，過。作C。垂線為y軸，04所在直線為z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系.

B(1,-A/3,0),￡>(1,6,0),C(-2,0,0),A,0,2碼

EM=1AD-1(1,-73,-2A/2),AfF=|BC=!(-3,73,0)

EMMF=1(-3+3)=0,：.EM±MF,：.ZEMF=9Q°

(2)???加為8口中點(diǎn)，；.3，&),CM±BD,

ND,平面AMC,...平面AMC,平面BCD,平面AMC］平面500=。/,

.?.過A作AO，。/,則AO,平面BCD,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，0M所在直線為x軸,

過。作CD垂線為y軸，04所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

B(l,-V3,0),￡>(1,6,0),C(-2,0,0),A(0,0,2A/2)

EAf=|AD=|(1,-73,-2V2),MF=1BC=|(-3,A0)

設(shè)平面石/13法向量為〃=(%,y,z)

n-EM=0'曰x+—2\/2z=0

n-MF=0-3%+百y=0

令1=1,則丁=百，z=母，；.n=0,6,垃)

j2—4|=e

AC=^-2,0,-2A/2sin<9=cos",AC

―戈?瓦一2

???AC與平面EMF所成角為45°

n+2n+\

19.【解】(1)方法1:。1。2……

〃"+2

相除得Tr，即

+l

所以lgCi=lga"-即nlgafl+1=(n+l)lgan,

所以她旦=里生，所以電空=鑒幺=坨3

n+1n21

結(jié)合蜘"=眼，所以眼=如=坨3,即數(shù)列［納］是常數(shù)列

n+1nn1n

所以lga〃=〃lg3=lg3",所以%=3〃

n+l

(1)方法2：,:a”…a“=a’,

72+1

兩邊取對(duì)數(shù)得，Igo,+lgtz2+lga,+......lga?lga“①

Yl

lgq+lg4+lg%+.......lgan_x=-lg%②

^4口in+1.npann.n—1,

①一②得.lgan=flgan_x,即耳lgan_x=三一lgan,

.?.地=』.所以叱=地

=lg3,即數(shù)列是常數(shù)列,

nn—1n1

所以lga〃=〃lg3=lg3",所以=3〃

)----------------------------------------------------------------------

n+1+1

"(??-1)(??+1-1)(3-l)(3"-l)2(3"-13"-1

cIf1111111

"2(3i—132-132-133-1'3,!-13,,+1-1)

S-1O______O<1

"2(3i-l3n+1-1)4

又因?yàn)镾"=’—4(々一〕單調(diào)遞增，所以S,2S]=a,

"42U-1)16

31

即二4S“〈一

164

11n

20.【解】⑴SAEFH=-\EF\xH=-p-^=l,所以p=2

即拋物線方程為C：x2=4y,H(l,-2)

方法1：C：y=—,y'=—＞

?4-2

設(shè)切點(diǎn)X。,；1,切線斜率為奇

r21

切線方程為＞一十=5/（》一/），此切線過7/（1,—2）

解得毛=-2,或玉＞=4,得兩切點(diǎn)坐標(biāo)Af（—2,1）,N（4,4）.

所以直線MV方程為x—2y+4=0

方法2：設(shè)加（石,％）,N（x2,y2）,在拋物線上，所以x；=4yrxf=4y2,

,一必=|x1(x-%1)

書=2(y+%)

切線方程分別為：《[n

產(chǎn)=2(y+%)

y-%=產(chǎn)(%-%2)

%=2(%-2)

又因?yàn)閮汕芯€相交于7/（1,-2〉即〃（%,％）,N（尤2,%）均在直線x=2（y—2）上,

%=2(%-2)'

即％—2y+4=0.

(2)方法1：設(shè)切點(diǎn)5(%，%)，(-2<<4)

2

r11Y2

可得過3點(diǎn)切線為：y—，-=：XB（X—XB）化簡(jiǎn)得y=—2-

由第一問方法知M（—2,1）,H（l,—2）點(diǎn),可得直線方程為y=—%-1

聯(lián)立解得C點(diǎn)橫坐標(biāo)xc=1xfi-l

同理由N,//坐標(biāo)可得直線方程y=2x—4,可得。點(diǎn)橫坐標(biāo)%=3XB+2

1111

陰=1^三二四=上1=及結(jié)論得證

sif2_imi4f2.i

22

仁煞小減:…

方法2：<

B（x3,y3）,過B的切線y—%=3%3（］一%3），交HMy-Ji=1x1(x-x1)

得％=號(hào)區(qū)，同理x?=V產(chǎn)，

%+%3

|MC|=歸一=2

|CH|\XH-%c|X]+x2xr+x3

22

xx+x2x2+x3

_%一-￡)|_2-2_WE

|即

\X2~XD\x2+x3

2——W

-g=g

21

21.【解】（1）解：由題意得每輪游戲爬一步臺(tái)階的概率為一，爬兩步臺(tái)階的概率為-

33

所以隨機(jī)變量X可能取值為4,5,6,7,8

()：32

可得P（X=4）=,PX=5=Cxgx

81

PX=7=CX=

p(X=6)=C；，()>QJ|H

p(X=8)=

所以X的分布列:

X45678

16322481

P

8181818181

(2)解：(i)證明：n=\,即爬一步臺(tái)階，是第1次擲骰子，

21

向上點(diǎn)數(shù)不是3的倍數(shù)概率Pi=3，則Pi~Po=~~

到達(dá)第〃步臺(tái)階有兩種情況：

①前一輪爬到第〃-2步臺(tái)階，又?jǐn)S骰子是3的倍數(shù)得爬兩步臺(tái)階，其概率為gp,_2

2

②前一輪爬到第步臺(tái)階，又?jǐn)S骰子不是3的倍數(shù)爬一步臺(tái)階，其概率為

12

所以。"=§4-2+§，..1("=2,3「一,7)

所以p,_p,i=_g(p,T—P"_2)("=2,3,…,7)

所以數(shù)列｛。卬―p,i｝(〃=1,2,…,7)是首項(xiàng)為—g,公比為—g的等比數(shù)列.

(此題也可用概率知識(shí)分別求出P1,Pz，...，P7具體值，再?,驗(yàn)證也可.)

(ii)因?yàn)閿?shù)列｛p?-七_(dá)]｝是首項(xiàng)為