2023年高考第一次模擬考數(shù)學試卷（新高考Ⅱ卷B卷）（解析版）

2023年高考第一次模擬考試卷（新高考II卷B卷）

數(shù)學

第I卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.設集合A={x|-l<x<2},集合8={疝<x<3},則Au8=（）

A.{xl-1<x<3){x|-l<x<1}

C.{x\i<x<2}{、2vxv3}

R答案HA

K解析X在數(shù)軸上表示兩個集合，如圖:

易知Au5={x[—1<x<3}.故選：A.

7

2-設復數(shù)Z滿足z+i="i,則E

3+4i

A.4-2iB.4+2i

5

K答案XD

K解析』依題意z=4-2i,

^=4-2i=^4-2i）_=12-16i=3-±D

4+2i4+2i（4+2i）（4-2i）205

3.幻方，是中國古代一種填數(shù)游戲."（〃eN",〃*3）階幻方是指將連續(xù)〃2個正整數(shù)排成的

正方形數(shù)陣，使之同一行、同一列和同一對角線上的〃個數(shù)的和都相等.中國古籍《周易

本義》中的《洛書》記載了一個三階幻方（如圖）.若某3階幻方正中間的數(shù)是2022,則

該幻方中的最小數(shù)為（）

OOOOOOOOO^

::°圖

圖1

A.2017B.2018C.2019D.2020

K答案》B

K解析》由題意，3階幻方正中間的數(shù)是5時，幻方中的最小數(shù)為1；因此3階幻方正中

間的數(shù)是2022時，幻方中的最小數(shù)為2022-5+1=2018,故選：B.

4.已知向量,,，人夾角為60。，且。=(1,3),忖=2則〃/=()

A.0B.10C.V10D.-710

R答案』c

K解析U由“=(1,3)可得卜卜而，故分6川Wcos60=710x2x1=710,故選：C.

5.為提高新農(nóng)村的教育水平，某地選派4名優(yōu)秀的教師到甲、乙、丙三地進行為期一年的支

教活動，每人只能去一個地方，每地至少派一人，則不同的選派方案共有()

A.A種B.12利?C.72種D.36種

K答案』D

K解析》4名教師分為3組，有C：種方法，然后再分別派到甲、乙、丙三地,

共有CjA；種方案，所以共有36種選派方案.故選：D.

6.若sin住+々］=［，則cos2a+cosa=().

(2；3

3131「4n7

A.—B.-----C.—D.—

323298

K答案2c

K解析U由已知sin(5+a)=cosa=§

所以8$2。+85。=28$2。-1+8$。=2乂(一］-1+—=——，故選：C.

⑶39

7.如圖是一個由三根細棒%、PB、PC組成的支架，三根細棒Q4、PB、PC兩兩所成

的角都為60。，一個半徑為1的小球放在支架上，則球心。到點P的距離是()

A.-3B.2C.7L3D.y/L2

K答案》c

K解析》如圖所示，連接A8,AC,BC,作ABC所在外接圓圓心。“連接AO1,A。，設

PA=x,由E4、PB、PC兩兩所成的角都為60。可得/W=AC=8C=x,因為。?為ABC

幾何中心，AO}=AB'^-'—=^-AB=^-xf易知對△PA。和POA,

2333

PNPOx=0°

ZP=ZP,ZPO.A=ZPAO=90°,所以△PAagAPOA,所以二77=萬，即g1,解得

AU.AO--x

PO=y/3.

故選：c.

8.已知函數(shù)/(x)=(l+4x*n(x+>/?IT),則在同一個坐標系下函數(shù)"x-a)與〃x)的

圖像不可能是()

K答案1D

K解析』設g(x)=lnx++1

22

x+yJx+1j+In+six+1j=0,

所以g(x)是R上的奇函數(shù),

又x>0時，g(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增，

所以g(x)在R上單調(diào)遞增，且有唯一零點0,

所以，3的圖像一定經(jīng)過原點(0,0),

當。=0時，/(x-a)與/(x)的圖像相同，不符合題意.

當時，/(x)=(l+a|x|>ln(x+V7，T)是R上的奇函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞增,

所以/(X-4)與/(x)的圖像可能為選項C；

當.<0時，若xfe,l+a|x|<0J(x)->TO,所以/(x-4)與F(x)的圖像可能為選項A或

B.故選：D.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分。

9.已知函數(shù)/(x)=Asin(s+s)(A>0,o>0,-]<8<]]的部分圖象如圖所示，則()

A.函數(shù)“X)的最小正周期為兀

B.點仁,())是曲線y=的對稱中心

37r

C.函數(shù)/(X)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增

D.函數(shù)/(x)在區(qū)間0胃內(nèi)有兩個最值點

K答案』AC

A=2&

K解析H由圖可知?Asin°=2

/Asinf+j=2V2

所以sin°=孝，又一^"<9<5,

所以9=5，

4

*….（0兀兀）1元?！?~

所以sm-^-+:=1,――+—=~+2fai,ZEZ,

I84j842

得G=2+16攵，ZeZ,

又齊忌，得。<。<4,

所以o=2,所以/(x)=20sin(2x+：

所以函數(shù)/(x)的周期為兀，A正確;

由2x+：=E,keZ得,x-y-pk&Z,取A=0得，x=-1,對稱中心為

取左=1得,x=y,對稱中心為母,0),所以點序0)不是曲線y=f(x)的對稱中心，B

錯誤;

ITITTTSIC7T

由2kn――<2x+—<2kjt+—,keZ得,E——<x<kit+—fZeZ,當A=1時，

^<X<^,函數(shù)“X）在區(qū)間[稱,內(nèi)單調(diào)遞增，c正確；

oo[_oo_

由2X+：=E+5,可得x=g+1,左eZ,取A=0得，x為函數(shù)〃x）的最值點,

,JT

所以區(qū)間0弓內(nèi)有一個最值點，D錯誤.

故選：AC.

10.已知M：x2+y2-2x-2y-2=0,直線/：2x+y+2=0,P為/上的動點，過點P

作M的切線尸4PB,切點為4B,當歸徵-M到最小時，則()

A.直線AB的方程為2x-y-1=0B.\MP\=x/5

C.直線48的方程為2x+y+l=0D.|PA|=1

K答案HBCD

K解析》圓的方程可化為(x-iy+(y-l)2=4,

點M到直線/的距離為d==逐＞2,

V22+l2

所以直線/與圓相離，

依圓的知識可知，四點AP,B,M四點共圓，且

所以1PM|.|A8|=4SPAM=4x^x\PA\x\AM\=4\PA\,

而1PAi=,

當直線時，眼兒汨=&,1PAimm=l,此時最小,

??.MP:y_l=g(x_f|Jy=gx+；,

11

x=-l

由，,y=-2x+—2,解得

y=0

2x+y+2=0

所以以MP為直徑的圓的方程為(x-l)(x+l)+y(y-l)=0,即/+丁一〉—=o,

兩圓的方程相減可得：2x+y+l=0,即為直線A8的方程.

故選：BCD.

11.如圖，正方體ABCO-AAGR的棱長為1,E,F,G分別為線段BC,CC,,BB、

上的動點(不含端點)，則()

TT

A.異面直線與"■成角可以為一

4

B.當G為中點時，存在點E,尸使直線AG與平面尸平行

9

C.當E,尸為中點時，平面AE尸截正方體所得的截面面積為6

O

D.存在點G,使點C與點G到平面AE尸的距離相等

K答案》BCD

K解析》對A：因為故與AP的夾角即為4A與AF的夾角NAAF,

又當尸與C重合時，N4AF取得最大值，為];

當F與點G重合時，/4m尸取得最小值，設其為。，貝ljtana=5=&,故a>￡；

AA4

，兀、71

又點口不能與C，G重合，故NAA^ea,],a>],故A錯誤；

對B：當G為烏8中點時，存在￡,F分別為8CCC的中點，滿足AG〃面AEE,證明如

下：

取81￡的中點為"，連接如下所示：

-----------------------71G

顯然A/〃AE,又A￡u面AEF，4M<z面4￡尸，故AM//面AE尸;

又易得MG//EF,EFu面AE￡MG<Z面AE/，故MG//面AEF；

又A"cMG=M,AM,MGu面AMG,故面A^G〃面AEF,

又AGu面4|MG,故AG〃面AEF,故B正確；

對C：連接A￡)|,"￡AE,如下所示：

%----------71G

因為EF"BC\〃AD\,故面AEFR即為平面A所截正方體所得截面;

又RF=AE=M故該截面為等腰梯形，又EF上,AD\=0,

故截面面積S=g(EF+AR)x,尸一(竺=1x號垃故C正

確;

對D：連接GC,取其中點為，，如下所示:

要使得點G到平面型的距離等于點C到平面AE尸的距離，只需跖經(jīng)過GC的中點,

顯然存在這樣的點G滿足要求，故D正確.

故選：BCD.

12.已知3"=5'=15,則小〃滿足的關系有()

A.—+—=1B.ab>4

ab

C.a2+b2<4D.(a+l)2+(Z?+l)2>16

K答案》ABD

K解析U由3"=5"=15,則a=log315>0/=log515>0,

A：二廠的記+最百=喝53+嘀55=唾/5=1,正確;

11

+2

由A知：—F丁=1且a>O,Z?>O,awb,所以1-->

B：力,即時>4,故正確,

aba

C：由A、B知：a+h=ah,ffna2+/?2=(a+b)2-lab=(ab)2-2ab=(ab-\)2-1>8,故錯

誤，

D：由上，(a+1)~+S+1)~=a~+/?~+2(a+6)+2=+2>18>16,故正確.

故選：ABD.

第II卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設a:lWx<4,p.x<m,若a是尸的充分條件，則實數(shù)機的取值范圍是.

K答案』［4,同

K解析U。是夕的充分條件，故1Vx<4=>xV?i,所以帆24,

實數(shù)俄的取值范圍為［4,+8）.

故K答案』為：［4,y）.

14.重慶八中某次數(shù)學考試中，學生成績X服從正態(tài)分布。05,人）.若2心照收120）=g,

則從參加這次考試的學生中任意選取3名學生，至少有2名學生的成績高于120的概率是

K答案U卷

K解析』因?qū)W生成績符合正態(tài)分布N（105石2）,故p（x>120）=1-*9°,120）=；,故

任意選取3名學生，至少有2名學生的成績高于120的概率為「=《（；）?1+（；）='.

故K答案H為：得

15.已知一3vxvO,則f（x）=x19-X*2的最小值為.

Q

K答案U

K解析H因為-3<x<0,

所以/（x）=xy/9-x2=-^（9-x2）-%2>--->+*=—g,

當且僅當9-/=/,即彳=-之囪時取等，

2

所以f（x）=八方二7的最小值為~.

故K答案U為：~.

16.已知拋物線C：f=4y的焦點為F,點P的坐標為（2,1）,動點A,8在拋物線C

上，且網(wǎng)J_P8,則E4+FB的最小值是.

K答案』11

K解析》依題意，設A（4a,4/）,B（做帖2）,

由于AB與p不重合，則4ax2,4/722,即2axi,3x1,

因為％J_PB,所以P4P3=(4a—2,包2—1>(46-2,4〃-1)

=4(2a-1)(26-1)+(2a+l)(2a-1)(26+1)(26-1)=(2a-l)(2/?-l)[4+(2a+1)(2/?+1)]

二(24-1)(2力-1)[4他+2(。+方)+5]=0,

貝|14〃匕=一2(〃+人)-5,

由拋物線的定義可得必+所=4。2+1+4h2+1=4。2+4人2+2=4(。2+〃2)+2

=4(〃+h)2-8ab+2=4(〃+b)2-2(—2(〃+b)—5]+2=4(〃+b)2+4(a+Z?)+12,

設，=。+6,貝1」帖+尸8=4產(chǎn)+4r+12=4，+；)+11>11,

當且僅當a+人=f=—g時，等號成立，

所以E4+FB的最小值為11.

故K答案D為：11.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

17.在.中，角4,8,C所對的邊分別為a,"c,滿足母bccsC=ga-c.

(1)求角3；

37

(2)若cosC=g,BD=4DC，△A3。的面積為二，求c的值.

(1)解：利用正弦定理得：V2sinBcosC=\f2sinA-sinC?

即V2sinBcosC=\/2sin(B+C)-sinC=>/2sinBcosC+V2cosBsinC-sinC,

化簡得sinC=V2sinCcosfi，

由。為的內(nèi)角，得sinC/0,

可得cos8=變，

2

TT

又8為ABC的內(nèi)角，所以8

4

44

(2)解：已知BZ)=4OC，則3。=13。=不〃，

SQ=；|A訓50卜由3=3L：4?￥=1,即〃c=半①,

由cosC=-1,可得sinC=Vl-cos2C=1,

sinCc2+c°sCsinN，x^+，^=^,

sinA=sin(C+3)=

44525210

a_ca_c

利用正弦定理可得，/彳=菽=邁=4即a=?夜c②

i(r58

聯(lián)立①②可得c=2.

18.已知數(shù)列｛q｝的前"項和為S”,q=3,(〃-l)S"="S,i+n2-n(n>2).

(1)求數(shù)列｛q｝的通項公式；

(2)令包喙，求數(shù)列低｝的前〃項和工,.

解：(1)因為("-1)S“=〃S,I+〃2-〃(N22),

則有(刀T)S“-nS“_]=〃2_”,

ss

兩邊同時除以〃(〃一1)得：—--9=1,S1=4=l,

nn-l

所以數(shù)列｛2｝是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，

n

故口=l+(〃_l)xl=〃，則5“=〃2,

n

22

當"N2時,an=Sn-Sn_[=n-(n-l)=2H-1,符合q=l,故〃〃=2〃-1.

/八A-an_2H-1?13572n-32〃-1小

(2)b"=^=-'7；<=2+2r+￥+F++k+〒①

1Tl3572n-32〃一1不

/=聲+3+夢+聲++”2“一十^i-②

?…后11222T22/?-l

①-②侍：-Tn=-+-+-+-+L+F-^F

19.某校為了了解學生每天完成數(shù)學作業(yè)所需的時間收集了相關數(shù)據(jù)(單位：分鐘)，并將

所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖)，其中，學生完成數(shù)學作業(yè)的時間的范圍是

(0,10()].其統(tǒng)計數(shù)據(jù)分組區(qū)間為(0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].

(1)求直方圖中x的值;

(2)以直方圖中的頻率作為概率，從該校學生中任選4人，這4名學生中完成數(shù)學作業(yè)所

需時間少于20分鐘的人數(shù)記為X,求X的分布列和數(shù)學期望.

解：(1)由直方圖小矩形面積之和為1,

可得:20x+0.025x20+0.0065x20+0.003x2x20=l,

解得x=0.0125；

(2)X的可能取值為0,1,2,3,4.

由直方圖可知，每位學生完成數(shù)學作業(yè)所需時間少于20分鐘的概率為!，

4

則尸—。)=俗、康P(x=D=嗚眇

P（X=3）=C：

所以X的分布列為:

X01234

81272731

P

25664?2864256

因為X~B(4，)

4

所以E(X)=〃p=4x；=l.

20.如圖，在多面體A8CDE尸中，四邊形CO所是邊長為2的正方形,

AB//CD,ADLCD,BE=3AB=3,AD=2.

(1)求證：平面平面8CE；

(2)求平面ADF與平面BCF所成銳角的余弦值.

(1)證明：連接30,

因為BE=34B=3,AO=2,

所以AB=1,

因為AB〃C￡),4)_L8,

所以AZ>工他，

由勾股定理得：BDAAD'AB?=石，

因為BE=3,DE=2,

故8爐=DE?+8￡)2,所以BD1DE,

又CDLDE,CDBD=D,

所以。E1平面A8a>,

又AOu平面A8CQ,

所以OE/4D,

又ADLCD,ED\CD=D,

所以4)，平面COE尸，

又CEu平面CDEF,所以AD_LCE,

又DFLCE,ADDF=D,所以CE_L平面ADF,

又CEu平面3CE,所以平面4)尸，平面BCE.

(2)解：由(1)知。A,￡?C,DE兩兩垂直，以。為原點，。4,。。,?！甑姆较驗榉統(tǒng),z軸

的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系.

C(0,2,0),￡(0,0,2),F(0,2,2),B(2,1,0),C￡=(0,-2,2),CB=(2,-1,0),CF=(0,0,2),

由C￡_L平面4)F知CE=(0,-2,2)是平面ADF的一個法向量.

設平面BCF的法向量為"=(x,y,z),

CBn=02x-y=0

由，得:

CF-n=02z=O

解得：z=O,令x=l,則y=2,故7=(1,2,0),

設平面與平面BCF所成銳角為0,

\CE-n\_|-4|710

即cos6=

\CE\-\n\~2-j2xy[5~~

所以平面ADF與平面BC尸所成銳角的余弦值為強.

5

22

21.設耳，尸,分別是雙曲線「:=-2=1(。>0,6>0)的左、右兩焦點，過點B的直線

ab

/：%—陽-t=0("2"eR)與「的右支交于M,N兩點，「過點(-2,3),且它的虛軸的

端點與焦點的距離為

(1)求雙曲線「的方程；

(2)當|M用=|6用時，求實數(shù)，〃的值；

(3)設點M關于坐標原點。的對稱點為P,當"鳥=:gN時，求APMN面積S的值.

解：(1)因為雙曲線「過點(-2,3),且它的虛軸的端點與焦點的距離為近，

_Z1_1r2_1

可得：//=,解得"ML，

從+(力+⑹=7嶼=3

2

所以雙曲線「的方程為1-上=1.

3

(2)因為直線/”一切—1=0,且過點3(2,0),

則2—/%xO—z=0,解得：1=2,

由|用制=|與周得：三角形平心為等腰三角形，

所以等腰三角形耳M8底邊的高的大小為小傷2_［吟二j=715,

又因為點F/到直線/：x-%-2=0的距離等于等腰三角形耳M心底邊上的高,

則”==岳，

化簡得：病=工即機=±巫.

1515

(3)設M(xi，y/),N(X2，＞2)，

3=1

由直線與雙曲線聯(lián)立得：3,

x-my-2=0

簡得：(3w2-l)y2+12wy+9=0,

由韋達定理得：X+M=:I2T,m=，,%=-二彳9丁，

\-3m~l-3/n

1I方xQ

又MF2=7F°N,即必=-2%，則2川=/丁

2