數(shù)學(xué)分析報(bào)告-word可編輯

數(shù)學(xué)分析漫談對(duì)于現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)—微積分，我相信大家已經(jīng)有了一定的了解，這里僅是我個(gè)人的一些想法，與大家分享一下對(duì)于“數(shù)”大家已經(jīng)并不陌生，可是什么是“數(shù)”呢？雖然接觸了“數(shù)”這么多年，我相信未必能真正認(rèn)識(shí)它，我們這里所謂的認(rèn)識(shí)，當(dāng)然是要給出數(shù)的嚴(yán)格的定義，而不僅僅是一些所謂的阿拉伯?dāng)?shù)字；對(duì)于所謂上帝創(chuàng)造的“自然數(shù)”,無論是公理集論的定義，還是對(duì)應(yīng)于一般的不用集論語言書寫的peano定理都是清晰的，這里不再贅述；對(duì)于有理數(shù)的產(chǎn)生也是自然的，可是當(dāng)有一天人們發(fā)現(xiàn)＂x2=2＂于是Dedekind切割定理為我們解決了這樣的問題，于是基本的熟悉產(chǎn)生了，從原始的意義上講，我們首先可以將他們作為一個(gè)集合A，并且是帶有一個(gè)自然全序的線性序集，然后發(fā)現(xiàn)了這個(gè)鏈?zhǔn)峭陚涞模瑥亩梢杂靡粭l直線上的點(diǎn)與之建立一個(gè)一一對(duì)應(yīng)，從而產(chǎn)生了數(shù)軸，而不要先入為主，從數(shù)軸的概念出發(fā)，從某種意義上講，我們可以認(rèn)為數(shù)是定義出來的。于是我們已經(jīng)有了“數(shù)”的概念，在小學(xué)的時(shí)候，我們就知道“有限循環(huán)小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)”，可是要解釋這個(gè)命題就必須解釋什么是無限小數(shù)，實(shí)際上這就是一個(gè)無限求和的意思，那就必須定義什么是無限求和，于是數(shù)分里定義的ε-δ語言，從而用有限的求和的方式定義出了無限求和，從而無限小數(shù)就是一個(gè)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，由于是正項(xiàng)單調(diào)有界的級(jí)數(shù)，從而收斂，由于數(shù)系A(chǔ)完備，所以必然是A中元素，從而是我們定義的“數(shù)”，至于無理數(shù)還是有理數(shù)，這個(gè)是容易判斷的。于是可以看出極限是用有限的來表達(dá)無限，具體可以認(rèn)為是在收斂時(shí)就是在無窮遠(yuǎn)處的取值，而數(shù)列極限與級(jí)數(shù)的區(qū)別就是數(shù)列體現(xiàn)了趨近的極限結(jié)果，而級(jí)數(shù)更體現(xiàn)了趨近的整個(gè)過程如1和0.999…后者更體現(xiàn)了其過程的起伏增減，當(dāng)然兩者可以互相轉(zhuǎn)化，這就說明在本質(zhì)上沒有區(qū)別，這又是二者的聯(lián)系。從這里也可以看到完備性是分析工作要可行的一個(gè)基本的性質(zhì)，而極限不僅是溝通無限與有限的一個(gè)橋梁，這種用有限去逼近無限的方式更是整個(gè)分析的核心思想所在我在這里用如此長的篇幅敘述數(shù)系的產(chǎn)生以及極限的意義是為了弄清楚分析的基礎(chǔ)以及其意義，以及分析數(shù)學(xué)邏輯基礎(chǔ)的嚴(yán)密性（當(dāng)然這里只是淺嘗輒止），而其他的所謂計(jì)算極限的手段如何高明以及微分、積分的方法如何出奇，我認(rèn)為都是次要的。兩個(gè)方向在有了極限的基礎(chǔ)上，微分和積分可以看成是極限的兩個(gè)互逆的方向的應(yīng)用。值得注意的是微分的極限是函數(shù)的極限，與數(shù)列的極限有區(qū)別。這里limn→∞An可以看成是具有向一個(gè)固定方向的極限，而limx→af必須以任何的方式趨近都要存在且相等，積分的定義也是需要一個(gè)原始的概念，那就是矩形的面積，同樣我們直接定義矩形的面積是一個(gè)數(shù)，就等于其邊長之積，從而將一個(gè)區(qū)域可以分成很多的有限的小矩形，從而可以用Riemann和極限的方法求出bafdx，不過這里要求了極限與取法和劃分無關(guān)，也體現(xiàn)積分值是該函數(shù)的一個(gè)本質(zhì)屬性，在這里與函數(shù)在某點(diǎn)極限的定義是一個(gè)道理，雖然這里是Riemann有了微分和積分，這就是有了微觀的微分和宏觀的積分，從而為實(shí)際的應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)，為工程上的計(jì)算提供了計(jì)算方法，但實(shí)際的計(jì)算往往不如書上的容易，因此數(shù)值計(jì)算和近似計(jì)算無論是在實(shí)際上還是理論上都是研究必須的。分析研究的基本對(duì)象是函數(shù)，當(dāng)然我們就必須先研究清楚函數(shù)是否可被基本的好的函數(shù)表出，具體說極限的方式表出，于是誕生了函數(shù)級(jí)數(shù)收斂的方法，由函數(shù)級(jí)數(shù)的手段，我們可以知道所有的函數(shù)基本可以分成兩類：一、指數(shù)函數(shù)；二、冪函數(shù)。這是由于三角函數(shù)可以用eit±e-it來表示，這正是函數(shù)級(jí)數(shù)的結(jié)果，對(duì)于這種具有良好的可微性的冪函數(shù)，我們總是希望用他們來逼近所有的函數(shù)，可是發(fā)現(xiàn)若可以用f(x)他們逼近的，甚至只是在局部的逼近，f(x)都必須具有一定的可微的性質(zhì)，這對(duì)于大多數(shù)的函數(shù)來說是一個(gè)比較強(qiáng)的條件，而且有時(shí)候還沒有好的結(jié)果，因此雖然有Taylor展開，以及冪級(jí)數(shù)展開，這些都是不夠的，后來的Fourier級(jí)數(shù)要求f(x)是可積的或絕對(duì)可積的，而我們知道一個(gè)函數(shù)若只有可列個(gè)不連續(xù)點(diǎn)，那么他是可積的，可是雖然這樣將函數(shù)的性質(zhì)降低了，但是f(x)對(duì)應(yīng)的Fourier級(jí)數(shù)的收斂性卻增大了難度，更不要說收斂于他了，從這里可以窺見函數(shù)的分解成了一個(gè)不容易的問題。在理論上，如果一個(gè)函數(shù)在其定義域上可以被分段分解，那么他的性質(zhì)就可以被刻畫的比較清楚，這種化歸的方法在這里遇到了困難，自然我們就想到能否用一組類似線性空間基的方法來表示滿足某種性質(zhì)的一部分函數(shù)組成的線性空間，于是有了用{1、sinnx、cos教材問題對(duì)于這本數(shù)學(xué)分析的教材，由于我學(xué)習(xí)尚淺，因此更能以一個(gè)學(xué)習(xí)者的身份去看待它，并不是說教材有什么錯(cuò)，而僅僅是我個(gè)人的一些理解而已首先，我覺得本書對(duì)于有界數(shù)集必有確界的定理的證明是有誤的，其中實(shí)際上有循環(huán)論證之嫌，這里主要是在沒有建立一個(gè)完整的邏輯基礎(chǔ)之前就直接或間接運(yùn)用了一些在這個(gè)等價(jià)命題之下的一些結(jié)論，具體是其證明的過程中運(yùn)用了實(shí)數(shù)的無限小數(shù)的表示形式，而這種表示要成立的話，就必須用到級(jí)數(shù)的收斂，即要用到單調(diào)數(shù)列必收斂，從而要用到有上界必有上確界證明單調(diào)有界數(shù)列必收斂，這就是說循環(huán)論證了。對(duì)于積分后面的無界函數(shù)的反常積分的類似無窮區(qū)域上的反常積