新高考2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)練習(xí) 第29講外接球與內(nèi)切球問(wèn)題學(xué)生版

第29講外接球與內(nèi)切球問(wèn)題

一.選擇題（共20小題）

1.（2021春?潤(rùn)州區(qū)校級(jí)期末）若棱長(zhǎng)為2√Σ的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表

面積為（）

A.12萬(wàn)B.24;TC.36萬(wàn)D.144乃

2?（2021?泉州二模）如圖是一個(gè)由6個(gè)正方形和8個(gè)正三角形圍成的十四面體，其所有頂

點(diǎn)都在球。的球面上，若十四面體的棱長(zhǎng)為1,則球。的表面積為（）

3.（2021?三模擬）如圖，已知一底面半徑為1,體積為方的圓錐內(nèi)接于球。（其中球心。在

圓錐內(nèi)），則球。的表面積為（）

B.%C.當(dāng)D.竺萬(wàn)

933

4.（2021?甲卷）已知/,B,C是半徑為1的球。的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且4CJ.8C,

ZC=BC=I,則三棱錐。-N8C的體積為（）

5.（2021春?讓胡路區(qū)校級(jí)期末）一塊邊長(zhǎng)為IOcw的正方形鐵片如圖所示，將它的陰影部

分截下，然后用余下的四個(gè)全等的等腰三角形加工成一個(gè)正四棱錐形容器，則這個(gè)正四棱錐

的外接球的表面積（）

E

289289

C.---πD.---π

4864

6.（2021?晉中三模）在正四棱錐尸-力6C。中，已知PZ=4δ=2,。為底面NBCO的中心,

以點(diǎn)。為球心作一個(gè)半徑為2叵的球，則該球的球面與側(cè)面尸8的交線長(zhǎng)度為（）

3

VδΛ∕6y[β?/e

A.71D.71C.TUD.71

6432

7.（2021?河南模擬）如圖，正方形NBs與正方形NCM所在的平面互相垂直，AB=I,

點(diǎn)1,B,C,D,E,尸在同一個(gè)球面上，則該球的體積是（）

8.在半徑為K的球內(nèi)放入5個(gè)球，其中有4個(gè)球大小相等，兩兩相外切且均與大球相內(nèi)切,

另一個(gè)小球與這四個(gè)球均相外切，則這個(gè)小球半徑為（）

A.（3-2√2）ΛB.（4-2√3）7?C.（5-2√6）ΛD.（6-2√7）7?

9.（2021春?三明期中）在三棱錐尸-/8C中，PA=PB=BC=4,AC=S,ABVBC.平

面尸/8J.平面/8C,若球。是三棱錐P-48C的外接球，則球。的表面積為（）

A.25πB.60πC.72πD.80乃

10.（2021?白山三模）如圖，正四棱錐P-ZBC。的每個(gè)頂點(diǎn)都在球M的球面上，側(cè)面P48

是等邊三角形.若半球。的球心為四棱錐的底面中心，且半球與四個(gè)側(cè)面均相切，則半球。

的體積與球M的體積的比值為（）

2

P

11.（2021?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）已知矩形∕8CO,AB=\,=2,點(diǎn)E為8C邊的中點(diǎn)將

A48E沿ZE翻折，得到四棱錐B-IECD,且平面BZE_L平面/ECD,則四面體B-EC。的

外接球的表面積為（）

79

A.-πB.4πC.-πD.5π

22

12.桌面上放著3個(gè)半徑為1的球，兩兩相切，在它們上方的空間里放入一個(gè)球使其頂點(diǎn)（最

高處）恰好和3個(gè)球的頂點(diǎn)在同一個(gè)平面上，該球的半徑為（）

.√2-IR√3-lr1n√3-l

A.-----------D.C.-D.---------

2332

13.（2021?龍巖模擬）如圖，在棱長(zhǎng)為10的正方體內(nèi)放入兩個(gè)半徑不相等的球O2,

這兩個(gè)球相外切，且球?與正方體共頂點(diǎn)/的三個(gè)面相切，球儀與正方體共頂點(diǎn)A的

三個(gè)面相切，則球儀的半徑最大時(shí)，球O2的體積是（）

14.（2021?桂林三模）如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高80w,將一

個(gè)球放在容器口，再向容器注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm,如不計(jì)容器

的厚度，則球的表面積為（）

3

15.（2021?聊城一模）阿基米德是古希臘偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家，是靜態(tài)力學(xué)

和流體靜力學(xué)的奠基人，和高斯、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，他在不知道球體積公式的情

況下得出了圓柱容球定理，即圓柱內(nèi)切球（與圓柱的兩底面及側(cè)面都相切的球）的體積等于

圓柱體積的三分之二.那么，圓柱內(nèi)切球的表面積與該圓柱表面積的比為（）

1I23

A.-B.-C.-D.-

2334

16.（2021?5月份模擬）已知三棱錐P-NBC的四個(gè)頂點(diǎn)在球。的球面上，PA=PC=BC=2,

/8=4,ZAPC=120°,平面產(chǎn)力CJ_平面48C,則球。的體積為（）

A.4辰B.電S萬(wàn)C.迎叵萬(wàn)D.8√5Λ-

33

17.（2021?廣西模擬）已知三棱錐尸-NBC的四個(gè)頂點(diǎn)在球。的球面上，平面NBC,

PA=AB=BC=I,P8與平面尸/C所成的角為30。，則球。的表面積為（）

A.6πB.12萬(wàn)C.16萬(wàn)D.48乃

18.（2021?廈門(mén)模擬）如圖，在四棱錐P-ZBCO的平面展開(kāi)圖中，四邊形Z8C。是邊長(zhǎng)為

2的正方形，AWE是以為斜邊的等腰直角三角形，NHDC=NFAB=90°,則四棱錐

P-48C。外接球的球心到面PBC的距離為（）

19.（2021?江蘇模擬）在三棱錐尸-43C中，Δ∕18C是邊長(zhǎng)為2的正三角形，PA=PB=PC,

E,尸分別是尸48的中點(diǎn)，且CELEF,則三棱錐P-X8C接球的表面積為（）

A.6πB.12ιC.24πI）.36;F

20.（2021春?揚(yáng)中市校級(jí)期末）已知三棱錐A-BCD的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，且/8_L

平面8C0,AB=2y∕3,AC=AD=4,CO=2√Σ,則球。的表面積為（）

A.20乃B.18萬(wàn)C.36πD.24萬(wàn)

二.填空題（共18小題）

21.（2021?蚌埠模擬）有四個(gè)半徑為1的小球，球?,球O2,球Q放置在水平桌面上，第

四個(gè)小球Qt放在這三個(gè)小球的上方，且四個(gè)小球兩兩外切.在四個(gè)小球之間有一個(gè)小球。，

與這四個(gè)小球均外切.則球。的半徑為一.

22.（2021?榆林一模）已知直三棱柱ABC-A,的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若48=NC=1,

AAt=2,NBAC=120。，則此球的表面積等于.

23?（2021?安徽模擬）已知球。是圓錐尸。的外接球，圓錐Pq的母線長(zhǎng)是底面半徑的3倍,

且球0的表面積為等，則圓錐尸。的側(cè)面積為一.

24.（2021秋?唐山期末）已知一個(gè)圓錐內(nèi)接于球。（圓錐的底面圓周及頂點(diǎn)均在同一球面

上），圓錐的高是底面半徑的3倍，圓錐的側(cè)面積為9ji日r,則球。的表面積為一.

25.（2021春?青羊區(qū)校級(jí)期末）已知邊長(zhǎng)為26的菱形48。。中，ZBAD=60°,沿對(duì)角邊

BD折成二面角A-BD-C為120。的四面體ABCD,則四面體的外接球的表面積為.

26.（2021?沈陽(yáng)三模）在四面體ZBC。中，AS。D是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，AABD是以BD

為斜邊的等腰直角三角形，平面480，平面/8C,則四面體NBCZ）的外接球的表面積

為一.

27.（2021春?包河區(qū)校級(jí)期中）把四個(gè)半徑分別為9,9,9,19的小球同時(shí)放入一個(gè)大球

中，使四個(gè)小球兩兩外切并均與大球內(nèi)切，則大球的半徑為一.

28.把半徑為，的四個(gè)小球全部放入一個(gè)大球內(nèi)，則大球半徑的最小值為一.

29.（2021?饒陽(yáng)縣校級(jí)模擬）如圖，在三棱柱月8C-4AG中，AtBl=A1C1=4,S為棱AG

上一點(diǎn)，S.ZASC=90o,ZB-L平面/CS,則三棱錐S-ZBC的外接球的表面積為.

Al_________CX

30.（2021?普陀區(qū)模擬）已知圓錐的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球

的表面積為.

5

31.（2021?奉賢區(qū)校級(jí)二模）已知A48C是面積為噸的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球。的

4

球面上.若球。的表面積為16τr,則球。的體積為—；。到平面NBC的距離為一.

32.（2021?渝水區(qū)校級(jí)模擬）阿基米德多面體，也稱為半正多面體，是指至少由兩種類型的

正多邊形為面構(gòu)成的凸多面體.如圖，從正四面體的4個(gè)頂點(diǎn)處截去4個(gè)相同的正四面體,

若得到的幾何體是由正三角形與正六邊形構(gòu)成的阿基米德多面體,且該阿基米德多面體的表

面積為76,則該阿基米德多面體外接球的表面積為一.

33.（2021?泰州模擬）由兩種或三種正多邊形面組成的凸多面體稱作阿基米德多面體.將一

個(gè)棱長(zhǎng)為12的正四面體截去4個(gè)小正四面體后可以得到一個(gè)由正三角形和正六邊形構(gòu)成的

阿基米德八面體，則該阿基米德八面體的外接球的表面積為一.

34.（2021?濰坊三模）阿基米德在他的著作《論圓和圓柱》中，證明了數(shù)學(xué)史上著名的圓柱

容球定理：圓柱的內(nèi)切球（與圓柱的兩底面及側(cè)面都相切的球）的體積與圓柱的體積之比等

于它們的表面積之比.可證明該定理推廣到圓錐容球也正確，即圓錐的內(nèi)切球（與圓錐的底

面及側(cè)面都相切的球）的體積與圓錐體積之比等于它們的表面積之比，則該比值的最大值

為一,

35.（2021秋?懷化期末）矩形/8CD中，AB=4,BC=3,沿ZC將矩形/8