高中數(shù)學- 4 歐拉 （以歐拉為背景的高中數(shù)學考題題組訓練）解析版

【高中數(shù)學數(shù)學文化鑒賞與學習】

專題4歐拉

（以歐拉為背景的高中數(shù)學考題題組訓練）

一、單選題

1.1748年，瑞士數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)了復指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關系，并寫下公式

J=cosO+isinO,這個公式在復變函數(shù)中有非常重要的地位，即著名的“歐拉公式”,

被譽為“數(shù)學中的天橋”，據(jù)歐拉公式，則下列選項不正確的是（）

B.|e7|=1

ni_ni

7ie4+e4

D.cos—=

4

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)薩=cosO+isinO可判斷ABD,根據(jù)復數(shù)的乘法運算可判斷C.

【詳解】

因為e?=cosO+isinO所以e?=cos—+isin—=i,故A正確

K=cos壬+isin臼=^+^i,

4422

故C錯誤

,故D正確

故選：C

2.數(shù)學家歐拉通過研究，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的聯(lián)系，得到著名的歐拉公

式eh=cosx+isinx（i為虛數(shù)單位），此公式被譽為“數(shù)學中的天橋''.根據(jù)歐拉公式，力表

示的復數(shù)在復平面中位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】

由題可知e"對應在復平面的點為(COS3,sin3),由1<3<乃可判斷cos3和sin3的正

負，進而得到答案.

【詳解】

由題,e31=cos3+isin3.其對應點為(cos3,sin3).

JI

因為一<3<乃知I,cos3<0,sin3>0,

2

所以點(cos3,sin3)在第二象限,

故選：B

3.歐拉恒等式*+1=03為虛數(shù)單位，e為自然對數(shù)的底數(shù))被稱為數(shù)學中最奇妙

的公式.它是復分析中歐拉公式e'n=cosx+isinx的特例：當自變量i=兀時，

i

e'=cos7t+isin7t=-l,得e加+1=0.根據(jù)歐拉公式，復數(shù)產(chǎn)在復平面上所對應的點在

第()象限.

A.—B.-C.三D.四

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)歐拉公式得到復數(shù)的代數(shù)形式，進而判斷出復平面上所對應的點所在象限.

【詳解】

根據(jù)題意z=e年=cos2+isin^^=-立-克i,故其在復平面內(nèi)對應的點的坐標為

4422

一與'一號在第三象限，

故選：C.

4.歐拉公式*=cosx+isinx(i為虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)明的，它將

指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關系，它在復變函數(shù)論

里占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學中的天橋”，方表示的復數(shù)位于復平面內(nèi)

().

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)歐拉公式ea=cosx+isinx,得到《伊，再利用復數(shù)的除法化簡，然后利用復數(shù)的

幾何意義求解.

【詳解】

解：因為e亭=cos—+isin—=i,

4422

ii/72y[2.}V26.

/=^^13+丁尸一三十丁，

221

所以復數(shù)在復平面中對應的點位于第二象限，

<>

故選：B.

5.歐拉公式*=cosx+isinx（i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)明的，它將指

數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關系，它在復變函數(shù)論里

占有非常重要的地位，被譽為“數(shù)學中的天橋”，詈表示的復數(shù)位于復平面內(nèi)

（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)定義可得濯=cosW+ising=i，代入結合復數(shù)運算求解處理.

【詳解】

..事兀..兀.1+i1+i,.

.e-=cos—+isin—=i,「-=—^=1T

22Mi

此復數(shù)在復平面中對應的點位于第四象限，

故選：D.

6.數(shù)學家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出定理：三角形的外

心、重心、垂心依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一

半，該直線被稱為三角形的歐拉線，設點0,G,〃分別為任意的外心、重心、垂

心，則下列各式一定正確的是（）

A.OG=-OHB.OH=-GH

23

「…A0+2A”「M2B0+BH

C.ACJ-L**D\j-

33

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)三點共線和長度關系可知AB正誤；利用向量的線性運算可表示出AG,BG,知

CD正誤.

【詳解】

-.?O,G,H依次位于同一條宜線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，

.113

:.OG=-GH,:.OG=-OH,OH^-GH,A錯誤，B錯誤；

232

AG=AO+OG=AO+-OH=AO+-(AH-A0]=2A0+AH,C錯誤；

33、,3

BG=BO+OG=BO+-OH=BO+-(BH-BO\=^1^^-,D正確.

33、,3

故選：D.

7.歐拉是18世紀最偉大的數(shù)學家之一，在很多領域都有杰出的貢獻.由《物理世

界》發(fā)起的一項調(diào)查表明，人們把歐拉恒等式“建+1=0”與麥克斯韋方程組并稱為“史

上最偉大的公式”.其中，歐拉恒等式是歐拉公式：/=cose+isin。的一種特殊情

況.由歐拉公式，復數(shù)z滿足(e^zH+iJzn-a,則z的虛部是()

A.iB.1C.-iD.-1

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，化簡可得復數(shù)z的表達式，根據(jù)復數(shù)的概念，即可得答案.

【詳解】

由題意得e""?"=(cos;r+isin"=(一1戶"=1,

所以(e2022m+i).z=(l+i>z=_2i,

-2i-2i（l-i）

所以z=「=；=T—i,則z的虛部是-1.

故選：D

8.費馬數(shù)是以法國數(shù)學家費馬命名的一組自然數(shù)，具有形式為2?"+1（記做4）,其中

〃為非負數(shù).費馬對〃=0,1,2,3,4的情形做了檢驗，發(fā)現(xiàn)這組費馬公式得到的

數(shù)都是素數(shù)，便提出猜想：費馬數(shù)是質(zhì)數(shù).直到1732年，數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)片=2^+1

為合數(shù)，宣布費馬猜想不成立.數(shù)列｛4｝滿足4=1暇優(yōu)一1），則數(shù)列｛4｝的前〃項

和5,滿足S”>2020的最小自然數(shù)是（）

A.9B.10C.IlD.12

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)題意得到4=2",利用等比數(shù)列的前〃項和公式求得S“=2"”-2,進而求得

S”>2022的最小自然數(shù)，得到答案.

【詳解】

由題意，可得數(shù)列｛/｝滿足q=log]/；—1）=1/222"=2",

利用等比數(shù)列的前〃項和公式，可得數(shù)列｛4｝的前n項和S“=2'（1-2，，）=211+|-2,

1—2

當〃=9時，可得$9=2'°-2=1022；

當”=10時，可得ST"-2=2046,

+1

又由5?+1-5?=2"-2?=2">0,所以其單調(diào)遞增,

所以S“>2022的最小自然數(shù)為10.

故選：B.

9.有一個非常有趣的數(shù)列]叫做調(diào)和數(shù)列，此數(shù)列的前〃項和已經(jīng)被研究了幾百

年，但是迄今為止仍然沒有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：當〃很大

時，1+L+L+……+-?ln/7+r，其中，稱為歐拉-馬歇羅尼常數(shù)，

7?0.577215664901……，至今為止都還不確定7是有理數(shù)還是無理數(shù).由于上式在〃

很大時才成立，故當〃較小時計算出的結果與實際值之間是存在一定誤差的，已知

In2?0.693,ln3?1.099.用上式估算出的ln6與實際的ln6的誤差絕對值近似為

()

A.0.073B.0.081C.0.122D.0.657

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出ln6的估計值，再根據(jù)對數(shù)的運算法則求出ln6,即可得解；

【詳解】

解：依題意l+g+；+；+E+（=ln6+y

所以ln6*l+g+；+；+（+\_7=2.45一片1.8728,

又In6=ln2+ln3ao.693+1.099=1.792

所以估算出的In6與實際的In6的誤差絕對值近似為1.8728-1.792=0.0808?0.081：

故選:B

10.歐拉公式e&=cosx+isinx（i為虛數(shù)單位，xeR）是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)

的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的關系，

它被譽為“數(shù)學中的天橋“，根據(jù)此公式可知，即在復平面內(nèi)對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)復數(shù)的幾何意義，以及弧度制即可求解.

【詳解】

解：e"=cos3+isin3,乂3radx3x57.3=171.9，為第二象限角，故

cos3c0,sin3>0,故e3在復平面內(nèi)對應的點（cos3,sin3）位于第二象限.

故選：B.

11.歐拉是18世紀最偉大的數(shù)學家之一，在很多領域中都有杰出的貢獻.由《物理世

界》發(fā)起的一項調(diào)查表明，人們把歐拉恒等式“e，"+1=0”與麥克斯韋方程組并稱為“史

上最偉大的公式其中，歐拉恒等式是歐拉公式：8〃=cose+isine的一種特殊情

況.根據(jù)歐拉公式，若復數(shù)z滿足（eMZM+ipznZi,則z的虛部是（）

A.1B.-1C.近D.-72

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，化簡可得復數(shù)Z的表達式，根據(jù)復數(shù)的概念，即可得答案.

【詳解】

由題意得e2022M=（/嚴2=（_]產(chǎn)=1,

所以d>22M+i）,z=（l+i）.z=2i,

所以z=3=H;;[=l+i,則z的虛部是1.

故選：A

12.數(shù)學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直線

上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱為三角形的歐

拉線.已知A5C的頂點A（2,0）,8（0,1）,且AC=8C,則ABC的歐拉線的方程為

()

A.2%+4y-3=0B.x-2y-3=0

C.2x-y-3=0D.4x-2y-3=0

【答案】D

【解析】

【分析】

因為AC=BC,結合題意可知14BC的歐拉線即為線段AB的垂直平分線，利用點斜式

求方程.

【詳解】

VAC=BC,結合題意可知，的歐拉線即為線段A3的垂直平分線

AB的中點為斜率砥8=-g.則A3垂直平分線的斜率A=2

則.ABC的歐拉線的方程為y-g=2（犬-1）,即4x-2y-3=0

故選：D.

13.歐拉公式被稱為世界上最完美的公式，歐拉公式又稱為歐拉定理，是用在復分析

領域的公式，歐拉公式將三角函數(shù)與復數(shù)指數(shù)函數(shù)相關聯(lián)，即e'?=cose+isin，

（6wR）.根據(jù)歐拉公式，下列說法不正確的是（）

A.對任意的夕eR,卜皿卜1B.9在復平面內(nèi)對應的點在第二象限

C.苧的實部為它D./與e"互為共軌復數(shù)

e2

【答案】C

【解析】

【分析】

利用復數(shù)的概念、幾何意義、復數(shù)的模的概念及共規(guī)復數(shù)的含義即得.

【詳解】

對于A選項，卜,=|cose+isin6|=Jcos=d+sin?。=1,A正確：

對于B選項，e2i=cos2+isin2,而cos2<0,sin2>0,故e*在復平面內(nèi)對應的點

(cos2,sin2)在第二象限，B正確;

對于C選項，e苧=cos旦+isin^=-亞+也4,實部為一變，C錯誤；

44222

對于D選項，e'"=cos6-isin，，Xe'w=cos(-(9)+isin(-6>)=cos-isin0,故e汨與

e-淚互為共舸復數(shù)，D正確.

故選：C.

14.大數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)的公式d"=cose+isin。把自然對數(shù)的底數(shù)e,虛數(shù)單位i和三

角函數(shù)聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學的和諧美，這個公式被譽為“數(shù)學中的天橋若

復數(shù)Z的模是1,純虛數(shù)馬=。曖+1-2i是實數(shù))，則|z-4的最大值是

()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

由題目分析可求出。=1，則4=-i,Z|在復平面內(nèi)對應點的坐標是(0,-1),因為復數(shù)z

的模是1,所以復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在單位圓上，即可求出卜-旬的最大值.

【詳解】

因為復數(shù)Z的模是1,所以復數(shù)Z在復平面內(nèi)對應的點在單位圓上，又

'￡.、

z,=a/+-'+l-2i=a(-l+i)+l-2i=(-a+l)+(a-2)i是純虛數(shù)，所以”=1,

\/

4=-i,4在復平面內(nèi)對應點的坐標是(0,-1),所以|z-4的最大值是2.

故選：B.

15.形如居=22"+l(〃eN*)的數(shù)被稱為費馬數(shù)，費馬完成了紜,％尸?,吊，吊的驗證

后，于1640年提出猜想：費馬數(shù)都是質(zhì)數(shù)，但由于心及之后的費馬數(shù)都實在太大了，

費馬也未能完成驗證及證明.直到1732年才被數(shù)學家歐拉算出丹=641x6700417不是質(zhì)

數(shù)，從而宣告了費馬數(shù)的猜想不成立.現(xiàn)設q=1。區(qū)(耳若任意

2222”

neN\使不等式一+——++——<4恒成立，則實數(shù)4的取值范圍是

44〃2a34%

()

A.(l,+oo)B.[l,+oo)C.(|,+oo)D.+8)

【答案】B

【解析】

【分析】

2〃1111

由題知a,,=2"-l(〃wN"),——==-------,進而根據(jù)裂項求和得

a?a?+l2-12-1a?a?+1

2?22"I

—+——++——=，進而根據(jù)不等式恒成,》即可得答案.

%a”區(qū),.2-1

【詳解】

解：因為a,,=log?(乙一l)T(〃wN*),6=2”+l(〃wN"),

所以a“=log22"-l=2"-l("€N"),

.一2"2"_1__1_1____1_

所以江=(2"-"2向-1)=三一2"—=￡一工？

2222"(11W1l}flI}

所以----1-----F4------=------+--------+?+---------

4Al+114%)(%Iqa“+J

111

因為〃eN*，zj—>0,所以1-夕」<1

2222〃

所以，對任意〃wN"使不等式---+----++-----恒成立，則421.

所以，實數(shù)2的取值范圍是

故選：B

16.若正整數(shù)小、〃只有1為公約數(shù)，則稱加、”互質(zhì).對于正整數(shù)〃，剃〃）是小于或

等于w的正整數(shù)中與w互質(zhì)的數(shù)的個數(shù).函數(shù)e（〃）以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉

函數(shù)，例如：夕⑶=2,以7）=6,9（9）=6,則下列說法正確的是（）

A.^（12）=7

B.數(shù)列｛“3"）｝是等差數(shù)列

9

C.log7<z>（7）=9+log76

D.數(shù)列■的前”項和為5,，則S,,<4

【答案】D

【解析】

【分析】

利用題中定義可判斷A選項；利用特殊值法可判斷B選項；求出夕（7）的值，結合對

數(shù)的運算性質(zhì)可判斷C選項；計算出利用錯位相減法可求得S“，可判斷D選

項.

【詳解】

對于A選項，在不超過12的正整數(shù)中，與12互質(zhì)的正整數(shù)有：1、5、7、11,故

姒12）=4,A錯；

對于B選項，因為奴3）=2,9（9）=6,以27）=18,顯然以3）、夕（9）、/（27）不成

等差數(shù)列，B錯；

對于C選項，7為質(zhì)數(shù)，在不超過79的所有正整數(shù)中，能被7整除的正整數(shù)的個數(shù)為

781

所有與79互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù)為79—7,所以，9（79）=79-78=78（7-1）=6x78,

98

因此，log7^（7）=log7（6x7）=8+log76,C錯；

對于D選項，因為2為質(zhì)數(shù)，在不超過2"的正整數(shù)中，所有偶數(shù)的個數(shù)為2'i，

所以，9（2"）=2"-2"T=2"T,所以，京阡=券，

…123n

則S“=矛+球+中++而，

1u12〃-1n

所以，is-=F+F++￥T+F,

1_J_

2

上述兩個不等式作差可得;s“=1+；+妥+++-白=-彳---^=-^r>

乙乙乙N/乙

1------

2

所以，邑=4一〃+斤2<4,口對―

故選：D.

17.在數(shù)學和許多分支中都能見到很多以瑞士數(shù)學家歐拉命名的常數(shù)、公式和定理，

如：歐拉函數(shù)。(〃)(neN,)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)〃且與〃互素的正整數(shù)

的個數(shù)，(互素是指兩個整數(shù)的公約數(shù)只有1),例如：研1)=1;9⑶=2(與3互素

有1、2)；火9)=6(與9互素有1、2、4、5、7、8).記5.為數(shù)列｛〃詞3")｝的前〃項和，則

I二()

A.^x3'?+lB,23”,+1C.1^x3"4D.空x3“+」

22224444

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)歐拉函數(shù)定義得出夕(3"),然后由錯位相減法求得和5?,從而可得兀.

【詳解】

因為與3"互素的數(shù)為1,2,4,5,7,8,10,11,L,3"-1,共有2x3”、所以

3(3")=2x3”一，則〃?夕(3")=2nx,

于是S“=2x3°+4x3\6x32+.+2"3吁’①，

23

3Sn=2x3'+4x3+6X3++2〃x3"②，

1_

由①-②得一2s“=2x30+2x3+2x3?++2x3,,_,-2nx3'=2----2〃x3”,

“1-3

則S"=竽3+:于是小號X3”.

故選：A.

18.歐拉是十八世紀偉大的數(shù)學家，他巧妙地把自然對數(shù)的底數(shù)e,虛數(shù)單位i,三角

函數(shù)cos。和sin。聯(lián)系在一起，得到公式y(tǒng)=cos6+isin。，這個公式被譽為“數(shù)學的天

橋”.根據(jù)該公式，可得小+e號的最大值為()

A.1B.6C.2D.2幣1

【答案】C

【解析】

【分析】

利用題目所給公式寫出表達式，然后利用復數(shù)的模長公式以及輔助角公式及正弦函數(shù)

的性質(zhì)即可得到最值.

【詳解】

.X

e'+e3=cos0+<sin0+cos—+/sin—

33

=^cos^+cosy^+卜in0+sin=^2+cos0+y/3sin0=j2+2sin^+^<2

.??最大值為2,

故選：C.

19.對正整數(shù)a,函數(shù)夕①)表示小于或等于a的正整數(shù)中與〃互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目，此函

數(shù)以其首位研究者歐拉命名，故稱為歐拉函數(shù).例如：因為1,357均和8互質(zhì)，所以

奴8)=4.基于上述事實，<pf—I―+2lg5+lg8-lgl4^=()

log,10

A.8B.12C.16D.24

【答案】C

【解析】

【分析】

先由對數(shù)的運算計算(」一+21g5+lg8-lgl41

,再由歐拉函數(shù)的定義求解即可.

(log?10J

【詳解】

(1Y

---+21g5+lg8-lgl4

(1%1。)

5

=(lg7+2lg5+31g2-lg2-lg7)

=(21g5+21g2)5=25=32

???小于或等于32的正整數(shù)中與32互質(zhì)的實數(shù)為1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,

25,27,29,31,共有16個，

：.(P—^―+2lg5+lg8-lgl4=火32)=16.

(1嗚10)J

故選：C

20.1614年納皮爾在研究天文學的過程中為了簡化計算而發(fā)明對數(shù)；1637年笛卡爾開

始使用指數(shù)運算：1770年，歐拉發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對數(shù)的互逆關系，指出：對數(shù)源于指

數(shù)，對數(shù)的發(fā)明先于指數(shù)，稱為數(shù)學史上的珍聞，對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，

即對數(shù)函數(shù)"x)=log“x(“>0且力1)的反函數(shù)為尸(x)=a*(〃>0且力1).已

知函數(shù)g(x)=e',F(x)=^+kg~'(x),則對于任意的弓>0,有

""A"")〉2022恒成立，則實數(shù)左的取值范圍為()

電一玉

1f\112、

A.(YO,2]B.[2,+CO)C.(1011,+co)D.——,+??

L2J

【答案】D

【解析】

【分析】

依據(jù)題意構造函數(shù)〃(力=犬+0舊-2022》為增函數(shù)，并利用導數(shù)得到關于實數(shù)人的不

等式，進而求得實數(shù)&的取值范圍

【詳解】

由題意,g(x)=e，的反函數(shù)gT(x)=lnx.

對于任意的弓>占>0,有’色)二,G)>2022,

七一%

即尸（9）-F（王）>2022（天一百），可轉(zhuǎn)化為F（x,）-2022x2>F（x,）-2022x,,

則函數(shù)y=F（x）-2022x=犬+Wnx-2022x在（0,+s）上單調(diào)遞增.

設//（x）=f+A：］nr-2022x,則〃（x）=2x+g-2022W0在（0,+s）上恒成立

即k>-2x2+2022x在（0,+8）上tH成立

.,"2JioiiYioii2^.IOH2ion2

乂-2x“+2022x=-2x-----4--------W-----,則k之-----，

I2J222

故選：D.

21.偉大的數(shù)學家歐拉28歲時解決了困擾數(shù)學界近一世紀的“巴賽爾級數(shù)”難題.當

時，T"=^^][1一意"）1一^'又根據(jù)泰勒展開式可以

得至ljsinx=x-±-+土+?+,根據(jù)以上兩式可求得

3!5!

1111z

產(chǎn)+"++T=（）

2222

A.二B.土C.二D.二

6384

【答案】A

【解析】

【分析】

由sinx+…同時除以Xi再利用展開式中V的系數(shù)可求

出.

【詳解】

VX5

由sinx=x------F----F兩邊同時除以X，

3!5!

展開式中V的系數(shù)為-，■（*+*+?++/"+

,1f111111

所以一同記+w+/+J3;

1111JI'

協(xié)CC|以1|--I—7—7+?H-7+,=---?

I2223216

故選：A.

二、填空題

22.歐立公式ei"=cose+isin6（i為虛數(shù)單位，e為自然底數(shù)）是瑞士著名數(shù)學家歐拉

發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，在復變函數(shù)論中占有非常重要的地位，

被譽為“數(shù)學中的天橋”，若將其中。取作兀就得到了歐拉恒等式/+1=0,它將兩個超

越數(shù)——自然底數(shù)e,圓周率兀，兩個單位一虛數(shù)單位i,自然數(shù)單位1,以及被稱為

人類偉大發(fā)現(xiàn)之一0聯(lián)系起來，數(shù)學家評價它是“上帝創(chuàng)造的公式”.由歐拉公式可知，

若復數(shù)z=?-'i,則z3=.

22

【答案】-i

【解析】

【分析】

本題可以根據(jù)復數(shù)乘法運算，也可以使用復數(shù)三角表示處理.

【詳解】

1.11技

—1=------------1

2/22

..上1.11.11

角符去—.：?z-------i=cos—兀+sin—n

2266

.311..II

..z'=cos—兀+isin—兀=-i

22

故答案為：-i.

23.歐拉恒等式:建+1=0被數(shù)學家們驚嘆為“上帝創(chuàng)造的等式”.該等式將數(shù)學中幾個重

要的數(shù)咱然對數(shù)的底數(shù)e,圓周率乃，虛數(shù)單位i、自然數(shù)1和0完美地結合在一起，

它是由歐拉公式:/=cos8+isinO（geR）,令。=乃得到的.根據(jù)歐拉公式，e"在復平

面內(nèi)對應的點在第象限.

【答案】二

【解析】

【分析】

利用歐拉公式，結合三角函數(shù)在各個象限的符號，即可得到答案.

【詳解】

根據(jù)歐拉公式，e2i=cos2+isin2.

因為cos2c0,sin2>0,

所以e"在復平面內(nèi)對應的點在第二象限.

故答案為：二

24.歐拉公式：ew=cosx+isinx（i是虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)明的，

它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立起三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的聯(lián)系，被譽為

“數(shù)學中的天橋”.根據(jù)歐拉公式，求尸-1|的最大值為

【答案】2

【解析】

【分析】

根據(jù)歐拉公式和復數(shù)模的計算公式，求得|*-1卜j2-2cosx,進而求得其最大值.

【詳解】

由歐拉公式e"=cosx+isinx，可得一"=|cosx+isinx-l|=|(cosx-1)+isinx|

=J(cosx-1尸+sin2x=j2-2cosx,

當cosx=-l時，上“-1|取得最大值，最大值為2.

故答案為：2.

25.據(jù)記載，歐拉公式*=cose+isine(eeR)是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它

將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)之間的關系，該公式被

譽為“數(shù)學中的天橋”.根據(jù)歐拉公式復數(shù)S的虛部為__________.

/-C

【答案】B

2

【解析】

【分析】

由題意可得e至=cos工+isinC,代入三角函數(shù)值即可得出結果.

33

【詳解】

因為e冶=cos6+isine(6￡R),

匚匚i、?Rn..冗1^3.

加以e-$=cos—+1sin—=—+——1，

3322

故z-e守虛部為3.

z—c2

故答案為：且

2

26.數(shù)學家也有許多美麗的錯誤，如法國數(shù)學家費馬于1640年提出了

行=(2)'+l(〃eN*)是質(zhì)數(shù)的猜想，直到1732年才被善于計算的大數(shù)學家歐拉算

出.月=641x6700417,也就是說月不是質(zhì)數(shù)，這個猜想不成立.設

%=公?4(居一1)(〃€“)，5”是數(shù)列｛q｝前〃項和，若2機4s“對〃wM恒成立，則，"

的最大值是.

【答案】g##。5

【解析】

【分析】

根據(jù)條件化簡得%=2"T,再求前〃項和，根據(jù)不等式恒成立可求解.

【詳解】

由題意可知，a“=log4(2)"=2"xg=2"T,2m<^~=2n-\,顯然當〃=1時，，〃取

到最大值為g.

故答案為：g

27.數(shù)學家歐拉于1765年在其著作《三角形中的幾何學》首次指出：△ABC的外心

0,重心G,垂心H,依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離

的一半，該直線被稱為歐拉線.若AABC中，43=4,AC=2,則下列各式中正確的

序號是.

?2GO+GH=0?AGBC=4?AOBC=-6④

OH=OA+OB+OC

【答案】①③④

【解析】

【分析】

根據(jù)歐拉線定理可判斷①；利用向量的加、減運算可判斷②；利用向量的數(shù)量積可判

斷③；利用向量的加法運算以及歐拉線定理可判斷④.

【詳解】

解：對于①，由題意得GO=-1G〃，即2GO+G”=0,故①正確；

對于②，由G是ABC的重心，設M為中點，可得

AG=-AM=-(-AB+-AC)=-AB+-AC,

332233

^VXAGBC=^AB+AC')(AC-AB)=g(AC。一AB?)=Y,故②錯誤；

對于③，過ABC的外心。分別作48,AC的垂線，垂足為￡>,E,如圖,

D

易知。，E分別是A8，AC的中點,

則A0-8C=A0-（AC-A8）=AO-AC-QAB

=|AO||AC|cosNOAE-1AO||AB|cosZOAD

=\AE\\AC\-\AD\\AB\=^\AC^^\AB\l=-6,故③正確：

對于④，因為G為3ABe的重心，

所以G4+GB+GC=0，

^OA+OB+OC=(OG+GA)+(OG+GB)+(OG+GC)=3OG+GA+GH+GC=3OG,

所以由歐拉線定理可得OH=3OG，

所以O〃=OA+OB+OC，故④正確，

故答案為：①③④.

28.瑞士數(shù)學家歐拉(Euler)1765年在所著的《