6.4 立方根 人教版數(shù)學(xué)七年級下冊知識講解

專題6.4立方根（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解立方根的含義；2.會表示、計(jì)算一個(gè)數(shù)的立方根，會用計(jì)算器求立方根.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、立方根的定義如果一個(gè)數(shù)的立方等于，那么這個(gè)數(shù)叫做的立方根或三次方根.這就是說，如果，那么叫做的立方根.求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開立方.特別說明：一個(gè)數(shù)的立方根，用表示，其中是被開方數(shù)，3是根指數(shù).開立方和立方互為逆運(yùn)算.要點(diǎn)二、立方根的特征立方根的特征：正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0.特別說明：任何數(shù)都有立方根，一個(gè)數(shù)的立方根有且只有一個(gè)，并且它的符號與這個(gè)非零數(shù)的符號相同.兩個(gè)互為相反數(shù)的數(shù)的立方根也互為相反數(shù).要點(diǎn)三、立方根的性質(zhì)特別說明：第一個(gè)公式可以將求負(fù)數(shù)的立方根的問題轉(zhuǎn)化為求正數(shù)的立方根的問題.要點(diǎn)四、立方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動規(guī)律被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或者向左移動3位，它的立方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或者向左移動1位.例如，，，，.【典型例題】類型一、立方根??概念的理解??平方根??立方根 1．已知的算術(shù)平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，則和分別是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用算術(shù)平方根和平方根，立方根的性質(zhì)，可得到的值，由此可得到與和與的關(guān)系解：∵的算術(shù)平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了算術(shù)平方根和平方根，立方根的性質(zhì)，得出與和與的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】下列說法正確的是（

）A．的立方根是 B．的平方根是C．一定有平方根 D．表示的算術(shù)平方根【答案】C【分析】根據(jù)平方根，立方根，算術(shù)平方根的概念解答即可解：A、64的立方根是，故本選項(xiàng)不合題意；B、的平方根是，故本選項(xiàng)不合題意；C、因?yàn)?，所以一定有平方根，故本選項(xiàng)符合題意；D、的算術(shù)平方根是，故本選項(xiàng)不合題意；故選：C【點(diǎn)撥】本題考查了平方根，立方根以及算術(shù)平方根，熟記相關(guān)定義是解答本題的關(guān)鍵．【變式2】下列說法中，不正確的是（）A．是的平方根 B．的平方根和立方根都是C．負(fù)數(shù)沒有立方根 D．的算術(shù)平方根和立方根都是它本身【答案】C【分析】根據(jù)平方根、算術(shù)平方根、立方根的定義，即可一一判定．解：A.，是的平方根，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；B.的平方根和立方根都是，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；C.負(fù)數(shù)有立方根，故該選項(xiàng)不正確，符合題意；D.的算術(shù)平方根和立方根都是它本身，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了平方根、算術(shù)平方根、立方根的定義，若一個(gè)數(shù)的平方等于，則這個(gè)數(shù)叫做a的平方根，其中正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，0的算術(shù)平方根為0；若一個(gè)數(shù)的立方等于，則這個(gè)數(shù)叫做a的立方根．類型二、立方根??求一個(gè)數(shù)的立（平）方根??已知立（平）方根求原數(shù)2．求下列各式中x的值：； (2)．【答案】(1)或5(2)【分析】（1）利用平方根的性質(zhì)解答，即可求解；（2）利用立方根的性質(zhì)解答，即可求解．（1）解：∴，即，解得：或5；（2）解：，∴，解得：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了利用平方根和立方根解方程，熟練掌握平方根和立方根的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】求下列各式中的x的值． (2)【答案】(1)或(2)【分析】（1）利用平方根解方程；（2）利用立方根解方程．（1）解：∵，∴，∵，∴，解得：或；（2）解：∵，∴，∵，∴，解得：．【點(diǎn)撥】本題考查利用平方根和立方根解方程．熟練掌握平方根和立方根的概念，是解題的關(guān)鍵．【變式2】求下列各式中的值：【答案】（1）x=4；（2）【分析】（1）根據(jù)立方根的定義解答；（2）根據(jù)平方根定義解答．解：（1）x+2=6，x=4；（2）．【點(diǎn)撥】此題考查了利用立方根定義及平方根定義解方程，正確求一個(gè)數(shù)的立方根及平方根是解題的關(guān)鍵．類型三、立方根??平方根??立方根??綜合應(yīng)用3．已知a是2的平方根，b是（﹣13）2的平方根，c的立方根是﹣3，d的算術(shù)平方根是，回答下列問題．分別求出a，b，c，d的值；d的另外一個(gè)平方根落在圖中的．（填“段①”“段②”“段③”“段④”）【答案】(1)a=±，b=±13；c=-27，d=2(2)段②【分析】（1）根據(jù)平方根和立方根的知識可求得此題結(jié)果；（2）先求得d的另外一個(gè)平方根為，再比較出它在數(shù)軸中所在的位置．解：（1）∵（±）2==，（±13）2=（13）2，（3）3=27，（）2=2，∴±是的平方根，±13是（13）2的平方根，27的立方根是3，2的算術(shù)平方根是，∴，b=±13，c=27，d=2；（2）解：∵2的平方根是±，而，∴d的另外一個(gè)平方根落在圖中的“段②”，故答案為：“段②”．【點(diǎn)撥】此題考查了運(yùn)用平方根和立方根解決問題的能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用以上知識．舉一反三：【變式1】已知正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是和，的立方根為-2．計(jì)算：_________；_________；_________；求的算術(shù)平方根．【答案】(1)1；-1；25(2)1【分析】（1）根據(jù)一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)以及立方根的定義進(jìn)行求解即可；（2）先求出，然后根據(jù)算術(shù)平方根的定義求解即可．(1)解：∵正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是和，的立方根為-2，∴，∴，∴，故答案為：1；-1；25；(2)解：∵，∴，∴的算術(shù)平方根為1．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平方根，立方根，算術(shù)平方根，熟知三者的定義是解題的關(guān)鍵．【變式2】己知的立方根是4，的算術(shù)平方根是5，c是9的算術(shù)平方根，求a，b，c的值求的平方根．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)立方根的概念和算術(shù)平方根的概念進(jìn)行求解即可；（2）先代值計(jì)算，再根據(jù)平方根的定義進(jìn)行求解即可．（1）解：∵，∴，∴；∵，∴，∵，∴；∵，∴；（2）把：代入得：，∵，∴的平方根是：．【點(diǎn)撥】本題考查平方根，算術(shù)平方根和立方根，熟練掌握平方根：一個(gè)數(shù)的平方是，叫做的平方根；算術(shù)平方根：一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方是，叫做的算術(shù)平方根；立方根：一個(gè)數(shù)的立方是，叫做的立方根，是解題的關(guān)鍵．類型四、立方根??生產(chǎn)生活中的應(yīng)用4．在一個(gè)長、寬、高分別為8，4，2的長方體容器中裝滿水，將容器中的水全部倒入一個(gè)正方體容器中，恰好倒?jié)M（兩容器的厚度忽略不計(jì)），求此正方體容器的棱長．【答案】4cm【分析】根據(jù)長方體的體積計(jì)算可得結(jié)論；根據(jù)正方體的體積等于棱長的立方進(jìn)行開立方計(jì)算可得結(jié)論．解：由于裝滿水的長方體容器中的水，全部倒入正方體容器中，恰好倒?jié)M，所以它們的體積相等，而長方體容器的體積，所以正方體容器的體積為64，所以此正方體容器的棱長為．【點(diǎn)撥】本題主要考查了立方根的概念的運(yùn)用以及應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握立方根的應(yīng)用．舉一反三：【變式1】一個(gè)正方體的體積是，另一正方體的體積是這個(gè)正方體體積的4倍，求另一個(gè)正方體的邊長及其表面積．【答案】邊長，表面積【分析】根據(jù)題意知大正方體的體積為，則其邊長為體積的立方根，可求得表面積．解：正方體的體積為：，即正方體的邊長為：，則正方體的表面積為：，答：邊長，體積．【點(diǎn)撥】本題主要考查了有理數(shù)的乘法運(yùn)算以及立方根的知識，掌握正方體的體積公式和表面積公式是解答本題的關(guān)鍵．【變式2】李叔叔將8個(gè)正方體魔方，放入到一個(gè)容積為的正方體紙箱中，恰好填滿．求這個(gè)魔方的棱長．【答案】【分析】先算出1個(gè)魔方的體積，然后根據(jù)體積公式算出魔方的棱長即可．解：1個(gè)魔方的體積為：．則這個(gè)魔方的棱長為．答：這個(gè)魔方的棱長為．【點(diǎn)撥】本題主要考查了立方根的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方體的體積公式，準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算．類型五、立方根??能力拓展5．小明在學(xué)完立方根后研究了如下問題：如何求出的立方根？他進(jìn)行了如下步驟：①首先進(jìn)行了估算：因?yàn)?，，所以是兩位?shù)；②其次觀察了立方數(shù)：；猜想的個(gè)位數(shù)字是7；③接著將往前移動3位小數(shù)點(diǎn)后約為50，因?yàn)?，，所以的十位?shù)字應(yīng)為3，于是猜想，驗(yàn)證得：的立方根是；④最后再依據(jù)“負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)”得到，同時(shí)發(fā)現(xiàn)結(jié)論：若兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)的立方根也互為相反數(shù)；反之也成立．請你根據(jù)小明的方法和結(jié)論，完成下列問題：=；若，則；已知，且與互為相反數(shù)，求的值．【答案】(1)(2)3(3)，；，；，【分析】（1）根據(jù)題目中給定的方法進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)的立方根也互為相反數(shù)，進(jìn)行計(jì)算即可；（3）根據(jù)立方根的性質(zhì)，立方根是本身的數(shù)為，進(jìn)行分類討論，再根據(jù)兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)的立方根也互為相反數(shù)，進(jìn)行計(jì)算即可．（1）解：因?yàn)椋?，所以是兩位?shù)，因?yàn)?；猜想的個(gè)位數(shù)字是9，接著將往前移動3位小數(shù)點(diǎn)后約為117，因?yàn)?，所以的十位?shù)字應(yīng)為4，于是猜想，驗(yàn)證得：的立方根是；最后再依據(jù)“負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)”得到；（2）解：∵，∴和互為相反數(shù)，∴，∴；故答案為：3．（3）解：，即，∴或1或解得：或3或1∵與互為相反數(shù)，即，∴，即，∴時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)撥】本題考查求一個(gè)負(fù)數(shù)的立方根，以及互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的立方根也互為相反數(shù)．熟練掌握題目中給定的立方根的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】觀察求算術(shù)平方根的規(guī)律，并利用這個(gè)規(guī)律解決下列問題：，，，，，已知，求的值；已知，，求的值；根據(jù)上述探究方法，嘗試解決問題：已知，，用含的代數(shù)式表示．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根的規(guī)律，根號內(nèi)擴(kuò)大100倍，結(jié)果擴(kuò)大10倍，將式子變形即可求解；（2）根據(jù)算術(shù)平方根規(guī)律，根號內(nèi)擴(kuò)大100倍，結(jié)果擴(kuò)大10倍，將式子變形即可求解；（3）根據(jù)立方根的規(guī)律，根號內(nèi)擴(kuò)大1000倍，結(jié)果擴(kuò)大10倍，將式子變形即可求解；解：（1），．（2），．．（3），．．，即．【點(diǎn)撥】本題主要考查算術(shù)平方根、立方根、二次根式的乘法運(yùn)算，熟練掌握算術(shù)平方根、平方根的定義以及二次根式的乘法運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵．【變式2】類比平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的定義可給出四次方根、五次方根的定義：①如果，那么x叫做a的四次方根；②如果，那么x叫做a的五次方根；請根據(jù)以上兩個(gè)定義并結(jié)合有關(guān)數(shù)學(xué)知識回答問題：81的四次方根為____________；-32的五次方根為____________；若有意義，則a