第6章 實數(shù) 全章復(fù)習(xí)與鞏固 人教版數(shù)學(xué)七年級下冊知識講解

專題6.10實數(shù)（全章復(fù)習(xí)與鞏固）（知識講解）【學(xué)習(xí)目標】1.了解算術(shù)平方根、平方根、立方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根、立方根.2.了解開方與乘方互為逆運算，會用平方運算求某些非負數(shù)的平方根，會用立方運算求某些數(shù)的立方根，會用計算器求平方根和立方根.3.了解無理數(shù)和實數(shù)的概念，知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，有序?qū)崝?shù)對與平面上的點一一對應(yīng)；了解數(shù)的范圍由有理數(shù)擴大為實數(shù)后，概念、運算等的一致性及其發(fā)展變化.4.能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍.【要點梳理】要點一：平方根和立方根類型項目平方根立方根被開方數(shù)非負數(shù)任意實數(shù)符號表示性質(zhì)一個正數(shù)有兩個平方根，且互為相反數(shù)；零的平方根為零；負數(shù)沒有平方根；一個正數(shù)有一個正的立方根；一個負數(shù)有一個負的立方根；零的立方根是零；重要結(jié)論要點二：實數(shù)有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).

1.實數(shù)的分類按定義分：實數(shù)按與0的大小關(guān)系分：實數(shù)特別說明：（1）所有的實數(shù)分成三類：有限小數(shù)，無限循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)．其中有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．（2）無理數(shù)分成三類：①開方開不盡的數(shù)，如，等；②有特殊意義的數(shù)，如π；③有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001…（3）凡能寫成無限不循環(huán)小數(shù)的數(shù)都是無理數(shù)，并且無理數(shù)不能寫成分數(shù)形式.（4）實數(shù)和數(shù)軸上點是一一對應(yīng)的.2.實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng).數(shù)軸上的任何一個點都對應(yīng)一個實數(shù)，反之任何一個實數(shù)都能在數(shù)軸上找到一個點與之對應(yīng).3.實數(shù)的三個非負性及性質(zhì)：

在實數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負數(shù)。我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的非負數(shù)有如下三種形式：

（1）任何一個實數(shù)的絕對值是非負數(shù)，即||≥0；

（2）任何一個實數(shù)的平方是非負數(shù)，即≥0；

（3）任何非負數(shù)的算術(shù)平方根是非負數(shù)，即().

非負數(shù)具有以下性質(zhì)：

（1）非負數(shù)有最小值零；

（2）有限個非負數(shù)之和仍是非負數(shù)；

（3）幾個非負數(shù)之和等于0，則每個非負數(shù)都等于0.4.實數(shù)的運算：數(shù)的相反數(shù)是－；一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0.有理數(shù)的運算法則和運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.實數(shù)混合運算的運算順序：先乘方、開方、再乘除，最后算加減.同級運算按從左到右順序進行，有括號先算括號里.5.實數(shù)的大小的比較：

有理數(shù)大小的比較法則在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.法則1.實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；法則2．正數(shù)大于0，0大于負數(shù)，正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)比較，絕對值大的反而??；法則3.兩個數(shù)比較大小常見的方法有：求差法，求商法，倒數(shù)法，估算法，平方法.【典型例題】類型一、實數(shù)??平方根??立方根 1．（1）計算：． （2）求的值：．【答案】（1）；（2）或【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根，立方根，化簡絕對值進行計算即可求解；（2）根據(jù)平方根的定義解方程即可求解．解：（1）；；（2）開平方得，解得或．【點撥】本題考查了求一個數(shù)的算術(shù)平方根，立方根，根據(jù)平方根的定義解方程，正確的計算是解題的關(guān)鍵．平方根：如果一個數(shù)的平方等于，那么這個數(shù)就叫的平方根，其中屬于非負數(shù)的平方根稱之為算術(shù)平方根．立方根：如果一個數(shù)的立方等于，那么這個數(shù)叫做的立方根．舉一反三：【變式1】求下列各式中的．；（2）．【答案】(1) (2)【分析】（1）利用求平方根的方法解方程即可；（2）利用求立方根的方法解方程即可．（1）解：∵，∴，∴，解得；（2）解；∵，∴，∴．【點撥】本題主要考查了求平方根和求立方根的方法解方程，熟知求平方根和求立方根的方法是解題的關(guān)鍵．【變式2】“”就是一個著名的數(shù)學(xué)“詭辯”，有人用下述方法“說明”這一結(jié)果是“正確”的．因為，所以，，，，所以．“2＝3”這個結(jié)果顯然是不正確的，但問題出現(xiàn)在哪里呢？請你找一找，并與同學(xué)交流．【答案】錯在由得這一步【分析】由可得出，但不能得出，所以錯在由得這一步．解：錯在由得這一步，顯然，，所以．【點撥】此題主要考查了利用平方根、平方運算法則解決閱讀題目的問題，特別注意可得出，但不能得出，這是學(xué)生開平方時常犯的錯誤．2．已知的平方根是，的立方根是2．求a，b的值；求的算術(shù)平方根．【答案】(1)，； (2)的算術(shù)平方根為．【分析】（1）由平方根的定義和列方程的定義可求得，，從而可求得a、b的值；（2）把a、b的值代入求得代數(shù)式的值，最后再求其算術(shù)平方根即可．（1）解：∵的平方根是，的立方根是2，∴，，解得：，；（2）解：∵，，∴，∴的算術(shù)平方根為．【點撥】本題主要考查的是平方根、算術(shù)平方根和立方根的定義，掌握平方根和立方根的定義是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】已知的算術(shù)平方根為3，的一個平方根為，求的立方根．【答案】的立方根為2【分析】分別根據(jù)的算術(shù)平方根為3，的一個平方根為，求出的值，再求出的值，最后求出其立方根即可．解：的算術(shù)平方根為3，，即，的一個平方根為，，即，，的立方根為．故答案為：的立方根為2．【點撥】本題考查了立方根、平方根、算術(shù)平方根的定義，根據(jù)題意求出的值是解題的關(guān)鍵．【變式2】已知某正數(shù)的兩個平方根分別是和，b的立方根是，求該正數(shù)是多少？的算術(shù)平方根．【答案】(1)49 (2)4【分析】（1）根據(jù)正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，求出的值，進而求出這個正數(shù)即可；（1）先求出，代入代數(shù)式求出，再求出算術(shù)平方根即可．（1）解：由題意，得：，解得：；∴；∴該正數(shù)是：49；（2）解：∵b的立方根是，∴；∴，∴．【點撥】本題考查平方根的性質(zhì)，以及算術(shù)平方根和立方根的定義．熟練掌握正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，是解題的關(guān)鍵．類型二、實數(shù)??性質(zhì)??相關(guān)概念??化簡3．把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合中：－3.1415926，0，，，，，，1.414，，（每兩個2之間依次多一個1）（1）有理數(shù)集合：{

}；（2）無理數(shù)集合：{

}；（3）負實數(shù)集合：{

}．【答案】（1）；（2）（每兩個2之間依次多一個1）；（3）（每兩個2之間依次多一個1）【分析】實數(shù)包括有理數(shù)和無理數(shù)，根據(jù)概念逐一進行填空即可．解：有理數(shù)集合：；無理數(shù)集合：{（每兩個2之間依次多一個1）}；負實數(shù)集合：{（每兩個2之間依次多一個1）}；故答案為：；（每兩個2之間依次多一個1）；（每兩個2之間依次多一個1）．【點撥】本題主要考查了實數(shù)的定義，要求掌握實數(shù)的范圍以及分類方法．舉一反三：【變式1】一組實數(shù)按如下規(guī)律排列：，___，_____．兩條橫線上的實數(shù)分別____；第11、12個實數(shù)分別是_____．【答案】(1)； (2)；【分析】（1）觀察實數(shù)發(fā)現(xiàn)的系數(shù)分別為1，1，2，3，5，8……，從第三個數(shù)起，后一個數(shù)等于前面兩個數(shù)的和，據(jù)此即可求解；（2）按照（1）中的方法即可求解．解：（1）觀察實數(shù)發(fā)現(xiàn)的系數(shù)分別為1，1，2，3，5，8……，從第三個數(shù)起，后一個數(shù)等于前面兩個數(shù)的和，∴橫線上的實數(shù)，的系數(shù)為5+8=13，8+13=21，所以橫線上的實數(shù)分別為，（2）由（1）可知第8個數(shù)為，∴第9個數(shù)為，第10個數(shù)為，第11個數(shù)為，第12個數(shù)為，故答案為：，．【點撥】本題考查了實數(shù)的規(guī)律問題，觀察數(shù)字中的系數(shù)，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式2】已知：a，b均為有理數(shù)，且滿足．化簡．【答案】當x＜-2時，；當-2≤x≤1時，；當x＞1時，【分析】根據(jù)已知等式可得關(guān)于a和b的方程，求出a，b的值，再代入，根據(jù)x的范圍分類討論，去絕對值化簡即可．解：，a，b均為有理數(shù)，∴，∴，，∴a=-4，b=1，∴=，當x＜-2時，==；當-2≤x≤1時，==；當x＞1時，==．【點撥】本題考查了實數(shù)的運算，化簡絕對值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)實數(shù)的對應(yīng)形式得到a和b的值．4．如圖，已知BC⊥OA，BC＝3，點A在數(shù)軸上，OA＝OB．求出數(shù)軸上點A所表示的數(shù)；比較點A所表示的數(shù)與﹣3.5的大小．【答案】(1) (2)點A所表示的數(shù)小于﹣3.5【分析】（1）用勾股定理求出OB的長，進而得到

OA的長度，即可寫出數(shù)軸上點A所表示的數(shù)；（2）先計算兩數(shù)的絕對值，再得到＞3.5，再根據(jù)兩個負數(shù)比較大小，絕對值越大的負數(shù)反而小，即可得到答案．（1）解：∵BC⊥OA，∴∠BCO＝90°，∵BC＝3，OC＝2，∴，∵OA＝OB，∴OA＝，∵點A在數(shù)軸上原點O的左側(cè)，∴數(shù)軸上點A所表示的數(shù)是﹣．（2）解：｜﹣｜＝，｜﹣3.5｜＝3.5，∵，，∴＞3.5，∴﹣＜﹣3.5，∴點A所表示的數(shù)小于﹣3.5．【點撥】此題考查了勾股定理、比較實數(shù)的大小、利用數(shù)軸表示無理數(shù)等知識，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】實數(shù)的整數(shù)部分是x，小數(shù)部分是y．求x與y的值；求的值．【答案】(1) (2)0【分析】（1）先確定的取值范圍，再求x、y；（2）把x與y的值代入，化簡絕對值，再加減．（1）解：∵，即，∴；（2）∵，∴．【點撥】此題考查了估算無理數(shù)的大小，注意首先估算被開方數(shù)在哪兩個相鄰的平方數(shù)之間，再估算該無理數(shù)在哪兩個相鄰的整數(shù)之間．【變式2】觀察下列等式，并回答問題：①；②；③；④；……請寫出第⑤個等式：______，化簡：______；寫出你猜想的第n個等式：______；（用含n的式子表示）比較與1的大?。敬鸢浮?1)；(2)【分析】（1）根據(jù)已知等式的規(guī)律可以得到第⑤個等式，由于，可以根據(jù)規(guī)律得到結(jié)果；（2）由前4個等式可以猜想第n個等式為；（3）利用作差法比較大?。?）解：根據(jù)前4個式子可得第⑤個等式為：，，故答案為：；．（2）解：由前4個等式可以猜想第n個等式為，故答案為：．（3）解：∵，∴．【點撥】本題屬于探究規(guī)律類試題，主要考查絕對值的性質(zhì)、實數(shù)大小比較，熟練掌握相關(guān)知識并靈活運用是解題的關(guān)鍵．類型四、實數(shù)??實數(shù)的混合運算?運算??化簡5．實數(shù)的計算：； (2)．【答案】(1) (2)【分析】（1）先計算平方根和立方根，再計算加減；（2）先計算平方根、立方根和絕對值，再計算加減；（1）解：（2）．【點撥】此題考查了實數(shù)的混合運算能力，關(guān)鍵是能準確理解運算順序，并能進行正確地計算．舉一反三：【變式1】計算下列各題；（2）【答案】(1) (2)【分析】（1）先化簡二次根式和絕對值，再合并同類二次根式，即可得到答案；（2）先根據(jù)立方根，二次根式，負整數(shù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪進行化簡，再進行乘法運算，最后合并同類項，即可得到答案．（1）解：===（2）解：===【點撥】此題主要考查了實數(shù)的運算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．【變式2】已知的整數(shù)部分為a，的小數(shù)部分為b，求的值； (2)求的值．【答案】(1) (2)【分析】（1）先估算出，進而得到，由此求出a、b的值即可得到答案；（2）根據(jù)（1）所求進行求解即可．（1）解：∵，∴，∴，，∴，∴，∴；（2）解：由（1）得．【點撥】本題主要考查了無理數(shù)的估算，實數(shù)的混合計算，代數(shù)式求值，正確求出a、b的值是解題的關(guān)鍵．6．計算：【答案】(1) (2)【分析】（1）根據(jù)二次根式，三次根式的性質(zhì)化簡，再根據(jù)實數(shù)的混合運算即可求解；（2）根據(jù)乘方運算，絕對值性質(zhì)，二次根式的性質(zhì)，三次根式的性質(zhì)化簡，再根據(jù)實數(shù)的運算即可求解．（1）解：，故答案為：．（2）解：，故答案為：．【點撥】本題主要考查二次根式，三次根式的性質(zhì)，絕對值的性質(zhì)，冪的運算，實數(shù)的混合運算，掌握二次根式，三次根式的性質(zhì)，實數(shù)的混合運算是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】計算 (2)【答案】(1) (2)【分析】（1）先計算乘方與開方，并去絕對值符號，再計算加減即可．（2）先計算開方與乘方，再計算加減即可．（1）解：原式；（2）解：原式．【點撥】本題考查實數(shù)的混合運算，求絕對值，平方根和立方根，熟練掌握實數(shù)運算法則是解題的關(guān)鍵．【變式2】計算；（2）已知，求的值．【答案】(1) (2)【分析】（1）先逐項化簡，再算加減即可；（2）先移項，再兩邊都除以8，然后根據(jù)立方根的定義求解即可．解：（1）．（2），，，．【點撥】本題考查了實數(shù)的混合運算，利用立方根的定義解方程，熟練掌握算術(shù)平方根的定義和立方根的定義是解答本題的關(guān)鍵．類型五、實數(shù)??實數(shù)的運算??應(yīng)用7．已知，其中是整數(shù)，，求的值．【答案】試題分析：可以先估算出整數(shù)部分，再計算出的值,最后作差.解：，，=．舉一反三：【變式1】若整數(shù)的兩個平方根為，，為的整數(shù)部分．由題意得，，，．求的平方根；現(xiàn)規(guī)定一種新運算※，滿足※，求※的值．【答案】(1)4，36，3 (2)的平方根為 (3)※的值為12【分析】（1）根據(jù)平方根的概念列出方程求出a和m的值，根據(jù)無理數(shù)估算的方法求出b的值；（2）將m和a的值代入求解即可；（3）根據(jù)新定義的運算法則求解即可．解：（1）由題意得：，，，，，的整數(shù)部分為3，，，，，故答案為：4，36，3；（2）當，時，，的平方根為；（3）當時，※，※的值為12．【點撥】本題主要考查立方根、平方根及無理數(shù)的估算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方根和立方根的定義．【變式2】探究題：計算下列各式，完成填空：＝6，＝，＝，＝通過上面的計算，比較左右兩邊的等式，你發(fā)現(xiàn)了什么？請用字母表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是；請用這一規(guī)律計算