函數(shù)的概念及其表示講義-高考數(shù)學一輪復習

專題3.1函數(shù)的概念及其表示

?必背知識

i.函數(shù)的概念

函數(shù)

兩個集合A,B設(shè)A,B是兩個共半頭數(shù)集

如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)X,

對應(yīng)關(guān)系

在集合B中都有唯丁碰足的數(shù)y和它對應(yīng)，則稱

f.ATB

f-.AtB為從集合A到集合B的一個函數(shù)

2.函數(shù)的定義域、值域

(1)在函數(shù)y=f(x),xe4中，x叫做自變量，光的取值范圍4叫做函數(shù)的定義域；

與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合e4］叫做函數(shù)的值域.

(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系：

(3)相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的

依據(jù).

3.基本初等函數(shù)的值域

⑴y-kx+b(k*0)的值域是R.

(2)y=ax2+bx+c(a*0)的值域是：當a>0時，值域為(?)；當a<0時，值域為(一8,.

(3)y=H0)的值域是{y|y彳0}.

(4)y=ax(a>0且aK1)的值域是(0,+oo).

(5)y=logax(a>0且aK1)的值域是R.

(6)y=sinx,y=cosx的值域是［-1,1］>y=tanx的值域是R.

【重要結(jié)論】

1.判斷兩個函數(shù)是否為相同函數(shù)：一看定義域是否相等，二看對應(yīng)法則是否相同：

2.判斷圖象是否為函數(shù)圖象：直線x=a與圖象至多有一個交點.

4.函數(shù)的三種表示法

解析法圖象法列表法

就是把變量x,y之間的關(guān)系就是把x,y之間的關(guān)系繪制就是將變量x,y的取值列成

用一個關(guān)系式y(tǒng)=f(%)來表成圖象，圖象上每個點的坐標表格，由表格直接反映出兩者

示，通過關(guān)系式可以由X的值就是相應(yīng)的變量久，y的值.的關(guān)系.

求出y的值.

5.分段函數(shù)

(1)分段函數(shù)：若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種

函數(shù)稱為分段函數(shù)，分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù)；

(2)定義域：各段函數(shù)的定義域的并集；

(3)其值域:各段函數(shù)的值域的并集.

看教材改編

1.【人教A版必修一33P66］下列函數(shù)中，與〃幻=［坐二?'言，有相同圖象的函數(shù)是()

A.y=x(x2-1)B.y=|x|(x-1)C.x(|x|-1)D.y=x2-|x|

2.【人教A版必修一習題3.1第7題P73］(多選)畫出函數(shù)/(x)=［"二1'"1°的圖象，并求出八―2),

(-2x,x<0

f(l)，f［/(2)］的值和f(x)的值域.

考點一求函數(shù)的定義域

【方法儲備】

1.求函數(shù)的定義域：研究函數(shù)問題都應(yīng)該注意“定義域優(yōu)先”

(1)求具體函數(shù)的定義域

i)函數(shù)用解析式表示：求定義域時，不要對解析式進行化簡變形，以免定義域發(fā)生變化.一般通過列不等

式(組)求其解集，列不等式的基本原則有：

①分式：分母不能為零；

②根式：偶次根式中根號內(nèi)的式子大于等于0；若偶次根式作分母，偶次根式根號內(nèi)的式子大于0；

③零次募：x°中底數(shù)XH0;

④對數(shù)函數(shù)：對數(shù)函數(shù)中真數(shù)大于零，底數(shù)為大于0且不等于1;

⑤三角函數(shù)：正切函數(shù)y=tanx的定義域為卜*力］+kn,kez},

⑥若/(x)是由有限個基本初等函數(shù)的四則運算而合成的函數(shù)時，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義

域的交集.

⑦在求實際問題或幾何問題的定義域，此時除要考慮解析式有意義外，還應(yīng)考慮使實際問題或幾何問題有

意義.

ii)函數(shù)用列表或圖象表示：用列表法表示的函數(shù)的定義域，是指表格中實數(shù)X的集合；用圖象法表示的

函數(shù)的定義域，是指圖象在X軸上的投影所對應(yīng)的實數(shù)的集合.

注意：⑴不要對解析式進行化簡變形，以免定義域發(fā)生變化；

⑵定義域是一個集合，要用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示數(shù)集，不能用“或"連接，而應(yīng)該用并集符號

“U”連接.

(2)求抽象函數(shù)的定義域

①已知f(x)的定義域，求/(g(x))的定義域：

若/(x)的定義域為[a力],則/(g(x))中a<g(x)<b,解得x的取值范圍即為f(gO))的定義域；

②已知/'(g(x))的定義域，求/(x)的定義域：

若/(g(x))的定義域為則由aWxWb確定g(x)的范圍，即為f(x)的定義域;

③已知的定義域，求;"(Mx))的定義域：

可先由f(g(x))定義域求得代支)的定義域，再由/(x)的定義域求得/(h(x))的定義域；

④運算型的抽象函數(shù)

求由有限個抽象函數(shù)經(jīng)四則運算得到的函數(shù)的定義域，其解法是：先求出各個函數(shù)的定義域，再求交集.

注意：求抽象函數(shù)的定義域，要明確定義域指的是x的取值范圍，同一個/下括號內(nèi)的范圍是一樣的.

2.已知函數(shù)的定義域求參數(shù)的取值范圍：通常轉(zhuǎn)化為恒成立問題解決.

【典例精講】

例1.(2022?廣東省佛山市月考)已知函數(shù)〃幻=扁扁+后予，則函數(shù)/窗的定義域為()

A.(-2,0)U(0,4]B.(-1,0)U(0,2]C.[-2,2]D.(-1,2]

例2.(2023?湖北省武漢市期中)若函數(shù)/(x)的定義域為[1,3],則函數(shù)=的定義域為()

A.(1,2]B.(1,5]C.[1,2]D.[1,5]

例3.(2023?浙江省溫州市月考)若函數(shù)y=J一(1一m的定義域為R，則m的取值范圍

是.

【拓展提升】

練1-1(2023?山東省青島市期末)函數(shù)y=Ig(sinx)+Jcos久一)的定義域為.

練1-2(2022?湖南省長沙市模擬)(多選)已知函數(shù)/(mx)的定義域為(e,+8),值域為R,則()

A.函數(shù)/(x4+l)的定義域為RB.函數(shù)/(d+1)+1的值域為R

C.函數(shù)/(袈)的定義域和值域都是RD.函數(shù)/(/(*))的定義域和值域都是R

考點二求函數(shù)的解析式

【方法儲備】

求函數(shù)的解析式的常用方法：

⑴待定系數(shù)法：

已知/(X)的類型，可先設(shè)出/(X)的表達式，再根據(jù)已知條件，求出待定的參數(shù)，求得f(x)的表達式.

⑵換元法：

已知f(g(x))的解析式，先設(shè)t=g(x)，轉(zhuǎn)化為久=Mt)，再代入f(g(x))的表達式，得到外。的解析式，

即為f(x)的解析式.

⑶配湊法：

已知f(g(x))的解析式，將解析式配湊成g(x)的運算形式，從而得到/Q)的解析式.

注意：用換元法和配湊法求函數(shù)7"(%)的解析式，注意定義域的變化.

⑷構(gòu)造方程組法：

已知出現(xiàn)f(x)與/G)的關(guān)系式、f(x)與f(-x)的關(guān)系式、一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的關(guān)系式，可利

用;或-X“替換”原等式中的X,得到另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出/(X).

⑸利用函數(shù)的奇偶性求解析式：

已知為奇函數(shù)或偶函數(shù)，且已知x>0時/(X)的解析式，求x<0時八X)的解析式.先設(shè)x<0,

則-x>0,則可求出/'(-x)的解析式，再根據(jù)f(x)=f(-X)或/(X)=-/(-X),求得/(X).若f(x)為奇

函數(shù)，定義域內(nèi)有0,則f(0)=0.

⑹賦值法：

當?shù)仁桨兞枯^多，且含有“任意”等條件時，往往可以對具有“任意性”的變量進行賦值，使問題具體化、

簡單化，從而求得解析式.

【典例精講】

例4.(2022?湖南省衡陽市月考)己知f(d+妥)=/+3，則/(尤)=.

例5.(2022?江蘇省揚州市月考)若函數(shù)/(x)滿足/(久)-2/&)=x+2,則/⑵=()

A.0B.2C.3D.-3

例6.(2022?遼寧省沈陽市期末)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：①對任意的x,y&R,都有f(x-y)=

f(x)-f(y)；②當時，/(x)>0,則函數(shù)f(x)的解析式可以是.

例7.(2022?湖南省考前押題卷)己知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+l)=f(x—3),當xe[0,2]

時,/(x)=3—1,則/(-2021)=；xe[2,4]時,f(x)=.

例8.(2022?廣東省中山市月考)已知函數(shù)f(x)=a/+2x+c,(a,ceN*)滿足：①/⑴=5；

②6</(2)<11.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)若對任意的實數(shù)xe弓,|],都有/(x)-2mxW1成立，求實數(shù)小的取值范圍.

【拓展提升】

練2-1(2023?江西省南昌市模擬)已知函數(shù)f(x)滿足2f(?)+f(中)=1+x,其中xe且XH0,則

函數(shù)/(約的解析式為

練2-2(2023?河北省名校聯(lián)考)已知函數(shù)y=f(久)的圖象關(guān)于y軸對稱，且對任意的xeR/(x+兀)=

f(x)恒成立，請寫出一個滿足以上條件函數(shù)y=的解析式(非常值函數(shù)).

練2-3(2023?廣東省汕頭市聯(lián)考)若函數(shù)f(x)為R上的單調(diào)遞增函數(shù),且對任意實數(shù)xeR,都有-

ex]=e+1(e是自然對數(shù)的底數(shù))，則/(/n2)=

考點三分段函數(shù)及其應(yīng)用

【方法儲備】

1.已知自變量的值求函數(shù)值：

根據(jù)自變量確定相應(yīng)的定義域，選擇正確的解析式，代值計算，求解時遵循由內(nèi)到外的順序進行.

2.已知函數(shù)值求自變量的值：

令各段解析式分別等于函數(shù)值，求出自變量的值之后再確定是否在相應(yīng)的定義域內(nèi)，若在，則保留；否則

就舍去.

3.已知分段函數(shù)解析式求值域或最值：

求出各段函數(shù)的值域求并集，得到分段函數(shù)的值域；或求出各段函數(shù)的最值進行比較，得到分段函數(shù)的最

值.

4.分段函數(shù)與不等式的綜合：

⑴解簡單的分段函數(shù)不等式，分段求解不等式并與對應(yīng)的定義域取交集，最后將得到的各段范圍取并集即

可.

⑵若含參，要注意分類討論，或求出的參數(shù)的值要驗證是否符合要求.

強調(diào)：①“分段求解”是處理分段函數(shù)問題解的基本思路;

②多使用數(shù)形結(jié)合，幫助解決如零點、不等式等復雜問題.因此要熟練的作出分段函數(shù)的圖象，分段作出

各段圖象，注意端點處的虛實.

【典例精講】

例9.（2。23?四川省重慶市期中）已知函數(shù)生）北器4…，則/—）+/⑴=（）

例10.（2022?江蘇省鹽城市月考）已知函數(shù)/（乃=卜2%：?＜：：2,若/（a）=f（a+2）,則

（一LX+o,XNZ

心=.

例11.（2023?北京市市轄區(qū)期中）已知函數(shù)/（乃=［1n彳;若IFQOlNax,則實數(shù)a的取值

范圍是（）

A.（-8刈B.(-<?,1]C.[-2,1]D.[-2,0]

【拓展提升】

練3-1（2022?四川省綿陽市模擬）已知函數(shù)/（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當xNO時，/（x）=x（l-x）.

則不等式x/（x）＞0的解集為.（）

A.(-1,0)U(l,+8)B.(-1.0)U(0,1)

C.(-<?,-1)u(0,1)D.(-co,-l)u(l,+oo)

若函數(shù)f=『］；：｝犯:::的值域為［2,+oo）,

練3-2（2023?山東省青島市模擬）（多選）

貝|」（）

A./(3)>/(2)B.m>2

C.喈)<尼)D.Iogm(m+1)>log(m+i)(m+2)

-x)+l,x<0

練3-3（2022?湖北省武漢市模擬）（多選）,則下列結(jié)論中正確的

y[x,X>0

是（）r

A.（-8,0］是函數(shù)/（X）的一個單調(diào)減區(qū)間

B./(%)>1的解集為(L+8)

C.若/(x)=I，則x=%或x=1-y/~2

D.方程f(x)+x=O必有兩個實數(shù)根

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1.(2022?遼寧省月考)黎曼函數(shù)是一個特殊的函數(shù)，由德國數(shù)學家波恩哈德?黎曼發(fā)現(xiàn)并提出，在高等數(shù)

學中有著廣泛的應(yīng)用.黎曼函數(shù)定義在［0,1］上，其解析式為:

吃，當x=#,q都是正整數(shù)，浮既約真分數(shù))

R(x)=

0,當x=0,1或［0,1］上的無理數(shù)

若函數(shù)f(%)是定義在實數(shù)集上的偶函數(shù)，且對任意x都有/'(2+x)+/(x)=0,當X6［0,1］時,f(x)=/?(x),

貝U/(-ln2022)-o/n?(?.)=()

信x+k—^,2k<x<2k+

2.(2023?浙江省聯(lián)考)(多選)已知函數(shù)=f33化62)則()

(2%-2k-52k+§4％V2k+2,

A./(%)是單調(diào)遞增函數(shù)B./(/(x+2))=x

C./(%)<%-1D./(%)+/(%+1)42%

【答案解析】

1.【人教A版必修一33P661

解：函數(shù)的定義域為R,各個選項中函數(shù)的定義域也都為R,

力.對應(yīng)法則不相同，不是相同函數(shù)；

氏y=|尤|(%-1)=產(chǎn)。[1)*弓八，對應(yīng)法則不相同，不是相同函數(shù);

Cy=x(|x|-l)2n，對應(yīng)法則相同，是相同函數(shù)；

’71，(-X[X+L),X<0

Dy=%2一田=廣；一/"對應(yīng)法則不相同，不是相同函數(shù).

故選C.

2.1人教A版必修一習題3.1第7題P73]

解：f(x)的圖象如下：

/(-2)=-1,/(1)=0,丹/(2)]=/(3)=8,

/(X)的值域是[-1,+8).

例1.

x+1>0

解：由，x+1力1,得一l<x<0或0<x42.

.4-x2>0

再由-1<]<0或0cls2,得一2<久<0或0cx<4.

???函數(shù)/6)的定義域為(-2,0)U(0,4].

故選：A.

例2.

解：因為函數(shù)/(x)的定義域為[1,3],

所以在函數(shù)g(x)=勺^^中，

應(yīng)滿足｛；f2x-l<3(解得1<%=2,

所以函數(shù)g(x)的定義域為(1,2].

故選：A.

例3.

解：???函數(shù)的定義域為R,

?,.不等式mx2-(1—m)x+mN0恒成立，

當m=0時，不等式等價為-久之0,不恒成立，此時不滿足條件.

當m4O,要使不等式恒成立，則滿足糖::)2_4涓go'解得加4’

即實數(shù)m的取值范圍為小吟

故答案為廢,+00).

【拓展提升】

練1-1.

sinx>0

{cosx--1>'>0n'

/二(2kn<%<7T4-2kn

得+2forSX線+2也比ez,

解得2/OT<x<2kn+|,keZ,

故原函數(shù)的定義域為{X|2/OT<x<2kn+l，keZ).

故答案為：{x\2kn<x<2kn+pfc6Z}.

練1-2.

解：己知函數(shù)/Six)的定義域為(e,+8),

由x6(e,+8),則Inxe(1,+8)

所以函數(shù)/(嗎的定義域為(1,+8),

對于力，因為函數(shù)/'(X)的定義域為(1,+8),所以由/+1>1,可得X片0,

函數(shù)/(X4+1)的定義域為(一8,0)U(0,+8),故月錯誤；

對于8,函數(shù)/(x)的定義域為(1,+8),值域為R,

所以由選項A可得，函數(shù)/(x2+1)的定義域為(一oo,0)U(0,+co),

所以函數(shù)/(d+1)的值域也是R,所以函數(shù)/(d+1)+1的值域為R,故8正確；

對于C,令1=蒙，因為函數(shù)/(%)的定義域為(1,+8),

所以t=4=1+占>1,解得eX>0,

er

因為二>0對恒成立，所以函數(shù)/(蒙)的定義域為R,

又因為對于xe(l,+8)函數(shù)/(X)的值域為R,所以函數(shù)/?)的值域也是R,

即函數(shù)/(袈)的值域也是R,所以函數(shù)/(袈)的定義域和值域都是R,故C正確：

對于D,令f(x)=Iog2(x-1),則/(X)的定義域為(1,+8),

所以由Iog2(x-l)>l,可得x>3,所以函數(shù)f(f(x))的定義域為(3,+8),故。錯誤.

故選BC.

例4.

解：令t="+妥+2J/X妥=2,當且僅當工=±1時等號成立，

又因為%4+2=(X2+攝>—2,故/(C)=產(chǎn)—2,tE[2,+oo),

故/(x)=X2—2,xG[2,+00),

故答案為%2—2,xG[2,+oo).

例5.

解:由f(x)-2后)=x+2,可得6)一2/(*)=1+2,

聯(lián)立兩式可得/(x)=一g(%+§-2,代入x=2可得f(2)=-3.

故選D.

例6.

解：定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：

①對任意的x,y&R,都有/(x-y)=f(x)-f(y)；

當x=y=0時，/(0)=0,

當x=0時,/(-y)=-f(y),

所以函數(shù)為奇函數(shù)，

②當x<0時，/(x)>0,

則當久>0時，/(%)<0,

所以函數(shù)的解析式為/(%)=-x或-2x(不唯一).

故答案為：f(x)=-x或一2x.

例7.

解：由f(x+l)=/(x-3),得f(x+4)=/(x),

所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，

所以/(-2021)=/(2021)=f(4x505+1)=/(I)=3-1=2；

設(shè)xe[—2,0],則一xe[0,2],

因為f(x)是R上的偶函數(shù)，所以當xe[-2,0)時，/(%)=/(-%)=3^-1,

當％6[2,4]時，x-4e[-2,0],所以f(x)=f(x-4)=3-(xT)-i=34T-l.

故答案為2；3”工一1.

例8.

解：⑴；/⑴=a+2+c=5,c=3—a.①

又?.?6</(2)<11,即6<4a+c+4<11,②

將①式代入②式，得一g<a<土

又,**Q,\c€N.,?*?(1-1,C—2f

???f(x)=x2+2x4-2；

⑵…弓1弓3］,

二當/'(x)-2mxW1時，2(l-m)w-(x+；),xe

令g(x)=-(%+；),xe［|,|］.

g(x)在百1］上單調(diào)遞增，在［1,|］上單調(diào)遞減，

八、5,3、135-13

"3=一展5(2)=-T-一/一丁

15

J?gQ)min=g(2)=-2f

???2(1-m)三一|,解得?nN*

、9

??.m>>.

練2-1.

解：以一x代入可得2/(-^-)+f(上廿)=1—久，

與2f(汩+/")=l+x聯(lián)立，可得f(gl)=A?

令”手，t豐1，%==，，/(。=?占

???/■(比)=2-六(義工1)-

故答案為/(%)=Nr(x#1)■

練2-2.

解：取函數(shù)y=cos2%,

函數(shù)y=cos2x為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，

又cos2(x+TT)=cos(2x+2TT)=cos2x,滿足％6R,f(x+兀)=f(%)恒成立.

故答案為y=cos2x.

練2-3.

解：設(shè)t=f(%)-e"

則f(x)=e%+t,f(t)=e+1,

令x=t,則f(t)=et+t=e+l,

■:函數(shù)/(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，t=1,

1,?/(x)=ex+1,

即/(Zn2)=eln2+1=24-1=3,

故答案為3.

例9.

解：-2)=sin(—27r+F)=si唯=今/⑴=21+1=3,

???/(-2)+/(1)=1"3=夕7

故選：C.

例10.

解：當0VQV2時，a+2>2,

所以/(a)=Q?+a/(a+2)=-2(a+2)+8,

因為f(a)=/(a+2),所以M+a=-2(a+2)+8,BPa2+3a—4=0,

所以a=1或a=-4(舍)，所以心=/(I)=2；

當QN2時，所以Q+2之4,因為f(x)=—2%+8為單調(diào)函數(shù)，

所以/(。)=/(a+2)不成立;

綜上可得f(；)=/(l)=2.

故答案為2.

例11.

解：由y=|f(x)|的圖象(如圖所示)知,

①當》>0時，只有a<0時才能滿足|/(x)|>ax.

②當工工0時，y—|/(x)|=|-%24-2x|=x2-2x.

故由|f(%)|>ax得％2-2x>ax.

當％=0時，不等式為0N0成立；

當％<0時，不等式等價為x-2<a.

vx—2<—2,/.a>—2.

綜上可知，a6[—2,0].

故選D.

練3T.

解：根據(jù)題意，當xVO時，一%>0,

則/(—X)=(-x)(l+%)=-%(14-%),

又由/(%)為偶函數(shù),則/(%)=/(-%)=-%(1+%),

xf(x)>0=[/(X)=x(l-x)>O^l-x(l+x)<O,

解可得：x<-l或0cx<1,即x的取值范圍為(-8,-l)u(0,l).

故本題選C.

練3-2.

解：當工21時，因為/'(X)=%+1-濟久，y，(x)=1—；=一■,

因為x21,則?20,即尸(x)20,所以f(x)在［1,+8)單調(diào)遞增,

所以f(3)>f(2)正確；

/(x)>/(I)=1+1-Inx=2,則/(%)>2,

當％<1時，/(%)=-%3-x4-24-m,

/*(%)=—3%2—1<0,

所以/(%)在(一8,1)上單調(diào)遞減，

因為苧且苧<;，所以〃竽)<6)錯誤,

因為/(%)的值域為[2,+8),所以一13—1+2+m22,故m22正確;

x/nx—(x+l)Zn(x+l)

令y=logx(x+1)(%>2),則y=-x(x+l)(Znx)2-

因為％N2,則汽+1>%之2,

ln(x4-1)>Inx>0,xlnx—(x4-l)Zn(x+1)<0,x(x4-l)(Znx)2>0,

即y'vo,函數(shù)在[2,+8)上單調(diào)遞減，

因為m+1>m,則logmO+1)>log(m+i)0+2)正確.

故選

練3-3.

解：對于4當xWO時，/(%)=logi(l-%)4-1,是由y=log"+1與￡=1-x(xW0)復合而成,

22

而y=logit4-1與t=1-x(x<0)都是減函數(shù),

2

故/(x)=logl(l一%)+1在(-8,0］上單調(diào)遞增，故/錯誤；

2

對于當工工0時，/(x)=logi(l-%)+1</(0)=1,

2

二當%>0時，f(%)>1,則Q>1,解得％>1,

???/(%)>1的解集為(1,+8),故B正確；

對于C,當工40時，/(x)=即嚏式1-x)+1=^,解得X=1-V"2，

乙2

當x>