2023北京中考數(shù)學真題試卷及答案

2023北京中考真題

數(shù)學

考生須知

1.本試卷共6頁，共兩部分，三道大題，28道小題.滿分100分.考試時間120分鐘.

2.在試卷和草稿紙上準確填寫姓名、準考證號、考場號和座位號.

3.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效.

4在答題卡上，選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答.

5.考試結束，將本試卷、答題卡和草稿紙一并交回.

第一部分選擇題

一、選擇題（共16分，每題2分）

第1一8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.

1.截至2023年6月11日17時，全國冬小麥收款2.39億畝，進度過七成半，將239000000用科學記數(shù)法表

示應為（）

A.23.9xl07B.2.39x108C.2.39xl（）9D.0.239xlO9

B

A

O”

A.36°B,44°C.54°D.63°

4.已知a-1>0,則下列結論正確的是C）

A.-1<—ci<a<1B.—a<—1<1<。

C.—ci<—1<a<1D.-1<—ci<1<Q

5.若關于x的一元二次方程X2-3x+m-二0有兩個相等的實數(shù)根，則實數(shù)加的值為（）

9

A.-9B.C._D.9

44

6.十二邊形的外陰和為（）

A.30°B.150°C.360°D.1800°

7.先后兩次拋擲同一枚質(zhì)地均勻的硬幣，則第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（）

第1頁/共24頁

4324

8.如圖，點A、8、C在同一條線上，點B在點A,C之間，點D,E在直線AC同側，AB<BC,

NA=NC=90°,連接OE,設AB一a,BC=b,DE=c,給出下面三個結論:

@a+b<c；?a+b>V?2+b2；③^~（^a+0）〉c；

上述結論中，所有正確結論的序號是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

第二部分非選擇題

二、填空題（共16分，每題2分）

5

9.若代數(shù)式一^有意義，則實數(shù)x的取值范圍是

x-2

10.分解因式：f_y3=

31

11.方程----=—的解為______.

5x+l2x

12.在平面直角坐標系X。），中，若函數(shù)y=[krO）的圖象經(jīng)過點4（一3,2）和8（加,-2）,則m的值為

x

13.某廠生產(chǎn)了1000只燈泡.為了解這1000只燈泡的使用壽命，從中隨機抽取了50只燈泡進行檢測，獲得

了它們的使用壽命（單位：小時），數(shù)據(jù)整理如下：

使用壽命x<10001000<%<16001600<%<22002200<%<2800x>2800

燈泡只數(shù)51012176

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計這1000只燈泡中使用壽命不小于2200小時的燈泡的數(shù)量為只.

BE

14.如圖，直線A。，8c交于點。，48||"||。。.若4。=2,。尸=1,尸。=2.則成丁的值為

第2頁/共24頁

AB,

CD

15.如圖，。4是。。的半徑，是:。的弦，Q4_L3C于點O,4E是。。的切線，AE交OC的延

長線于點瓦若乙40c=45。，BC=2,則線段AE的長為.

A

16.學校組織學生參加木藝藝術品加工勞動實踐活動.已知某木藝藝術品加工完成共需A,B,C,D,E,

F,G七道工序，加工要求如下:

①工序C,。須在工序4完成后進行，工序E須在工序B,。都完成后進行，工序尸須在工序C,。都完成

后進行;

②一道工序只能由一名學生完成，此工序完成后該學生才能進行其他工序:

③各道工序所需時間如下表所示:

工序ABCDEFG

所需時間/分鐘99797102

在不考慮其他因素的前提下，若由一名學生單獨完成此木藝藝術品的加工，則需要分鐘；若由兩名

學生合作完成此木藝藝術品的加工，則最少需要分鐘.

三、解答題（共68分，第17—19題，每題5分，第20—21題，每題6分，第22—23題，每

題5分，第24題6分，第25題5分，第26題6分；第27—28題，每題7分）解答應寫出文

字說明、演算步驟或證明過程.

MY'

17.計算：4sin60°+l-I+卜2|—血.

x+2

18.解不答式組：<3.

15x-3<5+x

第3頁/共24頁

2犬+4v

19.已知x+2,7=。，求代數(shù)式）+4面京?的值.

20.如圖，在.A8CO中，點E,F分別在3C,AD±.,BE=DF,AC=EF.

①求證：四邊形AEC尸是矩形；

⑵AE=BE,A5=2,tanNACB=L，求BC的長.

21.對聯(lián)是中華傳統(tǒng)文化的瑰寶，對聯(lián)裝裱后，如圖所示，上、下空白處分別稱為天頭和地頭，左、右空白

處統(tǒng)稱為邊.一般情況下，天頭長與地頭長的比是6:4,左、右邊的寬相等，均為天頭長與地頭長的和的

1

—.某人要裝裱一幅對聯(lián)，對聯(lián)的長為100cm,寬為27cm.若要求裝裱后的長是裝裱后的寬的4倍，

10

求邊的寬和天頭長.（書法作品選自《啟功法書》）

裝裱后的寬木頭

天頭長

-

斗

-附

疇

A裝

裱

災

后

的邊f(xié)股?邊

或

1長

0

0ft

c鼠

m

-t

-

-嬴長

-

<-27cmT

邊的寬

22.在平面直角坐標系X。）'中，函數(shù)丁=依+分住力0）的圖象經(jīng)過點4（0,1）和8。,2）,與過點（0,4）且

平行于X軸的線交于點C.

①求該函數(shù)的解析式及點C的坐標；

2

②當x<3時，對于x的每一個值，函數(shù)y=_x+〃的值大于函數(shù)y=依+匕（人工0）的值且小于4,直

3

接寫出〃的值.

23.某校舞蹈隊共16名學生，測量并獲取了所有學生的身高（單位：cm）,數(shù)據(jù)整理如下：

”.16名學生的身高：

第4頁/共24頁

161,162,162,164,165,165,165,166,

166,167,168,168,170,172,172,175

A16名學生的身高的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù):

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

166.75mn

（1）寫出表中in,〃的值；

②對于不同組的學生，如果一組學生的身高的方差越小，則認為該組舞臺呈現(xiàn)效果越好.據(jù)此推斷:

在下列兩組學生中，舞臺呈現(xiàn)效果更好的是（填“甲組”或“乙組”）；

甲組學生的身高162165165166166

乙組學生的身高161162164165175

⑶該舞蹈隊要選五名學生參加比賽.已確定三名學生參賽，他們的身高分別為168,168,172,他們的

32

身高的方差為一.在選另外兩名學生時，首先要求所選的兩名學生與已確定的三名學生所組成的五名學

9

32

生的身高的方差小于§,其次要求所選的兩名學生與已確定的三名學生所組成的五名學生的身高的平均

數(shù)盡可能大，則選出的另外兩名學生的身高分別為和.

4.如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCO的對角線AC,BD交于點E,平分/ABC,NBAC=NADB.

0過點。作。/〃A。交A8的延長線于點F.若AC=AO,8F=2,求此圓半徑的長.

25.某小組研究了清洗某種含污物品的節(jié)約用水策略.部分內(nèi)容如下.

每次清洗1個單位質(zhì)量的該種含污物品，清洗前的清潔度均為0.800要求清洗后的清潔度為0.990

方案一：采用一次清洗的方式.

結果：當用水量為19個單位質(zhì)量時，清洗后測得的清潔度為

0.990.方案二：采用兩次清洗的方式.

記第一次用水量為占個單位質(zhì)量，第二次用水量為4個單位質(zhì)量，總用水量為（M+加）個單位質(zhì)量，兩

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次清洗后測得的清潔度為C.記錄的部分實驗數(shù)據(jù)如下:

X11.09.09.07.05.54.53.53.03.02.01.0

1

X0.81.01.31.92.63.24.34.05.07.111.5

2

X1+X211.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5

C0.9900.9890.9900.9900.9900.9900.9900.9880.9900.9900.990

對以上實驗數(shù)據(jù)進行分析，補充完成以下內(nèi)容.

（1）選出C是0.990的所有數(shù)據(jù)組，并劃“J”；

（II）通過分析（I）中選出的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)可以用函數(shù)刻畫第一次用水量芯和總用水量第+及之間的關系,

在平面直角坐標系xQy中畫出此函數(shù)的圖象；

8

5

O\12345678910111213~*

結果：結合實驗數(shù)據(jù)，利用所畫的函數(shù)圖象可以推斷，當?shù)谝淮斡盟考s為個單位質(zhì)量（精確到個

位）時，總用水量最小.

根據(jù)以上實驗數(shù)據(jù)和結果，解決下列問題：

J當采用兩次清洗的方式并使總用水量最小時，與采用一次清洗的方式相比、可節(jié)水約個單位

質(zhì)量（結果保留小數(shù)點后一位）；

2當采用兩次清洗的方式時，若第一次用水量為6個單位質(zhì)量，總用水量為7.5個單位質(zhì)量，則清洗后

的清潔度C0.990（填"=”或）.

26.在平面直角坐標系xOy中，）,N（x,y）是拋物線y=af+〉0）上任意兩點，設

II22

拋物線的對稱軸為x=t.

⑴若對于為=1,%2=2有>1=",求f的值；

（2）若對于0<xi<1,1<x,<2,都有yi<券，求f的取值范圍.

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27.在工ABC中、ZB=ZC=a（0°<a<45°）,AMIBC于點M,。是線段MC上的動點（不與點M,

C重合），將線段繞點。順時針旋轉2a得到線段DE.

MDCBFMDC

圖1圖2

①如圖1,當點E在線段AC上時，求證：。是的中點；

0如圖2,若在線段BM上存在點F（不與點B,M重合）滿足DF=DC,連接AE,EF,直接寫

出/AEF1的大小，并證明.

28.在平面直角坐標系xOy中，二。的半徑為1.對于，。的弦AB和］。外一點C給出如下定義：

若直線C4,C3中一條經(jīng)過點。，另一條是口。的切線，則稱點C是弦A8的“關聯(lián)點”.

①在點G（T/），C2（-C7,0）,C3（0,、E）中，弦明的“關聯(lián)點”是

②若點C是弦人員的“關聯(lián)點”，直接寫出OC的長；

（2）已知點M（0,3）,N（孳,01.對于線段MN上一點S,存在。。的弦P。，使得點S是弦PQ的

“關聯(lián)點”，記P。的長為3當點S在線段上運動時，直接寫出f的取值范圍.

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參考答案

第一部分選擇題

一、選擇題（共16分，每題2分）

第1一8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.

1.【答案】B

【分析】用科學記數(shù)法表示絕對值較大的數(shù)時，一般形式為axlO",其中1?卜|<10,〃為整數(shù)，且

〃比原來的整數(shù)位數(shù)少1,據(jù)此判斷即可.

【詳解】解：239000000=2.39xlO8，

故選：B.

【點睛】本題考查了科學記數(shù)法的表示方法，用科學記數(shù)法表示絕對值較大的數(shù)時，一般形式為4X10",

其中1<1|<10,〃為整數(shù)，且〃比原來的整數(shù)位數(shù)少1,解題的關鍵是要正確確定“和〃的值.

2.【答案】A

【分析】根據(jù)軸對稱圖形，中心對稱圖形的定義進行判斷即可.

【詳解】解：A既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故符合要求；

B不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故不符合要求：

C是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不符合要求；

D是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不符合要求；

故選:A.

【點睛】本題考查了軸對稱圖形，中心對稱圖形，解題的關鍵在于熟練掌握：在平面內(nèi)，把一個圖形繞著

某個點旋轉180。，如果旋轉后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形；在平面內(nèi)，

一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形叫做軸對稱圖形.

3.【答案】C

【分析】由乙4。。=/6。。=90°,ZAOD=126°,可求出NC。。的度數(shù)，再根據(jù)角與角之間的關系

求解.

【詳解】：/AOC=90。，NAO。=126。，

NCOD=ZAOD-ZAOC=36°,

ZBOD=90°,

:.NBOC=ZBOD-ZCOD=90°-36°=

54°.故選:C.

【點睛】本題考查的知識點是角的計算，注意此題的解題技巧：兩個直角相加和NAO。相比，多加了

NBOC.

4.【答案】B

【分析】由a-1〉0可得a>1,則4>0,根據(jù)不等式的性質(zhì)求解即可.

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【詳解】解：。一1>0得?！?,則?！?,

-ci<-1,

-ci<-1<1<a,

故選：B.

【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，注意：當不等式兩邊同時乘以一個負數(shù)，則不等式的符號需要改變.

5.【答案】C

【分析】根據(jù)一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，可得△=(),進而即可求解.

【詳解】解：???關于x的一元二次方程d-3x+〃?=0有兩個相等的實數(shù)根，

-4ac=9-4m=0.

9

解得：m=_.

4

故選：C.

【點睛】本題考查了一元二次方程加+Ar+c=0(aH0,a,b,c為常數(shù))的根的判別式

^=b2-4ac,理解根的判別式對應的根的三種情況是解題的關鍵.當A>0時，方程有兩個不相等的實

數(shù)根；當△=()時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當八<0時;方程沒有實數(shù)根.

6.【答案】C

【分析】根據(jù)多邊形的外角和為360。進行解答即可.

【詳解】解：???多邊形的外角和為360°

二十二邊形的外角和是

360°.故選：C.

【點睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和與外角和的求法，掌握多邊形的外角和為360。是解題的關鍵.

7.【答案】A

【分析】整個實驗分兩步完成，每步有兩個等可能結果，用列表法或樹狀圖工具輔助處理.

第一次正面反面

【詳解】AA

第二次正面反面正面反面

1

如圖，所有結果有4種，滿足要求的結果有1種，故概率為一.

4

故選：A

【點睛】本題考查概率的計算，運用樹狀圖或列表工具是解題的關鍵.

8.【答案】D

【分析】如圖，過。作OFLAE于F,則四邊形AC。尸是矩形，貝ijOF=AC=a+b,由

DF<DE,可得a+8<c,進而可判斷①的正誤；由△E48之△BCD,可得BE=BD,

CD=AB=a,AE=BC=b,NABE=NCDB,則NEB。=90°,△BOE是等腰直角三角形，由勾

第9頁/共24頁

股定理得，BE=VAB~+AE~=\la~+b~>由+可得a+b>Ja。+〃,進而可判斷②

的正誤；由勾股定理得OE2=B￡>2+BE2,即。2=2（/+〃），則c=JiXJ/+/〈應（“+》進

而可判斷③的正誤.

【詳解】解：如圖，過。作。尸，AE于F,則四邊形ACD尸是矩形，

DF<DE,

二a+b<c,①正確，故符合要求；

,；AEAB冬ABCD,

:.BE=BD,CD=AB=a,AE=BC=b,NABE=NCDB,

,：NCBD+2CDB=90°,

ZCBD+NABE=90°,ZEBD=90°,

.?.△BOE是等腰直角三角形，

由勾股定理得,BE-VAB~+AE2-\Ja2+b2>

,/AB+AE>BE,

a+b>+廿,②正確，故符合要求；

由勾股定理得DE2=BD2+BE2，即=2（。2+〃），

c-J2xy/a2+h2<>>2（a+/?）,③正確，故符合要求：

故選：D.

【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性

質(zhì)，三角形的三邊關系等知識.解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用.

第二部分非選擇題

二、填空題（共16分，每題2分）

9.【答案】x*2

【分析】根據(jù)分式有意義的條件列不等式求解即可.

5

【詳解】解：若代數(shù)式——有意義，則x—2#0,

x-2

解得：XH2,

故答案為：XH2.

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【點睛】本題考查了分式有意義的條件，熟知分式有意義，分母不為零是解題的關鍵.

10.【答案】y(x+y)(x—y)

【詳解】試題分析：原式提公因式得：y(x2-y2)=y(x+y)(x—>)

考點：分解因式

點評：本題難度中等，主要考查學生對多項式提公因式分解因式等知識點的掌握.需要運用平方差公式.

11.【答案】x=\

【分析】方程兩邊同時乘以2x(5x+l)化為整式方程，解整式方程即可，最后要檢驗.

【詳解】解：方程兩邊同時乘以2x(5x+l),得6x=5x+l,

解得：x=l，

經(jīng)檢驗，x=l是原方程的解，

故答案為：尤=1.

【點睛】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關鍵.

12.【答案】3

【分析】先把點A坐標代入求出反比例函數(shù)解析式，再把點8代入即可求出機的值.

【詳解】解：???函數(shù)一的圖象經(jīng)過點和

.??把點代入得&=—3x2=—6,

...反比例函數(shù)解析式為丫=二?，

X

把點代入得：-2=a,

tn

解得：加=3,

故答案為：3.

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟知反比例函數(shù)

圖象上的點的坐標一定滿足函數(shù)解析式是解題的關鍵.

13.【答案】460

【分析】用1000乘以抽查的燈泡中使用壽命不小于2200小時的燈泡所占的比例即可.

【詳解】解：估計這1000只燈泡中使用壽命不小于2200小時的燈泡的數(shù)量為1000x」LL6=460

50

(只)，

故答案為：460.

【點睛】本題考查了用樣本估計總體，用樣本估計總體時，樣本容量越大，樣本對總體的估計也就越精

確.

3

14.【答案】一

2

第11頁/共24頁

【分析1由平行線分線段成比例可得，吧=—=笠=竺=L得出BO=2OE,EC=20E,

OEOF1ECFD2

從而-堂=2OE+OE3

EC-20E2

【詳解】vAB|EF\\CD,AO=2,OF=1,

.變_AO-U

~OE~~OF~T

.O.BO=20E,

1

OEOF=

**"EC~FD5

/.EC=2OE,

,_B_E__W__E__+_O__E__3

~EC2OE2

3

故答案為:

2

【點睛】本題考查了平行線分線段成比例的知識點，根據(jù)平行線分線段成比例找出線段之間的關系是解決

本題的關鍵.

15.【答案】J2

【分析】根據(jù)。4_LBC,得出NOOC=90°,DC=!_BC=1,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出

2

OC=J70c=即04=00=7^，根據(jù)N°AE=90。，ZA0C=45°,得出△AOE為等腰直角

三角形，即可得出AE=。4=

【詳解】解：；0A1BC,

.?.NOOC=90。，OC=1BC=1.

2

,/ZAOC=45°,

???qOOC為等腰直角三角形,

0C=yj2.DC=J?.>

???OA=OC=j2-

：AE是C。的切線，

ZOAE=90°,

,/NAOC=45。，

...△AOE為等腰直角三角形,

AE^OA=

、52.

故答案為：.

第12頁/共24頁

【點睛】本題主要考查了垂徑定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握

垂徑定理，得出DC=2BC=1.

2

16.【答案】?.53?.28

【分析】將所有工序需要的時間相加即可得出由一名學生單獨完成需要的時間；假設這兩名學生為甲、

乙，根據(jù)加工要求可知甲學生做工序A,乙學生同時做工序B-,然后甲學生做工序D,乙學生同時做工序

C,乙學生工序C完成后接著做工序G；最后甲學生做工序E,乙學生同時做工序F,然后可得答案.

【詳解】解：由題意得：9+9+7+9+7+10+2=53（分鐘），

即由一名學生單獨完成此木藝藝術品的加工，需要53分鐘；

假設這兩名學生為甲、乙，

?.?工序C,。須在工序A完成后進行，工序E須在工序B,。都完成后進行，且工序4,8都需要9分鐘完

成，

???甲學生做工序A,乙學生同時做工序B,需要9分鐘，

然后甲學生做工序D,乙學生同時做工序C,乙學生工序C完成后接著做工序G,需要9分鐘，

最后甲學生做工序E,乙學生同時做工序F,需要10分鐘，

若由兩名學生合作完成此木藝藝術品的加工，最少需要9+9+10=28（分鐘），

故答案為：53,28；

【點睛】本題考查了邏輯推理與時間統(tǒng)籌，根據(jù)加工要求得出加工順序是解題的關鍵.

三、解答題（共68分，第17—19題，每題5分，第20—21題，每題6分，第22—23題，每

題5分，第24題6分，第25題5分，第26題6分；第27—28題，每題7分）解答應寫出文

字說明、演算步驟或證明過程.

17.【答案】5

【分析】代入特殊角三角函數(shù)值，利用負整數(shù)指數(shù)幕，絕對值和二次根式的性質(zhì)化筒，然后計算即可.

【詳解】解：原式=4x』+3+2-布

2

=2^3+3+2-2/3

=5.

【點睛】本題考查了實數(shù)的混合運算，牢記特殊角三角函數(shù)值，熟練掌握負整數(shù)指數(shù)幕，絕對值和二次根

式的性質(zhì)是解題的關鍵.

18.【答案】1<%<2

【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找

不到確定不等式組的解集.

卜-3<5+遮

解不等式①得：%>1

第13頁/共24頁

解不等式②得：x<2

，不等式的解集為：1〈尤<2

【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，正確掌握一元一次不等式解集確定方法是解題的關鍵.

19.【答案】2

【分析】先將分式進行化簡，再將x+2y-1=0變形整體代入化簡好的分式計算即可.

2(x+2y)2

【詳解】解：原式,

(x+2y)~x+2y

由x+2y-l=0可得x+2y=l,

2

將x+2y=1代入原式可得，原式=_=2.

1

【點睛】本題考查了分式的化簡求值，注意整體代入思想的應用.

20?【答案】⑴見解析(2)3J2

【分析】(1)利用平行四邊形的性質(zhì)求出AF=EC,證明四邊形AECF是平行四邊形，然后根據(jù)對角線

相等的平行四邊形是矩形得出結論；

(2)證明朗BE是等腰直角三角形，可得AE=BE=五,然后再解直角三角形求出EC即可.

【小問1詳解】

證明：?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

AD=BC,AD//BC,

"：BE=DF,

：.AF=EC,

四邊形AECF是平行四邊形，

AC=EF,

.??平行四邊形AEC尸是矩形；

【小問2詳解】

解：由(1)知四邊形AECF是矩形，

/.ZAEC=ZAEB=90°,

,:AE=BE,AB=2,

??./BE是等腰直角三角形，

AE=BE=3AB=后

2

Af71

又〈tanZACB=_=_,

EC2

.,.變=1,

EC2

第14頁/共24頁

二EC=2J2>

BC=BE+EC=&+2拒=3拉.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形，熟練掌握相關判定

定理和性質(zhì)定理是解題的關鍵.

2/.【答案】邊的寬為4cm,天頭長為24cm

【分析】設天頭長為xcm,則地頭長為,xcm,邊的寬為x+3Jcrnq】xcm,再分別表示礎裝裱

~~I~~

后的長和寬，根據(jù)裝裱后的長是裝裱后的寬的4倍列方程求解即可.

【詳解】解：設天頭長為xcm,

2

由題意天頭長與地頭長的比是可知地頭長為一xcm,

3

邊的寬為

裝裱后的長為f：x+x+1001cm=(；x+1001cm,

〉JI)

裝裱后的寬為(1x+/x+271cm=|；x+27|lm,

r-<)

由題意可得：^+100^^X+27^x4

I)

解得x=24,

1，

_x=4,

6

答：邊的寬為4cm,天頭長為24cm.

【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，題中的數(shù)量關系較為復雜，需要合理設未知數(shù)，找準數(shù)量關

系.

22.【答案】(1),；

(2)

【分析】(1)利用待定系數(shù)法可求出函數(shù)解析式，由題意知點C的縱坐標為4,代入函數(shù)解析式求出點C

的橫坐標即可；

(2)根據(jù)函數(shù)圖象得出當一過點時滿足題意，代入求出"的值即可.

【小問1詳解】

仿=1

解：把點，代入得：\k+b=2'

第15頁/共24頁

[％=]

解得：《，

[。=1

...該函數(shù)的解析式為y=x+i,

由題意知點c的縱坐標為4,

當y=x+1=4時，

解得：x=3,

AC（3.4）；

【小問2詳解】

解：由（1）知：當x=3時，y=x+l=4,

2

因為當x<3時，函數(shù)ymx+〃的值大于函數(shù)y=x+l的值且小于4,

3

2

所以如圖所示，當〉=_1+〃過點（3,4）時滿足題意，

3

2

代入（3,4）得：4=_x3+〃，

3

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法的應用，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，利用數(shù)

形結合的思想是解題的關鍵.

23.【答案】（1）〃?=166,〃=165；

（2）甲組（3）170,172

【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義求解即可；

（2）計算每一組的方差，根據(jù)方差越小數(shù)據(jù)越穩(wěn)定進行判斷即可；

32

（3）根據(jù)要求，身高的平均數(shù)盡可能大且方差小于§,結合其余學生的身高即可做出選擇.

【小問1詳解】

解：將這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為：161,162,162,164,165,165,165,166,166,167,

168,168,170,172,172,175,

第16頁/共24頁

出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是165,出現(xiàn)了3次，即眾數(shù)，

16個數(shù)據(jù)中的第8和第9個數(shù)據(jù)分別是166,166,

.,.”，166+166.,,

二中位數(shù)m=________=166,

2

,，；

【小問2詳解】

解：甲組身高的平均數(shù)為1(162+165+165+166+166)=164.8,

5

甲組身高的方差為

2222

1[(162-164.8)+(165—164.8)2Q_)+(166-164.8)+(166-164.8)1=2.16

5L+651648」

乙組身高的平均數(shù)為1(161+162+164+165+175)=165.4,

5

乙組身高的方差為

1[(161-165.4)2+(162-165.4)2+(164-165.4)2+(165-165.4)2+(175-165.4)21=25.04,

5L」

25.04>2.16

.?.舞臺呈現(xiàn)效果更好的是甲組，

故答案為：甲組；

【小問3詳解】

解：168,168,172的平均數(shù)為1(168+168+172)=169』

33

?.?所選的兩名學生與己確定的三名學生所組成的五名學生的身高的方差小于一，

二數(shù)據(jù)的差別較小，數(shù)據(jù)才穩(wěn)定，

可供選擇的有：170,172,

且選擇170,172時，平均數(shù)會增大，

故答案為：170,172.

【點睛】本題考查了平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)和方差，熟記方差的計算公式以及方差的意義：方差越小數(shù)據(jù)

越穩(wěn)定是解題的關鍵.

24.【答案】（1）見解析，/84。=90。

（2）4

【分析】（1）根據(jù)已知得出=則=,即可證明平分，進而根據(jù)

平分，得出AO=C￡＞，推出8AO=8C￡＞，得出8。是直徑，進而可得NBA。=90°；

（2）根據(jù)（1）的結論結合已知條件得出，ZF=90°,△ADC是等邊三角形，進而得出

第17頁/共24頁

ZCDB=_lZADC=3Q°,由8。是直徑，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得BC=XBD,在

22

為△BFC中，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得的長，進而即可求解.

【小問1詳解】

解：：

-■?AB=BC，

；.NADB=NCDB,即。8平分

???平分，

NABD=NCBD,

*'-AD=CD，

?**AB+AD^BC+CD>即BAD=BCD>

BO是直徑，

/BAD=90°；

【小問2詳解】

解：：NBA。=90。，，

,NF+NBAD=180°,則NF=90°.

AD=CD，

:.AD-DC.

?，

:.AC=AD=CD,

...△AOC是等邊三角形，則NA0C=6O°.

BD平分，

:.ZCDB=LzADC=30°.

2

*/8。是直徑，

:.ZBCD=90°,則BC=LBD.

2

?.?四邊形是圓內(nèi)接四邊形，

二ZADC+ZABC=180°,則NABC=120。,

/.ZF5C=60°,

ZFCB=90°-60°=30°,

:.FB=[BC.

2

*，

.?.BC=4，

第18頁/共24頁

/.BD=2BC=8.

BO是直徑，

.?.此圓半徑的長為」BD=4.

2

【點睛】本題考查了弧與圓周角的關系，等弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，含30度角的

直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，圓內(nèi)接四邊形對角互補，熟練掌握以上知識是解題的關

鍵.

25.【答案】(I)見W析；(II)見解析，4；(1)11.3；(2)<

【分析】(I)直接在表格中標記即可；

(II)根據(jù)表格中數(shù)據(jù)描點連線即可做出函數(shù)圖象，再結合函數(shù)圖象找到最低點，可得第一次用水量約為4

個單位質(zhì)量時，總用水量最??；

(1)根據(jù)表格可得，用兩次清洗的方式并使總用水量最小時，用水量為7.7個單位質(zhì)量，計算即可；

②根據(jù)表格可得當?shù)谝淮斡盟繛?個單位質(zhì)量，總用水量超過8個單位質(zhì)量，則清洗后的清潔度能達

至IJ0.990,若總用水量為7.5個單位質(zhì)量，則清潔度達不到0.990.

【詳解】(I)表格如下：

11.09.09.07.05.54.53.53.03.02.01.0

0.81.01.31.92.63.24.34.05.07.111.5

11.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5

0.9900.9890.9900.9900.9900.9900.9900.9880.9900.9900.990

C

7qq7qqqq

(11)函孑物圖象如下：

O12345678910111213x

由圖象可得，當?shù)谝淮斡盟考s為4個單位質(zhì)量(精確到個位)時，總用水量最小;

第19頁/共24頁

①當采用兩次清洗的方式并使總用水量最小時，用水量為7.7個單位質(zhì)量，

19-7.7=11.3,

即可節(jié)水約11.3個單位質(zhì)量；

⑵由圖可得，當?shù)谝淮斡盟繛?個單位質(zhì)量，總用水量超過8個單位質(zhì)量，則清洗后的清潔度能達到

0.990,

第一次用水量為6個單位質(zhì)量，總用水量為7.5個單位質(zhì)量，則清洗后的清潔度C<0.990,

故答案為：<.

【點睛】本題考查了函數(shù)圖象，根據(jù)數(shù)據(jù)描繪函數(shù)圖象、從函數(shù)圖象獲取信息是解題的關鍵.

3

26.【答案】（1）/=_

2

（2）/<!

2

【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得對稱軸即可求解；

（2）根據(jù)題意可得（為，兒）離對稱軸更近，為<*2，則（為，兒）與（巧，為）的中點在對稱軸的右側，根據(jù)

對稱性求得」<%1+%2<3,進而根據(jù)%1+%2>t,即可求解.

2222

【小問I詳解】

解：：對于，有，

.?.拋物線的對稱軸為直線x=X|+“2=3,

22

???拋物線的對稱軸為

.1

??I——;

2

【小問2詳解】

解：：當，，

二（4，匕）離對稱軸更近，則（4，匕）與（N，%）的中點在對稱軸的右側，

X,+X,

1->t,

2

BP/<L

2

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的對稱性是解題的關鍵.

27.【答案】（1）見解析（2）ZAEF=90°,證明見解析

第20頁/共24頁

【分析】(1)由旋轉的性質(zhì)得0M=DE,ZMDE=2a,利用三角形外角的性質(zhì)求出

NDEC=a=NC,可得DE=DC,等量代換得到0M=OC即可；

(2)延長FE到H使，連接G/,AH,可得是△依/的中位線，然后求出

NB=/ACH,設。M=DE=〃z,CD=n,求出BF=2〃z=CH,證明△ABF三.AC”(SAS),得

到AF=AH,再根據(jù)等腰三角形三線合一證明AE1.FH即可.

【小問1詳解】

證明：由旋轉的性質(zhì)得：DM=DE,NMDE=2a,

'：NC=a,

ZDEC=NMDE—NC=。，

:.NC=/DEC,

DE-DC,

?.DM=DC,即。是的中點；

【小問2詳解】

ZAEF=90°；

證明：如圖2,延長FE到H使FE=E“，連接C”，AH,

?，

...是,??依/的中位線，

DE//CH,CH=2DE,

由旋轉的性質(zhì)得：DM=DE,NMDE=2a,

：.ZFCH=2a,

"：NB=NC=a,

：.ZACH-a,△是等腰三角形，

AZB=ZACH,AB^AC,

設DM=DE=tn,CD=n,則CH=2根，CM=m+n,

DF=CD