2023北京中考數(shù)學(xué)真題試卷及答案

2023北京中考真題

數(shù)學(xué)

考生須知

1.本試卷共6頁，共兩部分，三道大題，28道小題.滿分100分.考試時(shí)間120分鐘.

2.在試卷和草稿紙上準(zhǔn)確填寫姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號.

3.試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效.

4在答題卡上，選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答.

5.考試結(jié)束，將本試卷、答題卡和草稿紙一并交回.

第一部分選擇題

一、選擇題（共16分，每題2分）

第1一8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè).

1.截至2023年6月11日17時(shí)，全國冬小麥?zhǔn)湛?.39億畝，進(jìn)度過七成半，將239000000用科學(xué)記數(shù)法表

示應(yīng)為（）

A.23.9xl07B.2.39x108C.2.39xl（）9D.0.239xlO9

B

A

O”

A.36°B,44°C.54°D.63°

4.已知a-1>0,則下列結(jié)論正確的是C）

A.-1<—ci<a<1B.—a<—1<1<。

C.—ci<—1<a<1D.-1<—ci<1<Q

5.若關(guān)于x的一元二次方程X2-3x+m-二0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)加的值為（）

9

A.-9B.C._D.9

44

6.十二邊形的外陰和為（）

A.30°B.150°C.360°D.1800°

7.先后兩次拋擲同一枚質(zhì)地均勻的硬幣，則第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（）

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4324

8.如圖，點(diǎn)A、8、C在同一條線上，點(diǎn)B在點(diǎn)A,C之間，點(diǎn)D,E在直線AC同側(cè)，AB<BC,

NA=NC=90°,連接OE,設(shè)AB一a,BC=b,DE=c,給出下面三個(gè)結(jié)論:

@a+b<c；?a+b>V?2+b2；③^~（^a+0）〉c；

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

第二部分非選擇題

二、填空題（共16分，每題2分）

5

9.若代數(shù)式一^有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是

x-2

10.分解因式：f_y3=

31

11.方程----=—的解為______.

5x+l2x

12.在平面直角坐標(biāo)系X。），中，若函數(shù)y=[krO）的圖象經(jīng)過點(diǎn)4（一3,2）和8（加,-2）,則m的值為

x

13.某廠生產(chǎn)了1000只燈泡.為了解這1000只燈泡的使用壽命，從中隨機(jī)抽取了50只燈泡進(jìn)行檢測，獲得

了它們的使用壽命（單位：小時(shí)），數(shù)據(jù)整理如下：

使用壽命x<10001000<%<16001600<%<22002200<%<2800x>2800

燈泡只數(shù)51012176

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計(jì)這1000只燈泡中使用壽命不小于2200小時(shí)的燈泡的數(shù)量為只.

BE

14.如圖，直線A。，8c交于點(diǎn)。，48||"||。。.若4。=2,。尸=1,尸。=2.則成丁的值為

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AB,

CD

15.如圖，。4是。。的半徑，是:。的弦，Q4_L3C于點(diǎn)O,4E是。。的切線，AE交OC的延

長線于點(diǎn)瓦若乙40c=45。，BC=2,則線段AE的長為.

A

16.學(xué)校組織學(xué)生參加木藝藝術(shù)品加工勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng).已知某木藝藝術(shù)品加工完成共需A,B,C,D,E,

F,G七道工序，加工要求如下:

①工序C,。須在工序4完成后進(jìn)行，工序E須在工序B,。都完成后進(jìn)行，工序尸須在工序C,。都完成

后進(jìn)行;

②一道工序只能由一名學(xué)生完成，此工序完成后該學(xué)生才能進(jìn)行其他工序:

③各道工序所需時(shí)間如下表所示:

工序ABCDEFG

所需時(shí)間/分鐘99797102

在不考慮其他因素的前提下，若由一名學(xué)生單獨(dú)完成此木藝藝術(shù)品的加工，則需要分鐘；若由兩名

學(xué)生合作完成此木藝藝術(shù)品的加工，則最少需要分鐘.

三、解答題（共68分，第17—19題，每題5分，第20—21題，每題6分，第22—23題，每

題5分，第24題6分，第25題5分，第26題6分；第27—28題，每題7分）解答應(yīng)寫出文

字說明、演算步驟或證明過程.

MY'

17.計(jì)算：4sin60°+l-I+卜2|—血.

x+2

18.解不答式組：<3.

15x-3<5+x

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2犬+4v

19.已知x+2,7=。，求代數(shù)式）+4面京?的值.

20.如圖，在.A8CO中，點(diǎn)E,F分別在3C,AD±.,BE=DF,AC=EF.

①求證：四邊形AEC尸是矩形；

⑵AE=BE,A5=2,tanNACB=L，求BC的長.

21.對聯(lián)是中華傳統(tǒng)文化的瑰寶，對聯(lián)裝裱后，如圖所示，上、下空白處分別稱為天頭和地頭，左、右空白

處統(tǒng)稱為邊.一般情況下，天頭長與地頭長的比是6:4,左、右邊的寬相等，均為天頭長與地頭長的和的

1

—.某人要裝裱一幅對聯(lián)，對聯(lián)的長為100cm,寬為27cm.若要求裝裱后的長是裝裱后的寬的4倍，

10

求邊的寬和天頭長.（書法作品選自《啟功法書》）

裝裱后的寬木頭

天頭長

-

斗

-附

疇

A裝

裱

災(zāi)

后

的邊f(xié)股?邊

或

1長

0

0ft

c鼠

m

-t

-

-嬴長

-

<-27cmT

邊的寬

22.在平面直角坐標(biāo)系X。）'中，函數(shù)丁=依+分住力0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)4（0,1）和8。,2）,與過點(diǎn)（0,4）且

平行于X軸的線交于點(diǎn)C.

①求該函數(shù)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

2

②當(dāng)x<3時(shí)，對于x的每一個(gè)值，函數(shù)y=_x+〃的值大于函數(shù)y=依+匕（人工0）的值且小于4,直

3

接寫出〃的值.

23.某校舞蹈隊(duì)共16名學(xué)生，測量并獲取了所有學(xué)生的身高（單位：cm）,數(shù)據(jù)整理如下：

”.16名學(xué)生的身高：

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161,162,162,164,165,165,165,166,

166,167,168,168,170,172,172,175

A16名學(xué)生的身高的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù):

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

166.75mn

（1）寫出表中in,〃的值；

②對于不同組的學(xué)生，如果一組學(xué)生的身高的方差越小，則認(rèn)為該組舞臺呈現(xiàn)效果越好.據(jù)此推斷:

在下列兩組學(xué)生中，舞臺呈現(xiàn)效果更好的是（填“甲組”或“乙組”）；

甲組學(xué)生的身高162165165166166

乙組學(xué)生的身高161162164165175

⑶該舞蹈隊(duì)要選五名學(xué)生參加比賽.已確定三名學(xué)生參賽，他們的身高分別為168,168,172,他們的

32

身高的方差為一.在選另外兩名學(xué)生時(shí)，首先要求所選的兩名學(xué)生與已確定的三名學(xué)生所組成的五名學(xué)

9

32

生的身高的方差小于§,其次要求所選的兩名學(xué)生與已確定的三名學(xué)生所組成的五名學(xué)生的身高的平均

數(shù)盡可能大，則選出的另外兩名學(xué)生的身高分別為和.

4.如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCO的對角線AC,BD交于點(diǎn)E,平分/ABC,NBAC=NADB.

0過點(diǎn)。作。/〃A。交A8的延長線于點(diǎn)F.若AC=AO,8F=2,求此圓半徑的長.

25.某小組研究了清洗某種含污物品的節(jié)約用水策略.部分內(nèi)容如下.

每次清洗1個(gè)單位質(zhì)量的該種含污物品，清洗前的清潔度均為0.800要求清洗后的清潔度為0.990

方案一：采用一次清洗的方式.

結(jié)果：當(dāng)用水量為19個(gè)單位質(zhì)量時(shí)，清洗后測得的清潔度為

0.990.方案二：采用兩次清洗的方式.

記第一次用水量為占個(gè)單位質(zhì)量，第二次用水量為4個(gè)單位質(zhì)量，總用水量為（M+加）個(gè)單位質(zhì)量，兩

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次清洗后測得的清潔度為C.記錄的部分實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下:

X11.09.09.07.05.54.53.53.03.02.01.0

1

X0.81.01.31.92.63.24.34.05.07.111.5

2

X1+X211.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5

C0.9900.9890.9900.9900.9900.9900.9900.9880.9900.9900.990

對以上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，補(bǔ)充完成以下內(nèi)容.

（1）選出C是0.990的所有數(shù)據(jù)組，并劃“J”；

（II）通過分析（I）中選出的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)可以用函數(shù)刻畫第一次用水量芯和總用水量第+及之間的關(guān)系,

在平面直角坐標(biāo)系xQy中畫出此函數(shù)的圖象；

8

5

O\12345678910111213~*

結(jié)果：結(jié)合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用所畫的函數(shù)圖象可以推斷，當(dāng)?shù)谝淮斡盟考s為個(gè)單位質(zhì)量（精確到個(gè)

位）時(shí)，總用水量最小.

根據(jù)以上實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和結(jié)果，解決下列問題：

J當(dāng)采用兩次清洗的方式并使總用水量最小時(shí)，與采用一次清洗的方式相比、可節(jié)水約個(gè)單位

質(zhì)量（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）；

2當(dāng)采用兩次清洗的方式時(shí)，若第一次用水量為6個(gè)單位質(zhì)量，總用水量為7.5個(gè)單位質(zhì)量，則清洗后

的清潔度C0.990（填"=”或）.

26.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，）,N（x,y）是拋物線y=af+〉0）上任意兩點(diǎn)，設(shè)

II22

拋物線的對稱軸為x=t.

⑴若對于為=1,%2=2有>1=",求f的值；

（2）若對于0<xi<1,1<x,<2,都有yi<券，求f的取值范圍.

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27.在工ABC中、ZB=ZC=a（0°<a<45°）,AMIBC于點(diǎn)M,。是線段MC上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M,

C重合），將線段繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2a得到線段DE.

MDCBFMDC

圖1圖2

①如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，求證：。是的中點(diǎn)；

0如圖2,若在線段BM上存在點(diǎn)F（不與點(diǎn)B,M重合）滿足DF=DC,連接AE,EF,直接寫

出/AEF1的大小，并證明.

28.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二。的半徑為1.對于，。的弦AB和］。外一點(diǎn)C給出如下定義：

若直線C4,C3中一條經(jīng)過點(diǎn)。，另一條是口。的切線，則稱點(diǎn)C是弦A8的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.

①在點(diǎn)G（T/），C2（-C7,0）,C3（0,、E）中，弦明的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是

②若點(diǎn)C是弦人員的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，直接寫出OC的長；

（2）已知點(diǎn)M（0,3）,N（孳,01.對于線段MN上一點(diǎn)S,存在。。的弦P。，使得點(diǎn)S是弦PQ的

“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，記P。的長為3當(dāng)點(diǎn)S在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫出f的取值范圍.

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參考答案

第一部分選擇題

一、選擇題（共16分，每題2分）

第1一8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè).

1.【答案】B

【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值較大的數(shù)時(shí)，一般形式為axlO",其中1?卜|<10,〃為整數(shù)，且

〃比原來的整數(shù)位數(shù)少1,據(jù)此判斷即可.

【詳解】解：239000000=2.39xlO8，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值較大的數(shù)時(shí)，一般形式為4X10",

其中1<1|<10,〃為整數(shù)，且〃比原來的整數(shù)位數(shù)少1,解題的關(guān)鍵是要正確確定“和〃的值.

2.【答案】A

【分析】根據(jù)軸對稱圖形，中心對稱圖形的定義進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故符合要求；

B不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故不符合要求：

C是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不符合要求；

D是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不符合要求；

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱圖形，中心對稱圖形，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握：在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著

某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形；在平面內(nèi)，

一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形叫做軸對稱圖形.

3.【答案】C

【分析】由乙4。。=/6。。=90°,ZAOD=126°,可求出NC。。的度數(shù)，再根據(jù)角與角之間的關(guān)系

求解.

【詳解】：/AOC=90。，NAO。=126。，

NCOD=ZAOD-ZAOC=36°,

ZBOD=90°,

:.NBOC=ZBOD-ZCOD=90°-36°=

54°.故選:C.

【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是角的計(jì)算，注意此題的解題技巧：兩個(gè)直角相加和NAO。相比，多加了

NBOC.

4.【答案】B

【分析】由a-1〉0可得a>1,則4>0,根據(jù)不等式的性質(zhì)求解即可.

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【詳解】解：。一1>0得?！?,則。〉0,

-ci<-1,

-ci<-1<1<a,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，注意：當(dāng)不等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)負(fù)數(shù)，則不等式的符號需要改變.

5.【答案】C

【分析】根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，可得△=(),進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：???關(guān)于x的一元二次方程d-3x+〃?=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

-4ac=9-4m=0.

9

解得：m=_.

4

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程加+Ar+c=0(aH0,a,b,c為常數(shù))的根的判別式

^=b2-4ac,理解根的判別式對應(yīng)的根的三種情況是解題的關(guān)鍵.當(dāng)A>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)

數(shù)根；當(dāng)△=()時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)八<0時(shí);方程沒有實(shí)數(shù)根.

6.【答案】C

【分析】根據(jù)多邊形的外角和為360。進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：???多邊形的外角和為360°

二十二邊形的外角和是

360°.故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和與外角和的求法，掌握多邊形的外角和為360。是解題的關(guān)鍵.

7.【答案】A

【分析】整個(gè)實(shí)驗(yàn)分兩步完成，每步有兩個(gè)等可能結(jié)果，用列表法或樹狀圖工具輔助處理.

第一次正面反面

【詳解】AA

第二次正面反面正面反面

1

如圖，所有結(jié)果有4種，滿足要求的結(jié)果有1種，故概率為一.

4

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查概率的計(jì)算，運(yùn)用樹狀圖或列表工具是解題的關(guān)鍵.

8.【答案】D

【分析】如圖，過。作OFLAE于F,則四邊形AC。尸是矩形，貝ijOF=AC=a+b,由

DF<DE,可得a+8<c,進(jìn)而可判斷①的正誤；由△E48之△BCD,可得BE=BD,

CD=AB=a,AE=BC=b,NABE=NCDB,則NEB。=90°,△BOE是等腰直角三角形，由勾

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股定理得，BE=VAB~+AE~=\la~+b~>由+可得a+b>Ja。+〃,進(jìn)而可判斷②

的正誤；由勾股定理得OE2=B￡>2+BE2,即。2=2（/+〃），則c=JiXJ/+/〈應(yīng)（“+》進(jìn)

而可判斷③的正誤.

【詳解】解：如圖，過。作。尸，AE于F,則四邊形ACD尸是矩形，

DF<DE,

二a+b<c,①正確，故符合要求；

,；AEAB冬ABCD,

:.BE=BD,CD=AB=a,AE=BC=b,NABE=NCDB,

,：NCBD+2CDB=90°,

ZCBD+NABE=90°,ZEBD=90°,

.?.△BOE是等腰直角三角形，

由勾股定理得,BE-VAB~+AE2-\Ja2+b2>

,/AB+AE>BE,

a+b>+廿,②正確，故符合要求；

由勾股定理得DE2=BD2+BE2，即=2（。2+〃），

c-J2xy/a2+h2<>>2（a+/?）,③正確，故符合要求：

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性

質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識.解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運(yùn)用.

第二部分非選擇題

二、填空題（共16分，每題2分）

9.【答案】x*2

【分析】根據(jù)分式有意義的條件列不等式求解即可.

5

【詳解】解：若代數(shù)式——有意義，則x—2#0,

x-2

解得：XH2,

故答案為：XH2.

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【點(diǎn)睛】本題考查了分式有意義的條件，熟知分式有意義，分母不為零是解題的關(guān)鍵.

10.【答案】y(x+y)(x—y)

【詳解】試題分析：原式提公因式得：y(x2-y2)=y(x+y)(x—>)

考點(diǎn)：分解因式

點(diǎn)評：本題難度中等，主要考查學(xué)生對多項(xiàng)式提公因式分解因式等知識點(diǎn)的掌握.需要運(yùn)用平方差公式.

11.【答案】x=\

【分析】方程兩邊同時(shí)乘以2x(5x+l)化為整式方程，解整式方程即可，最后要檢驗(yàn).

【詳解】解：方程兩邊同時(shí)乘以2x(5x+l),得6x=5x+l,

解得：x=l，

經(jīng)檢驗(yàn)，x=l是原方程的解，

故答案為：尤=1.

【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵.

12.【答案】3

【分析】先把點(diǎn)A坐標(biāo)代入求出反比例函數(shù)解析式，再把點(diǎn)8代入即可求出機(jī)的值.

【詳解】解：???函數(shù)一的圖象經(jīng)過點(diǎn)和

.??把點(diǎn)代入得&=—3x2=—6,

...反比例函數(shù)解析式為丫=二?，

X

把點(diǎn)代入得：-2=a,

tn

解得：加=3,

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟知反比例函數(shù)

圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)一定滿足函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

13.【答案】460

【分析】用1000乘以抽查的燈泡中使用壽命不小于2200小時(shí)的燈泡所占的比例即可.

【詳解】解：估計(jì)這1000只燈泡中使用壽命不小于2200小時(shí)的燈泡的數(shù)量為1000x」LL6=460

50

(只)，

故答案為：460.

【點(diǎn)睛】本題考查了用樣本估計(jì)總體，用樣本估計(jì)總體時(shí)，樣本容量越大，樣本對總體的估計(jì)也就越精

確.

3

14.【答案】一

2

第11頁/共24頁

【分析1由平行線分線段成比例可得，吧=—=笠=竺=L得出BO=2OE,EC=20E,

OEOF1ECFD2

從而-堂=2OE+OE3

EC-20E2

【詳解】vAB|EF\\CD,AO=2,OF=1,

.變_AO-U

~OE~~OF~T

.O.BO=20E,

1

OEOF=

**"EC~FD5

/.EC=2OE,

,_B_E__W__E__+_O__E__3

~EC2OE2

3

故答案為:

2

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例的知識點(diǎn)，根據(jù)平行線分線段成比例找出線段之間的關(guān)系是解決

本題的關(guān)鍵.

15.【答案】J2

【分析】根據(jù)。4_LBC,得出NOOC=90°,DC=!_BC=1,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出

2

OC=J70c=即04=00=7^，根據(jù)N°AE=90。，ZA0C=45°,得出△AOE為等腰直角

三角形，即可得出AE=。4=

【詳解】解：；0A1BC,

.?.NOOC=90。，OC=1BC=1.

2

,/ZAOC=45°,

???qOOC為等腰直角三角形,

0C=yj2.DC=J?.>

???OA=OC=j2-

：AE是C。的切線，

ZOAE=90°,

,/NAOC=45。，

...△AOE為等腰直角三角形,

AE^OA=

、52.

故答案為：.

第12頁/共24頁

【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握

垂徑定理，得出DC=2BC=1.

2

16.【答案】?.53?.28

【分析】將所有工序需要的時(shí)間相加即可得出由一名學(xué)生單獨(dú)完成需要的時(shí)間；假設(shè)這兩名學(xué)生為甲、

乙，根據(jù)加工要求可知甲學(xué)生做工序A,乙學(xué)生同時(shí)做工序B-,然后甲學(xué)生做工序D,乙學(xué)生同時(shí)做工序

C,乙學(xué)生工序C完成后接著做工序G；最后甲學(xué)生做工序E,乙學(xué)生同時(shí)做工序F,然后可得答案.

【詳解】解：由題意得：9+9+7+9+7+10+2=53（分鐘），

即由一名學(xué)生單獨(dú)完成此木藝藝術(shù)品的加工，需要53分鐘；

假設(shè)這兩名學(xué)生為甲、乙，

?.?工序C,。須在工序A完成后進(jìn)行，工序E須在工序B,。都完成后進(jìn)行，且工序4,8都需要9分鐘完

成，

???甲學(xué)生做工序A,乙學(xué)生同時(shí)做工序B,需要9分鐘，

然后甲學(xué)生做工序D,乙學(xué)生同時(shí)做工序C,乙學(xué)生工序C完成后接著做工序G,需要9分鐘，

最后甲學(xué)生做工序E,乙學(xué)生同時(shí)做工序F,需要10分鐘，

若由兩名學(xué)生合作完成此木藝藝術(shù)品的加工，最少需要9+9+10=28（分鐘），

故答案為：53,28；

【點(diǎn)睛】本題考查了邏輯推理與時(shí)間統(tǒng)籌，根據(jù)加工要求得出加工順序是解題的關(guān)鍵.

三、解答題（共68分，第17—19題，每題5分，第20—21題，每題6分，第22—23題，每

題5分，第24題6分，第25題5分，第26題6分；第27—28題，每題7分）解答應(yīng)寫出文

字說明、演算步驟或證明過程.

17.【答案】5

【分析】代入特殊角三角函數(shù)值，利用負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，絕對值和二次根式的性質(zhì)化筒，然后計(jì)算即可.

【詳解】解：原式=4x』+3+2-布

2

=2^3+3+2-2/3

=5.

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，牢記特殊角三角函數(shù)值，熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，絕對值和二次根

式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

18.【答案】1<%<2

【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找

不到確定不等式組的解集.

卜-3<5+遮

解不等式①得：%>1

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解不等式②得：x<2

，不等式的解集為：1〈尤<2

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組，正確掌握一元一次不等式解集確定方法是解題的關(guān)鍵.

19.【答案】2

【分析】先將分式進(jìn)行化簡，再將x+2y-1=0變形整體代入化簡好的分式計(jì)算即可.

2(x+2y)2

【詳解】解：原式,

(x+2y)~x+2y

由x+2y-l=0可得x+2y=l,

2

將x+2y=1代入原式可得，原式=_=2.

1

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值，注意整體代入思想的應(yīng)用.

20?【答案】⑴見解析(2)3J2

【分析】(1)利用平行四邊形的性質(zhì)求出AF=EC,證明四邊形AECF是平行四邊形，然后根據(jù)對角線

相等的平行四邊形是矩形得出結(jié)論；

(2)證明朗BE是等腰直角三角形，可得AE=BE=五,然后再解直角三角形求出EC即可.

【小問1詳解】

證明：?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

AD=BC,AD//BC,

"：BE=DF,

：.AF=EC,

四邊形AECF是平行四邊形，

AC=EF,

.??平行四邊形AEC尸是矩形；

【小問2詳解】

解：由(1)知四邊形AECF是矩形，

/.ZAEC=ZAEB=90°,

,:AE=BE,AB=2,

??./BE是等腰直角三角形，

AE=BE=3AB=后

2

Af71

又〈tanZACB=_=_,

EC2

.,.變=1,

EC2

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二EC=2J2>

BC=BE+EC=&+2拒=3拉.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形，熟練掌握相關(guān)判定

定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

2/.【答案】邊的寬為4cm,天頭長為24cm

【分析】設(shè)天頭長為xcm,則地頭長為,xcm,邊的寬為x+3Jcrnq】xcm,再分別表示礎(chǔ)裝裱

~~I~~

后的長和寬，根據(jù)裝裱后的長是裝裱后的寬的4倍列方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)天頭長為xcm,

2

由題意天頭長與地頭長的比是可知地頭長為一xcm,

3

邊的寬為

裝裱后的長為f：x+x+1001cm=(；x+1001cm,

〉JI)

裝裱后的寬為(1x+/x+271cm=|；x+27|lm,

r-<)

由題意可得：^+100^^X+27^x4

I)

解得x=24,

1，

_x=4,

6

答：邊的寬為4cm,天頭長為24cm.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，題中的數(shù)量關(guān)系較為復(fù)雜，需要合理設(shè)未知數(shù)，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)

系.

22.【答案】(1),；

(2)

【分析】(1)利用待定系數(shù)法可求出函數(shù)解析式，由題意知點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為4,代入函數(shù)解析式求出點(diǎn)C

的橫坐標(biāo)即可；

(2)根據(jù)函數(shù)圖象得出當(dāng)一過點(diǎn)時(shí)滿足題意，代入求出"的值即可.

【小問1詳解】

仿=1

解：把點(diǎn)，代入得：\k+b=2'

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[％=]

解得：《，

[。=1

...該函數(shù)的解析式為y=x+i,

由題意知點(diǎn)c的縱坐標(biāo)為4,

當(dāng)y=x+1=4時(shí)，

解得：x=3,

AC（3.4）；

【小問2詳解】

解：由（1）知：當(dāng)x=3時(shí)，y=x+l=4,

2

因?yàn)楫?dāng)x<3時(shí)，函數(shù)ymx+〃的值大于函數(shù)y=x+l的值且小于4,

3

2

所以如圖所示，當(dāng)〉=_1+〃過點(diǎn)（3,4）時(shí)滿足題意，

3

2

代入（3,4）得：4=_x3+〃，

3

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法的應(yīng)用，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用數(shù)

形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵.

23.【答案】（1）〃?=166,〃=165；

（2）甲組（3）170,172

【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義求解即可；

（2）計(jì)算每一組的方差，根據(jù)方差越小數(shù)據(jù)越穩(wěn)定進(jìn)行判斷即可；

32

（3）根據(jù)要求，身高的平均數(shù)盡可能大且方差小于§,結(jié)合其余學(xué)生的身高即可做出選擇.

【小問1詳解】

解：將這組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為：161,162,162,164,165,165,165,166,166,167,

168,168,170,172,172,175,

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出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是165,出現(xiàn)了3次，即眾數(shù)，

16個(gè)數(shù)據(jù)中的第8和第9個(gè)數(shù)據(jù)分別是166,166,

.,.”，166+166.,,

二中位數(shù)m=________=166,

2

,，；

【小問2詳解】

解：甲組身高的平均數(shù)為1(162+165+165+166+166)=164.8,

5

甲組身高的方差為

2222

1[(162-164.8)+(165—164.8)2Q_)+(166-164.8)+(166-164.8)1=2.16

5L+651648」

乙組身高的平均數(shù)為1(161+162+164+165+175)=165.4,

5

乙組身高的方差為

1[(161-165.4)2+(162-165.4)2+(164-165.4)2+(165-165.4)2+(175-165.4)21=25.04,

5L」

25.04>2.16

.?.舞臺呈現(xiàn)效果更好的是甲組，

故答案為：甲組；

【小問3詳解】

解：168,168,172的平均數(shù)為1(168+168+172)=169』

33

?.?所選的兩名學(xué)生與己確定的三名學(xué)生所組成的五名學(xué)生的身高的方差小于一，

二數(shù)據(jù)的差別較小，數(shù)據(jù)才穩(wěn)定，

可供選擇的有：170,172,

且選擇170,172時(shí)，平均數(shù)會增大，

故答案為：170,172.

【點(diǎn)睛】本題考查了平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)和方差，熟記方差的計(jì)算公式以及方差的意義：方差越小數(shù)據(jù)

越穩(wěn)定是解題的關(guān)鍵.

24.【答案】（1）見解析，/84。=90。

（2）4

【分析】（1）根據(jù)已知得出=則=,即可證明平分，進(jìn)而根據(jù)

平分，得出AO=C￡＞，推出8AO=8C￡＞，得出8。是直徑，進(jìn)而可得NBA。=90°；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合已知條件得出，ZF=90°,△ADC是等邊三角形，進(jìn)而得出

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ZCDB=_lZADC=3Q°,由8。是直徑，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得BC=XBD,在

22

為△BFC中，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得的長，進(jìn)而即可求解.

【小問1詳解】

解：：

-■?AB=BC，

；.NADB=NCDB,即。8平分

???平分，

NABD=NCBD,

*'-AD=CD，

?**AB+AD^BC+CD>即BAD=BCD>

BO是直徑，

/BAD=90°；

【小問2詳解】

解：：NBA。=90。，，

,NF+NBAD=180°,則NF=90°.

AD=CD，

:.AD-DC.

?，

:.AC=AD=CD,

...△AOC是等邊三角形，則NA0C=6O°.

BD平分，

:.ZCDB=LzADC=30°.

2

*/8。是直徑，

:.ZBCD=90°,則BC=LBD.

2

?.?四邊形是圓內(nèi)接四邊形，

二ZADC+ZABC=180°,則NABC=120。,

/.ZF5C=60°,

ZFCB=90°-60°=30°,

:.FB=[BC.

2

*，

.?.BC=4，

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/.BD=2BC=8.

BO是直徑，

.?.此圓半徑的長為」BD=4.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了弧與圓周角的關(guān)系，等弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，含30度角的

直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)

鍵.

25.【答案】(I)見W析；(II)見解析，4；(1)11.3；(2)<

【分析】(I)直接在表格中標(biāo)記即可；

(II)根據(jù)表格中數(shù)據(jù)描點(diǎn)連線即可做出函數(shù)圖象，再結(jié)合函數(shù)圖象找到最低點(diǎn)，可得第一次用水量約為4

個(gè)單位質(zhì)量時(shí)，總用水量最?。?/p>

(1)根據(jù)表格可得，用兩次清洗的方式并使總用水量最小時(shí)，用水量為7.7個(gè)單位質(zhì)量，計(jì)算即可；

②根據(jù)表格可得當(dāng)?shù)谝淮斡盟繛?個(gè)單位質(zhì)量，總用水量超過8個(gè)單位質(zhì)量，則清洗后的清潔度能達(dá)

至IJ0.990,若總用水量為7.5個(gè)單位質(zhì)量，則清潔度達(dá)不到0.990.

【詳解】(I)表格如下：

11.09.09.07.05.54.53.53.03.02.01.0

0.81.01.31.92.63.24.34.05.07.111.5

11.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5

0.9900.9890.9900.9900.9900.9900.9900.9880.9900.9900.990

C

7qq7qqqq

(11)函孑物圖象如下：

O12345678910111213x

由圖象可得，當(dāng)?shù)谝淮斡盟考s為4個(gè)單位質(zhì)量(精確到個(gè)位)時(shí)，總用水量最小;

第19頁/共24頁

①當(dāng)采用兩次清洗的方式并使總用水量最小時(shí)，用水量為7.7個(gè)單位質(zhì)量，

19-7.7=11.3,

即可節(jié)水約11.3個(gè)單位質(zhì)量；

⑵由圖可得，當(dāng)?shù)谝淮斡盟繛?個(gè)單位質(zhì)量，總用水量超過8個(gè)單位質(zhì)量，則清洗后的清潔度能達(dá)到

0.990,

第一次用水量為6個(gè)單位質(zhì)量，總用水量為7.5個(gè)單位質(zhì)量，則清洗后的清潔度C<0.990,

故答案為：<.

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象，根據(jù)數(shù)據(jù)描繪函數(shù)圖象、從函數(shù)圖象獲取信息是解題的關(guān)鍵.

3

26.【答案】（1）/=_

2

（2）/<!

2

【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得對稱軸即可求解；

（2）根據(jù)題意可得（為，兒）離對稱軸更近，為<*2，則（為，兒）與（巧，為）的中點(diǎn)在對稱軸的右側(cè)，根據(jù)

對稱性求得」<%1+%2<3,進(jìn)而根據(jù)%1+%2>t,即可求解.

2222

【小問I詳解】

解：：對于，有，

.?.拋物線的對稱軸為直線x=X|+“2=3,

22

???拋物線的對稱軸為

.1

??I——;

2

【小問2詳解】

解：：當(dāng)，，

二（4，匕）離對稱軸更近，則（4，匕）與（N，%）的中點(diǎn)在對稱軸的右側(cè)，

X,+X,

1->t,

2

BP/<L

2

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的對稱性是解題的關(guān)鍵.

27.【答案】（1）見解析（2）ZAEF=90°,證明見解析

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【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得0M=DE,ZMDE=2a,利用三角形外角的性質(zhì)求出

NDEC=a=NC,可得DE=DC,等量代換得到0M=OC即可；

(2)延長FE到H使，連接G/,AH,可得是△依/的中位線，然后求出

NB=/ACH,設(shè)。M=DE=〃z,CD=n,求出BF=2〃z=CH,證明△ABF三.AC”(SAS),得

到AF=AH,再根據(jù)等腰三角形三線合一證明AE1.FH即可.

【小問1詳解】

證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：DM=DE,NMDE=2a,

'：NC=a,

ZDEC=NMDE—NC=。，

:.NC=/DEC,

DE-DC,

?.DM=DC,即。是的中點(diǎn)；

【小問2詳解】

ZAEF=90°；

證明：如圖2,延長FE到H使FE=E“，連接C”，AH,

?，

...是,??依/的中位線，

DE//CH,CH=2DE,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：DM=DE,NMDE=2a,

：.ZFCH=2a,

"：NB=NC=a,

：.ZACH-a,△是等腰三角形，

AZB=ZACH,AB^AC,

設(shè)DM=DE=tn,CD=n,則CH=2根，CM=m+n,

DF=CD