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文檔簡介
微積分上冊復(fù)習(xí)第一章函數(shù)的極限與連續(xù)1.求極限2.討論分段函數(shù)在分段點的連續(xù)性.(間斷點分類)3.用連續(xù)函數(shù)介值定理證明一些題2例1求解原極限=又3例2
設(shè)f(x)在[
1,1]內(nèi)連續(xù),并且當(dāng)x
[
1,1]時,又設(shè)求證:在區(qū)間(0,1)內(nèi)存在一點
,使得解設(shè)G(x)為[-1,1]上的連續(xù)函數(shù),由連續(xù)函數(shù)的介值定理知使得即故則4第二章導(dǎo)數(shù)與微分1.導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義.(如求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù))2.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)3.隱函數(shù)求導(dǎo)4.參數(shù)方程求導(dǎo)5.相關(guān)變化率問題5例
已知兩曲線y=f(x)與的切線相同,寫出此切線方程,并求極限在點(0,0)處故曲線在原點的切線的斜率為1,從而切線方程為y=x.解函數(shù)y=f(x)滿足f(0)=0,f(0)=1,故6例設(shè)求73.設(shè)求8第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.用微分中值定理證明一些題2.證明不等式3.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值4.求函數(shù)的凹凸區(qū)間與拐點5.用羅必達法則求極限6.求漸近線與曲率7.應(yīng)用題(求最值)9例1設(shè)試確定f(x)的增減區(qū)間并求所有極值.增區(qū)間[0,1]減區(qū)間(,0]和[1,+)極大值f(1)=1/e極小值f(0)=0.10例2設(shè)f(x)可導(dǎo),證明在f(x)的兩個零點之間一定存在(其中k為常數(shù))的零點.即證明:若f(x1)=f(x2)=0,x1<x2,則存在x0(x1,x2)使得k
f(x0)+f(x0)=0.證明使得即從而設(shè)輔助函數(shù)由已知得
11例2
確定常數(shù)a,b,c的值,使得當(dāng)x0時,是等價無窮小.與分析12例3設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上二階可導(dǎo),且f(0)=f(1).求證:在(0,1)內(nèi)至少存在一點
,使得13例4.求證:當(dāng)14不定積分與定積分15重點內(nèi)容(一)牛頓-萊布尼茲公式(二)定積分的換元法和分部積分法(三)積分上限的函數(shù)(四)求分段函數(shù)的定積分(五)積分中值定理(六)反常積分(要會計算)(七)不定積分的計算16(一)牛頓-萊布尼茲公式17(二)定積分的計算法換元公式(1)換元法(2)分部積分法分部積分公式18計算定積分19常用的定積分變換f(x)為奇函數(shù)f(x)為偶函數(shù)20例設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù),且證明:(1)若f(x)是偶函數(shù),則F(x)也是偶函數(shù),(2)若f(x)單調(diào)遞減,則F(x)也單調(diào)遞減.21(三)積分上限的函數(shù)核心公式22積分上限的函數(shù)+洛必達法則例確定常數(shù)a,b,c的值,使23積分上限的函數(shù)+參數(shù)方程求導(dǎo)例設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程所確定,求24積分上限的函數(shù)+隱函數(shù)求導(dǎo)例設(shè)y=y(x)是由方程所確定的函數(shù),求它的極值點,并判斷是極大值點還是極小值點.極小值點25積分上限的函數(shù)+單調(diào)性例設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且f'(x)<0,證明:在(a,b)內(nèi)有F'(x)0.26積分上限的函數(shù)+定積分換元法例設(shè)f(x)連續(xù),且(A為常數(shù)),求g'(x),并討論g'(x)在x=0處的連續(xù)性.g'(x)在x=0處點連續(xù)27例解注意f(0)=0,
積分上限的函數(shù)+定積分分部積分法28(四)求分段函數(shù)的定積分例設(shè)|a|<1,求29(五)積分中值定理若f(x)在[a,b]上連續(xù),則存在
(a,b)使例設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù),在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),證明:且使30(六)不定積分的計算例
求解:31計算不定積分32微分方程一、一階微分方程求解可分離變量方程,線性方程齊次方程貝努里方程二、高階微分方程求解1.可降階微分方程的解法—降階法2.二階線性微分方程的解法33的解.
例設(shè)函數(shù)內(nèi)具有連續(xù)二階導(dǎo)(1)試將x=x(y)所滿足的微分方程
變換為y=y(tǒng)(x)所滿足的微分方程;(2)求變換后的微分方程滿足初始條件
數(shù),且解:上式兩端對x求導(dǎo),得:(1)由反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式知34代入原微分方程得
①(2)方程①的對應(yīng)齊次方程的通解為
設(shè)①的特解為
代入①得A=0,從而得①的通解:35由初始條件
得故所求初值問題的解為
36已知
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