專題5 解三角形中的最值與范圍問題（解析版）

專題5解三角形中的最值與范圍問題余弦定理公式里有“平方和”和“積”這樣的整體，一般可先由余弦定理得到等式，再如果所求整體結(jié)構(gòu)不對稱，或者角度有更細(xì)致的要求，化為角的關(guān)系，消元后使得式子里只有一個角，變?yōu)槿呛瘮?shù)最值問題進(jìn)行解決。要注意三角形隱含角的二、邊化角與角化邊的變換原則在解三角形的問題中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接(2)若式子中含有a、b、c的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理(5)含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余(6)同時出現(xiàn)兩個自由角(或三三個自由角)時，要用到三角形的內(nèi)角和定理.【答案】?1AC2AB2【分析】設(shè)CD=2BD=2m>AC2AB2【詳解】[方法一]：余弦定理設(shè)CD=2BD=2m>0，后，結(jié)合基本不等式即可得解.在ACD中，AC2=CD2+AD2所以AB22+4+2m2+4+2m≥4?=4?2當(dāng)且僅當(dāng)m+1=即m=?1時，等號成立，2=2+3=4t2?4t+4=4?12≥4?2AB22+3t2+2t+4(t+1)+2=x2+4+2x2+b2=12+6x2，2=x2+4+2x2+b2=12+6x2，令=t，則2c2+t2c2=12+6x2，2≥4?2，當(dāng)且僅當(dāng)x+1=，即x=+1時等號成立.設(shè)BD=x，則CD=2x在ACD中，AC2=CD2+AD2?2CD?ADcos∠ADC=4x2所以=2+22?4所以tmin=4?2，此時x==?1(1)若C=,求B；cosAsin2B =.1+sinA1+cos2B 2π合0<B 2π,即可求出；π+B2?2π+B2?2Ba2+b22c化成4cos2B+?5，然后利用基本不等式即可解出.cosAsin2B2sinBcosBsinB1+sinA1+cos2B2cos21+sinA1+cos2B2cos2BcosB，即sinB=cosAcosB?sinAsinB=cos(A+B)=?cosC=6而0<B<，所以B6 1,2（2）由（1）知，sinB=?cosC>0，所以π<C<π,0<B<π,a2+b2sin2A+sin2Bcos22B+1?cos2B所以==c2sin2Ccos2B2cos2B?1+2cos2B?1+1?cos2B22==4cosB+?5≥28?5=42?5.cos2Bcos2B2a2+b22a2+b2銳角三角形確定角A的取值范圍，最后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得cosA+cosB+cosC的取值范圍.2=，即1?cos2結(jié)合余弦定cosA=，(b2+c2?a2)23a22，即4b2c2?b4?c4?a4?2b2c2+2b2a2+2c2a2=3a2c2，即a4+b4+c4+a2c2?2a2b2?2b2c2=0，即a4+b4+c4+2a2c2?2a2b2?2b2c2=a2c2，即a2+c2?b22=2，2+c2?b2=ac，所以cosB==，又B為ABC的一個內(nèi)角，故B=.32由2bsinA=a，結(jié)合正弦定理可得：2sinBsinA=sinA,∴sinB=32因?yàn)锽=，并利用余弦定理整理得b2=a2+c2?ac，即3ac=(a+c)2?b2.結(jié)合ac≤2，得≤2.由臨界狀態(tài)（不妨取A=）可知=.b2+c2?a21a2+b2?c2由余弦定理得cosA+cosBb2+c2?a21a2+b2?c2b2=a2+c2?ac，代入化簡得cosA+cosB+cosC=故cosA+cosB+cosC的取值范圍是,.cosA+cosB+cosC=cosA++cos=cosA?cosA+sinA+=sinA+cosA+222222(2π0<A<20<A<2；（潔明快，確定為最優(yōu)解.4.?ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知asin=bsinA.（1）求B；（2）若?ABC為銳角三角形，且c=1，求?ABC面積的取值范圍.【答案】(1)B=π;(2)(,).B=.(2)根據(jù)三角形面積公式SABC=ac?sinB，又根據(jù)正弦定理和c=1得到SABC關(guān)于C的函數(shù)，由于ABC是銳角三角形，所以利用三個內(nèi)角都小于來計算C的定義域，最后求解SABC(C)的值域.【詳解】(1)[方法一]【最優(yōu)解：利用三角形內(nèi)角和為π結(jié)合正弦定理求角度】A+CπB222此時asin=bsinA就變?yōu)閍sin?=bsinA.(πB)BB(πB)BB在ABC中，由正弦定理知a=2RsinA,b=2RsinB，此時就有sinAcos=sinAsinB，即cos=sinB，BBBπ再由二倍角的正弦公式得cos=2sincos，解得B=.2223[方法二]【利用正弦定理解方程求得cosB的值可得∠B的值】由解法1得sin=sinB，兩邊平方得sin2=sin2B，即=sin2B.又A+B+C=180°,即cos(A+C)=?cosB，所以1+cosB=2sin2B，進(jìn)一步整理得2cos2B+cosB?1=0，解得cosB=，因此B=.[方法三]【利用正弦定理結(jié)合三角形內(nèi)角和為π求得A,B,C的比例關(guān)系】根據(jù)題意asin=bsinA，由正弦定理得sinAsin=sinBsinA，因?yàn)?<A<π,故sinA>0，消去sinA得sin=sinB.0<B<π,0<<π,因?yàn)楣?B或者+B=π,而根據(jù)題意A+B+C=π,故+B=π不成立，所以=B，又因?yàn)锳+B+C=π,代入得3B=π,所以B=.(2)[方法一]【最優(yōu)解：利用銳角三角形求得C的范圍，然后由面因?yàn)锳BC是銳角三角形，又B=π,所以π<A<π,π<C<π,則S=1acsinB=1c2.a.sinB=.sinA=.sin—CΔABC22c4sinC4sinC整理得SABC=?sincossinC=+.|由題設(shè)及（1）知ABC的面積S△ABC=a.2+1?a222|cosA=2b>0,(b2+122 ( ()[方法三]【數(shù)形結(jié)合，利用極限的思想求解三角形面積的取值范圍】如圖，在ABC中，過點(diǎn)A作AC1⊥BC，垂足為C1，作AC2⊥AB與BC交于點(diǎn)C2.由題設(shè)及（1）知ABC的面積S△ABC=a，因?yàn)锳BC為銳角三角形，且c=1,B=，c1cosπ3 2,即cos1cosπ3 2,即33838<SABC< ,2【整體點(diǎn)評】(1)方法一：正弦定理是解三角形的核心定理，與三角形內(nèi)角和相結(jié)合是常用的方法；方法三：極限思想和數(shù)形結(jié)合體現(xiàn)了思維的靈活性，要求學(xué)生對幾何有深刻的認(rèn)識和靈活的應(yīng)用. 3π 3π【詳解】：S?ABC=(a2+c2?b2)=a2+c2?b2sinB∴=2ac3,即cosB= 3則c=sinC=sin?A= =?+2tanA2a2+1?aa2+1?a則4a+c的最小值為.【答案】92ac當(dāng)且僅當(dāng)c=2a=3時取等號，則4a+c的最小值為9.因此4a+c=(4a+c)(1+1)=當(dāng)且僅當(dāng)c=2a=3時取等號，則4a+c的最小值為9.由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)得向量式=a+a+ca+c因?yàn)锽D=1，所以1=22+22a=3 1 3 1 ?a2a+cc?,則有a+c=ac，所以=?c?+1?2acos=,同理+1?2acos=,同理CD=a2a2+1?aCDADBCABca2+1?aCDADBCABc2+1?c,即=,即=a=c時，可解得a=c=2,4a+c=10．當(dāng)a+c=ac時，下同方法一.AD1CD1AD1CD1在ABC中，由正弦定理得a=b=sinAsinAsinCAD+CDADCD =+.==+，即ac=a+c，下同方法一.如圖6，作AE∥BC，交BD的延長線于E．易得ABE為正三角形，則AE=c,DE=c?1.AEDEcc?1由ADE∽CDB，得=，即=，從而a+c=ac．下同方法一.BCBDa1【點(diǎn)評】方法一：利用角平分線定義和三角形面積公式建立等量關(guān)系，再根據(jù)基本不等式“1”的代換求出最方法四：通過解三角形和角平分線定理構(gòu)建等式關(guān)系，再由基本不等式求最值，計算量方法五：多次使用正弦定理構(gòu)建等量關(guān)系，再由基本不等式求最值，中間轉(zhuǎn)換方法六：由平面幾何知識中的相似得等量關(guān)系，再由基本不等式求最值，求解較題型=由不等式求最值 3π 3π點(diǎn)D且BD=，則下列結(jié)論正確的是()acC．a(chǎn)+3c的最小值是4D．ABC的面積最小值是【答案】ABD【詳解】解：由題意得：S△ABC=S△ABD+S△BCD，,內(nèi)角B的平分線交AC于a+c化簡得ac=a+c∴ac=a+c≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時取等號，所以SABC=acsin∠ABC=ac≥，當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時取等號，故D正確；由余弦定理b2=a2+c2?2accos∠ABC=a2+c2?ac2?3ac=2?3ac≥42?322024屆·湖南衡陽市八中校考）在①(b+c?a)(b+c+a)=bc，②asinC=(acosC?b)，③(2b+c)cosA+acosC=0中選一個，補(bǔ)充在下面的橫線中，并解答.2π3【答案】(1)A2π3則即（2）根據(jù)面積公式可得bc=(b+c)，再利用基本不等式可得bc≥12，進(jìn)而可得結(jié)果.則即【詳解】（1）若選①：因?yàn)?b+c?a)(b+c+a)=b2+c2?a2+2bc=bc，整理得b2+c2?a2=?bc，由余弦定理可得cosA=b2+c2?a2=?bc=?1，若選②：因?yàn)閍sinC=(acosC?b)，由正弦定理可得sinAsinC=(sinAcosC?sinB)，則sinAsinC=(sinAcosC?sinB)=sinAc可得tanA=?，所以A=；若選③：因?yàn)?2b+c)cosA+acosC=0，由正弦定理可得(2sinB+sinC)cosA+sinAcosC=0，則(2sinB+sinC)cosA+sinAcosC=2sinBcosA+sin(A+C)=2sinBcosA+sinB=0，可得cosA=?，所以A=. 3π 3π,且SABC=SBAD+SCAD，,可得bc≥12，故ABC的面積的最小值為3.故ABC的面積的最小值為3.(1)求角A；(2)若D在邊BC上且BD=DC,AD=2，求ABC面積的最大值（2）由已知可得D為BC中點(diǎn)，則=+)，兩邊平方化簡得16=c2+b2+bc，再利用基本不等式可求得bc≤，從而可求出ABC面積的最大值.【詳解】（1）由acosC+asinC=b+c及正弦定理得sinAcosC+sinAsinC=sinB所以sinAcosC+sinAsinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC， 1,2所以Aπ,得A=π,（2）因?yàn)镈在邊BC上且=，---2AD由b2，AD=2,A=，所以得到16=c2+b2+bc，SABC=bcsinA=bc≤，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號，所以當(dāng)b=c=時，即ABC為等邊三角形時ABC面積的最大值為4．在ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若b(tanA+tanB)=ctanB，BC邊的中線長為1.（1）求角A；（2）求邊a的最小值.A=A=;（2）2?2.（2）首先根據(jù)BC邊的中線長為1，得到AB+AC=2，從而得到bc≤4?2，再利用余弦定理即可得到答案.sinBsin(A+B)=sinCsinB，cosAcosBcosB =sinBsinCsin =,cosAcosBcosB所以cosA=，又0<A<π,所以A=.（2）因?yàn)锽C邊的中線長為1，所以AB+AC=2，所以c2+b2+2bccosA=4，即b2+c2=4?bc≥2bc，解得bc≤4?2，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號.所以a2=?2=+2?4=4?2bc≥4?24?2所以a的最小值為=2?2.福建省廈門雙十中學(xué)高三上學(xué)期期中5．在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2bsinA=acosB+asinB.（2）設(shè)點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，若BD=，求a+c的取值范圍.【答案】（1）B=2）(2,4].【分析】（1）由2bsinA=acosB+asinB可得bsinA=acos(B?)，由正弦定理得bsinA=asinB，從而得asinB=acos(B?)，化簡可求得tanB=，進(jìn)而可求出角B；BE=2,∠BAE=,AB=c,AE=BC=a，然后在BAE中，利用余弦定理可得ac=(a+c)2?12，再利用基本不等式可得a+c≤4，又由AE+AB>BE，即a+c>2，從而可求出a+c的取值范圍【詳解】解1）在ABC中，ab由正弦定理=，可得bsinA=asinsinAsinB因?yàn)?bsinA=acosB+asinB，所以bsinA=acos(B?)，所以asinB=acos(B?)，即sinB=cos(Bπ)，即sinB=cosB+1sinB，可得tanB=，又因?yàn)锽∈(0,π)，所以B=.則ABCE為平行四邊形，且BE=2,∠BAE=,AB=c,AE=BC=a，在BAE中，由余弦定理得(2)2=a2+c2?2accos,即a2+c2+ac=12，可得(a+c)2?ac=12，即ac=(a+c)2?12，由基本不等式得：ac=(a+c)2?12≤()2，即(a+c)2≤12，即(a+c)2≤16，可得a+c≤4（當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2取等號號）又由AE+AB>BE，即a+c>2，故a+c的取值范圍是(2,4].ACBHC232 a3由余弦定理+可得：a2=b2+c2?bc≥2bc?bc=bc a3對式子變形后利用基本不等式求最值7．在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2acsin(B+C)+a2+c2?b2=0. π6(1)若A π6【答案】(1);(2)最小值是5，B=.（2）利用二倍角公式以及同角的三角函數(shù)關(guān)系化簡為只含si根據(jù)余弦定理cosB=，可知2acsin(B+C)+a2+c2?b2=0,得sinA+=0,即sinA+cosB=0，故cosB=?sinA，而A=，故cosB=?222△ABC=1acsinB=1222 π ,6A+B+C=π,C=π?A?B=?2B,A=B?4sin2C+3sin2A+24cos22B+3cos2B+2 =sin2Bsin2B設(shè)f(B)=4cos22os2B+2，則f(B)==當(dāng)且僅當(dāng)16sin2B=，即sinB=，結(jié)所以4sin2Cs2A+2的最小值是5，此時B=.8．已知ABC的角A,B,C對邊分別為a,b,c，acosB?bsinA=0.(1)求∠B；(2)若a+c=2，求b的取值范圍.【答案】(1)；(2)1<b<2（2）由已知利用余弦定理，基本不等式可求b>）：∴由正弦定理可得：sinAcosB?sinBsin（2B=，a+c=2，∴由余弦定理可得b2=a2+c2?=當(dāng)且僅當(dāng)a=c時等號成立，題型二構(gòu)造函數(shù)求范圍abc4【詳解】由正弦定理得==abc4sinAsinBsinC3a=sinA,b=sinB，sin(A?B)sin(A?C)10．記銳角ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,sin(A?B)sin(A?C)+22Ra2b2（2）根據(jù)（1）中結(jié)論運(yùn)用正弦定理得asinC=2RsinA=bsinA=1，然后等量代換出2Ra2b2sin(A?B)sin(Asin(A?B)sin(A?C)所以sin(A?B)cosC=sin(A?C)cosB，所以sinAcosBcosC?cosAsinBcosC=sinAcosCcosB?cosAsinCcosB,所以cosAsinBcosC=cosAsinCcosB所以sinBcosC=sinCcosB，所以tanB=tanC，所以B=C.b2Rb2R所以asinC=2RsinA=bsinA=1,所以=sinA，因?yàn)锳=π?B?C=π?2C， +a2b2=sin2C+sin22C1?cos2C2=2+(1?cos2C)=?=?cos2C?cos2C+22 2 ππ<C 2 ππ4 2π<2 2π<2C<π + a2b2.2023屆河北省唐山市三模11．記ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，(1)若C=，求A；(2)求cosA+cosB+cosC的取值范圍.【分析】（1）由題意及正弦定理得到sinA=cosB，即sinA=sin|（2+B)| π,6A=π+B,C=π?2B，又C=22 π,6A+B+C=π,即可求得A；結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.由于sinB≠0，可知sinA=cosB，即sinA=sin+B，則+B∈,π,則A=+B,C=?2B.由A=π+B,C=π,A+B+C=π,得A=2π.（2）cosA+cosB+cosC=cos=?sinB+cosB+sin2B=cosB?sinB+2sinBcosB.因?yàn)镃=?2B為銳角，所以0<?2B<，即0<B<，則B+∈,，cosA+cosB+cosC=t+1?t2=?2,則2sinBcosB=1?t2，5+.422+122024屆·湖南長郡中學(xué)?？迹┰阡J角ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知2sinA(ccosB+bcosC)=a.(1)求A；(2)若a=，求b2+c2+3bc的取值范圍.（2）先利用正弦定理求出b,c，再根據(jù)三角恒等變換化簡，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.2sinA(sinCcosB+sinBcosC)=2sinAsin(B+C)=2sinAsinA=sinA，所以sinA=3,所以A=2（2）結(jié)合（1）可得A=,B+C=π?A=2π,3由a=，則根據(jù)正弦定理有===2，得b=2sinB,c=2sinC，根據(jù)余弦定理有a2=b2+c2?2bccosA，得b2+c2=3+bc，所以b2+c2+3bc=3+4bc=3+16sinBsinC=3+16sinBsin?B=3+8sinBcosB+8sin2B=7+4sin2B?4cos2B=7+8sin故b2+c2+3bc=7+8sin2023屆廣東江門市一模1tanC13．在銳角ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且1tanC2c2的取值范圍.【答案】(1)2；(2))依次組成等差數(shù)列.|a+c?b>0，設(shè)f(x)=x+根據(jù)函數(shù)單調(diào)性確定函數(shù)取值范圍，即得的取值范圍.211cosBcosCsinCcosB+cosCsinB= =+=+==sinAtanBtanCsinBsinCsinBsinC==sinBsinC,a2a2=2.（2）b>c及a2=2bc，則B>C2+c2?a2|lcosB>lcosB>02+c22bc+c2?b22ac>0>02+c2?2bc>0l2bc+c?b>02<1+2.又==+，f所以f(x)在1+=，所以的取值范圍是2024屆常德市一中?？? ca21 ca2,請完成以下問題：【答案】(1)B=；(2)(1,7).（2）利用正弦定理把a(bǔ),b表示為角C的函數(shù)，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解作答.【詳解】（1）在ABC中，由bcosC+c=a及正弦定理得：2sinBcosC+sinC=2sinA，2sinBcosC+sinC=2sin(B+C)=2sinBcosC+2cosBsinC，整理得2cosBsinC=sinC，而B,C∈(0,π)，sinC>0，于是cosB= π.3所以B= π.3 1,2因此a2+b2=sin2A+3=4sin2A+3=4sin2(?C)+3sin2C4sin2C4sin2C4sin2C3cos2C+sin2C+2sinCcosC+36cos2C+4sin2C+2sinCcosC3===++14sin2C4sin2C2tan2C2tanC0<2π?C<2于是a2+b2=3t2+t+1在t∈(0,)上單調(diào)遞增，則1<a2+b2<72024屆長沙一中月考（一）15．在銳角ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且滿足b2?a2=ac.（2）先由角的關(guān)系得出B=2A,C=π?3A，再結(jié)合正弦定理可得=4cos2A+2cosA，最后結(jié)合二次函數(shù)值域得出范圍.2?a2=ac，由余弦定理得b2=a2+c2?2accosB，所以ac，a=c?2acosB，由正弦定理得sinA=sinC?2sinA所以A=B?A，即B=2A.（2）B=2A,C=π?3A，la+b+csin3A+sin2Asin2AcosA+cos2AsinA+2sinAcosA ==+1=+1+1=4cos2A+2cosA=2sinAcos2A+1=4cos2A+2cosA=2024屆長沙一中月考（二）積分別為S1，S2，S3，已知S+S?S1S3=S，AB=2.(1)在①acosC+ccosA=1；②4sinBsinA+cos2A=1；③+=0中選一個作為條件，判斷(2)若ABC為銳角三角形，求ABC面積的取值范圍.可求出ABC的周長.（2）由三角形的面積可得S=BC，再由正弦定理和兩角和的正弦公式可得BC=+1，結(jié)合角C的取值范圍即可求解.所以(ar)2+(cr)2?(ar)?(cr)=(br)2，化簡得：a2+c2?b2=ac所以cosB=a2+c2?b21 =2ac2 π 3a2+b2?c2b2+c2?a2因?yàn)閍22+c2a??b2=ac，c=2，所以a2+4因?yàn)閍22+c2a?2a+3=0，選擇②,因?yàn)?sinBsinA+cos2A=1，所以4sinBsinA=1?cos2A=2sin2A，因?yàn)閍2+c2?b2=ac，c=2，所以4b2+4?b2=4b，整理得3b2?4b+4=0，方程無實(shí)數(shù)解，所以ABC不存在.選擇③,由+=0得：sinA+sinB?2(sinAcosB+cosAsinB)=0，sinAsinB所以sinA+sinB=2sin(A+B)，即sinA+sinB=2sinC，所以a+b=2c=4，因?yàn)橐詀2+c2?b2=ac，c=2，所以a2+4?b2=2a，所以a2+4?(4?a)2=2a，解得a=b=2，所以ABC存在且唯一，ABC的周長為a+b+c=6.所以0<C<π,0<2π?C<π,解得：π<C<π,所以tanC>，所以0<<，0<<3，1<+1<4，所以BC的取值范圍為(1,4)， 17．在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，tanC=.所以sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB，即sinCcosA?cosCsinA=cosCsinB?sinCcosB，從而2C=A+B，又A+B+C=π,所以C=.2π0<A<ππ2sinAsinBc2因?yàn)镾△ABC=2absinC=2?sinC=32sinAsinBc2所以c2=.設(shè)y=sinAsinB，因?yàn)锽=?A， 從而c2=，(9+3)3而bsinA,則a==30<C=(9+3)3而bsinA,則a==30<C= 2π【分析】由正弦定理及已知可得sinA=，結(jié)合銳角三角形得A=、<B< 2π角恒等變換得a+b+c=2+2?tan，即可求范圍.,再由正弦邊角關(guān)系、三ab【詳解】由=，則asinB=bsinA，故sinA+bsinA=4sinA=2，sinAsinB2所以sinA=2,又ABC為銳角三角形，則A=( π|0< π 6π,則 6π,則<B<2ππ ?B< π ,2asinAbc=bcsinB2sinBbsinCc==sinB3sin(2π?B) 3=sinB +，2sinB222sinB22BB2222sinB22BB22