分拆等式和q-級數等式的構造性證明

分拆等式和q-級數等式的構造性證明本文主要是用組合的方法(映射與對合)來構造性地證明一些著名q-級數恒等式和分拆恒等式,主要包括：Ramanujan部分v-級數恒等式,Andrews部分v-級數恒等式及其推廣,Fine分拆定理,Alladi加權分拆等式,Ramanujan三階仿v-函數恒等式及其推廣,Gauss系數交錯和等式。首先,我們用整數分拆的語言分別將q-級數恒等式的兩邊解釋成某類分拆的生成函數,然后用圖形來表示分拆,再結合各種組合方法在兩類分拆之間建立一個雙射,或者在同一類分拆中建立一個對合,從而給出q-級數恒等式的證明。這種方式的證明被稱為構造性證明,或組合證明。本文共分四章。第一章主要介紹分拆和q-級數理論中的一些基本概念和術語。然后,介紹兩個經典的映射：Sylvester雙射和Franklin對合,這兩個映射開創(chuàng)了構造性證明分拆恒等式和q-級數恒等式的先河。第二章主要研究Ramanujan和Andrews的部分v-級數恒等式。Alladi從這兩個等式中分別得到了兩個加權的分拆等式。利用奇偶序列,Berndt、Kim和Ycc給出了Ramanujan等式的組合證明。通過構造新的對合中,我們給出了Ramanujan等式的另一個組合證明。更重要的是,在此對合中的基礎上,我們構造了一個Franklin類型的對合ψ,這個對合ψ可以用來證明Alladi從Ramanujan等式中得到的加權分拆等式,從而解決了Berndt、Kim和Ycc在《組合理論雜志A》中提出的公開問題。此外,這個對合ψ還可以證明Alladi從Andrews等式中得到的加權分拆等式和Fine分拆定理。另一方面,我們構造了對合ψ的一個變式T。利用這個變式T,我們給出了Andrews等式的直接組合證明,并回答了Andrews在《美國數學月刊》上提出的一個公開問題,而且還發(fā)現一個更廣泛的加權分拆等式。在第三章中,我們主要研究Ramanujan三階仿v-函數恒等式及其推廣。Fine是第一個探索三階仿v-函數與整數分拆聯系的人,并且得到了一個關于三階仿v-函數f(q)的分拆恒等式。通過構造對合,我們給出了Fine分拆恒等式的組合證明。此外,我們還構造了另外兩個對合,并得到了兩個分別關于三階仿v-函數φ(q),ψ(q)的分拆恒等式。結合這三個分拆恒等式,可以證明兩個關于Ramanujan三階仿v-函數的經典等式。并且,這三個對合還可應用到Andrews對Ramanujan這兩個等式的推廣上。第四章主要研究Gauss系數交錯和等式。通過研究Alladi對分拆的滑動操作和鉤操作,我們得到了一個聯系無限制的分拆和部分都是互不相同奇數的分拆的加權分拆等式。利用這個加權等式,可以證明Gauss系數交錯和等式。此外,還可以給出不可約表示S(1n)在對稱群Sn共軛表示中的重數k(1n)一個組合解釋,從而回答了Stanley在其專著《計數組合學》中提出的一個公開問題的特殊情形。在本章的結尾,我們介紹Gauss系數交錯和等式的組合證明。通過變形Ga