金融數(shù)學簡介

金融數(shù)學簡介2024/3/24金融數(shù)學簡介引言金融數(shù)學是一門新興的邊緣科學，是數(shù)學與金融學的交叉。它是在兩次華爾街革命的基礎(chǔ)上產(chǎn)生和發(fā)展起來的，其核心問題是不確定環(huán)境下的最優(yōu)投資策略的選擇理論和資產(chǎn)的定價理論。今天我們將簡述了金融數(shù)學的主要內(nèi)容，并展望了其進一步發(fā)展的前沿課題及前景。簡單地說，金融數(shù)學就是用數(shù)學的方法解決金融問題。在金融數(shù)學的發(fā)展史上，一些諾貝爾經(jīng)濟學獎的獲獎工作，對金融數(shù)學的研究起著決定性的作用?？梢哉f，金融數(shù)學的主流研究方向就是以這些獲獎工作為基礎(chǔ)的。2金融數(shù)學簡介

1990年諾貝爾經(jīng)濟獎授予H.Markowitz，W.Sharpe和M.Miller，獎勵他們在金融經(jīng)濟學中的先驅(qū)工作——H.Markowitz的投資組合理論、W.Sharpe的資本資產(chǎn)定價理論M.Miller的公司財務(wù)理論。諾貝爾經(jīng)濟獎簡介（1）注3金融數(shù)學簡介H.Markowitz在《資產(chǎn)組合選擇》一文中，第一次從風險資產(chǎn)的收益率和風險之間的關(guān)系出發(fā)，討論了不確定經(jīng)濟環(huán)境中最優(yōu)資產(chǎn)組合的選擇問題。其主要成就是將大量的不同資產(chǎn)的投資組合選擇的復(fù)雜的多維問題，簡化為平衡兩個因素，即投資組合的期望回報及其方差，最終化為一個概念清晰的、簡單的二次規(guī)劃問題，即均值－方差分析；并且給出了最優(yōu)投資組合問題的實際計算方法。4金融數(shù)學簡介W.Sharpe的資本資產(chǎn)定價理論，在較強的市場假設(shè)下，給出了Markowitz均值方差模型的均衡版本，即資本資產(chǎn)定價模型。（CAPM）[2]其主要貢獻是在有價證券理論方面對不確定條件下金融決策的規(guī)范分析，以及資本市場理論方面關(guān)于以不確定性為特征的金融市場的實證性均衡理論。馬克維茨的分析方法進一步發(fā)展為著名的"資本資產(chǎn)定價模型"，用來說明在金融市場上如何建立反映風險和潛在收益有價證券價格。5金融數(shù)學簡介M.Miller的公司財務(wù)理論（1958）主要研究資本結(jié)構(gòu)與其企業(yè)市場價值的關(guān)系。Miller在《資本成本、公司理財和投資理論》論文中證明，在一定假設(shè)下，企業(yè)的市場價值與其資本結(jié)構(gòu)無關(guān)。傳統(tǒng)觀念認為，公司的價值與其資本結(jié)構(gòu)有內(nèi)在關(guān)系，Miller的結(jié)論與傳統(tǒng)觀念大相徑庭，一經(jīng)提出就引起了廣泛的爭議。從50年代末到60年代末，經(jīng)過一輪唇槍舌戰(zhàn)的辯論之后，Miller的公司財務(wù)理論開始盛行于財務(wù)學界，逐步確定它在學術(shù)界的主流地位。6金融數(shù)學簡介

1997年諾貝爾經(jīng)濟獎授予R.Merton和M.Schole,以獎勵他們和F.Black在確定衍生證券價值方法方面的貢獻，也就是關(guān)于期權(quán)定價的著名的Black-Sholes公式。諾貝爾經(jīng)濟獎簡介（2）注7金融數(shù)學簡介1973年，M.Scholes與已故的經(jīng)濟學家F.Black發(fā)表《期權(quán)定價和公司債務(wù)》一文，給出了期權(quán)定價的Black-Sholes公式。指出期權(quán)價格僅依賴于股票價格的波動量、無風險利率、期權(quán)到期時間、執(zhí)行價格、股票時價.其主要貢獻是提出用標的股票和無風險資產(chǎn)構(gòu)造的投資組合的收益來復(fù)制期權(quán)的收益。這一復(fù)制法則的重要性在于，它告訴人們可以利用已存在的證券來復(fù)制符合于某種投資目的的新的證券品種，這成為金融機構(gòu)設(shè)計新的金融產(chǎn)品的思想方法。注8金融數(shù)學簡介1973年R.Merton在＜經(jīng)濟和管理科學雜志＞上發(fā)表了＜理性期權(quán)定價理論的文章＞，對Black-Sholes公式的假定條件做了進一步削弱，在許多重要方面都對Black-Sholes的研究做了推廣．Merton對Black-Sholes原用的分析方法進行了改進，以股價變動的跳躍過程而不是擴散過程為出發(fā)點，也就是認為股價變動是不連續(xù)的，可以從一個價格跳到另一個價格而不經(jīng)歷其間的價格．這樣推導(dǎo)出的公式更加現(xiàn)實．注9金融數(shù)學簡介2003年度諾貝爾經(jīng)濟學獎授予RobertF.Engle和CliveGranger。令Engle摘取桂冠的是他于1982年提出的ARCH模型。Granger因為時間序列的協(xié)整分析方法而獲獎,他的貢獻將用于研究財富與消費、匯率與物價水平、以及短期與長期利率之間的關(guān)系。諾貝爾經(jīng)濟獎簡介（3）10金融數(shù)學簡介對收益率的建模研究一直在計量經(jīng)濟學中占據(jù)很重要的位置。顯然對于一階矩的刻畫是比較容易的,所以人們將注意力都放在了對二階矩的建模上,也就是對收益率波動的計量建模。為了尋求對股票市場價格波動行為更為準確的描述和分析方法,許多金融學家嘗試了不同的模型。其中,Engle于1982年提出的ARCH模型,被認為是最集中反映了方差變化特點而被廣泛應(yīng)用于金融數(shù)據(jù)時間序列分析的模型。11金融數(shù)學簡介20世紀70年代以前計量經(jīng)濟學的建模方法都是以經(jīng)濟變量平穩(wěn)這一假設(shè)條件為基礎(chǔ)。但在實際中,許多經(jīng)濟指標的時間序列都是非平穩(wěn)的,并不具有固定的期望值,并且呈現(xiàn)出明顯的趨勢性和周期性。經(jīng)濟變量表現(xiàn)出的非平穩(wěn)性使傳統(tǒng)建模遇到了前所未有的困難。格蘭杰注意到某些經(jīng)濟變量之間似乎不會存在任何均衡關(guān)系,但若干個非平穩(wěn)經(jīng)濟時間序列的某種線性組合卻有可能是平穩(wěn)序列。提出了協(xié)整的概念及其方法。所謂協(xié)整,是指多個非平穩(wěn)經(jīng)濟變量的某種線性組合是平穩(wěn)的。目前,協(xié)整分析已成為處理非平穩(wěn)金融、經(jīng)濟變量相依關(guān)系的行之有效的方法。12金融數(shù)學簡介本文主要介紹投資組合理論Ross套利定價理論衍生證券的定價理論二杈樹模型Black-Sholes模型ARCH模型及其應(yīng)用利率期限結(jié)構(gòu)理論公司資本結(jié)構(gòu)保險精算學簡介13金融數(shù)學簡介1.投資組合理論簡介在投資活動中，人們發(fā)現(xiàn)，投資者手中持有多種不同風險的證券，可以減輕風險帶來的損失，對于投資若干種不同風險與收益的證券形成的證券組稱為證券投資組合。證券投資組合的原則是，組合期望收益愈大愈好，組合標準差愈小愈好，但在同一證券市場中，一般情形是一種證券的平均收益越大，風險也越大，因而最優(yōu)投資組合應(yīng)為一個條件極值問題的解，即對一定的期望收益率，選擇資產(chǎn)組合使其總風險最小。14金融數(shù)學簡介Markowitz提出的證券組合均值方差問題，是證券組合理論的基本問題，可描述為有約束的線性規(guī)劃問題解上述問題可得最優(yōu)資產(chǎn)組合w*的表達式，且最優(yōu)資產(chǎn)組合的方差為其中注15金融數(shù)學簡介在方差-均值坐標系下，它是拋物線。注16金融數(shù)學簡介在均方差-均值坐標系下，它是雙曲線。17金融數(shù)學簡介可證：任一最小方差資產(chǎn)組合wp都可唯一地表示為其中稱為全局最小方差資產(chǎn)組合。稱為全局可分散化資產(chǎn)組合。這就是著名的兩基金分離定理。注18金融數(shù)學簡介上述結(jié)論還可推廣到具有無風險資產(chǎn)的均值-方差模型，此時模型為最小方差資產(chǎn)組合的方差為在均方差-均值坐標系下，它是公共交點為（0，r）的兩條射線，其斜率為19金融數(shù)學簡介兩基金分離定理的表現(xiàn)形式為：所有最小方差資產(chǎn)組合都是無風險資產(chǎn)和不含任何無風險資產(chǎn)的所謂“切點”資產(chǎn)組合的組合。20金融數(shù)學簡介2.資本資產(chǎn)定價模型資本資產(chǎn)定價模型（CAPM）是在理想的資本市場中,根據(jù)兩基金分離定理建立的。它的基本結(jié)論是(Sharp-Lintner-Monssin)假設(shè)市場上可以獲得無風險資產(chǎn)，當市場達到均衡時，任意資產(chǎn)的超額收益率與風險資產(chǎn)的市場資產(chǎn)組合超額收益率成正比，即有關(guān)系式其中稱為資產(chǎn)X的市場beta系數(shù),表示資產(chǎn)X所面臨的風險系數(shù)。注21金融數(shù)學簡介XM為市場資產(chǎn)組合——設(shè)市場上有n種風險資產(chǎn)，一種無風險資產(chǎn)。每種資產(chǎn)的價格為pi，i=0,1,…,n,如果市場上有K位投資者，且在某一時刻，第k位投資者持有第i種資產(chǎn)的數(shù)量為Nik，若記則稱為該時刻的投資者市場資產(chǎn)組合。可以證明，當市場達到均衡，且無風險資產(chǎn)是零凈供應(yīng)的金融證券時，切點資產(chǎn)組合wt就是市場資產(chǎn)組合。注22金融數(shù)學簡介CAPM在資產(chǎn)定價中的應(yīng)用一證券市場線對任意風險資產(chǎn)的投資組合Xx，由點所形成的軌跡稱為證券市場線。注23金融數(shù)學簡介二風險自行調(diào)節(jié)收益率定價公式CAPM對個別資產(chǎn)提供了一種可量化的風險測度，所以CAPM可以用于確定未來收益率概率分布假設(shè)為已知的風險資產(chǎn)在當前的價值。設(shè)市場上第j種資產(chǎn)期終風險收益為Pe，當前價格為P0，其收益率則風險自行調(diào)節(jié)收益率定價公式為其中24金融數(shù)學簡介在風險自行調(diào)節(jié)收益率定價公式中，將代入，得確定等價定價公式25金融數(shù)學簡介CAPM在資產(chǎn)定價中的應(yīng)用———股票定價例某公司I在時期1將發(fā)行100股股票，公司I在時期2的價值為隨機變量VI（2）。公司的資金都是通過發(fā)行這些股票而籌措的，已知股票的持有者有資格獲得完全的收益流?，F(xiàn)給出有關(guān)測算數(shù)據(jù)如下VI（2）$1000$800P0.50.5將上述數(shù)據(jù)代入風險自行調(diào)節(jié)收益率定價公式得故每股價格為7.83$26金融數(shù)學簡介3.Ross套利定價理論（APT）在金融理論中，確定風險資產(chǎn)合理價值主要有兩種方法。一種是基于競爭均衡理論的定價方法，如上節(jié)的CAPM，認為資產(chǎn)的合理價格由所謂的“內(nèi)在源”，也就是資產(chǎn)市場中現(xiàn)有的所有資產(chǎn)所共同確定；另一種是基于一般套利定價理論的定價方法（GAPT），如本節(jié)將要介紹的Ross套利定價理論（APT）認為資產(chǎn)的合理價格由所謂的“外在源”，也就是資本市場的其他因素所確定。27金融數(shù)學簡介基于上述思想，被譽為美國“金融神童”的Ross在1976年《JournalofEconomicTheory》上發(fā)表的《ArbitrageTheoryofCapitalAssertPricing》一文中十分武斷地指出：任何資產(chǎn)的價格可以表示為一些“共同因素”的線性組合。這些“共同因素”可以是通貨膨脹率，人口出生率，工業(yè)增長指數(shù)，證券市場綜合指數(shù)，外匯匯率等等各種因素，然后利用套利定價方法給出了資產(chǎn)收益率的一般表達式。記資產(chǎn)市場中第i種資產(chǎn)的收益率為Xi，可通過統(tǒng)計方法測算的影響資產(chǎn)收益率的因素收益率記為隨機變量fk,k=1,…,K,不能通過統(tǒng)計方法測算或未知的影響資產(chǎn)收益率的因素收益率記為隨機變量

i,并假定資產(chǎn)收益率由以下線性多因子模型所描述：注28金融數(shù)學簡介(3.1-a)(3.1-b)(3.1-c)其中稱為殘差風險。根據(jù)上述模型，利用漸近無套利定價假設(shè)可以給出資產(chǎn)超額收益率表達式實數(shù)

k反映了證券對于因子fk的敏感性。稱為因子風險溢價。(3.2-c)29金融數(shù)學簡介從統(tǒng)計觀點來看，APT是通過許多因子來確定證券價格，它使我們擴大了考慮因素的范圍，可以從證券市場以外的因素去選擇，而不象CAPM只從證券市場本身的歷史來研究。這樣，就可以把證券的價格和國家經(jīng)濟發(fā)展狀況，企業(yè)經(jīng)營狀況，外匯市場等等其它經(jīng)濟因素相聯(lián)系，從而使模型更好地反映現(xiàn)實狀況。一般認為，APT與CAPM相比有以下幾個特點：（1）對分布不作要求（2）對個人的效益沒有直接假定什么條件；（3）允許依賴于許多因素；（4）可以對證券的一部分的組合定價，無需涉及全體；（5）容易推廣到多階段的情形。30金融數(shù)學簡介4.二杈樹模型二杈樹模型是金融衍生證券定價問題中常用的一種股票價格模型。考慮這種模型有以下2個原因。1。該模型構(gòu)造簡單，且是實際模型的一種很好的逼近2?？赏ㄟ^這種簡單的模型闡明金融中的重要概念——套期保值，風險中性測度等。無套利假設(shè)是所有研究的前提——稱某個市場有套利機會，如果存在一種投資組合，使資產(chǎn)值Yt滿足Y0=0,注31金融數(shù)學簡介考慮簡單歐式看漲期權(quán)的定價問題：以敲定價K>0于時刻1兌現(xiàn)，期權(quán)持有者的收益為V0=?注32金融數(shù)學簡介設(shè)期權(quán)價格V0,若將價值V0的資產(chǎn)在市場投資，在0時刻購買

0股股票，剩余的資金（可能是負的）存（借貸）款，則到1時刻資金價值為，這一價值應(yīng)該與期權(quán)在1時刻的價值相等，即解上述聯(lián)立方程可得*注33金融數(shù)學簡介稱為套期保值比。注意若取則*式可形式地寫作稱為風險中性概率測度（或等價鞅測度）。歐式期權(quán)的定價可以簡潔地表示成“風險中性測度下，期權(quán)到期價值的數(shù)學期望”。34金融數(shù)學簡介多期二杈樹模型Stockprice…,…期權(quán)價值注35金融數(shù)學簡介5.Black-Sholes模型當考慮股票價格隨時間連續(xù)變動情形時，Black-Scholes給出了市場的如下描述：僅考慮一個簡單的證券市場。市場中僅有一種債券和一種股票。設(shè)債券在t時刻的價格P0(t)，股票在t時刻的價格P(t).滿足方程：36金融數(shù)學簡介考慮T時刻到期的歐式期權(quán)，假定到期時，期權(quán)的內(nèi)在價值為V(T)=g(P(T));設(shè)期權(quán)在0時刻價格為V(0);現(xiàn)考慮0時刻初始值為X(0)=V(0)的投資。設(shè)在t時刻購買股票的股數(shù)為(t),則設(shè)V(t,x)表示在t時刻股票價格為x時，期權(quán)的價值,則(5.1)(5.2)37金融數(shù)學簡介令V(0,P(0))=X(0),V(t,P(t))=X(t),g(P(T))=X(T)即在(4.1),(4.2)兩式中令dt,dB系數(shù)相等，則得終端條件——Black-Scholes方程。(5.3)38金融數(shù)學簡介另一方面，利用隨機分析理論可以證明，設(shè)是使股票價格貼現(xiàn)過程為鞅的測度，稱為等價鞅測度，則歐式期權(quán)在t時刻的價值為(4.4)通過解偏微分方程(5.3)或用概率論中的期望定義解(5.4)都可以得到歐式看漲期權(quán)的價格為式中Black-Scholes公式39金融數(shù)學簡介衍生證券定價問題的進一步研究方向放寬理想市場假設(shè)（如有賣空限制，交易費等）對新型衍生證券進行定價模型改進（如隨機利率，隨機波動率，跳過程等）不完備市場模型40金融數(shù)學簡介期權(quán)定價技術(shù)的應(yīng)用

期權(quán)定價理論雖然源于對金融期權(quán)的估值，但其主旨為降低不確定性所必須付出的成本問題，而不確定性是所有經(jīng)濟活動的本質(zhì)特征。這決定了期權(quán)定價技術(shù)(以下簡稱0PT)的應(yīng)用絕不僅僅局限于對以金融資產(chǎn)為標的資產(chǎn)的期權(quán)。許多現(xiàn)實問題在分析的過程中常常可以把核心問題歸結(jié)為期權(quán)定價問題來處理，即歸結(jié)為確定期權(quán)價值的5個因素：執(zhí)行價格、現(xiàn)貨價格、到期時間、波動率和無風險利率的分析計算。注41金融數(shù)學簡介目前期權(quán)定價理論主要應(yīng)用于1．金融衍生證券的定價2．保險合同的定價3．政府政策與行為4．個人／家庭決策5．投資決策42金融數(shù)學簡介6ARCH模型及其應(yīng)用在計量經(jīng)濟學中,收益率的建模研究一直具有很重要的地位。其中對一階矩的刻畫是比較容易,所以人們將注意力都放在了對二階矩的建模上,也就是對收益率波動的計量建模。經(jīng)典資本市場理論在描述股票市場收益率變化時,所采用的計量模型一般都假定收益率方差保持不變。這一模型運用簡便,常用來預(yù)測和估算股票價格。但對金融數(shù)據(jù)的大量實證研究表明,有些假設(shè)不甚合理。一些金融時間序列常常會出現(xiàn)某一特征的值成群出現(xiàn)的現(xiàn)象。注43金融數(shù)學簡介為了尋求對股票市場價格波動行為更為準確的描述和分析方法,許多金融學家和計量學家嘗試用不同的模型與方法處理這一問題。如ARMA模型，ARIMA模型，隱MARKOV模型等，但被認為是最集中反映了方差變化特點而被廣泛應(yīng)用于金融數(shù)據(jù)時間序列分析的模型,是Engle于1982年提出的ARCH模型。ARCH模型是過去20年內(nèi)金融計量學發(fā)展中最重大的創(chuàng)新。目前所有的波動率模型中,ARCH類模型無論從理論研究的深度還是從實證運用的廣泛性來說都是獨一無二的。44金融數(shù)學簡介設(shè)隨機序列{Yt}滿足其中為弱白噪聲，滿足鞅差條件且設(shè)其中為強白噪聲。(6.1)(6.2)考慮Engle最初的ARCH(1)模型45金融數(shù)學簡介(6.3)給出了模型的預(yù)測公式，(6.4)則表明模型具有時變性的波動率。實證分析表明時變性波動率更能描述真實的股票行情變化，反映外部沖擊對股市造成的影響，便于進行風險評價。由(5.1)-(5.2)式易得，過程相鄰時刻的條件均值與方差分別為(6.3)(6.4)注46金融數(shù)學簡介廣義ARCH模型ARCH(1)模型雖然較好的解釋了波動率聚類現(xiàn)象，但它有很多缺陷，在其后的工作中,Engle及其同事沿著許多方向?qū)υ撃Ｐ瓦M行了拓展。例如，在考慮風險與投資回報之間的關(guān)系時,由于投資者是依據(jù)當前信息而持有證券,當風險(條件方差)增大時,投資者要求的投資補償也就大。因此,條件方差的變化也會影響收益率條件期望的變化。與其他研究者合作,Engle在ARCH的基礎(chǔ)上,建立了ARCH-M模型來分析時變風險的收益補償。期望收益率取決于時變性的方差和協(xié)方差,從而自身也隨時間變化。47金融數(shù)學簡介ARCH(1)模型的各種拓展表述ARCH(q)模型（Engle1982)GARCH(p,q)模型(Bollerslev1986)48金融數(shù)學簡介GARCH-M模型(Engle,Lilien,Robbins1987)滿足GARCH模型參考文獻[1]EngleRobertF.AutoregressionconditionalheteroskedasticitywithestimatesofthevarianceofU.K.inflation,Econometrica,1982,50(4):987_1008[2]ChristainGARCHModelsandFinancialApplicationsSpringer,1997[3]T.Bollerslev.Generalizedautoregressiveconditionalheteroskedasticity,JournalofEconometrics31,307-327,(1986).注49金融數(shù)學簡介7利率期限結(jié)構(gòu)理論在社會經(jīng)濟生活中一部分人通過儲蓄或購買債券來保存多余的資金，而部分家庭和廠商也可以通過貸款獲得資金。資金的提供不是無償?shù)?，利息就是借入資金的個體為了在一段時間里使用資金而必須支付給資金出借人的補償。顯然利息與投資本金和儲蓄時間有關(guān)；利息與期初投資本金的比值稱為該時期的利率。不同時期投資可能利率不同。利率的期限結(jié)構(gòu)理論主要研究隨機波動利率與（較長）時期的對應(yīng)關(guān)系。注50金融數(shù)學簡介經(jīng)濟學家認為，在決定利率期限結(jié)構(gòu)過程中，投資者對未來變動的預(yù)期是致關(guān)重要的。然而，投資者對自己是否既有十分準確地分析未來變動的能力是缺乏信心的。因此，一般情況下，假定投資者對利率未來的變動滿足一隨機過程。比較常用的模型有Cox-Ingersoll-Ross模型，Hull-White-Vasicek模型。由于利率期限結(jié)構(gòu)理