2015下半年教師資格考試高中數(shù)學真題及答案

試卷科目：教師資格考試高中數(shù)學2015下半年教師資格考試高中數(shù)學真題及答案PAGE"pagenumber"pagenumber/SECTIONPAGES"numberofpages"numberofpages2015下半年教師資格考試高中數(shù)學真題及答案第1部分：單項選擇題，共4題，每題只有一個正確答案,多選或少選均不得分。[單選題]1.若多項式?(x)=x4+x3-3x2-4x-1和g(x)=x3+x2-x-1，則?(x)和g(x)的公因式為()。A)x+1B)x+3C)x-1D)x-2答案:A解析:求多項式的公因式一般用輾轉(zhuǎn)相除法。這里用賦值法，分別令x0=-1，-3，1，2，代入，同時得到?(x0)=0，g(x0)=0，即知x+1為二者公因式。[單選題]2.為研究7至10歲少年兒童的身高情況，甲、乙兩名研究人員分別隨機抽取了某城市的100名和1000名兩組調(diào)查樣本，若甲、乙抽取的兩組樣本平均身高分別記為a、β(單位：cm)，則a、β的大小關(guān)系為()。A)a＞βB)a＜βC)a=βD)不能確定答案:D解析:樣本是受審查客體的反映形象或其自身的一部分，按一定方式從總體中抽取的若干個體，用于提供總體的信息及由此對總體作統(tǒng)計推斷。樣本的平均值稱樣本均值，在數(shù)理統(tǒng)計中，常常用樣本均值來估計總體均值。樣本越大從總體中提取的信息就越多，對總體的代表性就越好。這里取的兩組數(shù)據(jù)都是隨機的，因此均值不一定相等。[單選題]3.下列關(guān)系式不正確的是()。A．(a+c)·b=b·a+b·cA)(a+c)×b=b×a+b×cB)(a·b)2+(a×b)2=a2b2C)(a×b)×c=(a·D)b-(b·c)a答案:B解析:由向量積的性質(zhì)可得，(a+c)×b=a×b+c×b，故選B。[單選題]4.20世紀初對國際數(shù)學教育產(chǎn)生重要影響的是()。A)貝利一克萊茵運動B)大眾教學C)新數(shù)學運動D)PISA項目答案:A解析:第一次數(shù)學課程改革發(fā)生在20世紀初，史稱?克萊因一貝利運動?。英國數(shù)學家貝利提出?數(shù)學教育應該面向大眾??數(shù)學教育必須重視應用?的改革指導思想；德國數(shù)學家克萊因認為，數(shù)學教育的意義、內(nèi)容、教材、方法等，必須緊跟時代步伐，結(jié)合近代數(shù)學和教育學的新進展，不斷進行改革。第2部分：問答題，共5題，請在空白處填寫正確答案。[問答題]5.系，并求出反射光線的方程。若將反射光線繞平面鏡的法線旋轉(zhuǎn)一周，求所得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。答案:以此光線與平面的交點為原點，鏡面所在平面為xOy，平面建立空間直角坐標系，如下圖：則入射光線所在直線過原點且在yOz坐標面上，所以入射光線的直線方程為z=ycota(y>0)。而反射光線與入射光線關(guān)于z軸對稱，所以反射光線的直線方程為z=-ycota(y>0)。而此時法線為z軸，故將反射光線繞平面鏡的法線旋轉(zhuǎn)一周，即是繞z軸旋轉(zhuǎn)一周。則得出旋轉(zhuǎn)曲面的方程解析:[問答題]6.某飛行表演大隊由甲、乙兩隊組成。甲隊中恰好有噴紅色與綠色噴霧的飛機各3架。乙隊中僅有3架噴紅色煙霧的飛機。在一次飛行表演中，需要從甲隊中任意選出3架飛機與乙隊飛機混合編隊進行表演，并任意確定一架飛機作為領(lǐng)飛飛機，求領(lǐng)飛飛機是噴綠色煙霧的概率。答案:分兩步進行計算，先選出含有噴綠色煙霧的飛機的概率再選領(lǐng)飛的飛機是噴綠色煙霧的概率，最后乘起來即得。解析:[問答題]7.舉例說明向量內(nèi)容的學習對高中生理解數(shù)學運算的作用答案:平面向量是高中數(shù)學引入的一個新概念。利用平面向量的定義、定理、性質(zhì)及有關(guān)公式，可以簡化解題過程，便于學生的理解和掌握。向量運算可以提高學生針對數(shù)學運算的理解層次，學生從最初接觸運算都是數(shù)與數(shù)之間的運算，而加入向量運算之后，向量運算涉及的數(shù)學元素更高，比如說實數(shù)、字母、甚至向量，甚至還可以把幾何圖形加入運算當中，這本身是對數(shù)學層次更大的一個提高。而且向量運算對數(shù)學的思想也體現(xiàn)得比較多，比如在解析幾何當中，或者是在平面幾何當中，向量應用確實很方便，一個運算既有代數(shù)意義又有幾何意義，但是到了立體幾何時，我覺得向量運算僅僅就變成算術(shù)了，算術(shù)對立體幾何本意是沒有一點想象的，就是它到底讓學生重點掌握什么，掌握運算還是掌握思維和想象。一、向量在代數(shù)中的應用。根據(jù)復數(shù)的幾何意義，在復平面上可以用向量來表示復數(shù)。這樣復數(shù)的加減法，就可以看成是向量的加減．復數(shù)的乘除法可以用向量的旋轉(zhuǎn)和數(shù)乘向量得到，學了向量，復數(shù)事實上已沒有太多的實質(zhì)性內(nèi)容。因而選學內(nèi)容也就不難理解了。另外向量所建立的數(shù)形對應也可用來證明代數(shù)中的一些恒等式、不等式問題，只要建立一定的數(shù)學模型，可以較靈活地給出證題方法。二、向量在三角中的應用。當我們利用單位圓來研究三角函數(shù)的幾何意義時，表示三角函數(shù)就是平面向量。利用向量的有關(guān)知識可以導出部分誘導公式。由于用向量解決問題時常常是從三角形人手的，這使它在三角里解決有關(guān)三角形的問題發(fā)揮了重要作用，一個最有力的證據(jù)就是教材中所提供的余弦定理的證明：只要在根據(jù)向量三角形得出的關(guān)系式的兩邊平方就可利用向量的運算性質(zhì)得出要證的結(jié)論．它比用綜合法提供的證明要簡便得多。三、向量在平面解析幾何中的應用。由于向量作為一種有向線段，本身就是有向直線上的一段，且向量的坐標可以用起點、終點的坐標來表示，使向量與平面解析幾何特別是其中有關(guān)直線的部分保持著一種天然的聯(lián)系。平面直角坐標系內(nèi)兩點間的距離公式，也就是平面內(nèi)相應的向量的長度公式：分一條線段成定比的分點坐標，可根據(jù)相應的兩個向量的坐標直接求得；用直線的方向向量(a，b)表示直線方向比直線的斜率更具有一般性，且斜率實際是方向向量在a=0時的特殊情形。另外向量的平移也可用來化簡二次曲線，即通過移動圖形的變換來達到化簡二次曲線的目的，實際上與解析幾何中移軸變換達到同樣的效果。四、向量在幾何中的應用。在解決幾何中的有關(guān)度量、角度、平行、垂直等問題時用向量解決也很方便。特別是平面向量可以推廣到空間用來解決立體幾何問題。例如在空間直線和平面這部分內(nèi)容中，解決平行、相交、包含以及計算夾角、距離等問題用傳統(tǒng)的方法往往較為繁瑣，但只要引入向量，利用向量的線性運算及向量的數(shù)量積和向量積以后，一切都歸結(jié)為數(shù)字式符號運算。這些運算都有法則可循，比傳統(tǒng)的方法要容易得多?？傊?，平面向量已經(jīng)滲透到中學數(shù)學的許多方面，向量法代替?zhèn)鹘y(tǒng)教學方法已成為現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展的必然趨勢。向量法是一種值得學生花費時間、精力去掌握的一種新方法，學好向量知識有助于理解和掌握與之有關(guān)聯(lián)的學科。因此在中學數(shù)學教學中加強向量這一章的教學，可以更好地為學習其他知識做必要的準備。但傳統(tǒng)教學思想對向量抵觸較大，許多教師認為向量法削弱了學生的空間想象能力，且學生初學向量時接受較為困難，這就要求我們不斷探索，找出最佳的教和學的方法，發(fā)揮向量的作用，使向量真正地成為現(xiàn)代數(shù)學的基礎(chǔ)。解析:[問答題]8.敘述并證明拉格朗日微分中值定理，并簡述拉格朗日微分中值定理與中學數(shù)學內(nèi)容的聯(lián)系。答案:如果函數(shù)?(x)滿足：(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導；定理證畢。拉格朗日中值定理在微積分學中是一個重要的理論基礎(chǔ)，是應用數(shù)學研究函數(shù)在區(qū)間上整體形態(tài)的有力工具。拉格朗日中值定理在中學數(shù)學中應用非常廣泛，如利用導數(shù)來研究函數(shù)的某些性質(zhì)、證明不等式和方程根的存在性、描繪函數(shù)的圖像、解決極值、最值等等。解析:[問答題]9.?基本不等式?是高中數(shù)學教學中的重要內(nèi)容，請完成下列任務(wù)：(1)在?基本不等式?起始課的?教學重點?設(shè)計中，有兩種方案：①強調(diào)基本不等式在求數(shù)值中的應用，將基本不等式的應用作為重點。②強調(diào)基本不等式的背景，過程與意義，將學生感受和體驗?基本不等式?中?基本?的意義作為教學重點。你贊同哪種方案?簡述理由。(10分)(3)為了讓高中生充分認識?基本不等式?中?基本?的意義，作為教師應該對此有多個維度的理解，請至少從兩個維度談?wù)勀銓?基本?意義的認識。(10分)答案:(1)我更贊同第二種方案，理由如下：①本節(jié)課定位為?基本不等式?的起始課，它是在學生已經(jīng)系統(tǒng)地學習了不等式關(guān)系和不等式性質(zhì)，掌握了不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上進行教學的。學生對于?基本不等式?還處于初步感知階段，不能一步就理解如何實現(xiàn)基本不等式在求解簡單最大(小)值當中的應用，因此，在?基本不等式?的起始課當中，應當先讓學生結(jié)合基本不等式的背景和意義進行自主探索，了解不等式的證明過程，加深印象及存在原因后再學習應用會更好。②從新課程標準的要求出發(fā)，高中數(shù)學課程標準是指導教師進行課程安排、課程設(shè)計難易度的標尺，高考③從教材的編寫來看，在基本不等式的這節(jié)一開始，是以北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標為問題的背景，提問學生?你能在這個圖中找到一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎??利用面積間存在數(shù)量關(guān)系，抽象出不應用當中，才提及?基本不等式?在解決實際問題當中是解決最大(小)值問題的有力工具。因此，從這三點來看，基本不等式的起始課的教學重點應該采用第二種方案，即強調(diào)基本不等式的背景、過程及意義．將學生感受和體驗?基本不等式?中?基本?的意義作為教學重點。(2)a2+b2≥2ab的幾何解釋是：大正方形的面積大于四個三角形的面積和，當且僅當a=b時，等號成立(即正方形的對角線將正方形分成4個等腰直角三角形，正方形的面積等于四個等腰三角形的面積和)。(如圖1所示)代數(shù)--涉及兩個正數(shù)的運算，也就是通過加、減、乘、除、乘方、開方等運算而產(chǎn)生的變化。在對運算結(jié)果之間的大小關(guān)系比較中就可以得到各種表現(xiàn)形式。幾何--周長相等的矩形中，正方形的面積最大；或者，以葉6為斜邊的直角