備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷（全國卷專用）03（文科）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷（全國卷專用）黃金卷03（文科）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C．1 D．3．設(shè)有n個(gè)樣本，，…，，其標(biāo)準(zhǔn)差是，另有n個(gè)樣本，，…，，且，其標(biāo)準(zhǔn)差為，則下列關(guān)系中正確的是（

）A． B．C． D．4．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．5．已知某品牌手機(jī)電池充滿電量為毫安，每經(jīng)過小時(shí)，電量消耗，若電池電量不超過毫安時(shí)充電最佳，那么該手機(jī)至少可以待機(jī)小時(shí)．（待機(jī)小時(shí)取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）（

）A． B． C． D．6．已知，則＝（

）A． B． C． D．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）7．若是夾角為的兩個(gè)單位向量，與垂直，則（

）A． B． C． D．8．求圓心在直線上，且與直線相切于點(diǎn)的圓的方程是（

）A． B．C． D．9．某幾何體的三視圖如圖所示，正視圖中的圓弧所對的圓心角為直角，則該幾何體的表面積為（

）

A． B． C． D．10．在，角的對邊分別為，若，且，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．11．?dāng)?shù)列，滿足：，，，則數(shù)列的最大項(xiàng)是第（

）項(xiàng)．A．6 B．7 C．8 D．912．已知在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．第II卷（非選擇題）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13．若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的取值范圍為.14．已知雙曲線的漸近線方程為，且右頂點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則這個(gè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.15．已知函數(shù)，則的最小值為．16．如圖，在三棱錐中，平面為外接圓的圓心，為三棱錐外接球的球心，，則三棱錐的外接球的表面積為．

三、解答題：本大題共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17．已知等比數(shù)列的公比，若，且分別是等差數(shù)列的第1，3，5項(xiàng).(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．2022年12月份以來，全國多個(gè)地區(qū)紛紛采取不同的形式發(fā)放多輪消費(fèi)券，助力消費(fèi)復(fù)蘇.記發(fā)放的消費(fèi)券額度為x（百萬元），帶動的消費(fèi)為y（百萬元）.某省隨機(jī)抽查的一些城市的數(shù)據(jù)如下表所示.x33455668y1012131819212427(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，請用相關(guān)系數(shù)說明y與x有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，并求出y關(guān)于x的線性回歸方程.(2)（?。┤粼撌城市在2023年2月份準(zhǔn)備發(fā)放一輪額度為10百萬元的消費(fèi)券，利用（1）中求得的線性回歸方程，預(yù)計(jì)可以帶動多少消費(fèi)？（ⅱ）當(dāng)實(shí)際值與估計(jì)值的差的絕對值與估計(jì)值的比值不超過10％時(shí)，認(rèn)為發(fā)放的該輪消費(fèi)券助力消費(fèi)復(fù)蘇是理想的.若該省A城市2月份發(fā)放額度為10百萬元的消費(fèi)券后，經(jīng)過一個(gè)月的統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)實(shí)際帶動的消費(fèi)為30百萬元，請問發(fā)放的該輪消費(fèi)券助力消費(fèi)復(fù)蘇是否理想？若不理想，請分析可能存在的原因.參考公式：，，.當(dāng)時(shí)，兩個(gè)變量之間具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.參考數(shù)據(jù)：.19．如圖所示，在直四棱柱中，，，且，，，M是的中點(diǎn)．(1)證明；(2)求點(diǎn)B到平面的距離．20．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值(2)若在區(qū)間內(nèi)恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.21．已知橢圓C：(a>b>0)的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為，點(diǎn)P為其上一動點(diǎn)，且三角形PF1F2面積的最大值為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求橢圓C的方程；（2）若點(diǎn)M，N為C上的兩個(gè)動點(diǎn)，求常數(shù)m，使·＝m時(shí)，點(diǎn)O到直線MN的距離為定值，求這個(gè)定值．（二）選考題：共10分.請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22．已知曲線的參數(shù)方程分別為（為參數(shù)），（為參數(shù)）．(1)將的參數(shù)方程化為普通方程；(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．若射線與曲線分別交于兩點(diǎn)（異于極點(diǎn)），點(diǎn)，求的面積．選修4-5：不等式選講23．已知a、b均為正數(shù)，設(shè).(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(2)若的最小值為6，求的值，并求的最小值.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．C【分析】化簡集合A，B，根據(jù)集合的交集運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：C2．C【分析】先求出，然后再求.【詳解】由，得：，所以：，即：，故C項(xiàng)正確.故選：C.3．B【分析】根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式分別表示，由此判斷兩者關(guān)系.【詳解】設(shè)樣本，，…，的平均數(shù)為，樣本，，…，的平均數(shù)為，則，，，，所以，故，故選：B.4．B【分析】計(jì)算，，，得到大小關(guān)系.【詳解】，，，故.故選：B.5．A【分析】分析可知小時(shí)后，該手機(jī)剩余的電量為毫安，解不等式可得結(jié)論.【詳解】由題意可知，小時(shí)后，該手機(jī)剩余的電量為毫安，小時(shí)后，該手機(jī)剩余的電量為毫安，，以此類推可知，小時(shí)后，該手機(jī)剩余的電量為毫安，由，即，所以，，因此，該手機(jī)至少可以待機(jī)小時(shí).故選：A.6．D【分析】由倍角公式和差角公式、平方關(guān)系求解即可.【詳解】.故選：D7．B【分析】由題意先分別算出的值，然后將“與垂直”等價(jià)轉(zhuǎn)換為，從而即可求解.【詳解】由題意有，又因?yàn)榕c垂直，所以，整理得，解得.故選：B.8．A【分析】設(shè)出圓心坐標(biāo)，根據(jù)圓心到直線的距離等于圓心到的距離求解出圓心坐標(biāo)，從而半徑可求，則圓的方程可知.【詳解】因?yàn)閳A心在直線上，所以設(shè)圓心，因?yàn)閳A與直線相切于點(diǎn)，所以，解得，所以圓心為，半徑為，所以圓的方程為，故選：A.9．A【分析】根據(jù)三視圖可還原幾何體的直觀圖，從而可通過運(yùn)算得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)題意可知，該幾何體為一個(gè)正方體截掉四分之一圓柱（圓柱的上、下底面圓心的連線為正方體的一條棱，圓柱底面圓的半徑為正方體棱長的一半）所剩幾何體，所以該幾何體的表面積為，

故選：A．10．B【分析】已知，由正弦定理邊化角，化簡可得，設(shè)，在和中，由余弦定理可得，可求的最小值.【詳解】由及正弦定理可得，由，可得，故．通解

設(shè)，由可得，由余弦定理可得，又，所以，得．在和中，由余弦定理得，，由可得，故，當(dāng)時(shí)，取得最小值12，即，得，故的最小值為2．優(yōu)解

由題意知，兩邊同時(shí)平方得，又，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，則，故的最小值為2．故選：B11．A【分析】根據(jù)累加法求出，.設(shè)數(shù)列的最大項(xiàng)是第項(xiàng)，由得出不等式組，求解即可得出答案.【詳解】由已知可得，，，，，兩邊分別相加可得，，所以有.因?yàn)?，所以?設(shè)數(shù)列的最大項(xiàng)是第項(xiàng)，則有，即，整理可得，，解得.又，所以.故選：A.12．A【分析】確定在上恒成立，根據(jù)得到，再證明充分性，，設(shè)，求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，計(jì)算最值得到證明.【詳解】，在上恒成立，設(shè)，，，①必要性：，恒成立，故，故，若，則存在，使時(shí)，，單調(diào)遞增，，不滿足條件；②充分性：，，設(shè)，在恒成立，故單調(diào)遞減，，故恒成立，綜上所述：.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中利用必要性探路得到，再證明充分性可以避免繁瑣的討論，簡化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.13．【分析】先作出平面區(qū)域，可知表示斜率為，縱截距為的直線，數(shù)形結(jié)合處理問題.【詳解】如圖，作出約束條件的平面區(qū)域，

聯(lián)立方程，解得，即點(diǎn)，因?yàn)椋?，表示斜率為，縱截距為的直線，可知：當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取到最小值，所以的取值范圍為.故答案為：.14．【分析】根據(jù)漸近線可得，然后根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)即可求出雙曲線的頂點(diǎn)，即可求出結(jié)果．【詳解】設(shè)雙曲線的方程是，雙曲線的漸近線方程是，①．由橢圓的方程知右焦點(diǎn),則雙曲線的右頂點(diǎn)坐標(biāo)為雙曲線方程中的②．解①②得：，，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案為：.15．【分析】根據(jù)題意，求得，設(shè)，求得，得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得在上單調(diào)遞減，進(jìn)而求得的最小值，得到答案.【詳解】因?yàn)?，可得，設(shè)，則，令，可得，令，得，所以函數(shù)，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，所以，所以在上單調(diào)遞減，則．故答案為：.16．【分析】依題意由正弦定理可求得外接圓的半徑為，再利用線面垂直關(guān)系確定球心位置在的正上方，由勾股定理可求出外接球的半徑為，即可得出求的表面積.【詳解】根據(jù)題意可知，設(shè)外接圓的半徑為，在中由正弦定理可知，解得，即；易知三棱錐外接球的球心在的正上方，且平面；又平面，所以；因?yàn)槠矫?，可得，又，所以可得四邊形是矩形，即；設(shè)，三棱錐外接球的半徑為，由勾股定理可得，解得；所以可得三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題突破口在于利用正弦定理將外接圓的半徑為求出，并根據(jù)線面垂直關(guān)系再確定其位置，由勾股定理求出外接球半徑大小即可得球的表面積.17．(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)等差、等比數(shù)列的知識求得首項(xiàng)和公差、公比，從而求得.（2）利用錯(cuò)位相減求和法求得.【詳解】（1）由題意得，，，，解得（舍去）則，解得，所以.則，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以.（2）.所以，兩式相減得，.18．(1)具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,(2)（?。?5.25百萬元（ⅱ）不理想，理由見解析，答案不唯一【分析】（1）通過相關(guān)系數(shù)公式求得相關(guān)系數(shù)，利用回歸直線方程的計(jì)算公式求得回歸直線方程.（2）（?。├没貧w直線方程求得預(yù)測值.（ⅱ）根據(jù)“理想”的定義進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】（1），.，，，代入公式可得相關(guān)系數(shù).由于且r非常接近1，所以y與x具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.經(jīng)計(jì)算可得，.所以所求線性回歸方程為.（2）（?。┊?dāng)時(shí)，，所以預(yù)計(jì)能帶動的消費(fèi)達(dá)35.25百萬元.（ⅱ）因?yàn)椋?，所以發(fā)放的該輪消費(fèi)券助力消費(fèi)復(fù)蘇不是理想的.發(fā)放消費(fèi)券只是影響消費(fèi)的其中一個(gè)因素，還有其他重要因素，比如：A城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平不高，居民的收入水平直接影響了居民的消費(fèi)水平；A城市人口數(shù)量有限、商品價(jià)格水平、消費(fèi)者偏好、消費(fèi)者年齡構(gòu)成等因素一定程度上影響了消費(fèi)總量.（只要寫出一個(gè)原因即可）.19．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理證明平面，利用線面垂直證明線線垂直即可；（2）利用等體積法求解店面距離即可.【詳解】（1）如圖、連接BD，∵，，∴，∴，∴．∵平面ABCD，∴，又，∴平面，∵平面，∴．（2）解：連接BM，．由已知可得，，，∴，∴．設(shè)點(diǎn)B到平面的距離為h，由（1）知BC⊥平面，∴三棱錐的體積，即，解得，即點(diǎn)B到平面的距離為．20．(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，極小值為，無極大(2)【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，分與討論，列出不等式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由得，且定義域?yàn)椤?，令，即，解得，令，解得，則的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；在處的極小值為，無極大值.（2）當(dāng)，恒成立，在上單調(diào)遞增，故在區(qū)間內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由（1）得在上最小值為，若在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則需滿足，整理得.21．（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)離心率和面積關(guān)系建立方程組即可得解；（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，根據(jù)點(diǎn)到直線距離為定值，求解常數(shù)·＝m.【詳解】（1）依題意知解得,所以橢圓C的方程為；（2）設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1x2＋y1y2＝m，當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y＝kx＋n，則點(diǎn)O到直線MN的距離，聯(lián)立消去y，得(4k2＋3)x2＋8knx＋4n2－12＝0，由Δ>0得4k2－n2＋3>0，則x1＋x2＝，x1x2＝，所以x1x2＋(kx1＋n)(kx2＋n)＝(k2＋1)x1x2＋kn(x1＋x2)＋n2＝m，整理得因?yàn)闉槌?shù)，則m＝0，d＝，此時(shí)滿足Δ>0.當(dāng)MN⊥x軸時(shí)，由m＝0得kOM＝±1，聯(lián)立，得消去y，得x2＝，點(diǎn)O到直線MN的距離d＝|x|＝亦成立．綜上，當(dāng)m＝0時(shí)，點(diǎn)O到直線MN的距離為定值，這個(gè)定值是.【點(diǎn)睛】此題考查求橢圓的方程，根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系求解定值問題，關(guān)鍵在于熟練利用韋達(dá)定理，根據(jù)等量關(guān)系求解.22．(1)；(2)【分析】（1）利用消參法與完全平方公式求得的普通方程，利用得到的普通方程；（2）分別求得的極坐標(biāo)方程，聯(lián)立射線，從而得到，，進(jìn)而利用三角形面積公式即可得解.【詳解】（1）因?yàn)榍€的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），則，，兩式相減，得的普通方程為