微專題06圓錐曲線中非對稱韋達(dá)定理問題的處理 2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)高頻考點(diǎn)追蹤與預(yù)測（江蘇專用）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁微專題06圓錐曲線中非對稱韋達(dá)定理問題的處理研考題·聚焦關(guān)鍵詞解析幾何問題中的一些定值、定點(diǎn)、定線，經(jīng)常出現(xiàn)需要證明類似（為常數(shù)），為定值的情形，通過直線代換可得：，但此時(shí)的式子并不能完全整理為韋達(dá)定理的形式，這種式子一般稱為“非對稱韋達(dá)定理”題型一定直線例1【2023年新高考2卷21】1．已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線與交于點(diǎn)P．證明:點(diǎn)在定直線上.變式2．已知點(diǎn)A、分別是橢圓：的上、下頂點(diǎn)，、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，，．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)、（、與橢圓上、下頂點(diǎn)均不重合），證明：直線、的交點(diǎn)在一條定直線上．題型二定點(diǎn)例2（安徽省六校教育研究會2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期下學(xué)期第二次素養(yǎng)測試（2月）數(shù)學(xué)試題）3．已知點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，線段的中垂線與直線相交于點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)若點(diǎn)，直線，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，直線與直線分別交于點(diǎn)．證明：的中點(diǎn)為定點(diǎn)．變式【江蘇省揚(yáng)州市高郵中學(xué)2023屆高考前熱身訓(xùn)練（二）】4．設(shè)直線與雙曲線：的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，且三角形的面積為.(1)求的值；(2)已知直線與軸不垂直且斜率不為0，與交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，為的右焦點(diǎn)，若，，三點(diǎn)共線，證明：直線經(jīng)過軸上的一個(gè)定點(diǎn).題型三定值例3（湖南省2024屆高三數(shù)學(xué)新改革提高訓(xùn)練一）5．已知圓的方程,,，拋物線過兩點(diǎn)，且以圓的切線為準(zhǔn)線.(1)求拋物線焦點(diǎn)的軌跡C的方程；(2)已知，設(shè)x軸上一定點(diǎn)，過T的直線交軌跡C于兩點(diǎn)（直線與軸不重合），求證：為定值.變式【江蘇省揚(yáng)州中學(xué)2023屆高三下學(xué)期模擬檢測六】6．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，斜率為的直線l與雙曲線C交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線C上，且.(1)求的面積；(2)若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)，記直線的斜率分別為，問：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.鞏固能力·突破高分（廣東省潮州市2022屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）7．已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線相切．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)A，B為動(dòng)直線y=k(x-2)(k≠0)與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)，問：在x軸上是否存在定點(diǎn)E，使得為定值？若存在，試求出點(diǎn)E的坐標(biāo)和定值；若不存在，請說明理由．8．已知雙曲線的右頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)到其漸近線的距離為2，斜率為的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，且．(1)求雙曲線的方程；(2)過點(diǎn)的直線與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，直線，分別與直線相交于，兩點(diǎn)，試問：以線段為直徑的圓是否過定點(diǎn)?若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．9．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，過的兩條直線分別交于、兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.（江蘇省徐州市第七中學(xué)2023屆高三上學(xué)期一檢）10．已知雙曲線的實(shí)軸長為4，左?右頂點(diǎn)分別為，經(jīng)過點(diǎn)的直線與的右支分別交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在軸上方.當(dāng)軸時(shí)，(1)設(shè)直線的斜率分別為，求的值；(2)若，求的面積.11．已知為的兩個(gè)頂點(diǎn)，為的重心，邊上的兩條中線長度之和為.(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)過作不平行于坐標(biāo)軸的直線交于D，E兩點(diǎn)，若軸于點(diǎn)M，軸于點(diǎn)N，直線DN與EM交于點(diǎn)Q.①求證：點(diǎn)Q在一條定直線上，并求此定直線；②求面積的最大值.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．(1)(2)證明見解析.【分析】（1）由題意求得的值即可確定雙曲線方程；（2）設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，然后由點(diǎn)的坐標(biāo)分別寫出直線與的方程，聯(lián)立直線方程，消去，結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算可得，即交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值，據(jù)此可證得點(diǎn)在定直線上.【詳解】（1）設(shè)雙曲線方程為，由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，則由可得，，雙曲線方程為.（2）由(1)可得，設(shè)，顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為，且，與聯(lián)立可得，且，則，

直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得：，由可得，即，據(jù)此可得點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:求雙曲線方程的定直線問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中根據(jù)設(shè)而不求的思想，利用韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系可以簡化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.2．(1)(2)答案見解析.【分析】（1）根據(jù)體積確定橢圓中、的值，得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）先設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，消去，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，寫出，，再表示出直線、，確定其交點(diǎn)，并判斷它們的交點(diǎn)在一條定直線上.【詳解】（1）由，，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）如圖：過點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，因?yàn)?、不與A、重合，故直線的斜率一定存在.設(shè)直線方程為：，聯(lián)立方程組：，消去得：.設(shè)，，則，.所以.直線：；直線:.所以：.所以：.即直線與的交點(diǎn)在定直線上.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求證點(diǎn)在定直線上的問題，一般可以采用以下方法：（1）求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)橫縱坐標(biāo)的關(guān)系，寫出直線方程，得到點(diǎn)在定直線上；（2）大膽猜測定直線的性質(zhì)，如該題就大膽猜測兩直線的交點(diǎn)所在的直線與軸平行，所以直接消去x，得到y(tǒng)的值，從而確定交點(diǎn)在定直線上.3．(1)(2)證明見解析【分析】（1）由雙曲線定義得到點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線，求出答案；（2）設(shè)，聯(lián)立雙曲線方程，得到兩根之和，兩根之積，得到直線，求出的坐標(biāo)，同理得到的坐標(biāo)，得到的中點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）由題意可得，且為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，且．因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，線段的中垂線與直線相交于點(diǎn)，由垂直平分線的性質(zhì)可得，所以，所以由雙曲線的定義可得，點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線．，故曲線的方程為；（2）由題意可知：直線的斜率存在，設(shè)，聯(lián)立方程，消去得：，則，解得，且，①由，得直線，令，解得，即，同理可得，則，所以的中點(diǎn)為定點(diǎn).【點(diǎn)睛】求軌跡方程常用的方法：直接法，相關(guān)點(diǎn)法，交軌法，定義法，特別重視圓錐曲線的定義在求軌跡方程中的應(yīng)用，只要?jiǎng)狱c(diǎn)滿足已知曲線的定義，就可直接得到所求軌跡方程，求解過程中要注意一些軌跡問題中包含隱含條件，也就是曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)的取值范圍，有時(shí)還要補(bǔ)充特殊點(diǎn)的坐標(biāo).4．(1)(2)證明見解析【分析】（1）求出雙曲線的漸近線方程，從而得到兩點(diǎn)的坐標(biāo)，得到三角形的面積為，列出方程，求出的值；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立雙曲線方程，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)三點(diǎn)共線，得到斜率相等，列出方程，代入后求解出，求出直線所過的定點(diǎn).【詳解】（1）雙曲線：的漸近線方程為，不妨設(shè)，因?yàn)槿切蔚拿娣e為，所以，所以，又，所以.（2）雙曲線的方程為：，所以右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，依題意，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，直線的方程為，設(shè)，，則，聯(lián)立，得，且，化簡得且，所以，，因?yàn)橹本€的斜率存在，所以直線的斜率也存在，因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以，即，即，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，化簡得，所以?jīng)過軸上的定點(diǎn).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是設(shè)直線的方程為，，，則，再將其與雙曲線方程聯(lián)立，從而得到韋達(dá)定理式，根據(jù)三點(diǎn)共線，則有，整理代入韋達(dá)定理式化簡求出值即可.5．(1)；(2)證明見解析．【分析】（1）是圓的切線，分別過作直線的垂直，垂足分別為，由，利用橢圓定義可得軌跡方程；（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)，直線方程代入橢圓方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得，然后計(jì)算，代入化簡可得．【詳解】（1）如圖，是圓的切線，分別過作直線的垂直，垂足分別為，又是中點(diǎn)，則是直角梯形的中位線，，設(shè)是以為準(zhǔn)線的拋物線的焦點(diǎn)，則，，所以，所以點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，橢圓長軸長為8，，則，因此，所以拋物線的焦點(diǎn)軌跡方程為；

（2）由題意設(shè)直線的方程為，設(shè)，由得，，，，代入，，得為常數(shù)．

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查橢圓中定值問題，解題方法是設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)．設(shè)直線方程，直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組后消元應(yīng)用韋達(dá)定理得（或），利用交點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算出要證明常數(shù)的量，然后代入韋達(dá)定理的結(jié)果化簡變形即可得．6．(1)(2)為定值.·【分析】（1）設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)間長度得出與，即可根據(jù)已知列式解出，即可得出答案；（2）根據(jù)第一問得出雙曲線的方程，設(shè)，直線l的方程為，根據(jù)韋達(dá)定理得出，即可根據(jù)直線方程得出與，則根基兩點(diǎn)斜率公式得出，化簡代入即可得出答案.【詳解】（1）依題意可知，，則，，又，所以，解得（舍去），又，所以，則，所以的面積.（2）由（1）可，解得，所以雙曲線C的方程為，設(shè)，則，則，，設(shè)直線l的方程為，與雙曲線C的方程聯(lián)立，消去y得：，由，得，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，所以，，則，故為定值.·7．(1)(2)存在定點(diǎn)，使得為定值【分析】（1）求得圓得方程，由直線與圓相切得條件，可得的值，再由離心率可求得，從而可得，即可得出答案；（2），假設(shè)存在，設(shè)，，聯(lián)立,消，利用韋達(dá)定理求得，分析計(jì)算從而可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：由離心率為，得，及，又以原點(diǎn)O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓為，且與直線相切，所以，所以，，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）解：假設(shè)存在，設(shè)，聯(lián)立,消整理得，，設(shè)，則，由，則，要使上式為定值，即與無關(guān)，則應(yīng)，即，此時(shí)為定值，所以在x軸上存在定點(diǎn)，使得為定值.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程的求法，考查了滿足條件的定點(diǎn)是否存在的判斷與方法，考查了定值定點(diǎn)問題，考查了學(xué)生的計(jì)算能力和數(shù)據(jù)分析能力，計(jì)算量較大.8．(1)(2)以線段為直徑的圓過定點(diǎn)和．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求解，進(jìn)而聯(lián)立直線與雙曲線方程，根據(jù)弦長公式即可求解，（2）聯(lián)立直線與曲線的方程得韋達(dá)定理，根據(jù)圓的對稱性可判斷若有定點(diǎn)則在軸上，進(jìn)而根據(jù)垂直關(guān)系得向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解.【詳解】（1）∵雙曲線的左焦點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為，而，∴．∴雙曲線的方程為．依題意直線的方程為．由消去y整理得：，依題意：，，點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)分別為，則．∵，∴．∴，∴．即，解得或（舍去），且時(shí)，，∴雙曲線的方程為．（2）依題意直線的斜率不等于0，設(shè)直線的方程為．由消去整理得：，∴，．設(shè)，，則，．直線的方程為，令得：，∴．同理可得．由對稱性可知，若以線段為直徑的圓過定點(diǎn)，則該定點(diǎn)一定在軸上，設(shè)該定點(diǎn)為，則，，故．解得或．故以線段為直徑的圓過定點(diǎn)和．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)圓的對稱性可判斷定點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算化簡求解就可，對計(jì)算能力要求較高.9．（1）；（2）.【分析】(1)利用雙曲線的定義可知軌跡是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)雙曲線的右支，求出、的值，即可得出軌跡的方程；(2)方法一：設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)和直線方程，聯(lián)立直線方程與曲線C的方程，結(jié)合韋達(dá)定理求得直線的斜率，最后化簡計(jì)算可得的值.【詳解】(1)因?yàn)?，所以，軌跡是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支，設(shè)軌跡的方程為，則，可得，，所以，軌跡的方程為.（2）[方法一]【最優(yōu)解】：直線方程與雙曲線方程聯(lián)立如圖所示，設(shè),設(shè)直線的方程為．

聯(lián)立,化簡得.則．故．則．設(shè)的方程為，同理．因?yàn)?，所以，化簡得，所以，即．因?yàn)?，所以．[方法二]：參數(shù)方程法設(shè)．設(shè)直線的傾斜角為，則其參數(shù)方程為，聯(lián)立直線方程與曲線C的方程，可得，整理得．設(shè)，由根與系數(shù)的關(guān)系得．設(shè)直線的傾斜角為，，同理可得由，得．因?yàn)?，所以．由題意分析知．所以，故直線的斜率與直線的斜率之和為0．[方法三]：利用圓冪定理因?yàn)?，由圓冪定理知A，B，P，Q四點(diǎn)共圓．設(shè),直線的方程為，直線的方程為,則二次曲線．又由，得過A，B，P，Q四點(diǎn)的二次曲線系方程為：，整理可得：，其中．由于A，B，P，Q四點(diǎn)共圓，則xy項(xiàng)的系數(shù)為0，即.【整體點(diǎn)評】(2)方法一：直線方程與二次曲線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理處理圓錐曲線問題是最經(jīng)典的方法，它體現(xiàn)了解析幾何的特征，是該題的通性通法，也是最優(yōu)解；方法二：參數(shù)方程的使用充分利用了參數(shù)的幾何意義，要求解題過程中對參數(shù)有深刻的理解，并能夠靈活的應(yīng)用到題目中.方法三：圓冪定理的應(yīng)用更多的提現(xiàn)了幾何的思想，二次曲線系的應(yīng)用使得計(jì)算更為簡單.10．(1)；(2).【分析】（1）法一：根據(jù)實(shí)軸長，求得a值，根據(jù)題意，求得，可得b值，即可得曲線C方程，設(shè)直線方程為，與雙曲線聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，可得表達(dá)式，代入，化簡整理，即可得答案.法二：由題意，求得a，b的值，即可得曲線C方程，設(shè)方程為，與雙曲線聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，可得表達(dá)式，代入，化簡整理，即可得答案.（2）法一：因?yàn)?，根?jù)二倍角的正切公式，結(jié)合及，化簡計(jì)算，可得，進(jìn)而可得方程，與曲線C聯(lián)立，可得M點(diǎn)坐標(biāo)，即可得直線的方程，根據(jù)面積公式，即可得答案.法二：設(shè)，由，結(jié)合二倍角正切公式，可得的值，進(jìn)而可得直線方程，與曲線C聯(lián)立，可得，同理可得，代入面積公式，即可得答案.【詳解】（1）法一：因?yàn)?，所以，令得，所以，解得，所以的方程為顯然直線與軸不垂直，設(shè)其方程為，聯(lián)立直線與的方程，消去得，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則.因?yàn)?，所?法二：由題意得，解得，雙曲線的方程為.設(shè)方程為，聯(lián)立，可得，，，，.（2）法一：因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以，即，（※）將代入（※）得，因?yàn)樵谳S上方，所以，所以直線方程為，聯(lián)立與直線方程，消去得，，解得或（舍），所以，代入，得，所以直線方程為，聯(lián)立與直線方程，消去得，，解得或，所以的面積為.法二：設(shè)，由，可得，，解