新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第8章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析8.3列聯(lián)表與獨立性檢驗8.3.1分類變量與列聯(lián)表8.3.2獨立性檢驗學(xué)生用書新人教A版選擇性必修第三冊

8.3.1分類變量與列聯(lián)表8.3.2獨立性檢驗學(xué)習(xí)任務(wù)1．了解2×2列聯(lián)表、隨機(jī)變量χ2的意義．(數(shù)學(xué)抽象)2．理解獨立性檢驗中P(χ2≥xα)的具體含義．(數(shù)學(xué)抽象)3．把握獨立性檢驗的方法和步驟．(數(shù)據(jù)分析)4．通過典型案例，學(xué)習(xí)統(tǒng)計方法，并能用這些方法解決一些實際問題．(數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析)任意抽取某市的一名同學(xué)，記A：寵愛長跑；B：是女生．(1)你能得出P(A)，P(B)，P(AB)這三者的精確?????值嗎？(2)假如要推斷A與B是否獨立，該怎么辦？學(xué)問點1數(shù)值變量與分類變量數(shù)值變量：數(shù)值變量的取值為________，其大小和運算都有實際含義．分類變量：這里所說的變量和值不肯定是具體的數(shù)值，例如：性別變量，其取值為男和女兩種，我們經(jīng)常會使用一種特殊的隨機(jī)變量，以區(qū)分不同的現(xiàn)象或性質(zhì)，這類隨機(jī)變量稱為________，分類變量的取值可以用________表示．學(xué)問點2列聯(lián)表與等高積累條形圖(1)2×2列聯(lián)表①定義：列出的兩個分類變量的________，稱為列聯(lián)表．②2×2列聯(lián)表，一般地，假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為{0，1}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表為：XY合計Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合計a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d最終一行的前兩個數(shù)分別是大事{Y＝0}和{Y＝1}的頻數(shù)；最終一列的前兩個數(shù)分別是大事{X＝0}和{X＝1}的頻數(shù)；中間的四個數(shù)a，b，c，d是大事{X＝x，Y＝y(tǒng)}(x，y＝0，1)的頻數(shù)；右下角格中的數(shù)n為樣本容量．(2)等高積累條形圖等高積累條形圖和表格相比，更能直觀地反映出兩個分類變量間是否相互影響，常用等高積累條形圖呈現(xiàn)列聯(lián)表數(shù)據(jù)的________特征，依據(jù)________的原理，我們可以推斷結(jié)果．2×2列聯(lián)表用于爭辯兩類變量之間是否相互獨立，它適用于分析兩類變量之間的關(guān)系，是對兩類變量進(jìn)行獨立性檢驗的基礎(chǔ)．學(xué)問點3獨立性檢驗(1)零假設(shè)：設(shè)X和Y為定義在Ω上，取值于{0，1}的成對分類變量．由于{X＝0}和{X＝1}，{Y＝0}和{Y＝1}都是互為對立大事，故要推斷大事{X＝1}和{Y＝1)之間是否有關(guān)聯(lián)，需要推斷假定關(guān)系H0：________是否成立．(2)獨立性檢驗的公式χ2＝________________，其中n＝________，用隨機(jī)變量χ2取值的大小作為推斷零假設(shè)H0是否成立的依據(jù)，當(dāng)它比較大時推斷H0不成立，否則認(rèn)為H0成立．(3)臨界值：對任何小概率值α，可以找到相應(yīng)的正實數(shù)xα，使P(χ2≥xα)＝α．稱xα為α的臨界值．臨界值可作為推斷χ2大小的標(biāo)準(zhǔn)．概率值α越小，臨界值xα越大．(4)小概率值α的檢驗規(guī)章：當(dāng)χ2≥xα?xí)r，推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不獨立，該推斷犯錯誤的概率不超過α．當(dāng)χ2<xα?xí)r，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，可以認(rèn)為X和Y獨立．利用χ2的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為χ2獨立性檢驗，讀作“卡方獨立性檢驗”，簡稱獨立性檢驗．(5)χ2獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值．α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.8281．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)分類變量中的變量與函數(shù)中的變量是同一概念． ()(2)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)是兩個分類變量的頻數(shù)． ()(3)列聯(lián)表、頻率分析法、等高積累條形圖都可初步分析兩個分類變量是否有關(guān)系． ()(4)在獨立性檢驗中，若χ2越大，則兩個分類變量有關(guān)系的可能性越大． ()(5)2×2列聯(lián)表是借助兩個分類變量之間頻率大小差異說明兩個變量之間是否有關(guān)聯(lián)關(guān)系． ()(6)應(yīng)用獨立性檢驗的基本思想對兩個變量間的關(guān)系作出的推斷肯定是正確的． ()2．某校為了檢驗高中數(shù)學(xué)新課程改革的成果，在兩個班進(jìn)行教學(xué)方式的對比試驗，兩個月后進(jìn)行了一次檢測，試驗班與對比班的成果統(tǒng)計如2×2列聯(lián)表所示(單位：人)，則其中m＝________，n＝________．班級成果合計80分及80分以上80分以下試驗班321850對比班24m50合計5644n3．依據(jù)表格計算：性別不看電視看電視男3785女35143χ2≈________(保留3位小數(shù))．類型1列聯(lián)表與等高積累條形圖【例1】(1)依據(jù)如圖所示的等高積累條形圖可知喝酒與患胃病________關(guān)系．(填“有”或“沒有”)(2)網(wǎng)絡(luò)對現(xiàn)代人的生活影響較大，尤其是對青少年，為了解網(wǎng)絡(luò)對中同學(xué)學(xué)習(xí)成果的影響，某地區(qū)教育主管部門從轄區(qū)學(xué)校生中隨機(jī)抽取了1000人調(diào)查，發(fā)覺其中經(jīng)常上網(wǎng)的有200人，這200人中有80人期末考試不及格，而另外800人中有120人不及格．利用等高積累條形圖推斷，同學(xué)學(xué)習(xí)成果與經(jīng)常上網(wǎng)有關(guān)嗎？[嘗試解答]1．利用2×2列聯(lián)表分析兩變量間關(guān)系的步驟(1)依據(jù)題中數(shù)據(jù)獲得2×2列聯(lián)表；(2)依據(jù)頻率特征，即將aa+b與c2．利用等高積累條形圖推斷兩個分類變量是否相關(guān)的步驟：[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．某學(xué)校對高三同學(xué)作了一項調(diào)查，發(fā)覺：在平常的模擬考試中，性格內(nèi)向的同學(xué)426人中有332人在考前心情緊急，性格外向的同學(xué)594人中有213人在考前心情緊急．作出等高積累條形圖，利用圖形推斷考前心情緊急與性格類別是否有關(guān)系．[嘗試解答]類型2由χ2進(jìn)行獨立性檢驗分類變量“相關(guān)的檢驗”【例2】(源自湘教版教材)為了考察某種新疫苗預(yù)防疾病的作用，科學(xué)家對動物進(jìn)行試驗，所得數(shù)據(jù)(單位：只)如下表所示：是否接種疫苗發(fā)病沒發(fā)病合計接種疫苗81523沒接種疫苗18927合計262450能否作出接種疫苗與預(yù)防疾病有關(guān)的結(jié)論？[嘗試解答]用χ2進(jìn)行“相關(guān)的檢驗”步驟(1)零假設(shè)：即先假設(shè)兩變量間沒關(guān)系．(2)計算χ2：套用χ2的公式求得χ2值．(3)查臨界值：結(jié)合所給小概率值α查得相應(yīng)的臨界值xα．(4)下結(jié)論：比較χ2與xα的大小，并作出結(jié)論．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．在某醫(yī)院，由于患心臟病而住院的600名男性病人中，有200人禿頂，而另外750名不是由于患心臟病而住院的男性病人中有150人禿頂．(1)填寫下列禿頂與患心臟病列聯(lián)表：是否禿頂患病合計患心臟病患其他病禿頂不禿頂合計據(jù)表中數(shù)據(jù)估量禿頂病患中患心臟病的概率P1和不禿頂病患中患心臟病的概率P2，并用兩個估量概率推斷禿頂與患心臟病是否有關(guān)；(2)依據(jù)α＝0.001的獨立性檢驗，分析禿頂與患心臟病有關(guān)嗎？請說明理由．注：χ2＝nadα0.100.050.0250.0100.0050.001xα2.7063.8415.0246.6357.87910.828[嘗試解答]分類變量“無關(guān)的檢驗”【例3】某省進(jìn)行高中新課程改革，為了解老師對新課程教學(xué)模式的使用狀況，某教育機(jī)構(gòu)對某學(xué)校的老師關(guān)于新課程教學(xué)模式的使用狀況進(jìn)行了問卷調(diào)查，共調(diào)查了50人，其中有老老師20人，青年老師30人．老老師對新課程教學(xué)模式贊同的有10人，不贊同的有10人；青年老師對新課程教學(xué)模式贊同的有24人，不贊同的有6人．(1)依據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個2×2列聯(lián)表；(2)試依據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，分析對新課程教學(xué)模式的贊同狀況與老師年齡是否有關(guān)系．附：χ2＝nα0.0250.010.005xα5.0246.6357.879[嘗試解答]獨立性檢驗的關(guān)注點(1)χ2計算公式較簡單，一是公式要清楚；二是代入數(shù)值時不能張冠李戴；三是計算時要細(xì)心．(2)推斷時把計算結(jié)果與臨界值比較，其值越大，有關(guān)的可信度越高．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．為了解某挑戰(zhàn)賽中是否接受挑戰(zhàn)與受邀者的性別是否有關(guān)系(假設(shè)每個人是否接受挑戰(zhàn)互不影響)，某機(jī)構(gòu)進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查，得到如下調(diào)查數(shù)據(jù)(單位：人)：性別挑戰(zhàn)合計接受挑戰(zhàn)不接受挑戰(zhàn)男性451560女性251540合計7030100試依據(jù)小概率值α＝0.1的獨立性檢驗，分析競賽中是否接受挑戰(zhàn)與受邀者的性別是否有關(guān)．附：χ2＝nadα0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828類型3獨立性檢驗的綜合應(yīng)用【例4】第24屆冬奧會已于2022年2月4日至2月22日在北京市和河北省張家口市聯(lián)合進(jìn)行，這是中國歷史上第一次舉辦冬季奧運會．為了宣揚冬奧會，讓更多的人了解寵愛冰雪項目，某校高三班級舉辦了冬奧會學(xué)問競賽(總分：100分)，并隨機(jī)抽取了n名中同學(xué)的成果，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知前三組的頻率成等差數(shù)列，第一組和第五組的頻率相同．(1)求實數(shù)a，b的值，并估量這n名中同學(xué)的成果的平均值x；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)(2)已知抽取的n名中同學(xué)中，男、女生人數(shù)相等，男生寵愛花樣滑冰的人數(shù)占男生人數(shù)的14，女生寵愛花樣滑冰的人數(shù)占女生人數(shù)的12，且在犯錯誤的概率不大于0.05的前提下，認(rèn)為中同學(xué)寵愛花樣滑冰與性別有關(guān)，求參考數(shù)據(jù)及公式如下：α0.050.010.001xα3.8416.63510.828χ2＝nad-bc2a+bc+da+cb+d，n＝[思路導(dǎo)引](1)頻率分布直(2)列聯(lián)表—計算[嘗試解答]獨立性檢驗綜合應(yīng)用的方法策略(1)獨立性檢驗在實際中有著廣泛的應(yīng)用，是對實際生活中數(shù)據(jù)進(jìn)行分析的一種方法，通過這種分析得出的結(jié)論對實際生活有著重要的指導(dǎo)作用．(2)近幾年高考中較少單獨考查獨立性檢驗，經(jīng)常與統(tǒng)計、概率、頻率分布表、頻率分布直方圖等學(xué)問融合在一起考查．一般需要依據(jù)條件列出2×2列聯(lián)表，計算χ2值，從而解決問題．[跟進(jìn)訓(xùn)練]4．某學(xué)校爭辯性學(xué)習(xí)小組對該校高三同學(xué)視力狀況進(jìn)行調(diào)查，在高三的全體1000名同學(xué)中隨機(jī)抽取了100名同學(xué)的體檢表，并得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)若頻率分布直方圖中后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，試估量全班級視力在5.0以下的人數(shù)；(2)學(xué)習(xí)小組成員發(fā)覺，學(xué)習(xí)成果突出的同學(xué)，近視的比較多，為了爭辯同學(xué)的視力與學(xué)習(xí)成果是否有關(guān)系，對班級名次在1～50名和951～1000名的同學(xué)進(jìn)行了調(diào)查，得到下面的2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，能否認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成果有關(guān)聯(lián)？視力學(xué)習(xí)成果合計名次在1～50名名次在951～1000名近視413273不近視91827合計5050100(3)在(2)中調(diào)查的100名同學(xué)中，依據(jù)分層抽樣在不近視的同學(xué)中抽取了6人，進(jìn)一步調(diào)查他們良好的護(hù)眼習(xí)慣，并且在這6人中任取2人，求抽取的2人中，恰有1人班級名次在1～50名的概率．附：χ2＝nadα0.050.010.0050.001xα3.8416.6357.87910.828[嘗試解答]1．下列不是分類變量的是()A．近視B．成果C．血壓D．飲酒2．假設(shè)有兩個分類變量X與Y，它們的可能取值分別為{0，1}，其2×2列聯(lián)表為XY合計Y＝0Y＝1X＝0101828X＝1m26m＋26合計10＋m4454＋m當(dāng)m取下面何值時，X與Y的關(guān)系最弱()A．8 B．9C．14 D．193．某校期中考試后，依據(jù)甲、乙兩個班同學(xué)的數(shù)學(xué)成果優(yōu)秀和良好統(tǒng)計人數(shù)后，得到如下列聯(lián)表：班級成果合計優(yōu)秀良好甲班113445乙班83745合計197190則χ2約為()A．0.600 B．0.828C．2.712 D．6.0044．下表是某校某屆本科志愿報名時，對其中304名同學(xué)進(jìn)入高校時是否知道想學(xué)專業(yè)的調(diào)查表：性別想學(xué)專業(yè)合計知道想學(xué)專業(yè)不知道想學(xué)專業(yè)男生63117180女生4282124合計105199304依據(jù)表中數(shù)據(jù)，則下列說法正確的是_______________．(填序號)①性別與知道想學(xué)專業(yè)有關(guān)；②性別與知道想學(xué)專業(yè)無關(guān)；③女生比男生更易知道想學(xué)專業(yè)．回顧本節(jié)學(xué)問，自主完成以下問題：1．在χ2運算后，得到χ2的值為29.78，在推斷變量相關(guān)時，P(χ2≥6.635)≈0.01和P(χ2≥7.879)≈0.005，哪種說法是正確的？2．利用小概率值α獨立性檢驗的依據(jù)是什么？8.3.1分類變量與列聯(lián)表8.3.2獨立性檢驗[必備學(xué)問·情境導(dǎo)學(xué)探新知]學(xué)問點1實數(shù)分類變量實數(shù)學(xué)問點2(1)頻數(shù)表(2)頻率頻率穩(wěn)定于概率學(xué)問點3(1)P(Y＝1|X＝0)＝P(Y＝1|X＝1)(2)n(ad-bc)2(a課前自主體驗1．(1)×(2)√(3)√(4)√(5)√(6)×2．26100[由題意得24＋m＝50,56＋3．4.514[χ2＝300×(37[關(guān)鍵力量·合作探究釋疑難]例1(1)有[從等高積累條形圖上可以明顯地看出喝酒患胃病的頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于不喝酒患胃病的頻率，所以由所給等高積累條形圖可知，喝酒與患胃病有關(guān)系．](2)解：依據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)得到如下2×2列聯(lián)表：學(xué)習(xí)成果上網(wǎng)合計經(jīng)常不經(jīng)常不及格80120200及格120680800合計2008001000得出等高積累條形圖如圖所示：比較圖中陰影部分高可以發(fā)覺經(jīng)常上網(wǎng)不及格的頻率明顯高于經(jīng)常上網(wǎng)及格的頻率，因此可以認(rèn)為學(xué)習(xí)成果與經(jīng)常上網(wǎng)有關(guān)．跟進(jìn)訓(xùn)練1．解：作列聯(lián)表如下：考前心情性格合計內(nèi)向外內(nèi)緊急332213545不緊急94381475合計4265941020相應(yīng)的等高積累條形圖如圖所示．圖中陰影部分表示考前心情緊急與考前心情不緊急中性格內(nèi)向的比例．從圖中可以看出考前心情緊急的樣本中性格內(nèi)向占的比例比考前心情不緊急樣本中性格內(nèi)向占的比例高，可以認(rèn)為考前心情緊急與性格類別有關(guān)．例2解：提出統(tǒng)計假設(shè)H0：接種疫苗與預(yù)防疾病無關(guān)．依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可以求得χ2＝50×(8由于5.024<5.059<6.635，查臨界值表可知，我們至少有97.5%的把握認(rèn)為接種疫苗與預(yù)防疾病有關(guān)，即疫苗有效．跟進(jìn)訓(xùn)練2．解：(1)是否禿頂患病合計患心臟病患其他病禿頂200150350不禿頂4006001000合計6007501350P1＝200350＝47，P由于P1遠(yuǎn)大于P2，所以推斷禿頂與患心臟病有關(guān)．(2)零假設(shè)為H0：禿頂與患心臟病無關(guān)．由題可知χ2＝1350×(200×600所以依據(jù)小概率值α＝0.001的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為禿頂與患心臟病有關(guān)．例3解：(1)2×2列聯(lián)表如表所示：老師年齡對新課程教學(xué)模式合計贊同不贊同老老師101020青年老師24630合計341650(2)零假設(shè)為H0：對新課程教學(xué)模式的贊同狀況與老師年齡無關(guān)．由題可知χ2＝50×(10×6依據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，因此可以以為H0成立，即認(rèn)為對新課程教學(xué)模式的贊同狀況與老師年齡無關(guān)．跟進(jìn)訓(xùn)練3．解：零假設(shè)H0：是否接受挑戰(zhàn)與受邀者的性別無關(guān)．依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可以求得χ2＝100×由于1.786<2.706，所以沒有充分的證據(jù)顯示競賽中是否接受挑戰(zhàn)與受邀者的性別有關(guān)．例4解：(1)由題意知a＋0.045則各組頻率依次為0.05，0.25，0.45，0.2，0.05．∴x＝0.05×50＋0.25×60＋0.45×70＋0.2×80＋0.05×90＝69.5