河南省新鄉(xiāng)市2024屆學(xué)年高三二模數(shù)學(xué)試題(含答案)

－2024學(xué)年新鄉(xiāng)市高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)，則（）A． B． C． D．2．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，，，則（）A．為銳角三角形 B．為直角三角形C．為鈍角三角形 D．的形狀無(wú)法確定3．已知直線與拋物線的圖象相切，則C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A． B． C． D．4．已知，則（）A． B． C． D．5．老師有6本不同的課外書要分給甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，則不同的分法有（）A．248種 B．168種 C．360種 D．210種6．函數(shù)被稱為取整函數(shù)，也稱高斯函數(shù)，其中表示不大于實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)．若，滿足，則x的取值范圍是（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)滿足，則下列結(jié)論一定正確的是（）A．是奇函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是奇函數(shù)8．已知圓錐的底面半徑為，高為1，其中O為底面圓心，是底面圓的一條直徑，若點(diǎn)P在圓錐的側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．如圖，彈簧掛著的小球做上下運(yùn)動(dòng)，它在時(shí)相對(duì)于平衡位置的高度h（單位：cm）由關(guān)系式，確定，其中，，．小球從最高點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)2s后，第一次回到最高點(diǎn)，則（）A．B．C．與時(shí)的相對(duì)于平衡位置的高度h之比為D．與時(shí)的相對(duì)于平衡位置的高度h之比為10．已知，集合，，，，則下列結(jié)論一定成立的是（）A． B． C． D．11．如圖，已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B在y軸上，A，，B三點(diǎn)共線，若直線的斜率為，直線的斜率為，則（）A．C的漸近線方程為 B．C．的面積為 D．內(nèi)接圓的半徑為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在答題卡中的橫線上．12．已知一平面截球O所得截面圓的半徑為2，且球心O到截面圓所在平面的距離為1，則該球的體積為_(kāi)_____．13．若一組數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為3，方差為，則，，，，，9這6個(gè)數(shù)的平均數(shù)為_(kāi)_____，方差為_(kāi)_____．14．已知函數(shù)，，若關(guān)于x的方程有6個(gè)解，則的取值范圍為_(kāi)_____．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（13分）如圖，在三棱錐中，平面平面，且，．（1）證明：平面．（2）若，點(diǎn)M滿足，求二面角的大?。?6．（15分）已知數(shù)列滿足，（1）記，證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）求的前2n項(xiàng)和，并證明．17．（15分）根據(jù)國(guó)家電影局統(tǒng)計(jì)，2024年春節(jié)假期（2月10日至2月17日）全國(guó)電影票房為80.16億元，觀影人次為1.63億，相比2023年春節(jié)假期票房和人次分別增長(zhǎng)了18.47%和26.36%，均創(chuàng)造了同檔期新的紀(jì)錄．2024年2月10日某電影院調(diào)查了100名觀影者，并統(tǒng)計(jì)了每名觀影者對(duì)當(dāng)日觀看的電影的滿意度評(píng)分（滿分100分），根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖（分組區(qū)間為，，，，，）．（1）求這100名觀影者滿意度評(píng)分不低于60分的人數(shù)；（2）估計(jì)這100名觀影者滿意度評(píng)分的第40百分位數(shù)（結(jié)果精確到0.1）；（3）設(shè)這100名觀影者滿意度評(píng)分小于70分的頻率為，小于80分的頻率為，若甲、乙兩名觀影者在春節(jié)檔某一天都只觀看一部電影，甲觀看A，B影片的概率分別為，，乙觀看A，B影片的概率分別為，，當(dāng)天甲、乙觀看哪部電影相互獨(dú)立，記甲、乙這兩名觀影者中當(dāng)天觀看A影片的人數(shù)為X，求X的分布列及期望．18．（17分）已知A，B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，C為M的上頂點(diǎn)，P是M上在第一象限的點(diǎn)，，直線，的斜率分別為，，且．（1）求M的方程；（2）直線與交于點(diǎn)D，與x軸交于點(diǎn)E，求的取值范圍．19．（17分）定義：若函數(shù)圖象上恰好存在相異的兩點(diǎn)P，Q滿足曲線在P和Q處的切線重合，則稱P，Q為曲線的“雙重切點(diǎn)”，直線為曲線的“雙重切線”．（1）直線是否為曲線的“雙重切線”，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）已知函數(shù)求曲線的“雙重切線”的方程；（3）已知函數(shù)，直線為曲線的“雙重切線”，記直線的斜率所有可能的取值為，，…，，若（，4，5，…，n），證明：．2023-2024學(xué)年新鄉(xiāng)市高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)參考答案1．B，則．2．C由余弦定理得，所以為鈍角三角形．3．C聯(lián)立可得，則，所以，故C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為．4．A．5．D不同的分法有種．6．C，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，則，解得，所以．7．B令，可得．令，則，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即是奇函數(shù)．8．A，由，得的最小值為．9．BC由題可知小球運(yùn)動(dòng)的周期，所以，解得．當(dāng)時(shí)，．又，所以，則，所以與時(shí)的相對(duì)于平衡位置的高度之比為．故選BC．10．AB直線恒過(guò)點(diǎn)，斜率為，直線恒過(guò)點(diǎn)，斜率為，可化為，可化為．因?yàn)橹本€與直線平行，所以，故A正確；因?yàn)辄c(diǎn)在的內(nèi)部，所以，故B正確；點(diǎn)在的外部，則的元素個(gè)數(shù)可能為0，1，2，故C錯(cuò)誤；圓與圓相交，所以，故D錯(cuò)誤．11．ABD依題意，為等邊三角形，故，．在中，，，，所以．根據(jù)正弦定理可得，解得，，所以，即，，所以C的漸近線方程為，，的面積為．由的面積為，可得內(nèi)接圓的半徑為．故選ABD．12．由球的截面圓性質(zhì)可知球的半徑，則該球的體積為．13．4；8這6個(gè)數(shù)的平均數(shù)為，由題可知，解得，所以這6個(gè)數(shù)的方差為．14．令，則方程的解有3個(gè)．在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故結(jié)合的圖象（圖略），可得，且方程的三個(gè)解中最小的解為．又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即．令，易知在上單調(diào)遞增，又，所以的解集為．綜上，的取值范圍為．15．（1）證明：如圖，取O為的中點(diǎn)，連接．因?yàn)?，所以．因?yàn)槠矫嫫矫?，且兩平面相交于，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以．又，且，所以平面．?）解：過(guò)點(diǎn)A作的平行線．以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，，．設(shè)平面的法向量為，則即令，得．易知平面的一個(gè)法向量為，所以．因?yàn)槎娼菫殇J角，所以二面角的大小為．16．證明：（1）由題可知，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，6為公比的等比數(shù)列，所以．（2）由題可知，所以．令，則，所以數(shù)列單調(diào)遞增，故，即．17．解：（1）由圖可知，滿意度評(píng)分不低于60分的頻率為，所以這100名觀影者滿意度評(píng)分不低于60分的人數(shù)為．（2）因?yàn)?，，所以這100名觀影者滿意度評(píng)分的第40百分位數(shù)位于第三組，且這100名觀影者滿意度評(píng)分的第40百分位數(shù)的估計(jì)值為．（3）由圖可知，，．X的可能取值為0，1，2，，，，則X的分布列為X012P0.080.440.48故．18．解：（1）設(shè)，顯然，，則，又，即，所以，即①．由，得②．聯(lián)立①②，解得，，所以橢圓M的方程為．（2）由（1）得，設(shè)直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)P位于第一象限，所以．聯(lián)立整理得，則，所以，則，所以．又直線的方程為，所以聯(lián)立解得．故．因?yàn)椋?，，所以?9．（1）解：，所以，其定義域?yàn)?，令，解得．不妨設(shè)切點(diǎn)，，則在點(diǎn)P處的切線方程為，即，在點(diǎn)Q處的切線方程為，即．故直線為曲線的“雙重切線”．（2）解：所以易知在上與