高中數(shù)學排列組合常用方法與技巧精講

關于高中數(shù)學排列組合常用方法與技巧精講1.插空法2.捆綁法3.插撥法(轉(zhuǎn)化法/隔板法)4.剩余法5.對等法6.排除法7.倍縮法8.枚舉法等排列組合常用方法與技巧第2頁,共9頁，2024年2月25日，星期天例1

學校組織老師學生一起看電影，同一排電影票12張。8個學生，4個老師，要求老師在學生之間，且老師互不相鄰，共有多少種不同的坐法？解先排學生共有種排法,然后把老師插入學生之間的空檔，共有7個空檔可插,選其中的4個空檔,共有種選法.根據(jù)乘法原理,共有的不同坐法為種.結(jié)論1

插空法:對于某兩個元素或者幾個元素要求不相鄰的問題,可以用插入法.即先排好沒有限制條件的元素,然后將有限制條件的元素按要求插入排好元素的空檔之中即可.分析此題涉及到的是不相鄰問題,并且是對老師有特殊的要求,因此老師是特殊元素,在解決時就要特殊對待.所涉及問題是排列問題.第3頁,共9頁，2024年2月25日，星期天例2

5個男生3個女生排成一排,3個女生要排在一起,有多少種不同的排法?

解

因為女生要排在一起,所以可以將3個女生看成是一個人,與5個男生作全排列,有種排法,其中女生內(nèi)部也有種排法,根據(jù)乘法原理,共有種不同的排法.結(jié)論2

捆綁法:要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素,再與其它元素一起作排列,同時要注意合并元素內(nèi)部也可以作排列.分析此題涉及到的是排隊問題,對于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她們要相鄰,因此可以將她們看成是一個元素來解決問題.第4頁,共9頁，2024年2月25日，星期天例3

在高二年級中的8個班,組織一個12個人的年級學生分會,每班要求至少1人,名額分配方案有多少種?解

此題可以轉(zhuǎn)化為:將12個相同的白球分成8份,有多少種不同的分法問題,因此須把這12個白球排成一排,在11個空檔中放上7個相同的黑球,每個空檔最多放一個,即可將白球分成8份,顯然有種不同的放法,所以名額分配方案有種.結(jié)論3

轉(zhuǎn)化法（插拔法）:對于某些較復雜的、或較抽象的排列組合問題，可以利用轉(zhuǎn)化思想,將其化歸為簡單的、具體的問題來求解.分析此題若直接去考慮的話,就會比較復雜.但如果我們將其轉(zhuǎn)換為等價的其他問題,就會顯得比較清楚,方法簡單,結(jié)果容易理解.第5頁,共9頁，2024年2月25日，星期天例4

袋中有不同的5分硬幣23個,不同的1角硬幣10個,如果從袋中取出2元錢,有多少種取法?解

把所有的硬幣全部取出來,將得到0.05×23+0.10×10=2.15元,所以比2元多0.15元,所以剩下0.15元即剩下3個5分或1個5分與1個1角,所以共有種取法.結(jié)論4

剩余法:在組合問題中,有多少取法,就有多少種剩法,他們是一一對應的,因此,當求取法困難時,可轉(zhuǎn)化為求剩法.分析

此題是一個組合問題,若是直接考慮取錢的問題的話,情況比較多,也顯得比較凌亂,難以理出頭緒來.但是如果根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)考慮剩余問題的話,就會很容易解決問題.第6頁,共9頁，2024年2月25日，星期天例5

期中安排考試科目9門,語文要在數(shù)學之前考,有多少種不同的安排順序?解

不加任何限制條件,整個排法有種,“語文安排在數(shù)學之前考”,與“數(shù)學安排在語文之前考”的排法是相等的,所以語文安排在數(shù)學之前考的排法共有種.結(jié)論5

對等法:在有些題目中,它的限制條件的肯定與否定是對等的,各占全體的二分之一.在求解中只要求出全體,就可以得到所求.分析對于任何一個排列問題,就其中的兩個元素來講的話,他們的排列順序只有兩種情況,并且在整個排列中,他們出現(xiàn)的機會是均等的,因此要求其中的某一種情況,能夠得到全體,那么問題就可以解決了.并且也避免了問題的復雜性.第7頁,共9頁，2024年2月25日，星期天例6

某班里有43位同學,從中任抽5人,正、副班長、團支部書記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種?解

43人中任抽5人的方法有種,正副班長,團支部書記都不在內(nèi)的抽法有種,所以正副班長,團支部書記至少有1人在內(nèi)的抽法有種.結(jié)論6

排除法:有些問題,正面直接考慮比較復雜,而它的反面往往比較簡捷,可以先求出它的反面,再從整體中排除.分析此題若是直接去考慮的話,就要將問題分成好幾種情況,這樣解題的話,容易造成各種情況遺漏或者重復的情況.而如果從此問題相反的方面去考慮的話,