找到一個(gè)圓錐的斜高使其體積的平方根等于12π_第1頁
找到一個(gè)圓錐的斜高使其體積的平方根等于12π_第2頁
找到一個(gè)圓錐的斜高使其體積的平方根等于12π_第3頁
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找到一個(gè)圓錐的斜高，使其體積的平方根等于12π。問題描述現(xiàn)在，我們需要找到一個(gè)圓錐的斜高，使得其體積的平方根等于12π。那么該圓錐的底面半徑是多少呢？解決方案設(shè)該圓錐的底面半徑為$r$，高為$h$，斜高為$l$，則它的體積為$V=\frac{1}{3}\pir^2h$。根據(jù)勾股定理，我們可以得到$l^2=r^2+h^2$。因?yàn)?l$是圓錐的斜高，所以$l>h$，于是可以寫出：$$\sqrt{\frac{V}{\pi}}=\sqrt{\frac{1}{3}r^2h}\leq\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}(r^2+l^2)}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}(r^2+h^2+l^2-h^2)}$$由于$l^2=r^2+h^2$，因此上式可以化為：$$\sqrt{\frac{V}{\pi}}\leq\sqrt{\frac{1}{2}(r^2+\frac{3}{2}l^2)}$$代入條件$\sqrt{\frac{V}{\pi}}=\sqrt{12\pi}=2\sqrt{3\pi}$，整理得：$$l^2\geq\frac{8}{3}r^2$$$$\frac{l}{r}\geq\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$由于$r$和$l$都是正實(shí)數(shù)，所以有：$$\frac{h}{r}=\sqrt{\frac{l^2-r^2}{l^2}}\geq\sqrt{\frac{\frac{8}{3}r^2}{\frac{11}{3}r^2}}=\sqrt{\frac{8}{11}}$$因此，當(dāng)$\frac{h}{r}=\sqrt{\frac{8}{11}}$時(shí)，圓錐的體積就是$V=\frac{1}{3}\pir^2h=12\pi$，同時(shí)，圓錐的斜高為$l=\sqrt{\frac{11}{3}}r$。因此，該圓錐的底面半徑為：$$r=\frac{l}{\sqrt{\frac{11}{3}}}=\frac{\sqrt{33}}{3}$$結(jié)論當(dāng)圓錐底面半徑為$\frac{\sqrt{33}}{3}$，高

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