2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：圓的解題模型與方法及練習(xí)題匯編（含答案解析）

2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：圓的解題模型與方法及練習(xí)題匯編

【解題模型與方法】

一.分類討論思想的概念

分類討論思想是一種最基本的解決問題的思維策略，就是把要研究的數(shù)學(xué)對象按照-定標(biāo)準(zhǔn)劃分為若

干不同的類別，然后逐類進(jìn)行研究，求解的一種數(shù)學(xué)解題思想。

二、引起分類討論的主要原因：

由于圓中的點、線在圓中的位置分布可能有多種情況，經(jīng)常會導(dǎo)致其答案的不唯一-性。如:點與圓

的位置關(guān)系，點可能在圓內(nèi)，也可能在圓外;兩條弦的位置關(guān)系，可能在某一條直徑的同側(cè)，也可能

在直徑的異側(cè)：圓與圓相切，可能外切，也可能內(nèi)切，等等。因此，求解圓的有關(guān)問題時，要注意

分類討論思想。

三、解答分類討論型問題的步驟

(1)確定分類對象；

(2)對問題中的某些條件進(jìn)行分類；

(3)逐類進(jìn)行討論；

(4)對各類討論結(jié)果進(jìn)行歸納，并加以整合，得出結(jié)論。

【典型例題】

例1.過不在。。上的一點A,作。。的割線，交。0于B、C,且AB?AC=64,0A=10,

則。0的半徑R為。

分析：點A與。0的位置關(guān)系有兩種：

(1)點A在。0內(nèi)，如圖1,延長A0交。。于F,由相交弦定理易得：

(2)點A在。0外，如圖2,由割線定理易得：

故。0的半徑R為或6。

例2.在半徑為1的。0中，弦AB、AC的長分別為和，則NBAC的度數(shù)是

分析：圓心。與NBAC的位置關(guān)系有兩種；

當(dāng)圓心在NBAC內(nèi)部時，如圖，

易得ZBAC=75°

當(dāng)圓心0在NBAC的外部時，由軸對稱性可知：ZBAC=15°

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所以NBAC為75°或15

?？冀?jīng)典考題檢測

考試范圍：圓；考試時間：100分鐘

一.選擇題（共8小題）

1.一個點到圓的最小距離為3c/〃，最大距離為6c〃，則該圓的直徑是（）

A.L5cmB.1.5腐或4.5。必

C.4.5cmD.3cm或9cm

2.已知△46C是半徑為2的圓內(nèi)接三角形，若比’=2愿，則N4的度數(shù)為（）

A.30°B.60°C.120°D.60°或120°

3.已知。a和。a相切，兩圓的圓心距為9加，。。的半徑為4腐，則。a的半徑為（）

A.5cmB.13c/n

C.9。加或13c勿D.5cm或13cm

4.已知在半徑為2的。。中，圓內(nèi)接的邊48=2百，則/C的度數(shù)為（）

A.60°B.30°C.60°或120°D.30°或150°

5.已知。。的半徑為2,弦48的長為小巧,則弦所對的圓周角的度數(shù)為（）

A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°

6.在邊長為a的正方形內(nèi)有4個等圓，每相鄰兩個互相外切，它們中每一個至少與正方形的一邊相

切，那么此等圓的半徑可能是（）

C.我+1aD.&7a或色

A.旦B.a

2222a2H4

7.半徑分別為5c勿和2CR的兩圓相切，則兩圓的圓心距為（）

A.3cwB.1cm

C.3cm或RcmD.以上答案均不正確

8.已知外接圓的半徑為2,%=2y，則N力的度數(shù)是（）

A.120°B.30°或120°C.30°或60°D.60°或120°

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二.填空題（共6小題）

9.在半徑為2的?！ㄖ?，弦的長為2,則弦46所對的圓周角的度數(shù)為.

10.點6是以〃'為直徑的。。上的一點，tan/胡仁近，然=4?,點〃是直線16上一點，且/

3

8g30°,則線段4?的長為.

11.如圖，PM,RV分別與。。相切于46兩點，C為。。上異于46的一點，連接4GBC.若/

—58°,則/加石的大小是.

12.如圖，在等邊△/a'中，48=2料，如果以比'為直徑的?！ê鸵粤閳A心的。/相切，那么。

A的半徑r的值是.

13.如圖，菱形4時的邊長為5,對角線4C為8,以頂點。為圓心，2為半徑畫圓，點夕在對角線

14.如圖，邊長為4的正方形48繆中，頂點月落在矩形㈤石的邊如上，斯=5,而矩形的頂點G

恰好落在6。邊上.點。是四邊上一動點（不與45重合），以。為圓心，力長為半徑作圓，當(dāng)

。。與矩形戚G的邊相切時，的長為.

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三.解答題(共7小題)

15.已知//比；畫一個角/%E根DE"AB,EF//BC,?DE交BC于點、P.探究N4勿與/〃妹'的數(shù)

量關(guān)系.

圖1圖2

(1)我們發(fā)現(xiàn)N/8C與/時存在某種數(shù)量關(guān)系，如圖1所示，那么圖1中N/8C與/頌有什

么數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

(2)你認(rèn)為//玄與/班'還有其他數(shù)量關(guān)系嗎？若有，請寫出這個數(shù)量關(guān)系并在圖2中畫出一

個滿足這個數(shù)量關(guān)系的/龐汽若沒有，請說明理由.

(3)若兩個角的兩邊互相平行，且一個角比另一個角的2倍少15°,請求出這兩個角的度數(shù).

(1)求證：AB=BC；

(2)如圖2,以比1為直徑在a'的上方作一個半圓，點〃為半圓上的一個動點，連接4?交a'于

點反

①當(dāng)如，四時，求力〃的長.

②在線段4。上取一點五，連接跖交4〃于點&若BF=AE,當(dāng)點〃在半圓園上從點6運動到點

第4頁共40頁

。時，求點G經(jīng)過的路徑長.

17.如圖1,平行四邊形4%中，AD=2?，DC=4\/§，/片60°,點"在/延長線上且&/=5，

原為半圓。的直徑且陽^仇FE=6,如圖2,點￡從點M處沿物方向運動，帶動半圓。向左平

移，每秒禽個單位長度，當(dāng)點尸與點。重合時停止平移，如圖3,停止平移后半圓。立即繞點￡

逆時針旋轉(zhuǎn)，每秒轉(zhuǎn)動5°,點尸落在直線比上時，停止運動，運動時間為t秒.

(1)如圖1,BF=；

(2)如圖2,當(dāng)半圓。與邊相切于點只求的長；

(3)如圖3,當(dāng)半圓。過點C,跖與小邊交于點Q,

①求價1平移和旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積；

②求8的長；

(4)直接寫出半圓。與平行四邊形板的邊相切時t的值.(參考數(shù)據(jù)：sin35°=—>

3

tan35°=^~)

18.如圖1,將半徑為2的。。剪掉一個60。的扇形之后，得到扇形力豳將扇形4/放置在數(shù)軸

上，使點8與原點重合且如垂直于數(shù)軸，然后將圖形沿數(shù)軸正方向滾動，直至點/落在數(shù)軸上

時停止?jié)L動.記優(yōu)弧位?與數(shù)軸的切點為點2過點力作直線/平行于數(shù)軸，當(dāng)/與弧有兩個

公共點時，記另一個公共點為點G將直線/繞點「順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到直線必，交數(shù)軸于點

Q.

(1)當(dāng)點4落在數(shù)軸上時，其對應(yīng)數(shù)軸上的實數(shù)為；

(2)當(dāng)直線/經(jīng)過圓心。時，線段閭的長度為；

(3)當(dāng)8與扇形/如所在圓相切于圓的左側(cè)時，求弦/C的長及點。對應(yīng)數(shù)軸上的實數(shù)；

(4)直接寫出整個運動過程中圖長度的最大值.

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mm

備用圖

19.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點力的坐標(biāo)為(-1,0),點27的坐標(biāo)為(3,0),以4?為直徑

的。"與y軸的正半軸交于點C點P是劣弧8C上的一動點.

(1)求sinN腕的值.

(2)當(dāng)△△(力中有一邊是外的兩倍時，求相應(yīng)/尸的長.

(3)如圖2,以以為邊向上作等邊△曲，線段助9分別交8c和BC于點〃，N.連結(jié)即HP.點

。在運動過程中，〃尸與防存在一定的數(shù)量關(guān)系.

【探究】當(dāng)點P與點”重合時，求史的值；

DP

【探究二】猜想：當(dāng)點一與點N不重合時，【探究一】的結(jié)論是否仍然成立.若成立，給出證明:

若不成立，請說明理由.

C在射線00上，8在射線⑺上，連結(jié)四BC.Ql=3,OB=^-OC

4

=3t.過點4B,C的圓交的垂線物于點〃，連結(jié)/〃，直線/〃，或交于點反

(1)①用含t的代數(shù)式表示6a

②tanNADB=

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(2)連結(jié)切，記△頗的面積為S.

①求S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；

②當(dāng)△曲與△4項的面積差為2,求此時r的值.

(3)點/關(guān)于直線8C的對稱點為/，若/'落在45必內(nèi)部(不包括邊界)時，請直接寫出t

的取值范圍.

Q|Q

(備用圖)

21.如圖1,邊長為6cm的等邊△?!園中，4〃是高，點。以JEcWs的速度從點〃向1運動，以點P

為圓心，為半徑作。尺設(shè)點戶的運動時間為市.

(1)當(dāng)。/與邊/C相切時，求￡的值；

(2)如圖2,若在點一出發(fā)的同一時刻，點0以lcWs的速度從點8向點C運動，一個點停止運

動時，另一個點也隨之停止運動.過點0作創(chuàng)的平行線，交/C于點機(jī)當(dāng)Q"與。。相切時，求

t的值；

(3)在運動過程中，當(dāng)。尸與△4?。的邊共有兩個公共點時，直接寫出t的取值范圍.

備用圖

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參考答案與試題解析

選擇題（共8小題）

1.一個點到圓的最小距離為3腐，最大距離為6.，則該圓的直徑是（）

A.1.5a〃B.1.5c勿或4.5cm

C.4.5。勿D.3cm或9cm

【答案】D

【解答】解：當(dāng)點在圓外，則該圓的直徑=6c/-3M=3C/〃；當(dāng)點在圓內(nèi)，則該圓的直徑=6c研3c/

=9cm,

即該圓的直徑為3c勿或9cm.

故選：D.

2.已知△48C是半徑為2的圓內(nèi)接三角形，若比'=2我，則N4的度數(shù)為（）

A.30°B.60°C.120°D.60°或120°

【答案】D

【解答】解：如圖，作直徑劭，連接8，則/閱9=90°,

,//\ABC是半徑為2的圓內(nèi)接三角形，BC=273，

:.BD=4,

?*-^^VBD2-BC2=2,

CD=LBD,

2

:.NCBD=3Q°,

.?.//=Ng60°,

：.^A'=180°-/4=120°,

4的度數(shù)為：60°或120°.

故選：D.

3.已知。Q和。彷相切，兩圓的圓心距為9a力，。。的半徑為4M,則。a的半徑為（）

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A.3cmB.13cm

C.9c/或13cmD.5cm或13c%

【答案】D

【解答】解：?.?兩圓相切，

???兩圓有可能外切，也有可能內(nèi)切，

???當(dāng)外切時，另一圓的半徑=9+4=13的，

當(dāng)內(nèi)切時，另一圓的半徑=9-4=5c而，

工。。的半徑為13c勿或5c勿，

故選：D.

4.已知在半徑為2的。。中，圓內(nèi)接△/a'的邊48=2如，則/C的度數(shù)為（）

A.60°B.30°C.60°或120°D.30°或150°

【答案】C

【解答】解：如圖，連接力、OB,過。作切_L46于，.

在Rt△0。中，AD=M，勿=2,

.?.sin/力浙迫二返，

AO2

AZAOD=60°,ZAOB=120°.

點C的位置有兩種情況：

①當(dāng)點C在如圖位置時，360°；

2

②當(dāng)點。在￡點位置時，NC=N￡=180°-AZJC?^120°.

2

故選：C.

5.已知。。的半徑為2,弦48的長為蓊，則弦43所對的圓周角的度數(shù)為（）

A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°

【答案】D

【解答】解：如圖所示，

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連接勿、OB,過。作OFLAB,則4F=LB,NA0F=L/A0B,

22

：力=2,AA2M,

：.AF=^AB=^X2A/3=V3，

22

M

.\sinZAOF=-^-=-^—='^-,

OA12

：.ZAOF=QO0,

:./A042NAOF=120°,

AZADB=XZAOB=^LX120°=60°,

22

：.ZAEB^180Q-60°=120°.

故選：D.

6.在邊長為a的正方形內(nèi)有4個等圓，每相鄰兩個互相外切，它們中每一個至少與正方形的一邊相

切，那么此等圓的半徑可能是（）

B.返工C.@&D?管a或會

A.「

22a22

【答案】D

【解答】解：此題要考慮兩種情況:

當(dāng)四個等圓兩兩外切且和每個圓和正方形的兩邊相切時,

則圓的直徑的2倍等于正方形的邊長,

即圓的半徑是更：

4

當(dāng)只有每相鄰的兩個圓相外切且和正方形的一邊相切時,

則它們的圓心組成了一個邊長等于圓的直徑的正方形.

若設(shè)圓的半徑是r,則有2K2&r=a,

-1a

1-a.

2

故選：D.

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7.半徑分別為5c力和2c勿的兩圓相切，則兩圓的圓心距為（)

A.3cmB.1cm

C.3cm或1cmD.以上答案均不正確

【答案】C

【解答】解：???兩圓相切，

???兩圓可能外切，也有可能內(nèi)切，

???當(dāng)兩圓外切時，圓心距等于兩圓半徑之和7,

當(dāng)兩圓內(nèi)切時，圓心距等于兩圓半徑之差3,

???兩圓的圓心距為3c77/或7cm.

故選：C.

8.已知△45C外接圓的半徑為2,BC=2/3,則N力的度數(shù)是（）

A.120°B.30°或120°C.30°或60°D.60°或120°

【答案】D

【解答】解：作直徑切，點4在位上，點4在最上，如圖，

；切為直徑，

:.NCBD=90°,

在Rt△a?中，?.?5山八些=&3_=1_,

CD42

.\ZZ?=60°,

.,./4=/g60°,N4=180°-Ng120°,

即的度數(shù)是60°或120°.

故選：D.

9.在半徑為2的。。中，弦4?的長為2,則弦4半所對的圓周角的度數(shù)為30°或150°

【答案】見試題解答內(nèi)容

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【解答】解：根據(jù)題意，弦16與兩半徑組成等邊三角形，

，先四所對的圓心角=60°,

①圓周角在優(yōu)弧上時，圓周角=30°,

②圓周角在劣弧上時，圓周角=180°-30°=150°.

.,.圓周角的度數(shù)為30°或150°.

10.點8是以/C為直徑的。。上的一點，tanN%（7=亞，40=4正，點〃是直線48上一點，且N

3

8a=30°,則線段的長為4或8..

【答案】4或8.

【解答】解：,:tanNBAC='叵,

3

：.ZBAC=^°,

Y/fC為的直徑，

胸=90°,

ZJG?=60°,

:.BC=Lg2M,

2

Jj?=cos30°x4>/3=?）

,:』BCg30°,

在中，S9=tan30°?比‘=1-xW^=2,

3

：.BD'=2,

當(dāng)點〃在內(nèi)部時，AD=AB-BD=&-2=4,

當(dāng)點。在△/白；外部時，AD'=AB+BD'=6+2=8,

綜上所述，4〃的長為4或8.

故答案為：4或8.

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11.如圖，PM,月平分別與。。相切于48兩點，C為。。上異于46的一點，連接AC,BC.若NP

=58°,則///的大小是61°或119°

【答案】61°或119°.

【解答】解：連接。、0B,

?:PM,即分別與。。相切于46兩點，

C.OALPA,0B1PB,

.?.N4如=360°-90°-90°-58°=122°,

當(dāng)點C在優(yōu)?。?上時，/力龍=!//如=工＞＜122°=61°，

22

當(dāng)點廣在劣弧45上時，AAC6=180°-61°=119°,

故答案為：61°或119°.

12.如圖，在等邊△/1比1中，AlM，如果以比"為直徑的。。和以力為圓心的。4相切，那么

的半徑r的值是3-E或3+E?

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：連接力〃如圖,

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A

?.?△4比1是等邊三角形，

：.BC=AB=AC=2\[^^NB=60°.

?.?。為a1的中點，

.?.切=切=愿，ADLBC,

，。〃的半徑為依，

/L9=48?sin60°=3.

①以6C為直徑的和以A為圓心的。力相外切時，

.*./?=3-V3-

②以融為直徑的?！ê鸵?為圓心的。力相內(nèi)切時，

：.r-M=AA3,

r—3+yfZ-

綜上,如果以比'為直徑的。〃和以力為圓心的。/相切,那么。4的半徑r的值是3-遙或3+V3.

故答案為：3-百或3+我.

13.如圖，菱形465的邊長為5,對角線力。為8,以頂點〃為圓心，2為半徑畫圓，點尸在對角線

上運動，當(dāng)射線8。與圓。相切時，心的長是4-旦,4或4+旦弧.

44

【答案】4-旦五或4+旦五.

44

【解答】解：連接劭交/C于點〃，當(dāng)射線露與。〃相切于點￡時，連接理如圖:

???四邊形46徵是菱形,

第14頁共40頁

:.AB=BC=5,ACLBD,4H=Lc=4,BA2BH，

2

在麻△%!狎中，^/=VAB2-AH2=V52-42=3,

:.BD=2B46,

?.,射線防與。。相切于點￡,

腐=90°,

^-VBD2-DE2=V62-22=4^2>

'：ZDEB=ZBIIP=^,ZPBH=ZDBE,

:.XBHPs叢BED,

?典=里

"'PHDE，

.3_4A/2

"PH2

:.PH=3近,

4

：.AP=AH-PH=\

4

當(dāng)射線切與?！ㄏ嗲杏邳c尸時，如圖：

同理可得：

4

:.AP=A訃PH=4&Ji，

4

綜上所述，當(dāng)射線如與圓〃相切時，"的長是4-2&或4+3加,

44

故答案為：4-旦丁^或4+3'Q.

第15頁共40頁

14.如圖，邊長為4的正方形4?切中，頂點力落在矩形的邊）'上，EF=3,而矩形的頂點G

恰好落在8c邊上.點。是48邊上一動點（不與46重合），以。為圓心，刃長為半徑作圓，當(dāng)

。。與矩形應(yīng)的邊相切時，4〃的長為13或2.

【答案】區(qū)或2.

9

【解答】解：???四邊形46繆是正方形，

,49=34,/C=/49C=90°.

；四邊形為矩形，

：.DG=EF=5,ZE=NEDG=90°.

CG=VDG2-DC2=3?

?：/CD伊/ADG=9Q°,NEDA+NADG=9G,

:"CDG=/EDA.

；NC=N￡=90°,

：./\CDG^/\EAD.

，ED_AEAD

??而近W

?DEAE4

?=--3—?

435

;.施=曲,熊=”

55

:"F=EF-力￡=旦

5

①當(dāng)。0與矩形DEFG的房邊相切時，設(shè)AB與尸G交于點H,

過點。作〃匕用于點M,如圖，

第16頁共40頁

：NZWQ90。,

.../￡4%/刈8=90°.

尸=90°,

：.ZFAB+ZFHA=^°,

:./EAg/FHA.

：/￡=/尸=90°,

:.△EAWXFHA.

?DE_AD-AE

AF"AHFH"

12

?_§_^±=V

"J3_AH而’

V

:.A//=空,皿=迫.

420

設(shè)OA=x,

與矩形DEFG的內(nèi)G邊相切，

OM—OA—x.

'：OMLFG,AFLFG,

：.OM//AF,

.0M_QH

-，AF=AH'

13

-T-x

.x_4

,工二'

VV

解得：x=區(qū).

9

9

②當(dāng)。。與矩形DEFG的〃。邊相切時，如圖,

第17頁共40頁

過點。作〃匕加于點弘延長加，交跖于點M則創(chuàng)5跖，*=鹿=22

5

設(shè)OA=x,

???。。與矩形DEFG的加邊相切，

:.0M=OA=x.

：.ON=MN-。仁西-x，

5

'：ON//Fil,

.ONOA

??--------=1，

FHAH

一39-13,

20V

解得：x—2.

.?.曲=2；

③過點。作OMLDE于點、M,如圖,

EMD

F

可知aif>OA,。。與矩形DEFG的邊膜相離.

綜上，以。為圓心，力長為半徑作圓，當(dāng)。。與矩形儂的邊相切時，4。的長為區(qū)或2.

9

故答案為：生或2.

9

三.解答題（共7小題）

15.已知//比；畫一個角/加E梭陽IAB,EF〃BC,&DE交BC于煎P.探究N48C與NDEF的數(shù)

量關(guān)系.

第18頁共40頁

A

(1)我們發(fā)現(xiàn)N/!況與/應(yīng)產(chǎn)存在某種數(shù)量關(guān)系，如圖1所示，那么圖1中/月弘與/應(yīng)尸有什

么數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

(2)你認(rèn)為與N%尸還有其他數(shù)量關(guān)系嗎？若有，請寫出這個數(shù)量關(guān)系并在圖2中畫出一

個滿足這個數(shù)量關(guān)系的/即若沒有，請說明理由.

(3)若兩個角的兩邊互相平行，且一個角比另一個角的2倍少15°,請求出這兩個角的度數(shù).

【答案】(1)/ABC=NDEF.理由詳見解答；

(2)NABONDEF=180°.圖間解答；

(3)這兩個角是15°、15°或65°、115°.

【解答】解：(1)4ABe=NDEF.

理由：'：DE//AB,EF//BC,

：.ZABC=ADPC,4DPC=4DEF.

：.AABC=ADEF.

.(2)有.如圖所示：

NABC+NDEF=18Q°.

(3)①若兩個角相等時，設(shè)一個角的度數(shù)為x,

貝I」：x=2x-15°,

；.x=15°.

所以兩個角都是15°；

②若兩個角互補(bǔ)時，設(shè)一個角的度數(shù)為X,

則：x+2x-15°=180°,

，x=65°.

所以一個角是65°,另一個角是115°.

答：這兩個角是15°、15°或65°、115°.

第19頁共40頁

D

(1)求證：AB=BC；

(2)如圖2,以外為直徑在比的上方作一個半圓，點。為半圓上的一個動點，連接成交比1于

點反

①當(dāng)加時，求/〃的長.

②在線段/C上取一點區(qū)連接跖交/〃于點G,若BF=AE,當(dāng)點〃在半圓比1上從點8運動到點

。時，求點G經(jīng)過的路徑長.

【答案】(1)證明過程見解答.

⑵477.

(3)4百或當(dāng)巨”.

9

【解答】(1)證明：?.?乙皿-60°,AB=AC,

△力比是等邊三角形，

：.AB=BC.

(2)解：如圖2,連接必，

'：DB1AB,

4切=4冊/圓9=90°,

是等邊三角形，

AZABC=60°,BC=AB=<o,

第20頁共40頁

:./CBA30°,

:點〃為半圓上的一個動點，

:.NBDC=9Q°,

.?."=』仁4'8=4,

22

BD-,\/BC2-CD2=VS2-42=4?,

VAB2+BD2=782+(4^3)2=4V7.

(3)解：???△/阿是等邊三角形，

；.NBAC=AEC=6Q°,AB^BC=AC=8,

①如圖3,當(dāng)/即1=//歐時，

VZBAC=AABC,BF=AE,

：./FBA=/EAB,

：.BG=AG,

:.點C在48邊的中垂線上，

此時點G經(jīng)過的路徑為/Osin60°=8*1_=4向.

2

②如圖4,N/C=NAEB時,即/即i+N4fi?=180°時,

:/械=N4CB=6Q°,AB=BC,

:.△BCF^XABE(A4S),

:.』CBF=NBAE,

此時點〃經(jīng)過的路徑為圖中以物為弦的弧長，

最高點G在四邊中垂線上，線段"的工處.

3

.?.b=工6^=1。”S60°=」><8X近=2運.

33323

設(shè)弦所在圓的半徑為r,由垂徑定理得，

r=(r-—2+4,

3

解得，r=^區(qū)，

3

.?.弦48所對的圓心角為120°

第21頁共40頁

120x

：.弧力的長=1

6n=1W3n.

1809

A

FC

圖3

圖2

17.如圖1,平行四邊形4及力中，AD=2?，DC=4遍，NA60°,點歷在8c延長線上且以/=①，

歷'為半圓。的直徑且皿以仇FE=6,如圖2,點￡從點M處沿，監(jiān)方向運動，帶動半圓。向左平

移，每秒盯個單位長度，當(dāng)點尸與點〃重合時停止平移，如圖3,停止平移后半圓。立即繞點￡

逆時針旋轉(zhuǎn)，每秒轉(zhuǎn)動5°,點尸落在直線比1上時，停止運動，運動時間為力秒.

第22頁共40頁

(1)如圖1,BF=12；

(2)如圖2,當(dāng)半圓。與Z邊相切于點凡求以的長；

(3)如圖3,當(dāng)半圓。過點C,EF與小邊交于點Q,

①求功平移和旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積；

②求負(fù)的長：

(4)直接寫出半圓0與平行四邊形ABCD的邊相切時t的值.(參考數(shù)據(jù)：sin35°=->

3

tan35°=^~'>

【答案】⑴12.

(2)￡￥的長為6-373.

⑶①S平移=12后S旋轉(zhuǎn)《加

②CQ=12遙-873.

(4)t=2愿-3或t=2或t=12.

【解答】(1)如圖，連接BF,

在RtABMF中，BF=7BM2+EF2=V(BC+CM)2+EF2，

；AD=BC=2對，CM=CD=W3,EF=6,

???BF=V(2V3+4V3)2+62=12)

故答案為：12.

(2)如圖，連接OGOP,

?.?半圓。與加邊相切于點P,FE1BM,

：.ZOCP=』OEC=9Q°,OP=OE,

第23頁共40頁

是NZO的角平分線,

■:AD〃BM,

:?/D=/DCM=60°,

?'?ZOCM=yZDCM=30°，

..1

-0E=^EF=3>

：.C0=20E=&,

在Rt△皈中，CE=VcO2-OE2=7S2-33=3\/3，

???EM-MC-CE=6-3V3.

答：以/的長為6-3愿.

(3)①如圖，連接OC,DE,過點。作QVJ_*于點M

由題意可知，DE1BM,ZDCN=60O,CD=473.

CE*D=2?，

在Rt△皈中，DEWCD2-CE2=V(4V3)2-(2A/3)2=6,

'：OC=OE,

:"0C4NOEN,

,：ONLCE,

.?.△OG段△6EV(/MS),

ANE=yCE=V3(

sin/NOE=^->

sin。NUEQE3

：.ZN0E^?>5Q,

:./DEF=/4N0E=35°,

在平移中：ME=MC-CE=4\f3-273=2^3>

S平移=MEXEF=2正X6=12歷

第24頁共40頁

在旋轉(zhuǎn)中：NZte尸=35°,

3597

S旋轉(zhuǎn)二菽X7TXEF2而加

答：解平移過程中掃過的面積為12料，旋轉(zhuǎn)過程中掃過的面積為工兀.

2

②如圖，過點。作Q4J_"于點兒

閥￡=35°,ZW=30°,

???QK=+黑。=V2KE-QK=+媒。=V3CK，

tanobtanJU

VCK+KE=CE=2V3?

BPV2KE=V3X(2V3-KE).

解得KE=6日-6\歷，

???CK=6亞-4?，

ACQ=2CK=12V2-8V3.

答：。的長為

(4)當(dāng)半圓。與比?邊相切于點尸時，t筆與③=陽3；

V3V3

當(dāng)半圓。與邊相切時，即點尸與點〃重合，

此時ME=MC-CE=4F-273=笳，

當(dāng)半圓。與邊相切于點G時，如圖,

vZB=60°,BE=BC+CE=/,

第25頁共40頁

...點￡到直線48的距離為cos60°XBE=^y-X673=6,

即此時點尸與點G重合，EF1AB,

:.NBEF=30°,

:.NDEF=60°,

綜上，力的值為2我-3或2或12.

18.如圖1,將半徑為2的。。剪掉一個60°的扇形之后，得到扇形將扇形4如放置在數(shù)軸上,

使點8與原點重合且龐垂直于數(shù)軸，然后將圖形沿數(shù)軸正方向滾動，直至點4落在數(shù)軸上時停

止?jié)L動.記優(yōu)弧48與數(shù)軸的切點為點尸.過點4作直線/平行于數(shù)軸，當(dāng)/與弧有兩個公共

點時，記另一個公共點為點G將直線/繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到直線處交數(shù)軸于點0.

(1)當(dāng)點/落在數(shù)軸上時，其對應(yīng)數(shù)軸上的實數(shù)為；

一3—

(2)當(dāng)直線/經(jīng)過圓心。時，線段網(wǎng)的長度為2+漢1或2—2叵；

—33―

(3)當(dāng)S與扇形力以所在圓相切于圓的左側(cè)時，求弦〃1的長及點。對應(yīng)數(shù)軸上的實數(shù)：

(4)直接寫出整個運動過程中修長度的最大值.

圖1圖2

備用圖

【答案】(1)也JT；(2)^或2-(3)2M；8冗-2?；(4)273.

3333

【解答】解：(1)...將半徑為2的。。剪掉一個60°的扇形之后，得到扇形/微

優(yōu)弧前的所對的圓心角的度數(shù)為300°,

優(yōu)弧前的長=300兀＞2=也工,

1803

???點8與原點重合且如垂直于數(shù)軸,

第26頁共40頁

...點4落在數(shù)軸上時，其對應(yīng)數(shù)軸上的實數(shù)為2”,

3

故答案為：122L；

3

(2)①當(dāng)點。在點力的右側(cè)時，

連接能過點C作W，偌于點2如圖，

?.?優(yōu)弧與數(shù)軸的切點為點P,

：.OP，PQ,

'：AC//PQ,CDLPQ,

二四邊形OPDC為矩形,

:.PD=0C=2,CD=0P=2,N"Z=90°.

：.ZDCQ=\8Q°-90°-60°=30°.

：.DQ=6Z>tanZDCQ=2X近=2^

_33

：.PQ=PADQ=2+^Zl?:

3

②當(dāng)點。在點力的右側(cè)時,

連接明過點C作徵_LPO于點"如圖,

?.?優(yōu)弧4?與數(shù)軸的切點為點P,

：.OPVPQ,

'：AC//PQ,CDVPQ,

二四邊形。/儂為矩形，

:.PO=QD=2,PgOD

■:NDQC=9Q°-N〃0=9O°-60°=30°,

第27頁共40頁

，CD=診tanNDQC=2X返

33

PQ=OD=OC-CD=2-

3_

綜上，直線,經(jīng)過圓心。時，線段圖的長度為2+2叵或2-2近,

33

故答案為：2+2近或2-2近；

33

(3)連接3,0P,8與然交于點機(jī)過點C作。于點〃如圖,

?.?當(dāng)。與扇形/仍所在圓相切,

CQL0C,

00=60°,

,：OC=OA,

.,./必7=/。。=30°,

：.ZAOC=1800-ZOCA-ZOAC=-L20°,

AABOC=ZAOB+ZAOC=180°,

；.比為。。的直徑，

連接AB,

06=90°,

.AC=BOczNBCA=4義足二2?.

2

?優(yōu)弧/I夕與數(shù)軸的切點為點R

：.OP1PQ,

YAC"PQ、

：.OMLAC,

：.CM=AM=^AC=43-

2

；?I/=^QC2<H2=I,

第28頁共40頁

:.PM=OP-加UI.

VCDLPQ,OMLAC,OPLPQ,

二四邊形物涉為矩形，

：.CD=PM=\,DP=CM=M.

,/0。=60°,

:.NDCg3G,

：.DQ=CIAtanZ近，

3

：.PQ=PD-DQ=2^>..

3

:就所對的圓心角為180°+Ng=240°,

二就的長為240兀X2@L,

1803

二點戶對應(yīng)的實數(shù)為亞，

3_

.?.點。對應(yīng)數(shù)軸上的實數(shù)為空且應(yīng)=旺2巨；

333

（4）整個運動過程中當(dāng)8與。。相切于圓的右側(cè)時，閭的長度最大，如圖,

pEQ

連接。。并延長交CA于點D,過點C作血閭于點E,

?.?優(yōu)弧4?與數(shù)軸的切點為點P,

IOPLPQ,CE1PQ,AC//PQ.

工四邊形制阻為矩形，

AODLAaPD=CE,PE=DC.

：.AD=CD.

連接OC,

???。與扇形力仍所在圓相切，

:.CQ1OC,

：.ZOCQ=90°.

VZO=120°,

第29頁共40頁

；./購=30°.

AOD=^OC=1,PD=OD^OP=-i,

2

:@=個“2_0丁=如,CE=PD=3.

:.PE=CD=M.

'：AC//PQ,

：.ACQP=^.

：.EQ=————=料，

tan/CQPv3

.?.偌的最大值=旭4=2?.

19.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，點/的坐標(biāo)為(-1,0),點8的坐標(biāo)為(3,0),以肥為直徑

的。M與y軸的正半軸交于點C.點、一是劣弧外上的一動點.

(1)求sinN48c的值.

(2)當(dāng)△附8中有一邊是彼的兩倍時，求相應(yīng)4P的長.

(3)如圖2,以a'為邊向上作等邊△物，線段切分別交回和標(biāo)于點〃，加連結(jié)〃尸，郎.點

產(chǎn)在運動過程中，如與即存在一定的數(shù)量關(guān)系.

【探究】當(dāng)點尸與點N重合時，求史的值；

DP

【探究二】猜想：當(dāng)點尸與點N