高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末練習(xí)02 空間向量與立體幾何（難點(diǎn)） 含解析

專(zhuān)題02空間向量與立體幾何(難點(diǎn))

一、單選題

1.正四面體A-BC。的梭長(zhǎng)為4,空間中的動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足∣PB+PC∣=2√Σ,則AP?尸。的取值范圍為()

A.[4-2Λ4+2√3]B.[√^,3√2]

C.[4-3√2,4-√2]D.[-14,2]

【答案】D

【分析】分別取8C,Ao的中點(diǎn)E,F,由題意可得點(diǎn)P的軌跡是以E為球心，以及為半徑的球面，又

APPD=4-?PF^,再求出網(wǎng)的最值即可求解

【解析】分別取BC,AO的中點(diǎn)E,F,則∣PB+PC∣=ME∣=2^,

所以網(wǎng)=夜,

故點(diǎn)P的軌跡是以E為球心，以及為半徑的球面，

222

AP?PD=-(PF+M)?(PF+FD)=-(PF+∕=?)(PF-FΛ)=∣FA∣-∣PF∣=4-∣PF∣I

V.ED=yjDC2-CE2=√16-4=√12=2√3,EF=y∣DE2-DF2=√12-4?=2√2，

所以IPFl=EF-√2=√2,IPFI=EF+√2=3√2,

IIminIImax

所以AP尸。的取值范圍為[T4,2].

C

2.已知加，”為空間中兩條互相垂直的直線(xiàn)，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在的直線(xiàn)與加，〃都

垂直，斜邊A8以直線(xiàn)AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：

(1)直線(xiàn)AB與m所成的角不可能為30；

(2)直線(xiàn)A8與團(tuán)所成角的最大值為90；

(3)直線(xiàn)Ag與"?所成的角為60時(shí)，AB與〃所成的角為30.

其中正確的是()

A.(1)(2)B.(2)(3)C.(1)(3)D.(1)(2)(3)

【答案】A

【解析】由題意知，6、AC三條直線(xiàn)兩兩相互垂直，構(gòu)建如圖所示的邊長(zhǎng)為1的正方體，IACl=1,

?AB?=yf2,斜邊AB以直線(xiàn)AC為旋轉(zhuǎn)軸，則A點(diǎn)保持不變，B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以C為圓心，1為半徑的

圓，以C坐標(biāo)原點(diǎn)，以C。為X軸，CB為)，軸，CA為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能可求出

結(jié)果

【解析】由題意知，〃?、〃、AC三條直線(xiàn)兩兩相互垂直，不妨平移到同一個(gè)交點(diǎn)C,放到一個(gè)正方形中，

畫(huà)出圖形如圖，不妨設(shè)圖中所示正方體邊長(zhǎng)為1,故IAq=I,IABI=斜邊AB以直線(xiàn)AC為旋轉(zhuǎn)軸則

A點(diǎn)保持不變，8點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓，

設(shè)”所在的直線(xiàn)為CD,用所在的直線(xiàn)為CB,

所以，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以C。為X軸，CB為y軸，C4為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則。(1,0,0),4(0,0,1),直線(xiàn)〃的方向單位向量々=(1,0,0),忖=1,直線(xiàn)〃1的方向單位向量。=(0,1,0),時(shí)=1,

設(shè)點(diǎn)8在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的坐標(biāo)為COSaSinao),其中。為3'C與C。的夾角，。?0,2加)，且0+cos2θ=?,

所以A*在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的向量A8ii=(cose,sin6,-1),∣A8J=0,設(shè)直線(xiàn)AB與機(jī)所成角為α,設(shè)直線(xiàn)A8

與〃所成角為4，因?yàn)榫€(xiàn)線(xiàn)角的范圍為θ-?,所以αeθ,?,βeθ,?,

AB^×m∣(cosθ,sinθ,-1)7(0,1,0)|

令COSa=-----T—

A3犀I∣w∣?AB

=Sinq=cos30=??

所以SinO二1不成立,①正確;

AB^m?LKCOSe,sin。,-1)?(0,1,0)|亞

由cosa=_=------------------------------------=?lsmθ?,

?AB^I?H?abI

當(dāng)。=。時(shí)，COSa=O,α=y,所以②正確;

直線(xiàn)AB與"?所成的角為60時(shí)，

歷

πIABC×"1√2

cos—=研M=三卜inq=],卜me∣

3

由sin?8+cos?8=1,得CoS'0=l?SinICOSa=,

CoSβ=卜叼=KCOSe,sin。,-1)?(1,0,0)|=也

ICoSM=g,

H?HMτ'

￡=60,所以直線(xiàn)AB與機(jī)所成的角為60時(shí)，48與〃所成的角不是30,③錯(cuò)誤

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查異面直線(xiàn)所成的角，考查空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理

論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

3.如圖，在四棱錐P-AβQ?中，B4_L平面ABCO,NB40=90°,PA=AB=BC=-AD=I,BC//AD,

2

己知。是四邊形ABC。內(nèi)部一點(diǎn)（包括邊界），且二面角。-尸。-A的平面角大小為:，則面積

4

的取值范圍是（）

【答案】B

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量求得。運(yùn)動(dòng)軌跡，進(jìn)而求得面積的取值范圍

【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

由二面角Q-PD-A的平面角大小為:，可知Q的軌跡是過(guò)點(diǎn)D的一條直線(xiàn)，

又。是四邊形A2CZ)內(nèi)部一點(diǎn)(包括邊界)，則Q的軌跡是過(guò)點(diǎn)D的一條線(xiàn)段.

設(shè)。的軌跡與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為G(O力,0)(6>0),由題意可知A(0,0,0),f>(2,0,0),P(0,0,l),所以

LlLBlUULI

DP=(-2,0,l),DG=(-2,6,0),AO=(2,0,0).

易知平面APO的一個(gè)法向量為4=(OJO),

設(shè)平面PnG的法向量為%=(?,γ2,z2),

則〃2?QP=0,gf-2x2+z2=0,

[n2DG=0[-2X2+by2=0

令…,得々=1,y2=p所以&=[1],2）是平面PnG的一個(gè)法向量,

則二面角G-PD-4的平面角的余弦值為

解得匕=*或/,=_氈(舍去)，

55

所以。在。G上運(yùn)動(dòng)，所以Q面積的取值范圍為

故選：B.

4.在長(zhǎng)方體ABCC-ABcR中，AB=AD=2,M=I.。是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線(xiàn)段AG上，若直線(xiàn)

Op與平面ACR所成的角為夕，則COSe的取值范圍是()

【答案】D

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得Sine的取值范圍，由此求得sin。，即可得解.

【解析】以。為原點(diǎn)，分別以QAOC,QA所在直線(xiàn)為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示

則D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),O(1,1,0),D1(0,0,1),

UUUUULIUUll

設(shè)P(α,2-4,D(0≤α≤2),則OP=(α-l,l-a,l),AA=(-2,0,1),AC=(-2,2,0),

設(shè)平面ACDi的法向量為rt=(.r,y,z)

n?AD.=—2x+z=0?

則1,令x=l,得”=(1,1,2)

n-AC=-2x+2y=0

rmu

n?OP_a-l÷l-tz+221

所以Sine=

WJQPlII瓜?J(a-1)~+I22,

nλ∕2(α-i)+1

[e芭/

2

由于0≤α≤2,.?.5∕2(α-l)+l∈[1,√3]2e3

λ∕2(α-1)+1L'_

sinxesin2

?'?^?^?π[^^])?'?".?.l-sin2θ∈-J-

39

5.向量的運(yùn)算包含點(diǎn)乘和叉乘，其中點(diǎn)乘就是大家熟悉的向量的數(shù)量積.現(xiàn)定義向量的叉乘：給定兩個(gè)

不共線(xiàn)的空間向量。與6,ax〃規(guī)定：①dxb為同時(shí)與G，〃垂直的向量；②a,b,αx人三個(gè)向量構(gòu)成

右手系(如圖1);③,XN=悶WSiMa,b)；④若4=(%,y∣,zJ,b=(x2,y2,z2),則

X],Z]?r??a,b

a×b+,+，其中=ad-be,如圖2,在長(zhǎng)方體中ABC。-44G。,

)"2工2，Z1cyd

A.∣AB×ΛD∣=∣Λ4l∣

B.AB×AD-=AD×AB

,UUWUlU?UUULUUUUUUUUIUI

C.[AB-ADj×AA^AB×AAi-AD×AA,

LUUUUl.UlUU

D.長(zhǎng)方體ABCD-A14CQl的體積V=(A8xAθ)?C∣C

【答案】C

【分析】利用向量的叉乘的定義逐項(xiàng)分析即得.

【解析】解法一：A4,同時(shí)與AB，AO垂直；A41,AB，AO三個(gè)向量構(gòu)成右手系,

IUUUlULUIIULlUHULU∣/ULlUUUU\

且,BχAQ=M叫Sin(A8,AD)=2X2XSin90。=4≠I(mǎi)我1=3,所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

根據(jù)右手系知：ABXA。與AOXAB反向，所以ABxAOwAOxAS，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;

，、LULΓ∣,ULlTUULΓ__

IUiraiIlJLrlo

因?yàn)镵AB-AQ)×AΛl∣=∣DB×BB,∣=2√2×3×sin90=6√2,

ULUUULiULUUULI

且DB×BBl=一BDxBB、與CA同向共線(xiàn);

又因?yàn)镮潴X瑞卜2x3xsin9(Γ=6,且A8χA/1,與D4同向共線(xiàn),

o

∣AD×AΛl∣=2×3×sin90=6,AD×AAt與DC同向共線(xiàn),

IUUUiuuuULUuuuILuuluuuuUUUUUU

所以IABXA41-Af)xAΛ∣∣=6j2,且A3xAA1-ADxAA1與CA同向共線(xiàn)，

UUUlUUU?UUUILUlUUUUUU

故選項(xiàng)正確;

ΛB-AD)×AA1=AB×AA-AD×AAt,C

因?yàn)殚L(zhǎng)方體ABS-ABCR的體積為2x2x3=⑵

/ULUUUUU、IXILIU

又因?yàn)橛捎沂窒抵蛄緼BxAO方向垂直底面向上，與CC反向，所以(ABXAo)?CC<O,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤;

故選：C.

為Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,寫(xiě)出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).利用法向量求得二面角N-04-B與3夾角的余

弦值.結(jié)合α≤Z?即可求得6的取值范圍,即可得。的最大值.

【解析】設(shè)底面圓的半徑為r,OS=”,以98所在直線(xiàn)為X軸,以垂直于98所在直線(xiàn)為)，軸,以O(shè)S所在直線(xiàn)

為Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如下圖所示：

則由NAO8=。(0＜。＜萬(wàn))

可得0(0,0,0),B(r,0,0),5(0,(),?),A(rcosOjsin(9,0),B'(-r,O,())

M,N是SB的兩個(gè)三等分點(diǎn)

則MGO,石W仁,OqJ

所以O(shè)A=(rcoSarSin9,0),ON=

設(shè)平面NQ4的法向量為機(jī)=(x∣,y∣,z∣)

(?C[(Λ1,yl,z1)?(∕?cos6*,rsin6＞,0)=0

rf,/n?OA=0八、、一金,a、

則1C入7Z代入可得L?f2r}a

WON=O(x1,y1,z1)?l—,θ,?-I=O

XjCOSe+χrsin6=0

2x1razlθ

IT-+T^

平面OAB的法向量為〃=(0,0,1)

由圖可知，二面角N-OA-3的平面角α為銳二面角,所以二面角N-OA-B的平面角。滿(mǎn)足

Ir

m`na

cosa=

cos2θ4戶(hù)

I4Hm—^>—I—~

sin^θa~

設(shè)二面角”一4m一5的法向量為無(wú)=(孫)>2,22)

B,A=(r+rcos0,rsinΘ,O),AM=f?-rcos0,-rsin

(Λ?,y,z)?(r+rcos6/sin仇0)=0

:曹學(xué)入可得22

則

(Λ2,y2,z2)J^-rcos，,一廠(chǎng)Sina停)=0

x2r+x2rcosθ+y2rsmθ=0

化簡(jiǎn)可得

瞥-Λ2rcose-%rsine+等=O

一I-CoSe2r

令尤2=1,解得>2=---------，Z2=-----

Sinea

-I-CoSe2八

所以Z=1,

Sinea

平面AB'B的法向量為a=(o,o,ι)

由圖可知，二面角M-A9-3的平面角β為銳二面角,所以二面角M-A9-4的平面角β滿(mǎn)足

由二面角的范圍可知0≤α≤6≤"

結(jié)合余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知COSa≥cos∕?

I譚、I弓I

s1cos2

即Jι÷?÷?_J.+f-τ^(guān)÷?

VsinθaYISineJa~

化簡(jiǎn)可得cosθ≤-L,且o<e<萬(wàn)

2

所以0<。彳

r)jτ

所以。的最大值是g

故選:B

【點(diǎn)睛】本題考查了空間直角坐標(biāo)系在求二面角中的綜合應(yīng)用,根據(jù)題意建立合適的空間直角坐標(biāo)系,求得

平面的法向量,即可求解.本題含參數(shù)較多,化簡(jiǎn)較為復(fù)雜,屬于難題.

1.在正四面體O-ABC（所有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐）中，點(diǎn)E在棱AB上，滿(mǎn)足AE=2E8,點(diǎn)F為線(xiàn)段AC

上的動(dòng)點(diǎn).設(shè)直線(xiàn)OE與平面尸所成的角為α,則（）

A.存在某個(gè)位置，使得DEB.存在某個(gè)位置，使得NFDB=E

4

冗

C.存在某個(gè)位置，使得平面￡>￡F_L平面OACD.存在某個(gè)位置，使得夕="

O

【答案】C

【分析】設(shè)正四面體。-ABC的底面中心為點(diǎn)。，連接OO,則Do?L平面ABC,以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、

。。所在直線(xiàn)分別為X、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正四面體D-ABC的棱長(zhǎng)為2,然后利用空間向量法

逐一分析求解可得結(jié)果.

【解析】如下圖所示，設(shè)正四面體。-ABC的底面中心為點(diǎn)。，連接。。，則”，平面ABC,

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、。。所在直線(xiàn)分別為X、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正四面體E>-ABC的棱長(zhǎng)為2,

rπl(wèi)/6In）/2Λ∕5nn）/&ιn）∩f∩n2瓜］?/?In

則A——,—1,0?B——,0,0、C——,1,0、D0,0,---、E—,0

?J??J?√J

設(shè)尸一二名,40,其中—1≤X≤1,

\/

對(duì)于A(yíng)選項(xiàng)，若存在某個(gè)位置使得,OE=（￥，-；,一半），βF=（-√3,Λ,θ）,

.?.DEBF=-［-^λ=O,解得力=一3,不合乎題意，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，若存在某個(gè)位置使得∕FQ8=g,OF=J坐,人-半］,08=（攣,0,一半

4133J（33

MnDDFDB21亞

"""C研網(wǎng)=后0=后TN,該方程無(wú)解，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)平面ZMC的一個(gè)法向量為“7=α,y,z∣),

2√k6

√3一

x

由τ

與?l取4=-1,得根=(2夜,0,—1),

3+yl2√κ6

設(shè)平面Z)EF的一個(gè)法向量為〃=(%,上，Z2)，

nc,√312√6n

"DE=-x2--y2---z2=0

?',φγ=4√6,則〃=卜血+6近/1,4#,3;1-1),

nr√3?,2√6_

n?DF=---x2+Ay2-z2=()

3

若存在某個(gè)位置，使得平面Z)EF，平面DAC,則m?"=2bl+9=O,解得2=-]e[-l,l],合乎題意，C

選項(xiàng)正確;

對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)平面DBF的一個(gè)法向量為"=(X3,%,Z3)，

叫察。,%'叫率‘普’

2√32√6

u?DnBβ=------------------z?=0n

由<3?,令Z=Q則〃

w?DF=-y-x3+Λγ3-^y-z3=O

?uDE?半(E

若存在某個(gè)位置，使得α=f,即SinC=J=kos<",OE>∣=W+∣)∣

2

66211國(guó)一MxF2"、氏+2

整理得5紀(jì)-4∕l+12=0,Δ=16-240<0,該方程無(wú)解，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用空間向量法求解空間角以及利用空間向量法處理動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，計(jì)算量大，屬于難題.

8.如圖，在菱形ABCf)中，AB=處,ZaM)=60。，沿對(duì)角線(xiàn)80將aABD折起，使點(diǎn)A,C之間的距

3

離為2&，若尸，。分別為線(xiàn)段B。，C4上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A

D

A.平面ABo_L平面BeO

B.線(xiàn)段PQ的最小值為0

C.當(dāng)AQ=QC,4PZ)=O8時(shí)，點(diǎn)O到直線(xiàn)尸。的距離為巫

14

D.當(dāng)P,。分別為線(xiàn)段B。，C4的中點(diǎn)時(shí)，PQ與An所成角的余弦值為漁

4

【答案】C

【分析】取8。的中點(diǎn)。，易知OALBnOCLBO,結(jié)合條件及線(xiàn)面垂直的判定定理可得04,平面BOC,

進(jìn)而有平面ABZ)JL平面%>C,即可判斷A；建立坐標(biāo)系，利用向量法可判斷BCD.

【解析】取8。的中點(diǎn)。，連接。AOC,

；在菱形ABCf)中，AB=生叵，Zβ4D=60o,

3

，OA=OC=2,又AC=26，

OA2+OC2=AC2,所以Q4J?OC,

又易知OA_LBQ,OC_L3。，

因?yàn)長(zhǎng)OC,OAVBD,OCBD=O,

所以。41?平面BOC,

因?yàn)椤?u平面ΛBD,

所以平面ABOL平面BDC,故A正確；

以。為原點(diǎn)，OB,OC,OA分別為X,y,Z軸建立坐標(biāo)系，

貝Ij8手,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2),θ1-^,0,0,

當(dāng)4Q=QC,4PD=08時(shí)，Q(OJl),Pl

哈(軻,OP=惇,°，。)，

J?PQ-DP?I√2i

所以點(diǎn)。到直線(xiàn)PQ的距離為"=F廣=了=5丁，故C錯(cuò)誤；

V3

設(shè)P(α,0,0),設(shè)CQ=ICA=4(0,-2,2),可得。(0,2-242/1),

IPQl=業(yè)+(2-2/1)2+(21)2=卜+8p_g)+2,

當(dāng)"CM=；時(shí)，IPQImin=0,故B正確；

當(dāng)P,Q分別為線(xiàn)段BC,CA的中點(diǎn)時(shí)，

P(0,0,0),β(0,l,l),PQ=(0,1,1),AD=I-孚,0,-2),

設(shè)PQ與AO所成的角為。，

AP0AD∣2√6

則2對(duì)阿瓦1F，

所以PQ與AD所成角的余弦值為漁，故D正確；

4

故選：C.

二、多選題

9.在長(zhǎng)方體ABC。-AMG。中，AB=2,∕L4∣=3,AO=4,則下列命題為真命題的是()

A.若直線(xiàn)AG與直線(xiàn)Co所成的角為9,則tang=∣

B.若經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)/與長(zhǎng)方體所有棱所成的角相等，且/與面BCG用交于點(diǎn)M,則AM=26

C.若經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)，"與長(zhǎng)方體所有面所成的角都為6,則sin。=立

3

D.若經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的平面α與長(zhǎng)方體所有面所成的二面角都為〃，則sin〃=母

【答案】ABC

【分析】A根據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)找到直線(xiàn)AG與直線(xiàn)8所成角的平面角即可；B構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，根

據(jù)線(xiàn)線(xiàn)角相等，結(jié)合空間向量夾角的坐標(biāo)表示求"?<441,人用>=3<48,4加>=85<4￡),4加>,即

可求M坐標(biāo)，進(jìn)而確定線(xiàn)段長(zhǎng)；C、D將長(zhǎng)方體補(bǔ)為以4為棱長(zhǎng)的正方體，根據(jù)描述找到對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)〃八

平面尸，結(jié)合正方體性質(zhì)求線(xiàn)面角、面面角的正弦值.

【解析】解：對(duì)于A(yíng)：如下圖，直線(xiàn)AG與直線(xiàn)CD所成角，即為直線(xiàn)AG與直線(xiàn)AB所成角NBAG,則

tanφ=tan/BACi==—,故A正確；

對(duì)于B：構(gòu)建如下圖示的坐標(biāo)系，過(guò)A的直線(xiàn)/與長(zhǎng)方體所有棱所成的角相等，與面BCG瓦交于M(X,2,z)

且x,z>O,又A?=(0,0,3),AB=(0,2,0),AD=(4,0,0),

z2

貝qcosVA√4∣,A.M>=—/=cos<AB,A.M>=―/

√x2+4÷Z2√X2+4+Z2

X

=cos<AD,AM>=,\,故X=Z=2,則AM=2由，故B正確；

√jr+4+z

對(duì)于C：如下圖，過(guò)A的直線(xiàn)機(jī)與長(zhǎng)方體所有面所成的角都為仇則直線(xiàn)團(tuán)為以4為棱長(zhǎng)的正方體的體對(duì)

角線(xiàn),故Sine=W,故C正確；

3

M

對(duì)于D：如下圖，過(guò)A的平面用與長(zhǎng)方體所有面所成的二面角都為4,只需面用與以4為棱長(zhǎng)的正方體中

相鄰的三條棱頂點(diǎn)所在平面平行，如面EDF,故cos”=a=',則sin〃=逅，故D錯(cuò)誤.

^,ADE33

故選：ABC

10.如圖，底面45Co為邊長(zhǎng)是2的正方形，半圓面APDL底面ABCZ）.點(diǎn)P為半圓弧斗。上（不含A,

。點(diǎn)）的一動(dòng)點(diǎn).下列說(shuō)法正確的是（）

A.BP?P。的數(shù)量積不恒為0

B.三棱錐尸-BCD體積的最大值為§

C.不存在點(diǎn)P,使得AB?PB=DB?DP

D.點(diǎn)A到平面BPD的距離取值范圍為

【答案】BCD

【分析】由面面垂直的性質(zhì)結(jié)合平面向量的運(yùn)算判斷A,由棱錐的體積公式結(jié)合分的范圍判斷B,由數(shù)量

積公式計(jì)算DBDP和ABpB判斷C,由等體積法得出點(diǎn)A到平面BPD的距離取值范圍.

【解析】因?yàn)榘雸A面AW)J■底面ABC3,AB±AD,由面面垂直的性質(zhì)可知，ASJL平面APL),

AB±AP,AB±PD,APLPD.

對(duì)于A(yíng),BPPD=(AP-AB)PD=APPD-ABPD=O,故A錯(cuò)誤；

111222

對(duì)于B,設(shè)點(diǎn)P到平面BCO的距離為3則/Ms=：S^S∕==XTX2X2∕2=(∕Z<;X1=:,當(dāng)點(diǎn)P為AD

中點(diǎn)時(shí)，取等號(hào)，故B正確；

對(duì)于C,

2?

DBDP=(DP+PA+AB)DP=DP+PA-DP+AB-DP=]DP?^e(0,4)

ABPB=AB2(AB-AP)=AB-ABAP=4,即不存在點(diǎn)P,使得ABpB=DB?DP，故C正確；

對(duì)于D,因?yàn)?。BOP=∣OB∣?∣Z)P∣COSNPO8=∣L>P∣2,所以cos/POB=立IOp|,所以

4

1∣DP∣?J8--DP2

SABDP=51301?IOPlSinZPDB=J~!?---------

因?yàn)镺P?ZM=,尸,QdCoSNADP=￡>尸?(/JA-Po)=PA?OP+￡>b=∣DP『，所以COSZADP=回，設(shè)點(diǎn)P

到平面ABD的距離為九，點(diǎn)A到平面BPD的距離為A2,則

L?fi?-因?yàn)樨?口=也如，所以

DP

^DP?-sinZPDA

「IY42

1MΛAΞLH，設(shè)IDPI='e（°，2），則為t??

D4，因?yàn)?/p>

2I4√-∣H72

3X23×--------2---------月gV8-r

8-Z2∈(4,8),所以％€(0,α)，故D正確;

故選：BCD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在處理D選項(xiàng)時(shí)，關(guān)鍵是利用等體積法得;I；h2=,4-f,再結(jié)合t的范圍得出點(diǎn)A

到平面8叨的距離的范圍.

11.直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA，CB,CA=CB=CcrD,E,M分別為BlC,,CC∣,Ag的中點(diǎn)，點(diǎn)N是棱AC

上一動(dòng)點(diǎn)，則（）

A.對(duì)于棱AC上任意點(diǎn)N,有MNLBG

B.棱AC上存在點(diǎn)N,使得上WL面BCIN

C.對(duì)于棱AC上任意點(diǎn)N,有MN「面AQE

D.棱AC上存在點(diǎn)N,使得MN〃DE

【答案】AD

【分析】對(duì)于A(yíng),連接8G,SC,證明BG，平面ABC即可：對(duì)于B,建立空間直角坐標(biāo)系，判斷MN與

BN是否可能垂直即可；對(duì)于C、D,當(dāng)N是AC中點(diǎn)時(shí)，MN//DE,即可判斷.

連接8G,3C,由題可知四邊形BCCS是正方形，則BCi耳C,

由題知平面BCGA，平面ABC,平面BCGBj平面A3C=8C,ACrBC,ACU平面ABC,

二AC_L平面BCC￡,又BGUBCGBI,：.AC1BC1,

又與CCAC=C,8∣C,ACu平面AB0,8C∣1平面AqC,

YACVu平面的C,.?BC11MN.

故A正確；

B選項(xiàng)：

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AC=BC=CG=2,

則C(O,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),B,(2,0,2),Λ∕(l,l,l),設(shè)N(OJ,0),0<t<2,貝IJBN=(—2/0),

W=(l,l-r,l),

若BNLMN,則BN?NM=0n-2+r（l-r）=0,即/—，+2=0，方程無(wú)實(shí)數(shù)根，即BN與MN不垂直，則

不存在點(diǎn)M使得MNL平面BqN,B錯(cuò)誤;

C選項(xiàng)：

當(dāng)N是AC中點(diǎn)時(shí)，MN//BtC,BxC//DE,〃平面AQE；

當(dāng)N不是AC中點(diǎn)時(shí)，MN和BIC相交，若MN〃平面AQE,結(jié)合BC〃平面AoE可知平面A8∣C〃平面

A1DE,這顯然與圖形不符（AE與Ae相交），故此時(shí)MN與平面A。E不平行；故C錯(cuò)誤;

D選項(xiàng)：

由C項(xiàng)可知，N為AC中點(diǎn)滿(mǎn)足題意，故D正確.

故選：AD.

12.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCO-AB1GR中，點(diǎn)M在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.AM,平面AC。

B.幾何體ABG-Aen的外接球半徑r=&

C.異面直線(xiàn)CQ與A例所成角的正弦值的取值范圍為

D.面AQM與底面ABCO所成角正弦值的取值范圍為

【答案】ACD

【分析】對(duì)于A(yíng),利用面面平行的性質(zhì)定理可判斷；對(duì)于B,幾何體ABC-ACR的外接球與正方體

A8C。-ABClA的外接球相同，可求得其半徑；對(duì)于C,找到異面直線(xiàn)C。與AM所成角的正弦值取到最

大以及最小值的位置，即可求解；對(duì)于D,建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的夾角公式，結(jié)合三角函

數(shù)的知識(shí)可進(jìn)行求解.

【解析】在正方體ABCO-AgGA中，AA,/∕CCl,AAt=CC1,故AACG為平行四邊形，

所以AG//AC,而AGa平面平面ACQ,ACU平面ACQ,故Ae；〃平面AC

同理可證AB平面ACn,而AGAB=A,4￡，48<=平面48￡,

所以平面ABC1//平面ACDt,AMu平面ABCI,則AM〃平面ACDi,A正確.

幾何體ABG-ACA關(guān)于正方體的中心對(duì)稱(chēng)，

其外接球與正方體ABCz）-ABCA的外接球相同，半徑為亞笆運(yùn)=6，故B錯(cuò)誤.

2

由于C￡>//4￡,則直線(xiàn)A片與A1M所成最大角為/々44（或N4A/）,

其正弦值為也.直線(xiàn)人蜴與AM所成最小角為4片與平面ABG所成角，

2

當(dāng)M為BG中點(diǎn)時(shí)，所成角即為

而A4J?平面B8∣GC,耳MU平面8BCC,故,

A4=2,BlM=√2,.?.AlM=√4+2=√6,

故SinZBHM=自"=W=且，故C正確.

AiM√63

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系,

則力(0,0,0),A(2,0,2),8(2,2,0),C1(0,2,2),則DA=(2,0,2),BC1=(-2,0,2),

=ΛBCl,(0<λ<l),則M(-22+2,2,2Q,.?.OM=(-22+2,2,27),

n-DA.=2a+2c=0

設(shè)平面ADM的法向量為〃=34c),則B

n-DM=(-2λ+2)a+2b+2λc=0

令α=2,則c=-2,6=42-2,故n=(2,42-2,-2),

由題意知平面的法向量可取為則COS〈肛〃〉=

ABCDm=(1,0,0)√8+4(2Λ-l)2

4

則面AQM與底面ABe。所成角正弦值為JI-

8+4(24-1)2

由于0≤4≤1,故當(dāng)2=；時(shí)，8+4(24-1)2取到最小值8,

4取到最小值為亞

8+4(24-1)22

當(dāng)4=0或2=1時(shí)，8+4(22-1)2取最大值12,:取最大值為遠(yuǎn),

所以面A。M與底面ABCz)所成角正弦值的取值范圍為［乎,乎］,D正確，

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體中線(xiàn)面平行的判斷，以及外接球的半徑的求解和空間相關(guān)角的求解，涉及知識(shí)

點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，計(jì)算量大，解答時(shí)要充分發(fā)揮空間想象，明確空間的點(diǎn)線(xiàn)面的位置關(guān)系，解答的關(guān)鍵是

能掌握并熟練應(yīng)用空間線(xiàn)線(xiàn)角以及面面角的定義，并能應(yīng)用空間向量的方法求解.

三、填空題

13.在空間直角坐標(biāo)系O-xyz上，有一個(gè)等邊三角形ABC,其中點(diǎn)A在Z軸上.已知該等邊三角形的邊長(zhǎng)為

2,重心為G,點(diǎn)8,C在平面Xoy上，若OG在Z軸上的投影是z,則|0G「=(用字母Z表示).

4C4

【答案】|-3z2##-3z2+^

【分析】畫(huà)出圖形，結(jié)合重心的性質(zhì)，向量的數(shù)量積，模的算法和余弦定理，即可算出答案.

【解析】如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為連接A",因?yàn)榈冗吶切蜛BC的重心為G,所以GM=：AM,

設(shè)OG在Z軸上的投影是ON,則ON=gθ4

又OG在Z軸上的投影是z,所以∣Q4∣=3z,該等邊三角形的邊長(zhǎng)為2,

在RfVOAB中，pB∣=√4-9z2,同理可得|。C∣=14-9z',

因?yàn)镺G=g(θA+OB+OC),

所以

∣OG∣2=∣(θA+OB+Oey="(θ∕+OB2+OC+2OA-OB+2OA-OC+IOC-08)

1(,,,I-------7I-------74-9Z2+4-9Z2-4^

=-9Z2+4-9Z2+4-9Z2+0+0+2√4-9Z2?√4-9Z2?—).?

912√4-9Z2?√4-9Z2J

=--3Z2

3

故答案為：-—??2

222

14.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(x,>,z)滿(mǎn)足：x+y+z=?6,平面α過(guò)點(diǎn)M(l,2,3),且平面ɑ的一個(gè)法

向量”=(1,1,1),則點(diǎn)P在平面ɑ上所圍成的封閉圖形的面積等于_________.

【答案】4萬(wàn)

【分析】由題意，點(diǎn)P在球面上，所以點(diǎn)P在平面ɑ上所圍成的封閉圖形即為平面α截球面所得的截面圓,

根據(jù)球的截面性質(zhì)求出截面圓的半徑「即可求解.

【解析】解：由題意，點(diǎn)尸在以(0,0,0)為球心，半徑為4的球面上，

所以點(diǎn)P在平面ɑ上所圍成的封閉圖形即為平面a截球面所得的截面圓，

因?yàn)槠矫姒恋姆匠虨镮X(X-l)+lχ(y-2)+lχ(z-3)=0,即x+y+z-6=0,

所以球心(0,0,0)到平面α的距離為d=γ,卜心J=2出,

所以截面圓的半徑r=My26j=2,截面圓的面積為S=萬(wàn)戶(hù)=4萬(wàn)，

所以點(diǎn)P在平面ɑ上所圍成的封閉圖形的面積等于4-

故答案為：4乃.

UlllUUUUUUUU

15.已知。4,OB.OC是空間兩兩垂直的單位向量，QP=XQ4+)03+zOC,且x+2y+4z=l,貝IJ

IoP-OH-OQl的最小值為_(kāi)_______.

【答案】2亙

21

【分析】設(shè)OA=(1,0,0)，OB=(0,1,0)，OC=(0,0,1),利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出OP，進(jìn)而求出OP-OA-OB，

2

借助向量模的運(yùn)算及x+2y+4z=l,整理可得IOP-04-Oq=Jl√i7z+方”+4

+一，

21

進(jìn)而得解.

【解析】由題意可設(shè)。A=(1,0,0),OB=(OJO),OC=(0,0,1),

由x+2y+4z=l,得x=l-2y-4z,

OP=xOA+yOB+zOC=(x,y,z),

OP-OA-。3=(X-Ly-LZ),

所以IoP_QA_08卜√(x-l)2+(y-l)2+z2

=√(2y+4z)2+(γ-l)2+z2

=√5∕+17z2+16yz-2y+l

所以IOP-04-081的最小值為3區(qū)L

21

故答案為：巫.

21

【點(diǎn)睛】本題考查的是空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算和空間向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于

中檔題.求向量的模的方法：（1）利用坐標(biāo)進(jìn)行求解，）=（x,y）,則IaI=G77；（2）利用性質(zhì)進(jìn)行求

解，77=∣φ結(jié)合向量數(shù)量積進(jìn)行求解.

16.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCO-AMGA中，點(diǎn)M為線(xiàn)段BA上的動(dòng)點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論:

①存在點(diǎn)M,使得直線(xiàn)AM與直線(xiàn)BC夾角為30。；

②存在點(diǎn)M,使得GM與平面A8,C夾角的正弦值為正；

3

③存在點(diǎn)M,使得三棱錐A-CQM的體積為看；

④存在點(diǎn)M,使得α>Z?,其中α為二面角M-AA-B的大小，夕為直線(xiàn)MA與直線(xiàn)A8所成的角.

則上述結(jié)論正確的有.(填上正確結(jié)論的序號(hào))

【答案】②③

【分析】對(duì)①：由連接42,BG,由BC，平面ABGR,即可判斷；對(duì)③：設(shè)M到平面CDDC的距離為

h,則噴必I,所以％一Cm=VM一鈿°=；SeW)?〃即可判斷；對(duì)④：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系C-Wz,設(shè)BM=NBn(滕JI1),利用向量法求出c。Sa與CosQ,比較大小即可判斷；對(duì)②：設(shè)G"

與平面MC夾角為凡利用向量法求出sin，=卜os<GM,”>|,即可求解判斷.

【解析】解：對(duì)①：連接A。，BG,在正方體ABC。-AIBC。中，由他_1_平面8CC田，可得ABl80,

又％C1BC∣,ABlBC1=B,所以隼7,平面ABCQ,所以BC_LAM,故①錯(cuò)誤；

對(duì)③：設(shè)M到平面8〃G的距離為〃，則0釉1,所以％wm=VW-GDQ=§§JDlD"=]X/X故③正

確；

對(duì)④：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-孫Z,設(shè)1),

則AB=(-1,0,0),Λ4,=(0,O,D,BA=(1,-I,D,BM=Q,-A,⑷，所以“(2,1-4∕i),Λ,M=(Λ-I,

-A,4—1),

..AM?AB\—λ

:.cosβ=∣cos<AM,AλBd>∣=∣iI=T-----,

"'IAMlIABl√3Λ2-4Λ+2

[n-AA1=0fz=0

設(shè)平面MAA的法向量為ZI=(X,y，z),則,,即f

[n-AtM=0[(X-l)x-Λy+(X-I)Z=O

取n=(2,λ-l,0),又DA=(O,1,0)是平面A8B∣A的一個(gè)法向量,

又二面角M-AA.-B為銳二面角或直角，

-

...n?DAlI—λiΛ

所以8Sa=Icos<”,PΛ>Hj7向I==布F'

3λ2-4λ+2-(2λ2-2λ+?)=λ