2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：重難點(diǎn)突破4 三次函數(shù)的圖象和性質(zhì) （七大題型）（解析版）

重難點(diǎn)突破04三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

目錄

題型一：三次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

題型二：三次函數(shù)的最值、極值問(wèn)題

題型三：三次函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題

三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)題型四：三次函數(shù)的切線(xiàn)問(wèn)題

題型五：三次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題

題型六：三次函數(shù)的綜合問(wèn)題

題型七：三次函數(shù)恒成立問(wèn)題

■方法技巧總結(jié)

1、基本性質(zhì)

設(shè)三次函數(shù)為：f(x)=ax3+bx2+ex+d(ab、c、deR且”工0),其基本性質(zhì)有:

性質(zhì)2：三次方程/(x)=O的實(shí)根個(gè)數(shù)

由于三次函數(shù)在高考中出現(xiàn)頻率最高，且四次函數(shù)、分式函數(shù)等都可轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)來(lái)解決，故以三

次函數(shù)為例來(lái)研究根的情況，設(shè)三次函數(shù)/(x)=axi+bx2+cx+d(a*0)

其導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù):尸(x)=3ax2+2hx+c{a豐0),

12

判別式為：△=4b-12ac=4(￡>-3ac),設(shè)/'(x)=0的兩根為玉、x2,結(jié)合函數(shù)草圖易得：

(1)若>2-3ac40,則f(x)=0恰有一個(gè)實(shí)根；

⑵若。2-3這>0,且/(丹)?/(々)>0,則/(x)=0恰有一個(gè)實(shí)根；

(3)若。2-3ac>0,且/(%)?/(%)=0,則f(x)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根；

(4)若加一3公>0,且了(百)?/(苞)<0,則f(x)=0有三個(gè)不相等的實(shí)根.

說(shuō)明:(l)(2)/(x)=0含有一個(gè)實(shí)根的充要條件是曲線(xiàn)y=/(x)與x軸只相交一次，即/(幻在R上為單調(diào)

函數(shù)(或兩極值同號(hào))，所以從-3ac《0(或從-3ac>0,且/(不>/(n)>0);

(5)/(x)=0有兩個(gè)相異實(shí)根的充要條件是曲線(xiàn)y=八幻與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)且其中之一為切點(diǎn)，所以

從-3。。>0,且/(演>/(王)=0；

(6)f(x)=0有三個(gè)不相等的實(shí)根的充要條件是曲線(xiàn)y=/(x)與x軸有三個(gè)公共點(diǎn)，即/(x)有一個(gè)極大

值，一個(gè)極小值，且兩極值異號(hào).所以6-3ac>0且/(%)?/(%)<().

性質(zhì)3：對(duì)稱(chēng)性

(1)三次函數(shù)是中心對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)，且對(duì)稱(chēng)中心是；,/(-—));

3a3a

(2)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù).

2、常用技巧

(1)其導(dǎo)函數(shù)為尸(x)=3以2+w+c=0對(duì)稱(chēng)軸為x=_2,所以對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)也就是導(dǎo)函數(shù)的

3a

對(duì)稱(chēng)軸，可見(jiàn)，y=f(x)圖象的對(duì)稱(chēng)中心在導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的對(duì)稱(chēng)軸上，且又是兩個(gè)極值點(diǎn)的中點(diǎn)，同時(shí)

也是二階導(dǎo)為零的點(diǎn)；

(2)y=/(x)是可導(dǎo)函數(shù)，若y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(見(jiàn)力對(duì)稱(chēng)，則y=(⑴圖象關(guān)于直線(xiàn)x=〃？

對(duì)稱(chēng).

(3)若y=f(x)圖象關(guān)于直線(xiàn)尤=丁對(duì)稱(chēng),則y=/'(x)圖象關(guān)于點(diǎn)(肛0)對(duì)稱(chēng).

(4)已知三次函數(shù)"xhax'+bY+cx+d的對(duì)稱(chēng)中心橫坐標(biāo)為與，若“X)存在兩個(gè)極值點(diǎn)不，々，

2

則有=-^-X2)=|廣㈤.

X1-%2ZJ

必考題型歸納

題型一：三次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

例1.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))函數(shù)/(切=/+仆+2存在3個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是()

A.(-00,-2)B.3)C.(T-l)D.(-3,0)

【答案】B

【解析】/(x)=x3+ax+2,則r(x)=3x2+a,

若/(x)要存在3個(gè)零點(diǎn)，則〃x)要存在極大值和極小值，則”0,

令/(%)=3/+〃=。，解得x=-、區(qū)或、屋,

且當(dāng)xe,+8時(shí),f'(X)>0,

7

故“X)的極大值為了,極小值為了

故選：B.

例2.(2023?江蘇揚(yáng)州?高三?？茧A段練習(xí))設(shè)。為實(shí)數(shù)，函數(shù)/(x)=-d+3x+a.

(1)求/(x)的極值;

(2)是否存在實(shí)數(shù)“，使得方程〃x)=0恰好有兩個(gè)實(shí)數(shù)根?若存在，求出實(shí)數(shù)〃的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

【解析】(1)r(x)=T?+3,令/'(x)=0,得X=—1或x=l.

?.,當(dāng)xe(-8,-l)時(shí)，r(x)<0：當(dāng)xe(-1,1)時(shí)，/,(x)>0；當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，/;(x)<0.

所以/(x)在(7,-1)上遞減，在(T1)上遞增，在(L”)上遞減，

\“X)的極小值為*-1)=。-2,極大值為〃l)=a+2.

(2)由⑴知，/CO在(fT)上遞減,在(-1,1)上遞增，在(1,”)上遞減，

而a+2>a-2,即函數(shù)的極大值大于極小值.

.??當(dāng)極大值等于0時(shí)，極小值小于0,此時(shí)曲線(xiàn)/(力與x軸恰好有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程/(x)=0恰好有兩個(gè)

實(shí)數(shù)根，如圖1所示..?.a+2=0,即a=—2.

當(dāng)極小值等于0時(shí)，極大值大于0,此時(shí)曲線(xiàn)/(X)與x軸恰有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程/(x)=0恰好有兩個(gè)實(shí)數(shù)

根，如圖2所示..,.<7—2=0.即a=2.

圖2

綜上所述，當(dāng)a=2或a=-2時(shí)，方程F(x)=0恰好有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

例3.(2023?四川綿陽(yáng)?高三四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)f(x)=^+*-3x(aSeR),且

.f(x)在x=1和x=3處取得極值.

(1)求函數(shù)“X)的解析式；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)+r,若g(x)=/(x)+/有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)f的取值范圍.

【解析】(1)f'(x)=3ax2+2bx-3,

因?yàn)?(A)在x=1和x=3處取得極值,

所以x=l和x=3是方程/'(X)=0的兩個(gè)根,

2h

1+3=——

則3；,解得.'-3,經(jīng)檢驗(yàn)符合已知條件,

1x3=——b=2

3a

所以/(X)=_*+2X2_3X；

(2)由題意知g(x)=-QX，+2x?-3x+f,g'(x)=-x2+4x—3,

當(dāng)x>3或x<l時(shí)，g'(x)<0,當(dāng)l<x<3時(shí)，g'(x)>0,

所以函數(shù)g(x)在(3,+oo),(-a>,l)上遞減,在(1,3)上遞增,

4

所以g(x)極大值=g⑶=，，g(x)極小值=g(1)=t一5，

乂X取足夠大的正數(shù)時(shí)，g(x)<0,X取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí)，g(x)>o,

因此，為使曲線(xiàn)y=g(x)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合g(x)的單調(diào)性，

得：g(x)極大值='<?；騡(x)極小值

4

二f<0或r>§,

4

即當(dāng)/<0或時(shí)，使得曲線(xiàn)y=g。)與x軸有一個(gè)交點(diǎn).

變式1.(2023?天津河西?高三天津?qū)嶒?yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知/(x)=/+bx2-4a,a,bwR.

(1)當(dāng)a=6=l,求y=/(x)的極值；

(2)當(dāng)a=0,b=2,設(shè)g(x)=Y-lnx+l,求不等式/(x)<g(x)的解集；

(3)當(dāng)。>0時(shí)，若函數(shù)〃x)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求的值.

a

2

2

【解析】(1)/(x)=f+M-4,=3x+2x=0,玉=0,x2="-.

_2

X18,一|),00(0,+8)

~3H)

+0-0+

108

“X)/、-4

7ino

，/(X)在X=時(shí),取極大值-王

在X=0時(shí)，取極小值-4.

(2)2x2<x2—lnx+1?BPx2+lnx—1<0?

設(shè)妝x)=f+lnx—1,6(x)=2x+g>0,〃(x)單調(diào)增函數(shù)，且〃(l)=0,

.?.不等式的解集為(0,1).

2

(3)/'(x)=3ar+2/?x=0=>X]=0,x2=——,

1.b<0,(-°。,。)單調(diào)遞增，10,-五J單調(diào)遞減，|一互■,+(?)單倜遞增,

而/(0)=Ta<0,所以至多一個(gè)零點(diǎn)，(舍去).

2°.b=0,尸(x)>0n/(x)單調(diào)增，所以至多個(gè)零點(diǎn)，(舍去).

-|^,o)單調(diào)遞減，(o,+e)單調(diào)遞增,

3°.b>0,單調(diào)遞增,

而〃())=-4a<(),f(2)=4a+4b2>0,在(0,+s)上有個(gè)零點(diǎn),

所以〃x)在(F,0)上有一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)/(x)在-°C,-丁單調(diào)遞增，-丁,0單調(diào)遞減.

0=2=3.

a

變式2.(2023?河北保定?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(X)=X3-3X2+3X.

(1)求函數(shù)的圖象在點(diǎn)x=0處的切線(xiàn)方程：

(2)若/(x)-14d+，”在xe［0,2］上有解，求加的取值范圍；

(3)設(shè)r(x)是函數(shù)〃x)的導(dǎo)函數(shù)，尸(力是函數(shù)尸(x)的導(dǎo)函數(shù),若函數(shù)廣(x)的零點(diǎn)為％,則點(diǎn)

&，/■))恰好就是該函數(shù)/(x)的對(duì)稱(chēng)中心.試求盛”(品|++/(篇)+［瑞)的值.

【解析】(1)因?yàn)閒'(x)=3*2—6x+3

所以所求切線(xiàn)的斜率"(0)=3

又因?yàn)榍悬c(diǎn)為(0,0)

所以所求的切線(xiàn)方程為y=3x

(2)因?yàn)?(x)-所以-3，+3彳一14加

因?yàn)?(*)-14丁+加在xe［0,2］上有解，

所以用不小于-3d+3x7在區(qū)間［0,2］上的最小值.

因?yàn)閤e［(),2］時(shí)，—3丁+3x—1=—3(x—e—7,—

所以m的取值范圍是［-7,+81.

(3)因?yàn)?(x)=3x2-6x+3,所以尸(x)=6(x-l).

令/"(x)=0可得%=1，

所以函數(shù)/(x)的對(duì)稱(chēng)中心為(1,1)，

即如果%+々=2,則〃%,)+〃幻=2,

2018)?(2019)2019x2

所以loloJ+7lToioJ=2019.

2

變式3.(2023?山西太原?高三太原市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí))已知三次函數(shù)

/(幻=1+灰2+以+以〃也。￡氏)過(guò)點(diǎn)(3,0),且函數(shù)/(x)在點(diǎn)(0J(0))處的切線(xiàn)恰好是直線(xiàn)y=0.

⑴求函數(shù)/(幻的解析式；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=9x+m-l,若函數(shù)y=/(x)-g(x)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)小的取值范圍.

【解析】(1)/(x)=x3+bx2+cx+df\x)=3x2+2bx+c,

了(3)=27+9人+3c+d=0\b=-3

由題意可知：'(0)=c=0=>"c=0=>f(x)=x3-3x2；

/(0)=J=0[d=0

(2)令、=/(x)—g(x)=O=>/n=x3—3x2—9x+l,

設(shè)h(x)=/_3/_”+1=h\x)=3X2-6X-9=3(X-3)(x+1),

當(dāng)xe[-2,-l)時(shí)，"(x)>O,/z(x)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí),"(x)<0,〃(x)單調(diào)遞減，

所以〃(x)1rax=A(-l)=6,〃(-2)=-l,〃(1)=-10,

因?yàn)楹瘮?shù)y=/。)—g(x)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，

所以直線(xiàn)丫=加與函數(shù)〃(x)=x3-3/_9x+l(xe[-2,l])的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),

故有即實(shí)數(shù)旭的取值范圍為“1,6).

變式4.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)/*)=\/+?x,g(x)=-x2-a(aeR).

⑴若函數(shù)F(x)=/(%)-g(?在xe[1,+O上單調(diào)遞增，求a的最小值；

(2)若函數(shù)G(x)=/(x)+g(x)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求”的取值范圍.

【解析】(1)F(x)=/(x)-g(x)=g.p+以+*2+。，F(xiàn)'(x)=x2+2x+a,

因函數(shù)尸(x)=/(%)-g(x)在xe[1,+口)上單調(diào)遞增,

所以尸'(X)=X?+2x+a20在xe口,+<?)+8)恒成立，即02-3,

的最小值為-3.

(2)G(x)=/(x)+^(x)=^x3-x2+ax-a,

2

G'(x)=x-2x+af/.A=4-4a=4(l-a).

①若aNl,則AMO,??.G'(x)20在R上恒成立，

；.G(x)在R上單調(diào)遞增.G(0)=-a<0,G⑶=2a>0,

..?當(dāng)a21時(shí)，函數(shù)G(x)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn).

②若a<1,則△>(),

.?C(x)=o有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，不妨設(shè)為不，4，(為<X2).

/.玉+/=2,x)x2=a

當(dāng)X變化時(shí)，G'(X),G(力的取值情況如下表:

(—，百)(x,+oo)

XUpx2)2

G'(x)+0—0+

G(x)增極大值減極小值增

X；—2百+a=0,a=-x；+2%，

G(X[)=_X：+_Q=_X：+%+X；_2玉=+(4_2)x,

=q玉[x；+3(a—2)],

同理G(%2)=gx2H+3(。-2)],

G(X])?G(x,)=—X|X,[x^+3(a-2)],[g+3(〃—2)]

="(玉W)?西)2+3(〃-2)(xf+后)+9(。-2)2]

=-{/+3(〃—2)[(X|+&)~-2X|X>]+9(。-2)~}

=-3々+3)=

因?yàn)镚(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故G(±)G(X2)>0,解得a>0.

故當(dāng)0<a<l時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn).

綜上所述，。的取值范圍是(。,田).

題型二：三次函數(shù)的最值、極值問(wèn)題

例4.(2023?云南?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(幻=-白3+/+2奴，g(x)=*2_4.

(1)若函數(shù)/*)在(0,+8)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實(shí)數(shù)”的取值范圍：

(2)設(shè)G(x)=/(x)-g(x).若0<a<2,G(x)在［1,3］上的最小值為瓜。)，求〃⑷的零點(diǎn).

【解析】(1)???/5)在(0,+8)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，.?.尸(x)=-/+2x+2“>0在(0,例)上有解,

又/(x)是對(duì)稱(chēng)軸為x=1的二次函數(shù)，所以r(x)在(0,+8)上的最大值大于0,

而尸(幻的最大值為/⑴=l+2a,l+2a>0,

解得：a>

（2）G（x）=f（x）-g（x）=--x3+—x2+2ox+4,

G'（x）——x"+x+2a,

由G，（x）=O得：斗=三叵死，工，=匕巫藥，

則G（X）在（-00,占），（Xp+8）上單調(diào)遞減，在（3,々）上單調(diào)遞增，

又/.?當(dāng)0<。<2時(shí)，x,<0,1<^<3,

AG（x）在［1,3］上的最大值點(diǎn)為巧，最小值為G⑴或G⑶，

14

而G（3）-G（l）=—y+4a,

］。當(dāng)一6+4〃<0,即0<”?時(shí)，/z（a）=G（3）=6a--=0,得a」，

36212

此時(shí)，/7（a）的零點(diǎn)為%;

1472575

2°當(dāng)一三+4。20,即時(shí)，"（a）=G（l）=膏+2a=0,得〃=一;（舍）.

綜上秋。）的零點(diǎn)為

例5.（2023,高三課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)f（x）=-qx，+k+2ar,8（x）=~^x—4.

（1）若函數(shù)f（X）在（0,+8）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍；

（2）設(shè)G（x）=/（x）-g（x）.若0<a<2,G（x）在［1,3］上的最小值為-g,求G（x）在［1,3］上取得最大值時(shí)，對(duì)

應(yīng)的為值.

【解析】（1）???/（x）在（0,+8）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，

.../'（X）=—工2+2x+勿>0在（0,4-09）上有解，

即:（耳2>0在（°，+8）上成立，

而r（x）的最大值為廣⑴=1+2即

?>1+加>0,

解得：a>~.

1q10

(2)G(x)=/(x)-^(x)=--x3+—x2+2ax+4,

/.G'(x)=—d+x+2a,

由G(x)=O得：匕=匕半電，

則G(x)在(—,％),(芻,+oo)上單調(diào)遞減，在(占,々)上單調(diào)遞增，

乂：當(dāng)0<a<2時(shí)，X,<0,1<弓<3,

；.G(x)在［1,3］上的最大值點(diǎn)為々，最小值為G(l)或G⑶,

14

而G⑶-G(l)=-了+4”，

f當(dāng)-6+4a<0,即0<〃<2時(shí)，G(3)=6a--=--,得”=’，

362336

此時(shí)，最大值點(diǎn)々=鋁正；

147951Q

2°當(dāng)一一+4^>0,即一Va<2時(shí)，G(l)=—+2tz=—,得〃=一=(舍).

36634

綜上G(x)在［1,3］上的最大值點(diǎn)為怨值.

例6.(2023?江蘇常州?高三常州市北郊高級(jí)中學(xué)?？计谥?已知函數(shù)40=/一姓2-/》+1,其中〃>0.

⑴當(dāng)。=1時(shí)，求./U)的單調(diào)增區(qū)間；

⑵若曲線(xiàn)產(chǎn)/沁在點(diǎn)處的切線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為(0,b),求價(jià):的最小值.

【解析】(1)當(dāng)〃=1時(shí)，/'(X)=3%2—2x—1=(3x+l)(x—1),

令盟X)>°，得或X>1,

故/(x)的增區(qū)間為,8,-；),

(2)/,(x)=3x2-lax-ci1,則/，(一0)=4/,而/(-a)=-4+1,

故曲線(xiàn)y=/(x)在(―aj(—明的切線(xiàn)方程為：

y=4a2(x+qj-a'+l=4。與+3/+1,

它與y軸的交點(diǎn)為(0,3々3+1),故人=3/+1,

故--=3。3+1H--,其中〃>0,

aa

設(shè)g(a)=3/+l+：,a>0,則/(4)=寫(xiě)］，

當(dāng)0<a<］時(shí),g，(a)<0；q邛時(shí),g\a)>0,

故g(a)在費(fèi)與上為減函數(shù)，在停，+"上為增函數(shù)，

故g(a)=生8+1即方+上的最小值為延+1.

變式5.(2023?廣東珠海福三校聯(lián)考期中)已知函數(shù)/(力=3*3一以2+(/_]b+6(mbeR),其圖象在

點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為x+y-3=o.

⑴求以，b的值；

(2)求函數(shù)/(力的單調(diào)區(qū)間和極值；

⑶求函數(shù)〃x)在區(qū)間[-2,5]上的最大值.

12

22r2222

【角軍析】(1)f\x)=x-2ax+a-],/(l)=]—2a+a—1=a—2a,f(l)=--a+a—1-i-b=a—a+b--f

乂圖象在點(diǎn)(i,/(i))處的切線(xiàn)方程為x+y-3=o,

a2-2a=-I[a=]

1Q

(2)由(1)f(x)=-x3-x2+-,f\x)=%2-2x=x(x-2),

x<0或x>2時(shí)，f'(x)>0,0cx<2時(shí)，f'M<0,

所以/(x)的增區(qū)間是(9,0)和(2,+oo),減區(qū)間是(0,2),

極大值是/(0)=1s,極小值是y(2)=4(；

(3)由(2)知/(x)在［-2,0］和［2,5］上遞增,在(0,2)上單調(diào)遞減,

又/(—2)=T,/(5)=y,

co

所以〃X)在［-2,5］上的最大值是三，最小值是Y.

變式6.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=x3-ax2-x,aeR,且式(D=0.

(1)求曲線(xiàn)y=f\x)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；

(2)求函數(shù)fM在區(qū)間［0,3］上的最大值.

【解析】(1)Sf(.x)=x3-ax2-x^f'(x)=3x2-2ax-\,

：.f'(l)=3-2a-i=0,解得”=1

f(x)=x3-x2-x,f'{x)=3x2—2x—1

.?J(_1)=T_1+1=_1J'(T)=3+2_1=4

曲線(xiàn)y=/(x)在點(diǎn)(TJ(-D)處的切線(xiàn)方程為y+1=4(x+l),

即y=4x+3：

(2)由(1))令/'(x)>0得x<-§或x>1,令/'(x)<0得-§<x<1,

???函數(shù)/(X)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,3)上單調(diào)遞增，

又/(0)=0J(3)=3J32-3=15,

???函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,3］上的最大值為/(3)=15

變式7.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)/*)=/+3次2+5+1在(F,0)上是增函數(shù)，在(0,2)上是減

函數(shù)，且/。)=0的一個(gè)根為-沙

(1)求c的值；

(2)求證：/(x)=0還有不同于-b的實(shí)根/、々，且4、-b、々成等差數(shù)列；

(3)若函數(shù)/")的極大值小于16,求3(1)的取值范圍

【解析】(1)/'(x)=3f+6fer+c,

由題意，可知x=0是極大值點(diǎn)，故/'(0)=0,；.c=0.

(2)令/'(x)=0,得x=0或

由“力的單調(diào)性知—3士2,

3是方程/(x)=0的一個(gè)根，

貝II(-"+3b(-以+d=0=d=-2鞏

f(x)=x3+3bx2-2b3=(x+/>)(x2+2bx-2tr),

方程/+2fec-2〃=0的根的判別式,，

△=4后一4(-2^)=12從>0,

X(-Z?)2+2b(-b)-2b2=-3b2*0,(Z?<-1)

即-匕不是方程x1+2bx-2b2=0的根

/(x)=0有不同于-方的根毛、巧，

xt+x2=-2b,4、-b、巧成等差數(shù)列.

(3)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知x=0是極大值點(diǎn)，

〃0)<16=-陽(yáng)<16=8>-2,于是-2—,

令g伍)=41)=一陽(yáng)+3/?+1,

求導(dǎo)/(b)=-66+3,

一2<匕4一1時(shí),g'?<0,

g團(tuán)在上單調(diào)遞減,

'''g(T)Mg?<g(-2),

即0"⑴<11.

變式8.（2023?浙江寧波?高三效實(shí)中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)=一欠2+（4+2口+1（其中。>o）.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)巧，x『求/（%）+/。2）的取值范圍.

【解析】（1）f'（x）=x2-2ax+a+2.=4（a2-a-2）

①當(dāng)『4（/-。-2）?0即0vaK2時(shí)，/?>0,\/任）在R上單調(diào)遞增；

f22

②當(dāng)。>2時(shí)，f（x）=0=>Xj=a-\/a-a-2,x2=a+\Ja-a—2，%%

???/。）在（口,±）,（X2,+00）上單調(diào)遞增,在（國(guó),電）上單調(diào)遞減.

（2）4,巧為/（%）=%2-2*+〃+2=0（。>2）的兩根,

4a、

/（玉）+/（工2）=一§〃++4。+2,

設(shè)=+2/+4。+2（々>2）

g\a）=-4a2+4q+4=-4（tz2-a-V）,

當(dāng)a>2時(shí)，，（。）二一4（。2一〃一1）<。

.?.其/在（2,+8）上單調(diào)遞減

22/22

g⑷<g（2）=不，即〃再）+/（&）<丁.

題型三：三次函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題

例7.（2023?陜西商洛?高三?？茧A段練習(xí)）已知三次函數(shù)/（x）=；V-（4機(jī)-l）d+（15療—2機(jī)—7卜+2在R

上是增函數(shù)，則m的取值范圍是（）

A.m<2或m>4B.—4<m<—2C.2<m<4D,2<m<4

【答案】D

【解析】尸"）=*一2（4〃L1）X+15M—2機(jī)一7,由題意得丁一2（4加-1戶(hù)+15病—2機(jī)一720恒成立，

...△=4（4"?-1丫-4（15，/一2m-7）=64/M2-32m+4-60m2+8m+28=4（/n2-6;n+8）<0,：.2<m<4,故選

D.

例8.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）三次函數(shù)f（x）=,nrJx在（-co,”）上是減函數(shù)，則”的取值范圍是（）

A.zn<0B.m<1C.m<0D.m￡1

【答案】A

（解析1對(duì)函數(shù)f（x）=，加-x求導(dǎo)，得f'（x）=3mx2-1

因?yàn)楹瘮?shù)/（x）在（7,E）上是減函數(shù)，則/'（X）40在R上恒成立，

即3mx2-140,恒成立，

當(dāng)f=o,即x=0時(shí),3〃a2-140恒成立；

x2＞0,則加4二,

當(dāng)w0,即XH0時(shí),即3m＜

X

因?yàn)椤恐?,所以3機(jī)＜0,即機(jī)＜0；

又因?yàn)楫?dāng)機(jī)=0時(shí)，f(x)=r不是三次函數(shù)，不滿(mǎn)足題意，

所以帆＜0.

故選：A.

例9.(2023?江西宜春?高三?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)〃》)=卜3_笠1/,g(x)=g-皿，m是實(shí)數(shù).

(1)若/(x)在區(qū)間(2,+8)為增函數(shù)，求m的取值范圍；

(2)在(1)的條件下,函數(shù)以x)=/(x)-g(x)有三個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍.

【解析】(1)/'(力=^-(6+1卜，因?yàn)?1(x)在區(qū)間(2,田)為增函數(shù),

所以『'("=尤(萬(wàn)一機(jī)—1)20在區(qū)間(2,物)恒成立，

所以x-zn-1N0,即機(jī)工工一1恒成立，由x＞2^m＜\.

所以加的取值范圍是(-8』.

(2)/7(X)=/(X)-g(X)=1x3-^y-!-X2+//l￥-1,

所以〃'(x)=@_°(》一%),令“(X)=0,解得X=m或*=1,

m=1時(shí)，"(x)=(x-爐＞0,A(x)在R上是增函數(shù)，不合題意,

，"＜1時(shí),令/?'(力＞0,解得欠＜機(jī)或彳＞1,令〃(力＜0.解得相＜；(:＜1,

所以〃(x)在(-oo,,"),(l,+oo)遞增，在(加,1)遞減,

所以〃(%)極大值為M，")=-9/*+1相2-!，〃(》)極小值為力(1)=々"1'

6232

3I,1?

_1m+5〃廣一百＞°

6

要使“X)-g(x)有3個(gè)零點(diǎn)，需，,,解得機(jī)＜1-后

口＜0

2

所以m的取值范圍是(Y,1-G).

變式9.(2023?陜西榆林?高三綏德中學(xué)校考階段練習(xí))已知三次函數(shù)/(x)=ar'+fe＜-3在x=l處取得極值,

且在(0,-3)點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)3x+y=0平行.

(1)求/(x)的解析式；

(2)若函數(shù)g(x)=/(》)+3在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，求機(jī)的取值范圍.

2r⑴=3。+8=0

【解析】⑴f\x)=3ax+b1由題意[，二j°,解得人’,

/(0)=p=-3[b=-3

所以=-3%一3；

(2)由(1)^(x)=x3+(/n-3)x-3,g'(x)=3/+(加一3),

g(x)在(1,2)是遞增，則gXx)=3x2+(加一3)20在(1,2)上恒成立,

m>3-3x2,xc(l,2)時(shí)，，-9<3-3X2<0,所以加之0.

變式10.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)〃》)=!'3一|2如+4|在［1,2］上單調(diào)遞增，貝lj“的取值范圍為

【答案】-次］

(解析】①當(dāng)2ax+4>0對(duì)任意的xe［1,2卜恒成立時(shí),-1,

則/(司=；/一26一4,7'(9二％2一2。？。對(duì)任意的恒成立,

2

(x\11

plij?<—=—,此時(shí)—1<a<—；

\2人而22

②當(dāng)2WC+4W0對(duì)任意的xWa恒成立時(shí)，則=一2,

\X/min

則/(力=93+2依+4,r(x)=Y+加之0對(duì)任意的工?1,2］恒成立,

則-十］=一1,此時(shí)〃不存在;

\/max2

12

—x—2ax—4,1WxW—

3a

③當(dāng)一2<4<-1時(shí),(1,2),則〃x)=<

3j2

一工3+2tzx+4,—<xK2

.3a

2x2\I

當(dāng)1,--時(shí)，，'(力=/-2420恒成立，則—=5：

J」V/min

r21(x2\2

當(dāng)xe—,2時(shí)，/'(力=幺+2?之0恒成立，則-工,可得/±-2,解得/一次,

L〃」I2兀a-

此時(shí)-^2<a<-\-

綜上所述，實(shí)數(shù)。的的取值范圍為一次,;

故答案為：-瓜;.

題型四：三次函數(shù)的切線(xiàn)問(wèn)題

例10.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)/(幻=爐—無(wú).

⑴求曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn),⑺)處的切線(xiàn)方程；

(2)設(shè)常數(shù)4>0,如果過(guò)點(diǎn)尸(。,⑼可作曲線(xiàn)y=/(x)的三條切線(xiàn)，求機(jī)的取值范圍.

【解析】(1),函數(shù)f(x)=x3-x,.,?廣。)=3/-1.

切線(xiàn)方程為y-f(t)=/⑺(x—f),即y=(3*-Dx-2產(chǎn).

(2)由已知關(guān)于，的方程m=(3/-l)a-2/，即切=-2/+3療-仙>0)有三個(gè)不等實(shí)根.

令g。)=-2r+3ar-a,則g9-a).

可知g(f)在(-°0,0)遞減,在(0,。)遞增,在知+00)遞減,

gQ)的極小值為：g(。)=-?,極大值為g(a)=a^-a.

所以—a<初<*—a-

例11.(2023?江西?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)/(X)=X3-3X2+X-1.

(1)求曲線(xiàn)y=〃x)在點(diǎn)網(wǎng)寸⑺)處的切線(xiàn)方程；

(2)設(shè)口>1,若過(guò)點(diǎn)。(八〃)可作曲線(xiàn)y=/(x)的三條切線(xiàn)，證明：一2根

【解析】(I)/'(X)=3x、6x+1則在點(diǎn)P處的切線(xiàn)方程為y-/(f)=/'S(xT)

整理得y=(3/一6/+1)%—2/+3/一1

(2)〃=(3”—6，+1)機(jī)一2/+3，-1

構(gòu)造函數(shù)8(。=(3/—6/+1)m_2尸+3*_[_”，

即g⑺=-2/+3(1+ni)t2-6mt+m-\-n^點(diǎn)Q(m,〃)可做曲線(xiàn)y=〃力的三條切線(xiàn)等價(jià)于函數(shù)g(f)有三個(gè)

不同的零點(diǎn).

g'S=-6(r-l)(一帆)，故函數(shù)g(。在(fo,l)上單調(diào)遞減，(1,帆)上單調(diào)遞增，(孫一)上單調(diào)遞減，

[g⑴<0f-2m-n<0/、

所以乂、八，BP,,,可得—2根<〃</⑺

—3m+m—\—n>0

例12.(2023?江蘇?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=；V-1以2+(“一[)x+2(aeR),/(x)滿(mǎn)足

/(x)+/(-x)=4,已知點(diǎn)M是曲線(xiàn)y=/(x)上任意一點(diǎn)，曲線(xiàn)在M處的切線(xiàn)為/.

(1)求切線(xiàn)/的傾斜角a的取值范圍：

(2)若過(guò)點(diǎn)x可作曲線(xiàn)y="X)的三條切線(xiàn)，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

【解析】(1)因?yàn)?(x)+/(-x)=4,則-/dur+(a-l)x+2-qd-萬(wàn)依~-(a-l)x+2=4,

解得a=0,所以f(x)=gx3-x+2,

則/（無(wú)）=/一1,故tana...-l

.?.ae[O,和卓，》），???切線(xiàn)’的傾斜角的a的取值范圍是[0,翔骼兀）.

（2）設(shè)曲線(xiàn)y=f（x）與過(guò)點(diǎn)戶(hù)a,的切線(xiàn)相切于點(diǎn)

則切線(xiàn)的斜率為k=「l,所以切線(xiàn)方程為丫-11-%+2）=（x；-l）（x-x。）

因?yàn)辄c(diǎn)尸（1,切）（〃2#1）在切線(xiàn)上，

所以"-（gxoJXo+zJXkTO-X。），即〃=2_|年+/2+],

由題意，該方程有三解

2.

^^（x）=--x3+x2+l,則g'（x）=-2x2+2x=-2x（x-l）,令g'（x）=O,解得x=0或x=l,

當(dāng)x<0或x>l時(shí)，g'（x）<0,當(dāng)0<x<l時(shí)，g'（x）>0,

所以g（x）在（r°，0）和。，+8）上單調(diào)遞減，在（0,1）上單調(diào)遞增，

4

故g（x）的極小值為g（0）=l,極大值為g（l）=§,

所以實(shí)數(shù)小的取值范圍是（1,：4）.

變式11.（2023?安徽?高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)/（司=-!、3一/+3+3,在8=0處取得極值.

O

（1）求加的值；

（2）若過(guò)（21）可作曲線(xiàn)y=/（x）的三條切線(xiàn)，求f的取值范圍.

【解析】（1）因?yàn)閒（x）=—,1一%2+優(yōu)+3,所以/"）=-1/一2》+,”,

因?yàn)?（X）在x=0處取得極值，所以（（0）=機(jī)=0.

經(jīng)驗(yàn)證機(jī)=0符合題意；

（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為-x；+3）,

由/（x）=一J/一x2+3，得/（%）=-4片-2%,

o2

所以方程為y-（一-X；+3）=1；片一2玉））（工一無(wú)0）,

將（21）代入切線(xiàn)方程，得”;石_4%+3.

令g（元）=5一4%+3,則g'（x）=f-4,

則g'(x)=f_4=0,解得x=±2.

當(dāng)x<-2或x>2時(shí)，g'(x)>0,

所以g(x)在(-8,-2),(2,+向上單調(diào)遞增；

當(dāng)-2<x<2時(shí)，g'(x)<0,

所以g(x)在(-2,2)上單調(diào)遞減.

所以g(x)的極大值為g(-2)=q,g(x)的極小值為g⑵=-}

因?yàn)橛腥龡l切線(xiàn)，所以方程f=g(x)有三個(gè)不同的解，

與y=g(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，

所以725

33

變式12.(2023?陜西西安?高三校考階段練習(xí))已知函數(shù)/(司=加_而在點(diǎn)(I"⑴)處的切線(xiàn)方程為

3x+y-l=0.

(1)求實(shí)數(shù)4，方的值；

(2)若過(guò)點(diǎn)(-1,〃?)(〃??Y)可作曲線(xiàn)y=〃x)的三條切線(xiàn)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

【解析】(1)f'(x)=3ax2-2hx,

由〃力=江-從在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為2x+y-1=0,

得f(l)=-2,./⑴=一3,故13K二一3'故H,

(2)由(1)得r(x)=3d-6x,

過(guò)點(diǎn)(-1,加)向曲線(xiàn)y=做切線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)為(題,％),

則切線(xiàn)方程為y-(年-3々2)=(3x；-6引(*-/).

因?yàn)榍芯€(xiàn)過(guò)(一1,m)，故切-($3-3與2)=(3/2-6%)(1一%)，

整理得到：2年-6%+根=0,

V過(guò)點(diǎn)(一8,機(jī))(加*-4)可做曲線(xiàn)y=〃x)的三條切線(xiàn)，

故方程2片-6%+〃?=0有3個(gè)不同的解.

i己g(x)=2j?—6x+〃z,g'(x)=6x?—2=6(x+l)(x-l).

.,.當(dāng)x=-1時(shí)，g(x)有極大值機(jī)+4,當(dāng)x=l時(shí)，g(x)有極小值根-5.

故當(dāng)4,即T<m<4時(shí)，函數(shù)g"有3個(gè)不同零點(diǎn).

=加一4<0\7

實(shí)數(shù)m的取值范圍是(Y,4).

變式13.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))設(shè)函數(shù)/(力=；/+0?+瓜+，(《<0)在x=0處取得極值-1.

(1)設(shè)點(diǎn)4(-4,/(-0),求證：過(guò)點(diǎn)A的切線(xiàn)有且只有一條，并求出該切線(xiàn)方程；

⑵若過(guò)點(diǎn)(0,0)可作曲線(xiàn)y=〃x)的三條切線(xiàn)，求〃的取值范圍；

⑶設(shè)曲線(xiàn))，=/(x)在點(diǎn)(項(xiàng),〃%))、(々,〃々))(犬尸工2)處的切線(xiàn)都過(guò)點(diǎn)(0,0),證明：

【解析】(1)證明：由〃x)=gV+a?+&x+c(a<0),得：/f(x)=x2+2ax+b,

fr(0}=b=0i

由題意可得所以，〃x)=9+加T

J(0)=c=-l3

此時(shí)，f'(x)=x2+2ax,

當(dāng)x<0時(shí)，/S^x)>0,此時(shí)函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)0<x<-2a時(shí)，/'(x)<0,此時(shí)函數(shù)〃x)單調(diào)遞減，

所以，函數(shù)“X)在x=0處取得極大值-1.

設(shè)切點(diǎn)為(毛,%),則切線(xiàn)方程為y一%=/'(xo)(x-Xo),

即y-g片-紙+1=(x；+2”)(x-%),

2

即為y=(片+2嘰卜-§片-七-1,

將點(diǎn)(-?,/(-a))的坐標(biāo)代入方程可得片+3說(shuō)+3a\+/=0,

即(毛+。)3=0,所以與=-。，即點(diǎn)A為切點(diǎn)，且切點(diǎn)是唯一的，故切線(xiàn)有且只有一條.

所以切線(xiàn)方程為小+〉+卜3+1=0.

(2)因?yàn)榍芯€(xiàn)方程為>=(片+孫)卜-§￡-宙-1,

把點(diǎn)(0,0)的坐標(biāo)代入切線(xiàn)方程可得(父+找+1=0,

因?yàn)橛腥龡l切線(xiàn)，故方程得就+1=0有三個(gè)不同的實(shí)根.

2,、

設(shè)g(x)=1X*+加+l(a<0),

g'(x)=2x2+2ax,令g'(x)=2x2+2ox=0,可得x=()和x=-a.

當(dāng)x?-oo,0)時(shí),g,(x)>0,g(x)為增函數(shù)，

當(dāng)xe(0,-a)時(shí),g<x)<0,g(x)為減函數(shù),

當(dāng)xw(-a,+oo)時(shí)，g'(x)>0,g(x)為增函數(shù)，

所以，函數(shù)g(x)在x=0處取得極大值，且g(x)極大值=g(0)=l>0,

函數(shù)g(x)在》=一。處取得極小值，且g(x)極小值=g(-a)=-|/+/+i=q+i,

因?yàn)榉匠蘥(x)=O有三個(gè)根，則g(_〃)=，+i<0,解得〃<_而，

因?yàn)間卜閭=ax,閭>0,g(-3a)=-9a，+l>0,

由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)g(x)有三個(gè)零點(diǎn)，

綜上所述，a<-y/i-

(3)證明：假設(shè)/'(%)=/'(々)，則片+2時(shí)=考+2酩,則(王—々)(芭+乙+%)=0,

因?yàn)槲鞫?，所以?乂2=-2”.

23+叫)+［1=八0

由(2)可得，兩式相減可得|(年-￡)+。(片-^)=0.

2321n

§入2+4X；+1=0

2

因?yàn)檩脊す?，故耳(￥+5%+年)+4(%+&)=0.

把石+%2=-2。代入上式可得，X；+中2+X：=3/,

22

所以(3+W)2-百工2=3〃，(一2a)2-XjX2=3a,所以XjX2=a.

乂山X/2〈(％=(年)="，這與與尤2=。2矛盾.

所以假設(shè)不成立，即證得廣(％)￥/'(/)-

題型五：三次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題

例13.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))給出定義：設(shè)/*)是函數(shù)y=.f(x)的導(dǎo)函數(shù)，/(X)是函數(shù)y=/'(x)的

導(dǎo)函數(shù).若方程/〃3)=0有實(shí)數(shù)解x=%,則稱(chēng)&"(x。))為函數(shù)y=/(x)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函

數(shù)/。)=以3+版2+^+火〃。0)都有“拐點(diǎn)，，，且該“拐點(diǎn)”也是函數(shù)y=f(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)中心.若函數(shù)

12340444045

/(X)=X3-3X2,則/+/+/+,+/)

20232023202320232023

A.-8088B.-8090C.-8092D.-8096

【答案】B

【解析】由r(x)=3f—6口可得