數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練教程(小升初)學(xué)生版

第1講計算〔一〕速算與巧算一速算與巧算速算與巧算整數(shù)計算根本公式平方、立方公式數(shù)列及特殊公式特殊方法分數(shù)計算拆分與裂項幾個常用拆分分數(shù)循環(huán)小數(shù)化分數(shù)二、根底知識〔一〕整數(shù)計算1、平方、立方公式完全平方公式：平方差公式：僅做了解完全立方公式：僅做了解立方和公式：立方差公式：2、數(shù)列及特殊公式等差數(shù)列：通項公式：求項數(shù)公式：求和公式：和=〔首項+末項〕×項數(shù)÷2等比數(shù)列：〔n≤9〕這一類的數(shù)不妨稱之為“重碼數(shù)”，關(guān)鍵于把一個循環(huán)節(jié)的“個位”的“1”作為記數(shù)單位，結(jié)合位值原那么，我們可以得到上述結(jié)果。3、特殊方法換元法：將一些數(shù)或一個式子記為某個字母，如a，b，c……到達化繁為簡。〔二〕分數(shù)計算1、拆分與裂項2、幾個常用拆分分數(shù)……3、循環(huán)小數(shù)化分數(shù)……的大?。俊?1也就是：=1，可是這是為什么呢？鋪墊：==========注意：循環(huán)小數(shù)化分數(shù)，分母中9的個數(shù)與其循環(huán)節(jié)的位數(shù)對應(yīng)，0的個數(shù)與小數(shù)點后不循環(huán)的位數(shù)對應(yīng)。分子是不循環(huán)局部連上第一個循環(huán)節(jié)組成的多位數(shù)與不循環(huán)局部組成的多位數(shù)相減所得到的差。三：經(jīng)典透析【例1】【例2】【例3】【例4】【例5】【例6】【例7】＝【例8】【例9】四、拓展訓(xùn)練=〔－＋…－＋〕×〔1－＋－＋－…＋〕－〔1－＋－＋－…＋－〕×〔－＋…－〕=_______。=________。=________。=________。=________。=________。=________。=________。________。=________。

第2講計算〔二〕比擬大小、估算、定義新運算一：知識地圖：SHAPE二：根底知識〔一〕：比擬大小1、分數(shù)的大小比擬1〕通分：a〕通分母：化成分母相同的分數(shù)比擬，分子小的分數(shù)小；b〕通分子：化成分子相同的分數(shù)比擬，分母小的分數(shù)大。2〕比倒數(shù)：倒數(shù)大的分數(shù)小。3〕與1相減比擬法：a〕真分數(shù)：與1相減，差大的分數(shù)小；b〕假分數(shù)：與1相減，差大的分數(shù)大。4〕經(jīng)典結(jié)論：a〕對于兩個真分數(shù)，如果分子分母相差相同的數(shù)，那么分子分母都大的分數(shù)比擬大；b〕對于兩個假分數(shù)，如果分子和分母相差相同的數(shù)，那么分子分母都小的分數(shù)比擬大。對于分數(shù)的分子分母同時加上或減去相同的數(shù)和原分數(shù)進行比擬：〔，且為非零自然數(shù)時〕〔1〕即“真分數(shù)越加越大，越減越小”〔〕如；〔2〕即“假分數(shù)越加越小，越減越大”。5〕放縮法。6〕化成小數(shù)比擬：小數(shù)比擬大小的關(guān)鍵是小數(shù)點對齊，從高位比起。切記！7〕兩個數(shù)相除進行比擬。如：和，，所以。2、小數(shù)的大小比擬常用方法：將小數(shù)排成一個豎列，并在它們的末尾添上適當?shù)摹?”，使它們都變成小數(shù)位數(shù)相同的小數(shù)，然后比擬?！捕彻浪銌栴}1、常用方法1〕放縮法：為求出某數(shù)的整數(shù)局部，設(shè)法放大或縮小，將結(jié)果確定在兩個接近數(shù)之間，從而估算出結(jié)果。2〕變換結(jié)構(gòu)：將算式變形為便于估算的形式。2、經(jīng)典步驟估算和式整數(shù)局部：a〕令和式結(jié)果等于A；b〕最小的數(shù)×個數(shù)＜A＜最大的數(shù)×個數(shù)；c〕求A。對于較簡單的題目，使用“最小的數(shù)×個數(shù)＜A＜最大的數(shù)×個數(shù)”就可以確定整數(shù)局部。對于較復(fù)雜的題目，這會造成放縮幅度過大。如果出現(xiàn)此情況，設(shè)法比擬原式與〔最小的數(shù)+最大的數(shù)〕×個數(shù)÷2的大小，以及與〔中位數(shù)×個數(shù)〕的大小〔總共有偶數(shù)個數(shù)的時候，“中位數(shù)”視為中間兩個數(shù)的平均數(shù)〕。〔三〕定義新運算這是近年來出現(xiàn)的一種新題型，解題的過程可以歸結(jié)為經(jīng)典三步：閱讀→理解→應(yīng)用。三：經(jīng)典透析【例1】如果，，那么，中較大的數(shù)是_________?！纠?】如果，A與B中哪個數(shù)較大？<提示>這類題目解題方法：1〕2〕3〕通過適當相加組合為A【例3】在上式的方框內(nèi)填入一個整數(shù)，使不等式成立，那么=<提示>這類題目解題方法：1〕2〕3〕通過適當相加組合為A【例4】÷【例5】老師在黑板上寫了7個自然數(shù)，讓小明計算它們的平均數(shù)〔保存小數(shù)點后面兩位〕，小明算出的答數(shù)是14.73，老師說：“除最后一位數(shù)字外其他都對了”，那么正確的得數(shù)應(yīng)是。探究：事實上一個自然數(shù)被7除如果除不盡，那么所得的商的小數(shù)局部一定按照“1、4、2、8、5、7”的順序不斷循環(huán)，只是循環(huán)初始數(shù)字不一定相同。觀察一下除式：【例6】，哪個更大，為什么？【例7】數(shù)【例8】如果，那么?！纠?】兩個用同樣材料做成的球A和B，一個實心，一個空心，A的直徑為7，重量為22，B的直徑為10.6，重量為33.3。問哪一個球是實心球？四、拓展訓(xùn)練在___.，求A的整數(shù)局部.：.有8個數(shù)，如果按從小到大的順序排列時，第四個數(shù)是1〕試比擬。2〕如果A=.有13個自然數(shù)，它們的平均值利用四舍五入精確到小數(shù)點后一位是26.9。那么精確到小數(shù)點后兩位數(shù)是多少？1〕比擬以下小數(shù)，找最大的數(shù)：2〕比擬以下5個數(shù)，排列大?。喝绻胢axmax.假設(shè)有一種計算器，它由A，B，C，D四種裝置組成。將一個數(shù)輸入一種裝置后會自動輸出另一個數(shù)，各裝置的運算程序如下：裝置A：將輸入的數(shù)加上6之后輸出；裝置B：將輸入的數(shù)除以2后輸出；裝置C：將輸入的數(shù)減去5之后輸出；裝置D：將輸入的數(shù)乘以3后輸出；這些裝置可以互相連接，如在裝置A后接裝置B就記做：A→B。例如輸入1后，經(jīng)過A→1〕假設(shè)經(jīng)過A→B→C→D，輸出120。那么輸入的數(shù)是多少？2〕假設(shè)經(jīng)過B→D→A→C，輸出13，那么輸入的數(shù)是多少？有一個算式，左邊方框里都是整數(shù)，右邊答案寫出了四舍五入后的近似值：求左邊方框里的整數(shù)從左至右分別是什么？用表示不超過a的最大整數(shù)。例如=0.3；，記請計算的值.

第3講數(shù)陣圖、幻方一，知識地圖二，根底知識三：幻方我們這里重點介紹三階幻方的主要性質(zhì)，以上圖為例，主要有以下幾個，希望同學(xué)們牢記：1、能組成幻方的數(shù)必須為從小到大排列，首尾對應(yīng)相加均相等且等于中間數(shù)兩倍的九個數(shù)數(shù)列。如1，2，3，6，7，8，11，12，13中1+13=2+12=3+11=6+8=7×2，一般為等差數(shù)列〔不完全是〕。2、幻方的中心數(shù)為數(shù)列中的中間數(shù)，如上一列數(shù)中的7必須位于幻方中心。3、幻方中關(guān)于中心對稱的兩數(shù)均為數(shù)列中首尾相對應(yīng)的配對，且兩數(shù)的平均數(shù)為中心數(shù)。如上列數(shù)中的1，13與4，10的平均數(shù)均為7。4、幻方中所有相等的和稱做幻和，幻方的幻和等于中心數(shù)的三倍。如幻和為21，等于中心數(shù)7的三倍。5、數(shù)列中最大與最小數(shù)的配對不能出現(xiàn)在幻方中的四角，即只能出現(xiàn)在中間位置，依次可以得知第二大與第二小數(shù)的配對只能出現(xiàn)在四角，在構(gòu)造幻方的過程中如果能夠遵循這個規(guī)律可以很快地得出答案。6、幻方中四角的數(shù)等于與它不相鄰的兩個行列中間數(shù)的平均數(shù)。如2等于1，3的平均，6等于1，11的平均，12等于11，13的平均，8等于3，13的平均。7、具有一個共同數(shù)的一行和一列中其他兩個數(shù)的和相等〔同學(xué)們能不能知道為什么？〕如第一行和第一列中有一個共同數(shù)8，那么其他兩個數(shù)1+12=11+2。綜合利用上面7個幻方性質(zhì)就可以得出很多幻方的解題思路了。趣題導(dǎo)引：數(shù)學(xué)興趣小組每周都要進行小組討論。有一次小組討論時，李同學(xué)在黑板上畫了一個“九宮格”，問其他同學(xué)說：“你們能看出這個表格的的數(shù)字規(guī)律嗎？”這時很多同學(xué)都說：“這還不簡單啊，這是幻方，每行每列和兩條對角線的數(shù)字和都相等，我自己也會填?！崩钔瑢W(xué)又畫了一個幻方，但是里面數(shù)字不全，只有三個數(shù)字，說：“那你們能把這個表格補充完整，使它成為一個幻方嗎？”這時剛剛非?；顫姷耐瑢W(xué)都沉默了，同學(xué)們，你們可以補充完整嗎？三、經(jīng)典透析【例1】2008年奧運會快要到了，以下圖是大家都熟悉的奧林匹克的五環(huán)標志，你能把1—9分別填入五個圓相互分割的九個局部，并且使每個圓環(huán)內(nèi)的數(shù)字之和都相等嗎？【例2】小兔子在森林玩耍，遇到一個畫著奇怪圖形的樹樁，上面寫著：把10至20這11個數(shù)分別填入右圖的各圓圈內(nèi)，使每條線段上3個圓內(nèi)所填數(shù)的和都相等。如果中心圓內(nèi)填的數(shù)相等，那么就視為同一種填法，請寫出所有可能的填法，小兔子發(fā)了愁，你能幫它嗎？【例3】右圖中有三個正三角形，將1～9填入它們頂點處的九個○中，要求每個正三角形頂點的三數(shù)之和都相等，并且通過四個○的每條直線上的四數(shù)之和也相等?！纠?】請你將2～10這九個自然數(shù)填入圖中的空格內(nèi)每行、每列、每條對角線上的三數(shù)之和相等?！纠?】在左圖的九個方格中填入不大于12且互不相同的九個自然數(shù)〔其中已填好一個數(shù)〕，使得任一行、任一列及兩條對角線上的三數(shù)之和都等于21?！纠?】如下圖，在3×3方格表內(nèi)已填好了兩個數(shù)19和95，在其余的空格中填上適當?shù)臄?shù)，可以使得每行、每列以及兩條對角線上的三個數(shù)之和都相等?！?〕求x；〔2〕如果中間的空格內(nèi)填入100，試在上一小題的根底上，完成填圖。四、拓展訓(xùn)練將1～6填入右圖的六個○中，使三角形每條邊上的三個數(shù)之和都等于k，請指出k的取值范圍。1～9分別填入小三角形內(nèi)〔每個小三角形內(nèi)只填一個數(shù)〕，要求靠近大三角形三條邊的每五個數(shù)相加和相等。想一想，怎樣填這些數(shù)才能使五個數(shù)的和盡可能大一些？海豚是很聰明的動物，它能將1～9填入以下圖的九個○內(nèi)，并且使得每個圓周和每條直線上的三數(shù)之和都相等，并且7，8，9依次位于小、中、大圓周上，你能做到嗎？如圖是一個三階幻方，那么標有＊的方格中所填的數(shù)是多少？把1，2，3，4，6，9，12，18，36這9個數(shù)分別填入3×3方格表的各方格內(nèi)，使每一行、每一列及兩條對角線上的3個數(shù)的乘積都是216。求位于正中間的方格中所填的數(shù)。7個圓內(nèi)填入7個連續(xù)自然數(shù)，使得每兩個相鄰圓內(nèi)所填數(shù)的和都等于連線上的數(shù)，那么標有★的圓內(nèi)填的數(shù)是多少？把1.2，3.7，6.5，2.9，4.6分別填在右以下圖的5個圓圈內(nèi)，然后在每個方框中填上和它相連的3個圓圈中的數(shù)的平均值，再把3個方框中的數(shù)平均值填在三角形中。請找出一種填法，使三角形中的數(shù)盡可能小。問這個最小的數(shù)是多少？

第4講數(shù)論〔一〕整除、奇偶性、極值問題知識地圖：根底知識：1.整除的性質(zhì)〔1〕性質(zhì)1如果數(shù)a和數(shù)b都能被數(shù)c整除，那么它們的和或差也能被c整除。即如果c︱a，c︱b，那么c︱〔a±b〕?！?〕性質(zhì)2如果數(shù)a能被數(shù)b整除，b又能被數(shù)c整除，那么a也能被c整除。即如果b∣a，c∣b，那么c∣a?！?〕性質(zhì)3如果數(shù)a能被數(shù)b與數(shù)c的積整除，那么a也能被b或c整除。即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a?！?〕性質(zhì)4如果數(shù)a能被數(shù)b整除，也能被數(shù)c整除，且數(shù)b和數(shù)c互質(zhì)，那么a一定能被b與c的乘積整除。即如果b∣a，c∣a，且〔b，c〕=1，那么bc∣a。如：如果3∣12，4∣12，且〔3，4〕=1，那么〔3×4〕∣12?！?〕性質(zhì)5如果數(shù)a能被數(shù)b整除，那么am也能被bm整除。如果b｜a，那么bm｜am〔m為非0整數(shù)〕；〔6〕性質(zhì)6如果數(shù)a能被數(shù)b整除，且數(shù)c能被數(shù)d整除，那么ac也能被bd整除。如果b｜a，且d｜c，那么bd｜ac；2.數(shù)的整除特征①能被2整除的數(shù)的特征：個位數(shù)字是0、2、4、6、8的整數(shù)。②能被5整除的數(shù)的特征：個位是0或5。③能被3〔或9〕整除的數(shù)的特征：各個數(shù)位數(shù)字之和能被3〔或9〕整除。注意：從這種證明過程中，我們可以進一步得到兩個小技巧：〔1〕“棄九法”。即看各位數(shù)字和能否被9整除，只要先把9劃去，或者其它的和是9的幾個數(shù)劃去，剩下的數(shù)字之和是否是9的倍數(shù)，那么可以判定這個數(shù)能否被9整除?！?〕得余數(shù)。通過上面的過程，我們可以看出這個數(shù)被9除的余數(shù)就是在棄9法以后的余數(shù)。類似地，判斷能否被3整除或者不能整除時的余數(shù)是幾，也可以用這種簡便方法。④能被4〔或25〕整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)能被4〔或25〕整除。⑤能被8〔或125〕整除的數(shù)的特征：末三位數(shù)能被8〔或125〕整除。⑥能被11整除的數(shù)的特征：這個整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差〔大減小〕是11的倍數(shù)。例如：判斷123456789這九位數(shù)能否被11整除？例如：判斷13574是否是11的倍數(shù)？⑦能被7〔11或13〕整除的數(shù)的特征：一個整數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差〔以大減小〕能被7〔11或13〕整除。例如：判斷1059282是否是7的倍數(shù)？例如：判斷3546725能否被13整除？希望大家能熟練掌握以上判別方法，并理解我們是如何證明的，考試不會考這些證明，但是這種證明的方法在做一些其他數(shù)論題目的時候是非常有效的。上面介紹了能被2、3、4、5、7、8、9、11、13整除數(shù)的特征。那么，怎樣判斷一個數(shù)能否被6、12、15……等整數(shù)整除呢？顯然6=2×3，12=3×4，15=3×5……這里，等號右邊的兩個因數(shù)之間沒有相同的約數(shù)，于是我們可以把6，12，15……這類數(shù)的整除問題轉(zhuǎn)化為同時能被2和3整除或3和4整除……等簡單的問題來做。整數(shù)可以分成奇數(shù)和偶數(shù)兩大類。能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)，不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。偶數(shù)通常可以用2k〔k為整數(shù)〕表示，奇數(shù)那么可以用2k+1〔k為整數(shù)〕表示。特別注意，因為0能被2整除，所以0是偶數(shù)。奇數(shù)與偶數(shù)有許多的性質(zhì)奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)奇數(shù)±偶數(shù)=奇數(shù)偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)奇數(shù)個奇數(shù)的和或差〔相加減〕為奇數(shù)偶數(shù)個奇數(shù)的和或差〔相加減〕為偶數(shù)加減法中偶數(shù)不改變結(jié)果的奇偶性〔偶數(shù)都可以看作0或沒有操作〕加減法中奇數(shù)改變結(jié)果的奇偶性〔奇數(shù)都可以看作1〕奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)奇數(shù)×奇數(shù)×奇數(shù)×奇數(shù)×…×奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)a+b與a-b同奇或同偶5.最值分析〔離散〕重要結(jié)論：兩數(shù)和一定時，這兩數(shù)差越小〔越接近〕乘積越大例如：把14分拆為兩個自然數(shù)之和，使它們乘積最大。例如：把14分拆為3個自然數(shù)之和，使它們乘積最大?！纠?】在865后面補上三個數(shù)字，組成一個六位數(shù)，使它能分別被3、4、5整除，且使這個數(shù)值盡可能的小?！纠?】各位數(shù)碼是0、1或2，且能被225整除的最小自然數(shù)是多少？【例3】一個六位數(shù)，它能夠被9和11整除。去掉這個六位數(shù)的首、尾兩個數(shù)字，中間的四個數(shù)字是1997，那么這個六位數(shù)是多少？【例4】下面這個199位整數(shù)：被13除，余數(shù)是多少？【例5】用1，9，8，8這四個數(shù)字能排成幾個被11除余8的四位數(shù)？【例6】如右圖，用一塊邊長18厘米的正方形硬紙片，在四個角上截去4個相同的小正方形〔圖中陰影局部〕，然后把四邊形折合起來，做成一個沒有蓋的長方體紙盒。截去的4個相同的小正方形的邊長是多少厘米時，長方體紙盒的容積最大？【例7】在黑板上寫1～2007這2007個自然數(shù)，每次任意擦去兩個數(shù)，然后寫上它們的和或差，一直這樣重復(fù)操作，經(jīng)過假設(shè)干次后黑板上只剩下一個數(shù)，請問結(jié)果是奇數(shù)還是偶數(shù)？為什么？【例8】用1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個數(shù)字〔每個數(shù)字僅用一次〕組成一個四位數(shù)和一個五位數(shù)，使乘積最大：那么□□□□□×□□□□應(yīng)該怎樣填？假設(shè)將1——9這九個數(shù)字，分別填入下面九個□中，使乘積最大：□□□×□□□×□□□四、拓展訓(xùn)練要使能被36整除，而且所得的商最小，那么A、B、C分別是多少？〔應(yīng)分解為互質(zhì)的幾個數(shù)的乘積，被4、9整除的特征是必要前提。〕2、能被11整除，那么，n的最小值為多少？3、求最小的自然數(shù)，它的各位數(shù)字之和等于56，它的末兩位數(shù)是56，它本身還能被56所整除。4、一個十位數(shù)，如果各位上的數(shù)字都不相同，那么就稱為“十全數(shù)”，例如，3785942160就是一個十全數(shù)。現(xiàn)一個十全數(shù)能被1，2，3，…，18整除，并且它的前四位數(shù)是4876，那么這個十全數(shù)是。5、四十一位數(shù)55…55□99…99〔其中5和9各20個〕能被7整除，那么中間方格內(nèi)的數(shù)字是多少？6、把三位數(shù)接連重復(fù)寫下去，共寫1993個，所得的數(shù)恰是91的倍數(shù)，試求=？7、等式1993×□+4×□=6063，其中□都是自然數(shù)，試求這兩個“□”的和。8、能否找到這么一個數(shù)，它加上24，和減去30所得的兩個數(shù)都是完全平方數(shù)？9、桌子上有7個杯子，開口全部向上，現(xiàn)在允許每次同時翻動其中6個，能否經(jīng)過假設(shè)干次翻動使得所有杯子杯口全部向下，假設(shè)可以，請指出最少需要多少次？并給出具體的翻法。假設(shè)不可以，請說明理由；10、某農(nóng)場打算用60米長的籬笆靠墻圍成5個面積大小相等的羊圈〔如下圖〕，問：假設(shè)要求每個羊圈的面積盡可能大，應(yīng)為多少平方米？aaaaaaabbbbb

第5講數(shù)論〔二〕約數(shù)倍數(shù)、質(zhì)數(shù)合數(shù)、分解質(zhì)因數(shù)一、知識地圖二、根底知識〔一〕1．質(zhì)數(shù)與合數(shù)2.質(zhì)因數(shù)與分解質(zhì)因數(shù)把一個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。例如，12=2×2×3。常用的是100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共計25個；其中2是唯一的偶數(shù)，5是唯一的個位為5的質(zhì)數(shù)，這也是多年考試的一個重點。分解質(zhì)因數(shù)往往是解數(shù)論題目的突破口，因為這樣可以幫助我們分析數(shù)字的特征。同學(xué)們必須熟練掌握100以內(nèi)以及其他常用合數(shù)的分解質(zhì)因數(shù)。局部特殊數(shù)的分解：111=3×37；1001=7×11×13；11111=41×271；10001=73×137；1995=3×5×7×19；1998=2×3×3×3×37；2007=3×3×223；2008=2×2×2×251；2007+2008=4015=5×11×73；10101=3×7×13×37。注意：從小學(xué)奧數(shù)要求看，我們對一個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，一般根據(jù)唯一分解定理，把相同質(zhì)因子寫成指數(shù)形式，這對求這個數(shù)的約數(shù)個數(shù)或者所有約數(shù)的和來說，很重要。例如：120=23×3×5，而不寫成：120=2×2×2×3×5。判斷一個數(shù)是否為質(zhì)數(shù)的方法：根據(jù)定義如果能夠找到一個小于的質(zhì)數(shù)〔均為整數(shù)〕，使得能夠整除，那么就不是質(zhì)數(shù)，所以我們只要拿所有小于的質(zhì)數(shù)去除就可以了；但是這樣的計算量很大，對于不太大的，我們可以先找一個大于且接近的平方數(shù)，再列出所有小于的質(zhì)數(shù)，用這些質(zhì)數(shù)去除，如沒有能夠除盡的那么就為質(zhì)數(shù)。例如，149很接近169=13×13，根據(jù)整除的性質(zhì)149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是質(zhì)數(shù)?！捕彻s數(shù)和最大公約數(shù)2.最大公約數(shù)的性質(zhì)：〔1〕兩個自然數(shù)分別除以它們的最大公約數(shù)，所得的商互質(zhì)。即假設(shè)a＝a1×〔a，b〕，b＝b1×〔a，b〕，那么〔a1，b1〕＝1〔2〕兩個數(shù)的最大公約和最小公倍的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。[a，b]×〔a，b〕＝ab還有如下推廣：幾個數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。幾個數(shù)都乘以一個自然數(shù)n，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個數(shù)的最大公約數(shù)乘以n。3.求最大公約數(shù)的方法：〔1〕分解質(zhì)因數(shù)法：〔2〕短除法：〔3〕輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)。 注意：什么時候下，適宜用輾轉(zhuǎn)相除法呢？要去求最大公約數(shù)的兩個數(shù)比擬大，或者兩個數(shù)中含有大質(zhì)數(shù)，我們很難通過分解質(zhì)因數(shù)或者短除法解決的時候，輾轉(zhuǎn)相除法就可以大展身手！例如：求600和1515的最大公約數(shù)。4.求一組分數(shù)的最大公約數(shù)：先將各個分數(shù)化為假分數(shù)；求出各個分數(shù)的分母的最小公倍數(shù)a；求出各個分數(shù)的分子的最大公約數(shù)b；即為所求。例如：5.求一個數(shù)所有的約數(shù)的個數(shù)和約數(shù)和：用分解質(zhì)因數(shù)形式表示：N=a1p1×a2p2×a3p3×a4p4×……×anpn〔a1、a2、…、an為合數(shù)N的質(zhì)因數(shù)〕所求的約數(shù)的個數(shù)A＝〔p1＋1〕×〔p2＋1〕×〔p3＋1〕×…×〔pn＋1〕；例如：504=23×32×7例如：231=3×7×11，252=22×32×76.求一組分數(shù)的最小公倍數(shù)方法步驟：先將各個分數(shù)化為假分數(shù)；求出各個分數(shù)分子的最小公倍數(shù)a；求出各個分數(shù)分母的最大公約數(shù)b；即為所求。例如：三、經(jīng)典透析【例1】把26、33、34、35、63、85、91、143分成假設(shè)干組，要求每組中任意兩個數(shù)的最大公約數(shù)是1，那么至少要分幾組？【例2】自然數(shù)、滿足以下兩個性質(zhì)：⑴、不互素；⑵、的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)之和為35。那么+的最小值是多少？【例3】三個連續(xù)正整數(shù)，中間一個是完全平方數(shù)，將這樣的連續(xù)三個正整數(shù)的乘積稱為“美妙數(shù)”，問所有的“美妙數(shù)”的最大公約數(shù)是多少？【例4】在一根長木棍上，有三種刻度線，第一種刻度線將木棍分成10等份，第二種刻度線把木棍分成12等份，第三種刻度線把木棍分成15等份，如果沿每條刻度線把木棍鋸斷，木棍總共被鋸成多少段？【例5】從一張長2002毫米，寬847毫米的長方形紙片上，剪下一個邊長盡可能大的正方形，如果剩下的局部不是正方形，那么在剩下的紙片上再剪下一個邊長盡可能大的正方形。按照上述過程不斷重復(fù)，最后剪得的正方形的邊長是毫米?！纠?】一個蘋果重千克，一個梨重千克，且蘋果和梨的總重量相同，求最少有幾個蘋果和幾個梨？【例7】一個數(shù)的20倍減1能被153整除，這樣的自然數(shù)中最小的是多少？(祖沖之杯小學(xué)數(shù)學(xué)邀請賽)【例8】一個數(shù)加上10，減去10都是一個平方數(shù)，求這個數(shù)?！纠?】3個質(zhì)數(shù)的平方和是39630，那它們的和是多少？四、拓展訓(xùn)練1、〔〕，要使這個乘積的最后四位數(shù)字都是0，括號里最小應(yīng)填什么數(shù)？2、4200有多少個約數(shù)？這些約數(shù)的和是多少？3、23個不同的整數(shù)的和是4845，問：這23個數(shù)的最大公約數(shù)可能值到達的最大的值是多少？4、10個非零自然數(shù)的和是1001，那么它們的最大公約數(shù)的最大值是多少？5、有甲、乙、丙3人，甲每分鐘行走120米，乙每分鐘行走100米，丙每分鐘行走70米。如果3個人同時同向，從同地出發(fā)，沿周長是300米的圓形跑道行走，那么多少分鐘之后3人又可以相聚？6、現(xiàn)在有4個自然數(shù)，他們的和是1111。如果要求這四個數(shù)的公約數(shù)盡可能大，那么這4個數(shù)的公約數(shù)最大可能是7、2007+2008×444444的個位數(shù)為多少？8、一個正整數(shù)，加上100后的結(jié)果是一個完全平方數(shù)，加上168后的結(jié)果也是一個完全平方數(shù)，那么這個正整數(shù)是多少？

第7講幾何〔一〕平面圖形預(yù)備正方形格點問題在一張紙上，先畫出一些水平直線和一些豎直直線，并使任意兩條相鄰的平行線的距離都相等(通常規(guī)定是1個單位)，這樣在紙上就形成了一個方格網(wǎng)，其中的每個交點就叫做一個格點．在方格網(wǎng)中，以格點為頂點畫出的多邊形叫做格點多邊形.畢克定理畢克定理假設(shè)一個格點多邊形內(nèi)部有N個格點，它的邊界上有L個格點，那么它的面積為．如圖，計算各個格點多邊形的面積．右圖是一個方格網(wǎng)，計算陰影局部的面積．分別計算圖中兩個格點多邊形的面積．【穩(wěn)固】求以下各個格點多邊形的面積．【穩(wěn)固】我們開始提到的“鄉(xiāng)村小屋”的面積是多少？右圖是一個面積單位的圖形．求矩形內(nèi)的箭形的面積．【穩(wěn)固】如圖，每一個小方格的面積都是1平方厘米，那么用粗線圍成的圖形的面積是多少平方厘米？(第六屆“華杯賽”試題)圖中正六邊形ABCDEF的面積是54，AP=2PF，CQ=2BQ，求陰影四邊形CEPQ的面積．模型一三角形等高模型在實際問題的研究中，我們還會常常用到以下結(jié)論：①等底等高的兩個三角形面積相等；②兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比；③夾在一組平行線之間的等積變形，如右上圖；反之，如果，那么可知直線平行于．④等底等高的兩個平行四邊形面積相等(長方形正方形可以看作特殊平行四邊形)；⑤三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；⑥兩個平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比．例：如圖，BD長12厘米，DC長4厘米，B、C和D在同一條直線上．⑴求三角形ABC的面積是三角形ABD面積的多少倍？⑵求三角形ABD的面積是三角形ADC面積的多少倍？如右圖，和都是矩形，長厘米，長厘米，那么圖中陰影局部的面積是平方厘米．【穩(wěn)固】如下圖，平行四邊形的面積是50平方厘米，那么陰影局部的面積是平方厘米．【穩(wěn)固】如以下圖，長方形和長方形拼成了長方形，長方形的長是20，寬是12，那么它內(nèi)部陰影局部的面積是．如圖，長方形的面積是平方厘米，點、、分別是長方形邊上的中點，為邊上的任意一點，求陰影局部的面積．【穩(wěn)固】圖中的、、分別是正方形三條邊的三等分點，如果正方形的邊長是，那么陰影局部的面積是．長方形的面積為36，、、為各邊中點，為邊上任意一點，問陰影局部面積是多少？如右圖，E在AD上，AD垂直BC，厘米，厘米．求三角形ABC的面積是三角形EBC面積的幾倍？【穩(wěn)固】如圖，在ABC中，D是BC中點，E是AD中點，連結(jié)BE、CE，那么與ABE等積的三角形一共有哪幾個三角形？【穩(wěn)固】如圖，在梯形ABCD中，共有八個三角形，其中面積相等的三角形共有哪幾對？如圖，三角形的面積為1，其中，，三角形的面積是多少？如右圖，，，陰影局部面積為5平方厘米，的面積是平方厘米．【穩(wěn)固】如圖，在長方形中，是的中點，是的中點，如果厘米，厘米，求三角形的面積．【穩(wěn)固】如圖，三角形ABC的面積是24，D、E和F分別是BC、AC和AD的中點．求三角形DEF的面積．【穩(wěn)固】如圖，在三角形ABC中，厘米，高是6厘米，E、F分別為AB和AC的中點，那么三角形EBF的面積是多少平方厘米？【穩(wěn)固】如圖，長方形的面積是，是邊的中點，在邊上，且.那么，陰影局部的面積是多少？一個長方形分成4個不同的三角形，綠色三角形面積占長方形面積的，黃色三角形面積是．問：長方形的面積是多少平方厘米？如右圖，過平行四邊形內(nèi)的一點作邊的平行線、，假設(shè)的面積為8平方分米，求平行四邊形的面積比平行四邊形的面積大多少平方分米？如右圖，正方形的面積是，正三角形的面積是，求陰影的面積．【穩(wěn)固】如右圖，正方形的面積是，正三角形的面積是，求陰影的面積．在長方形內(nèi)部有一點，形成等腰的面積為16，等腰的面積占長方形面積的，那么陰影的面積是多少？圖中兩個正方形的邊長分別是6厘米和4厘米，那么圖中陰影局部三角形的面積是多少平方厘米．如圖，有三個正方形的頂點、、恰好在同一條直線上，其中正方形的邊長為10厘米，求陰影局部的面積．【穩(wěn)固】右圖是由大、小兩個正方形組成的，小正方形的邊長是厘米，求三角形的面積．【穩(wěn)固】正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD邊長為10厘米，那么圖中陰影面積為多少平方厘米？如圖，長方形的面積是2平方厘米，，是的中點．陰影局部的面積是多少平方厘米？如圖，如果長方形的面積是平方厘米，那么四邊形的面積是多少平方厘米？如圖，陰影局部四邊形的外接圖形是邊長為的正方形，那么陰影局部四邊形的面積是．【穩(wěn)固】正方形的邊長為10，，，那么．模型二鳥頭模型兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫做共角三角形．共角三角形的面積比等于對應(yīng)角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比．如圖在中，分別是上的點如圖=1\*GB2⑴(或在的延長線上，在上)，那么圖=1\*GB2⑴圖=2\*GB2⑵如圖在中，分別是上的點，且，，平方厘米，求的面積．【穩(wěn)固】如圖，三角形ABC被分成了甲(陰影局部)、乙兩局部，，，，乙局部面積是甲局部面積的幾倍？在中，在的延長線上，在上，且，，平方厘米，求的面積．面積為平方厘米，，求的面積．如圖，三角形面積為，延長至，使；延長至，使；延長至，使，求三角形的面積．如圖，平行四邊形，，，，，平行四邊形的面積是，求平行四邊形與四邊形的面積比．如圖，將四邊形的四條邊、、、分別延長兩倍至點、、、，假設(shè)四邊形的面積為5，那么四邊形的面積是．如圖，，，，，．求．如圖，在平行四邊形ABCD中，EF平行AC，連結(jié)BE、AE、CF、BF那么與BEC等積的三角形一共有哪幾個三角形？如圖，三角形ABC的面積是24，D、E和F分別是BC、AC和AD的中點．求三角形DEF的面積．如圖，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三角形的面積等于1，那么三角形的面積是多少？如圖，在中，延長至，使，延長至，使，是的中點，假設(shè)的面積是，那么的面積是多少？

模型三任意四邊形模型---蝴蝶定理任意四邊形中的比例關(guān)系(“蝴蝶定理”)：①或者②蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)那么四邊形的面積問題的一個途徑．通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)那么四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系．如圖，某公園的外輪廓是四邊形ABCD，被對角線AC、BD分成四個局部，△AOB面積為1平方千米，△BOC面積為2平方千米，△COD的面積為3平方千米，公園由陸地面積是6．92平方千米和人工湖組成，求人工湖的面積是多少平方千米？【穩(wěn)固】如圖，四邊形被兩條對角線分成4個三角形，其中三個三角形的面積，求：⑴三角形的面積；⑵？四邊形的對角線與交于點(如下圖)．如果三角形的面積等于三角形的面積的，且，，那么的長度是的長度的_________倍．如圖，平行四邊形的對角線交于點，、、、的面積依次是2、4、4和6．求：⑴求的面積；⑵求的面積．圖中的四邊形土地的總面積是52公頃，兩條對角線把它分成了4個小三角形，其中2個小三角形的面積分別是6公頃和7公頃．那么最大的一個三角形的面積是多少公頃？如圖相鄰兩個格點間的距離是1，那么圖中陰影三角形的面積為．【穩(wěn)固】如圖，每個小方格的邊長都是1，求三角形的面積．如圖，邊長為1的正方形中，，，求三角形的面積．如圖，長方形中，，，三角形的面積為平方厘米，求長方形的面積．如圖，正方形的邊長為10厘米，為中點，為中點，為中點，求三角形的面積．如圖，在中，、分別在邊、上，與相交于,假設(shè)、和的面積分別是3、2、1，那么的面積是．

梯形模型的應(yīng)用梯形中比例關(guān)系(“梯形蝴蝶定理”)：①②；③的對應(yīng)份數(shù)為．【穩(wěn)固】如以下圖，梯形的平行于，對角線，交于，與的面積分別為平方厘米與平方厘米，那么梯形的面積是________平方厘米．梯形的對角線與交于點，梯形上底為2，且三角形的面積等于三角形面積的，求三角形與三角形的面積之比．如以下圖，四邊形中，對角線和交于點，，并且，那么的長是多少？梯形的下底是上底的倍，三角形的面積是，問三角形的面積是多少？【穩(wěn)固】如圖，梯形中，、的面積分別為和，求梯形的面積．如以下圖，一個長方形被一些直線分成了假設(shè)干個小塊，三角形的面積是，三角形的面積是，求四邊形的面積．【穩(wěn)固】如圖，長方形中，假設(shè)三角形1的面積與三角形3的面積比為4比5，四邊形2的面積為36，那么三角形1的面積為________．如圖，正方形面積為平方厘米，是邊上的中點．求圖中陰影局部的面積．【穩(wěn)固】在以下圖的正方形中，是邊的中點，與相交于點，三角形的面積為1平方厘米，那么正方形面積是平方厘米．如圖面積為平方厘米的正方形中，是邊上的三等分點，求陰影局部的面積．如圖，在長方形中，厘米，厘米，，求陰影局部的面積．是平行四邊形，，三角形的面積為6平方厘米．那么陰影局部的面積是平方厘米．【穩(wěn)固】右圖中是梯形，是平行四邊形，三角形面積如下圖(單位：平方厘米)，陰影局部的面積是平方厘米．【穩(wěn)固】右圖中是梯形，是平行四邊形，三角形面積如下圖(單位：平方厘米)，陰影局部的面積是平方厘米．如下圖，、將長方形分成4塊，的面積是5平方厘米，的面積是10平方厘米．問：四邊形的面積是多少平方厘米？【穩(wěn)固】如下圖，、將長方形分成4塊，的面積是4平方厘米，的面積是6平方厘米．問：四邊形的面積是多少平方厘米？【穩(wěn)固】如圖，長方形中，陰影局部是直角三角形且面積為，的長是，的長是.那么四邊形的面積是多少？如圖，長方形被、分成四塊，其中3塊的面積分別為2、5、8平方厘米，那么余下的四邊形的面積為___________平方厘米．(98迎春杯初賽)如圖，長方形中，是直角三角形且面積為54，的長是16，的長是9．那么四邊形的面積是．模型四三角形相似模型(一)金字塔模型(二)沙漏模型；②．所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形(只要其形狀不改變，不管大小怎樣改變它們都相似)，與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如下：⑴相似三角形的一切對應(yīng)線段的長度成比例，并且這個比例等于它們的相似比；⑵相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；⑶連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線．三角形中位線定理：三角形的中位線長等于它所對應(yīng)的底邊長的一半．如圖，在平行四邊形中，，，，那么的長度是多少？如圖，測量小玻璃管口徑的量具，的長為厘米，被分為等份．如果小玻璃管口正好對著量具上等份處(平行)，那么小玻璃管口徑是多大？如圖，平行，假設(shè)，那么________．如圖，中，，，互相平行，，那么．【穩(wěn)固】如圖，平行，且，，，求的長．【穩(wěn)固】如圖，中，，，，，互相平行，，那么．中，平行，假設(shè)，且比大，求．如圖：平行，，，求的長度【穩(wěn)固】如圖，平行，，那么________．如圖，中，，，與平行，的面積是1平方厘米．那么的面積是平方厘米．在圖中的正方形中，，，分別是所在邊的中點，的面積是面積的幾倍？如圖，線段與垂直，，，那么圖中陰影局部面積是多少？如圖，四邊形和都是平行四邊形，四邊形的面積是，，那么四邊形的面積________．三角形的面積為，，是的中點，且∥，交于，求陰影局部的面積．正方形，過的直線分別交、的延長線于點、，且，，求正方形的邊長．如圖，三角形是一塊銳角三角形余料，邊毫米，高毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在上，其余兩個頂點分別在、上，這個正方形零件的邊長是多少？【穩(wěn)固】如圖，在中，有長方形，、在上，、分別在、上，是邊的高，交于，，厘米，厘米，求長方形的長和寬．圖中是邊長為的正方形，從到正方形頂點、連成一個三角形，這個三角形在上截得的長度為，那么三角形的面積是多少？如圖，將一個邊長為的正方形兩邊長分別延長和，割出圖中的陰影局部，求陰影局部的面積是多少？圖中的大小正方形的邊長均為整數(shù)(厘米)，它們的面積之和等于52平方厘米，那么陰影局部的面積是．如圖，三角形的面積是8平方厘米，長方形的長是6厘米，寬是4厘米，是的中點，那么三角形的面積是平方厘米．如圖，長方形中，為的中點，與、分別交于、，垂直于，交于，，，求．右圖中正方形的面積為1，、分別為、的中點，．求陰影局部的面積．模型五燕尾定理在三角形中，，，相交于同一點，那么．上述定理給出了一個新的轉(zhuǎn)化面積比與線段比的手段，因為和的形狀很象燕子的尾巴，所以這個定理被稱為燕尾定理．通過一道例題證明一下燕尾定理：如右圖，是上任意一點，請你說明：如圖，三角形的面積是，是的中點，點在上，且，與交于點．那么四邊形的面積等于．【穩(wěn)固】如圖，，，三角形的面積是，求陰影局部面積.【穩(wěn)固】如圖，三角形的面積是，在上，點在上，且,，與交于點．那么四邊形的面積．【穩(wěn)固】如圖，，，與相交于點,那么被分成的局部面積各占面積的幾分之幾？【穩(wěn)固】如下圖，在中，，，與相交于點，假設(shè)的面積為，那么的面積等于．【穩(wěn)固】如圖，三角形的面積是，，，與相交于點，請寫出這局部的面積各是多少?【穩(wěn)固】如圖，在上，在上，且,，與交于點．四邊形的面積等于，那么三角形的面積．【穩(wěn)固】三角形中，是直角，，，，，那么三角形(陰影局部)的面積為多少？【穩(wěn)固】如圖，長方形的面積是平方厘米，，是的中點．陰影局部的面積是多少平方厘米?如下圖，在四邊形中，，，四邊形的面積是，那么平行四邊形的面積為________．

是邊長為厘米的正方形，、分別是、邊的中點，與交于，那么四邊形的面積是_________平方厘米．如下圖，在中，，是的中點，那么．【穩(wěn)固】在中，，，求？第8講幾何〔二〕曲線圖形知識地圖根底知識小學(xué)數(shù)學(xué)當中，我們學(xué)習(xí)了一些簡單的幾何圖形，充分掌握這些圖形的性質(zhì)特點及周長和面積的計算方法是我們解決奧數(shù)平面幾何問題的重要前提?！纠?】〔☆☆☆〕圖是由正方形和半圓形組成的圖形。其中P點為半圓周的中點，Q點為正方形一邊的中點。正方形的邊長為10，那么陰影局部面積是多少？〔π取3.14。〕【例2】〔☆☆☆〕如圖，ABCG是4×7的長方形，DEFG是2×10的長方形，那么，三角形BCM的面積與三角形DEM的面積之差是多少？【例3】〔☆☆☆〕求右圖中陰影局部的面積?！踩?〕【例4】〔☆☆☆〕如圖，三角形GHI是邊長為26厘米的正三角形，圓O的半徑為15厘米，∠AOB=∠COD=∠EOF=90°。求陰影局部的面積。審題要點：題中每一條陰影局部面積可以看做是兩個大小弓形的面積之差?！纠?】〔☆☆☆〕如圖，ABCD是一個長為4，寬為3。對角線長為5的正方形，它繞C點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90，分別求出四邊掃過圖形的面積?！踩?〕審題要點：要求邊掃過的面積，只需分別看一邊旋轉(zhuǎn)所得圖形。分析：1、容易發(fā)現(xiàn)，DC邊和BC邊旋轉(zhuǎn)后掃過的圖形都是以線段長度為半徑的圓的，如右圖：2、研究AB邊的情況。在整個AB邊上，距離C點最近的點是B點，最遠的點是A點，因此整條線段所掃過局部應(yīng)該介于這兩個點所掃過弧線之間，見右圖中陰影局部：3、研究AD邊掃過的圖形。由于在整條線段上距離C點最遠的點是A，最近的點是D，所以我們可以畫出AD邊掃過的圖形，如以下圖陰影局部所示：【例6】〔☆☆☆〕求圓中陰影局部與大圓的面積之比和周長之比。【例7】如圖，半圓半徑=40CM，BM=CN=DP=22，每個陰影局部的弧長為半圓弧長的，求陰影局部面積？〔=3〕【例8】如圖，哨所門前的兩個正三角形哨臺拴了兩條狼狗，拴狼狗的鐵鏈子長為10米，每個哨臺的面積為現(xiàn)在要綠化哨所所在地〔哨所面積忽略不計，把其看做一點，在其周圍20米范圍內(nèi)鋪上草地〕為了防止狼狗踐踏，那么綠化的實際面積為多大適宜？〔=3〕【例9】如圖，15枚相同的硬幣排成一個長方形，一個同樣大小的硬幣沿著外圈滾動一周，回到起始位置。問：這枚硬幣自身轉(zhuǎn)動了多少圈？四，拓展訓(xùn)練1、如圖，四邊形是平行四邊形，，，，高CH=4cm,、分別以、為半徑，弧、分別以、為半徑，陰影局部面積是多少平方厘米？如圖，在平行四邊形中，三角形、的面積分別是73、100，求三角形的面積。3.，∠1=15°，圓的周長為，平行四邊形的面積為100平方厘米。求陰影局部面積？4.環(huán)圖由內(nèi)徑為4cm，外徑為55.4年華羅庚金杯數(shù)學(xué)邀請賽〕如右圖，一個半徑為1厘米的小圓盤沿著一個半徑為4厘米的大圓盤外側(cè)做無滑動的滾動，當小圓盤的中心圍繞大圓盤中心轉(zhuǎn)動90度后，小圓盤運動過程中掃過的面積是多少平方厘米？〔取3〕6.個邊長分別為4cm的等邊三角形木塊?，F(xiàn)將三角板沿水平線翻滾，如以下圖，那么從B點開始到結(jié)束所經(jīng)過的總長度為多少？7.以下圖所示，直角三角形ABC的斜邊AB長為10厘米，∠ABC=60，此時BC長5厘米。以點B為中心，將△ABC順時針旋轉(zhuǎn)120，點A，C分別到達點E，D的位置。求AC邊掃過的圖形即圖中陰影局部的面積。〔取3〕 8.如圖陰影局部面積是80平方厘米，求環(huán)形面積。9、圖中陰影局部的面積是40平方厘米。求環(huán)形的面積。10如圖，兩圓半徑均為1厘米，且圖中兩塊陰影局部的面積相等。求OO的長度。11圖，由圓和扇形組成。圓內(nèi)有兩條直徑垂直相交于圓心O，圓的直徑和扇形的半徑相等，長度均為2厘米，扇形的圓心角為直角。求圖中陰影局部的面積。12圖中正方形的邊長是10厘米，求陰影局部的面積。第9講幾何〔三〕立體圖形知識地圖根底知識萬丈高樓平地起。我們可以這樣說：把平面圖形從平面拎到空間，讓平面圖形在空間上產(chǎn)生高度就形成了這一講我們要研究的立體圖形。在現(xiàn)階段，我們主要研究的立體圖形有以下幾種：立體圖形外表積體積注：是母線，即從頂點到底面圓上的線段長。三、最短路線和展開圖的形狀和立體圖形的展開圖結(jié)合最為緊密的是圖形側(cè)面的最短路線問題。你需要把握的重要一點是：兩點之間永遠直線線段最短。四、染色問題：由n3塊小正方體構(gòu)成的n×n×n正方體，三面涂有紅色的有8塊，兩面涂有紅色的有12×〔n－2〕塊，一面涂有紅色的有6×〔n－2〕2塊，沒有涂色的有〔n-2〕3塊。例如：右圖是4×5×6正方體，如果將其外表涂成紅色，那么其中一面、二面、三面被涂成紅色的小正方體各有多少塊？三面——頂點二面——棱一面——面 一句話：“角三棱二面唯一?！薄纠?】〔☆☆☆〕一個酒瓶里面深30cm，底面內(nèi)直徑是10cm，瓶里酒深15cm。把酒瓶塞緊后使其瓶口向下倒立這時酒深25cm。酒瓶的容積是多少？【例2】〔☆☆☆☆〕如圖，ABCD是矩形，BC=6cm，AB=10cm陰影局部以CD為軸旋轉(zhuǎn)一周，那么陰影局部掃出的立體的體積是多少立方厘米？審題要點：以CD為軸確定陰影局部旋轉(zhuǎn)后的形狀?！纠?】〔☆☆☆〕左以下圖是一個正方體，四邊形APQC表示用平面截正方體的截面。請在右下方的展開圖中畫出四邊形APQC的四條邊。【例4】將一個棱長為整數(shù)的〔單位：分米〕的長方體6個面都涂上紅色，然后把它全部切成棱長為1分米的小正方體。在這些小正方體中，6個面都沒有涂紅色的有12塊，僅有兩個面涂紅色的有28塊，僅有一面涂紅色的有____塊。原來長方體的體積是____立方分米。審題要點：芯是此題的關(guān)鍵從芯入手。真題實戰(zhàn)1、一個正方形紙盒中恰好能放入一個體積為628立方厘米的圓柱，紙盒的容積有多大？〔=3.14〕2、如以下圖，一個正方體形狀的木塊，棱長1米，沿水平方向?qū)⑺彸?片，每片又鋸成4長條，每條又鋸成5小塊，共得到大大小小的長方體60塊。那么，這60塊長方體外表積的和是多少平方米？3、以下圖是一個棱長為2厘米的正方體，在正方體上外表的正中，向下挖一個棱長為1厘米的正方體小洞，接著在小洞的底面正中向下挖一個棱長為1/2厘米的正方形小洞，第三個正方形小洞的挖法和前兩個相同，棱長為1/4厘米，那么最后得到的立體圖形的外表積是多少平方厘米？4、如以下圖給出了一個立體圖形的正視圖、左視圖和俯視圖，圖中單位為厘米。立體圖形的體積〔〕立方厘米。2〔C〕35.球掉進一個盛有水的圓柱形水桶中。皮球的直徑為15厘米，水桶的底面直徑為60厘米。皮球有4/5的體積浸在水中〔見以下圖〕。問：皮球掉進水中后，水桶中的水面升高了多少厘米？6.一個圓柱體的零件，高10厘米，底面直徑是6厘米，零件的一端有一個圓柱形的圓孔，圓孔的直徑是4厘米，孔深5厘米〔見右圖〕。如果將這個零件接觸空氣的局部涂上防銹漆，那么一共要涂多少平方厘米？7.兩個圓柱體容器，底面積之比為5：4，甲容器水深8厘米，乙容器水深4厘米，再往兩容器中各注入同樣多的水，直到水深相等，這時水深為多少厘米？8.底面周長為9.42厘米的圓柱體，從中間斜著鋸去一段后,形狀如圖，求鋸后的體積。

第10講典型應(yīng)用題〔一〕和差倍、年齡、植樹問題知識地圖根底知識〔一〕和差問題：兩個數(shù)的和及兩個數(shù)的差，求這兩個數(shù)。方法①：〔和－差〕÷2＝較小數(shù)，和-較小數(shù)=較大數(shù)方法②：〔和＋差〕÷2＝較大數(shù)，和-較大數(shù)=較小數(shù)例如：兩個數(shù)的和是15，差是5，求這兩個數(shù)?！捕澈捅秵栴}：兩個數(shù)的和及這兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個數(shù)。方法：和÷〔倍數(shù)＋1〕＝1倍數(shù)〔較小數(shù)〕1倍數(shù)〔較小數(shù)〕×倍數(shù)＝幾倍數(shù)〔較大數(shù)〕例如：兩個數(shù)的和為50，大數(shù)是小數(shù)的4倍，求這兩個數(shù)?！踩巢畋秵栴}：兩個數(shù)的差及兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個數(shù)。方法：差÷〔倍數(shù)－1〕＝1倍數(shù)〔較小數(shù)〕1倍數(shù)〔較小數(shù)〕×倍數(shù)＝幾倍數(shù)〔較大數(shù)〕例如：兩個數(shù)的差為80，大數(shù)是小數(shù)的5倍，求這兩個數(shù)?！菜摹衬挲g問題關(guān)鍵①：年齡差不變例如：今年爸爸比兒子大30歲，明年爸爸比兒子大幾歲？關(guān)鍵②：年齡的倍數(shù)關(guān)系是變化的。例如：今年父親的年齡是兒子年齡的3倍，明年父親的年齡還是兒子年齡的3倍嗎？〔五〕植樹與方陣問題不封閉型〔直線〕植樹問題直線兩端植樹：棵數(shù)=段數(shù)+1=全長÷株距+1；全長=株距×〔棵數(shù)-1〕；株距=全長÷〔棵數(shù)-1〕；例如：學(xué)校附近有一條2000米的公路，在路兩邊每相隔50米種一棵樹，兩端都種，需要多少棵樹？直線一端植樹：全長=株距×棵數(shù)；棵數(shù)=全長÷株距；株距=全長÷棵數(shù)；例如：小熊家門口有一條小路長50米，從門口開始在小路的一旁每隔5米栽一棵樹，問一共栽了多少棵樹？直線兩端都不植樹：棵數(shù)=段數(shù)-1=全長÷株距-1；株距=全長÷〔棵數(shù)+1〕；例如：學(xué)校兩棟教學(xué)樓之間有一排白楊樹，一共有18棵，每兩棵樹之間以及樹與教學(xué)樓的距離都是3米，請問這兩棟教學(xué)樓之間的距離是多少米？封閉型〔圓、三角形、多邊形等〕植樹問題棵數(shù)＝總距離÷棵距；總距離＝棵數(shù)×棵距；棵距＝總距離÷棵數(shù)。例如：小同家有一個圓形果園，周長是1500米，沿圓周每隔6米栽一棵蘋果樹，每兩棵蘋果樹之間栽一棵桃樹，問：果園周圍共栽種果樹多少棵？方陣問題在方陣問題中，橫的排叫做行，豎的排叫做列，如果行數(shù)和列數(shù)都相等，那么正好排成一個正方形，就是所謂的“方陣”。例如：某校五年級學(xué)生排成一個方陣，最外一層的人數(shù)為60人。問方陣外層每邊有多少人？這個方陣共有五年級學(xué)生多少人？經(jīng)典透析〔☆☆☆〕一個小數(shù)的小數(shù)點向右移一位與向左移一位所得兩數(shù)的和624.18，那么原來的小數(shù)是多少？〔☆☆☆〕某校原來參加室外活動的人數(shù)比室內(nèi)的人數(shù)多480人，現(xiàn)在把室內(nèi)活動的50人改為室外活動，這樣室外活動的人數(shù)正好是室內(nèi)人數(shù)的5倍，參加室內(nèi)，室外活動的一共有多少人？〔☆☆☆〕小新用20元錢買了5支圓珠筆和12本練習(xí)本，剩下的錢假設(shè)買一支圓珠筆少4角；假設(shè)買一本練習(xí)本還少6角，問一支圓珠筆的價錢是?！病睢睢睢乘膫€人年齡之和是87歲，最小的一個12歲，他與最大的人年齡之和比另外兩個人年齡之和大7歲，那么這四個人中年齡最大的一個年齡是多少？甲對乙說：“我在你這么大歲數(shù)的時候，你的歲數(shù)是我今年歲數(shù)的一半?！币覍渍f：“我到你這么大歲數(shù)的時候，你的歲數(shù)是我今年歲數(shù)的2倍減7?！眴枺杭?、乙二人現(xiàn)在各多少歲？老陳有幾個兒子，老陳的年齡是兒子們年齡和的4.5倍，而1年前，老陳的年齡是他的幾個兒子年齡和的7倍，4年后，老陳的年齡就只有他幾個兒子的年齡和的2倍，那么老陳有幾個兒子？學(xué)校內(nèi)一條小路的一側(cè)植樹，每隔5米種一棵，共種了21棵，這條路有多長？后來小路又加長了30米，仍然每隔5米種一棵樹，一共補種了多少棵？把50枚黑棋子排列在正五邊形的五條邊上，每條邊上的黑棋子個數(shù)相等，且每個角上有一枚。然后在所有相鄰的兩枚黑棋子間放兩枚白棋子。問：每條邊上白棋子有多少枚？一個實心正六邊形陣，每條邊有16人，那么一共有人；最外面一層有人；從外向內(nèi)數(shù)第2層每條邊有人，共人；最外面三層有人；每條邊增加1人，這一層增加人；原正六邊形方陣再增加一層能增加人；拓展訓(xùn)練姐姐做自然科學(xué)練習(xí)，比妹妹做算術(shù)練習(xí)多用48分鐘，比妹妹做英語練習(xí)多用42分鐘，妹妹做算術(shù)，英語兩門練習(xí)共用了44分鐘，那么妹妹做英語練習(xí)用了多少分鐘？在一次期中考試中，小強的英語成績和數(shù)學(xué)成績之和是194分，他的數(shù)學(xué)成績和語文成績之和是186分，而語文成績和英語成績之和是180分，那么，小強的英語、數(shù)學(xué)和語文成績到底各是多少？某學(xué)校方案栽種楊樹、柳樹和槐樹共200棵，當種了一半的楊樹和10棵柳樹之后，又臨時運來了6棵槐樹，這時剩下的三種樹的棵樹恰好相等，問原方案要栽種這三種樹各多少棵？今年爺爺78歲，三個孫子的年齡分別是27歲，23歲，16歲，經(jīng)過幾年后爺爺?shù)哪挲g等于三個孫子年齡的和？甲對乙說：“當我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲數(shù)的時候，你才5歲。”乙對甲說：“當我的歲數(shù)是你現(xiàn)在的歲數(shù)的時候，你將50歲?！眴枺杭住⒁叶爽F(xiàn)在各多少歲？全家4口人，父親比母親大3歲，姐姐比弟弟大2歲。四年前他們?nèi)业哪挲g和為58歲，而現(xiàn)在是73歲。問：現(xiàn)在各人的年齡是多少？“重陽節(jié)”那天，延齡茶社來了25位老人品茶，他們的年齡恰好是25個連續(xù)自然數(shù)，兩年以后，這25位老人的年齡之和正好是2000，其中年齡最大的老人今年多少歲？8.大頭兒子和小頭爸爸兩個人比賽跑樓梯，他們從一層開始比賽，大頭兒子到四層時，小頭爸爸到三層，如此算來，大頭兒子到16層時，小頭爸爸跑到了幾層？9.如圖是某個小區(qū)的街道圖，街道將整個小區(qū)劃分為相同的4塊正方形，每個正方形的邊長為110米，街道的寬為10米，現(xiàn)在要在所有的街道兩邊每隔10米栽種一棵樹，每個拐角都栽樹，求這個小區(qū)一共要栽樹多少棵？10.正方形操場四周栽了一圈樹，四個角上都栽了樹，每兩棵樹相隔5米。甲、乙從一個角上同時出發(fā)，向不同的方向走去〔如右圖〕，甲的速度是乙的2倍，甲在拐了兩個彎之后的第5棵樹與乙相遇〔把角上的樹看作第一棵樹〕。操場四周栽了多少棵樹？11.北京市國慶節(jié)參加游行的總?cè)藬?shù)有60000人，這些人平均分為25隊，每隊又以12人為一排列隊前進。排與排之間的距離為1米，隊與隊之間的距離是4米，游行隊伍全長多少米？

第11講典型應(yīng)用題〔二〕雞兔同籠、盈虧、平均數(shù)問題知識地圖根底知識公元855年唐朝，我國舉行最早的數(shù)學(xué)選拔賽，題目如下：一批強盜在樹林里商議怎樣瓜分搶來的布匹。假設(shè)每人分6匹，多5匹；每人分7匹，少8匹，問幾個強盜？幾匹布？雞兔同籠問題例如：雞兔同籠，頭共46，足共128，雞兔各幾只？盈虧問題盈虧問題，顧名思義有剩余就叫盈，不夠分就叫虧，不同的方法分配物品時，經(jīng)常會產(chǎn)生這種盈虧現(xiàn)象。盈虧問題的關(guān)鍵是抓住兩次分配時盈虧總量的變化，我們把盈虧問題分為三類：“一盈一虧”、“兩盈”、“兩虧”。1.“盈虧”型例如：學(xué)而思學(xué)校提高班的同學(xué)分糖果，如果每人分4粒就多9粒，如果每人分5粒那么少6粒，問：有多少位同學(xué)分多少粒糖果？2.“盈盈”型明明過生日，同學(xué)們給他買蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4元。那么有多少個同學(xué)？蛋糕的價錢是多少？3.“虧虧”型學(xué)而思學(xué)校新近一批書，將它們分給幾位老師，如果每人發(fā)10本，還差9本，每人發(fā)9本，還差2本，請問有多少老師？多少本書？平均數(shù)問題平均數(shù)=總數(shù)÷參與平均的事物個數(shù)平均數(shù)增量=總數(shù)增量÷參與平均的事物個數(shù)平均數(shù)減量=總數(shù)減量÷參與平均的事物個數(shù)平均數(shù)問題最根本的原理是“移多補少”幾個數(shù)的平均數(shù)一定比其中最大的一個小且比其中最小的一個大經(jīng)典透析從前有座山，山里有個廟，廟里有許多小和尚，兩個小和尚用一根扁擔一個桶抬水，一個小和尚用一根扁擔兩個桶挑水，共用了38根扁擔和58個桶，那么有多少個小和尚抬水？多少個挑水？【例２】某旅游點有兒童票、成人票兩種規(guī)格的門票賣，兒童票的價格為30元，成人票的價格為40元，如果是團體還可以買平均32元一位的團體票，一個由8個家庭組成的旅游團〔每個家庭由兩位大人，或兩個大人、一個小孩組成〕來景點旅游，如果他們買團體票可以比他們各買各的少花120元，問這個旅游團一共有多少人？【例３】蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀。現(xiàn)有蜘蛛、蜻蜓和蟬三種小蟲16只，共有110條腿和14對翅膀，每種小蟲各有幾只？【例４】老師給同學(xué)們分蘋果，每人分10個，就多出8個，每人分11個那么正好分完，那么一共有多少名學(xué)生？多少個蘋果？【例５】皮皮從家到學(xué)校，如果每分鐘走50米，上課就要遲到3分鐘；如果每分鐘60米，就可以比上課時間提前2分鐘到校，那么皮皮家距離學(xué)校多遠？【例６】國慶節(jié)快到了，學(xué)而思學(xué)校的少先隊員去擺花盆。如果每人擺5盆花，還有3盆沒人擺；如果其中2人各擺4盆，其余的人各擺6盆，這些花盆正好擺完。問有多少少先隊員參加擺花盆活動，一共擺多少花盆？【例７】有四個數(shù)，每次去掉一個數(shù)，將其余三個數(shù)求平均數(shù)，這樣算了四次，得下面四個數(shù)：36.4，47.8，46.2，41.6，那么原來四個數(shù)的平均數(shù)是多少？【例８】某次數(shù)學(xué)競賽原定一等獎10人，二等獎20人，現(xiàn)在將一等獎中最后4人調(diào)整為二等獎，這樣得二等獎的學(xué)生的平均分提高了1分，得一等獎的學(xué)生的平均分提高了3分，那么原來一等獎平均分比二等獎平均分多________分。 【例９】設(shè)四個不同的正整數(shù)構(gòu)成的數(shù)組中，最小的數(shù)與其余三數(shù)的平均值之和為17，而最大的數(shù)與其余三數(shù)的平均值之和為29。在滿足上述條件的所有數(shù)組中，其最大數(shù)的最大值是多少？拓展訓(xùn)練雞、兔共籠，雞比兔多26只，足數(shù)共274只，問雞、兔各幾只？100個和尚140個饃，大和尚1人分3個饃，小和尚1人分1個饃。問：大、小和尚各有多少人？有兩次自然測驗，第一次24道題，答對1題得5分，答錯〔包含不答〕1題倒扣1分；第二次15道題，答對1題8分，答錯或不答1題倒扣2分，小明兩次測驗共答對30道題，但第一次測驗得分比第二次測驗得分多10分，問小明兩次測驗各得多少分？4.學(xué)校提高班的同學(xué)去劃船。他們算了一下，如果增加一條船，正好每條船坐6人；如果減少一條船，正好每條船坐9人。問：這個班共有多少同學(xué)？5.學(xué)校給參加秋游的同學(xué)租了幾輛大轎車，假設(shè)每輛車乘28人那么有13名同學(xué)上不了車，假設(shè)每輛車乘32人那么還有3個空座。問：有多少名同學(xué)？多少輛車？6.鋼筆與圓珠筆每支相差1元2角，小明帶的錢買5支鋼筆差1元5角，買8支圓珠筆多6角。問小明帶了多少錢？7一筐水果中有蘋果和梨假設(shè)干個。假設(shè)每次拿出1個蘋果和1個梨，那么拿到?jīng)]有蘋果時，還剩下50個梨；假設(shè)每次拿走1個蘋果和3個梨，那么拿到?jīng)]有梨時，蘋果還剩下50個。那么這筐水果共有個。8.從5開始的一串連續(xù)的自然數(shù)5，6，7，8，…，拿走其中一個數(shù)，余下的數(shù)的平均數(shù)是10.75，那么拿走的數(shù)是_______。9.A、B、C、D、E是五個不同的自然數(shù)，從小到大依次排列，它們的平均數(shù)是23，前四個數(shù)的平均數(shù)是21，后四個數(shù)的平均數(shù)是24，C是偶數(shù)，求D是多少？10.馬小哈同學(xué)使用計算器計算2000個數(shù)的平均數(shù)之后，不小心把所求出的平均數(shù)與原先的2000個數(shù)混在一起。有趣的是，這2001個數(shù)的平均數(shù)恰好是2001。原來這2000個數(shù)的平均數(shù)是多少？

第12講牛吃草問題一、知識地圖：二、根底知識：牧場上長滿牧草，每天牧草都勻速生長。這片牧場可供10頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天。供25頭牛可吃幾天？吃的時間越長，長的草越多，草的總量也就多了。由剛剛的計算我們可以看出，吃20天的草的總量比10天要多，原因就在于此。我們來看看下面這幅圖：我們對于根本的牛吃草問題可以做如下總結(jié)，我們稱之為＂五步法＂：求出兩個總量?？偭康牟睢聲r間差=每天長草量=安排去吃新草的牛數(shù)每天長草量×天數(shù)=總共長出來的草草的總量－總共長出來的草＝原有的草原有的草÷吃原有草的牛＝能吃多少天〔或原有的草÷能吃多少天＝吃原有草的牛〕經(jīng)典透析【例1】有一牧場，養(yǎng)牛27頭，6天把草吃盡，養(yǎng)牛23頭，9天把草吃盡。如果養(yǎng)牛21頭，那么幾天能把草吃盡呢？【例２】由于天氣逐漸變冷，牧場上的草每天以均勻的速度減少。經(jīng)計算，牧場上的草可供20頭牛吃5天，或可供16頭牛吃6天。那么，可供11頭牛吃幾天？【例３】有一個水池，池底有一個翻開的出水口，用5臺抽水機20小時可將水抽完，用8臺抽水機15小時可將水抽完。如果僅靠出水口出水，那么多長時間能把水漏完？【例４】有一牧場，17頭牛30天可將草吃完，19頭牛那么24天可將草吃完?，F(xiàn)有牛假設(shè)干頭，吃6天后賣了4頭，余下的牛再吃2天便將草吃完，問有牛多少頭〔草每日勻速生長〕？【例５】一塊草地，每天生長的速度相同?，F(xiàn)在這片牧草可供16頭牛吃20天，或者供80只羊吃12天。如果一頭牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10頭牛與60只羊一起吃可以吃多少天？【例６】有三塊草地，面積分別是4公頃、8公頃和10公頃，草地上的草一樣厚，而且長得一樣快。第一塊草地可供24頭牛吃6周，第二塊草地可供36頭牛吃12周。問：第三塊草地可供50頭牛吃幾周？【例７】有三塊草地，面積分別為5公頃、15公頃和24公頃。草地上的草一樣厚，而且長得一樣快。第一塊草地可供10頭牛吃30天，第二塊草地可供28頭牛吃45天。問：第三塊草地可供多少頭牛吃80天？【例８】有甲，乙兩塊勻速生長的草地，甲草地的面積是乙草地面積的三倍。30頭牛12天能吃完甲草地上的草，20頭牛4天能吃完乙草地的草。問幾頭牛10天能同時吃完兩塊草地上的草？【例９】一片草地每天長的草一樣多，現(xiàn)有牛、羊、鵝各一只，且羊和鵝吃草的總量正好是牛吃草的總量。如果草地放牧牛和羊，可以吃45天；如果放牧牛和鵝，可吃60天：如果放牧羊和鵝，可吃90天。這片草地放牧牛、羊、鵝，可以供它們吃多少天？拓展訓(xùn)練：1.現(xiàn)欲將一池塘水全部抽干，但同時有水勻速流入池塘。假設(shè)用8臺抽水機10天可以抽干；用6臺抽水機20天能抽干。問：假設(shè)要5天抽干水，需多少臺同樣的抽水機來抽水？2.12頭牛28天可以吃完10公畝牧場上全部牧草，21頭牛63天可以吃完30公畝牧場上全部牧草。多少頭牛126天可以吃完72公畝牧場上全部牧草〔每公畝牧場上原有草量相等，且每公畝牧場上每天生長草量相等〕？3.畫展9點開門，但早就有人排隊等候入場了。從第一個觀眾來到時起，每分鐘來的觀眾人數(shù)一樣多。如果開3個入場口，那么9點9分就不再有人排隊了，如果開5個入場口，那么9點5分就沒有人排隊了。那么第一個觀眾到達的時間是8點幾分？4.甲、乙、丙三個倉庫，各存放著數(shù)量相同的面粉，甲倉庫用一臺皮帶輸送機和12個工人，5小時可將甲倉庫內(nèi)面粉搬完；乙倉庫用一臺皮帶輸送機和28個工人，3小時可將倉庫內(nèi)面粉搬完；丙倉庫現(xiàn)有2臺皮帶輸送機，如果要用2小時把丙倉庫內(nèi)面粉搬完，同時還要多少個工人？〔每個工人每小時工效相同，每臺皮帶輸送機每小時工效也相同，另外皮帶輸送機與工人一起往外搬運面粉〕5.有一桶酒，每天都因桶有裂縫而要漏掉等量的酒，現(xiàn)在這桶酒如果給6人喝，4天可喝完；如果由4人喝，5天可喝完。這桶酒每天漏掉的酒可供幾人喝一天？如果桶沒有裂縫由4個人來喝需要幾天喝完？6.某建筑工地開工前運進一批磚，開工后每天運進相同數(shù)量的磚，如果派15個工人砌磚墻14天可以把磚運完，如果派20個工人，9天可以把磚用完，現(xiàn)在派假設(shè)干名工人砌了6天后，調(diào)走6名工人，其余工人又工作4天才砌完，問原來有多少工人來砌墻？7.一片勻速生長的牧草，如果讓馬和牛去吃，15天將草吃盡；如果讓馬和羊去吃，20天將草吃盡；如果讓牛和羊去吃，30天將草吃盡。牛和羊每天的吃草量的和等于馬每天的吃草量。現(xiàn)在讓馬、牛、羊一起去吃草，幾天可以將這片牧草吃盡？8.東升牧場南面一塊2000平方米的牧場上長滿牧草，牧草每天都在勻速生長，這片牧場可供18頭牛吃16天，或者供27頭牛吃8天。在東升牧場的西側(cè)有一塊6000平方米的牧場，可供多少頭牛吃6天？9.120頭牛28天吃完10公頃牧場上的全部牧草，210頭牛63天吃完30公頃牧場上的全部牧草，如果每公頃牧場上原有的牧草相等，且每公頃每天新生長的草量相同，那么多少頭牛126天可以吃完72公頃牧場上的全部牧草？10.如圖，一塊正方形的草地被分成完全相等的四塊和中間的陰影局部，草在各處都是同樣速度均勻生長。牧民帶著一群牛先在①號草地上吃草，兩天之后把①號草地的草吃光?！苍谶@2天內(nèi)其他草地的草正常生長〕之后他讓一半牛在②號草地吃草，一半牛在③號草地吃草，6天后又將兩個草地的草吃光。然后牧民把的牛放在陰影局部的草地中吃草，另外的牛放在④號草地吃草，結(jié)果發(fā)現(xiàn)它們同時把草場上的草吃完。那么如果一開始就讓這群牛在整塊草地上吃草，吃完這些草需要多少時間？

第13講行程〔一〕相遇追及〔屢次〕、電車問題知識地圖簡單相遇追及勻速直線行程屢次相遇追及〔包括火車過橋〕發(fā)車間隔問題屢次相遇追及環(huán)形線路行程〔包括鐘表問題〕根底知識在歷年“小升初”考試和各類小學(xué)奧數(shù)競賽試題中，“行程問題”都占有很大的比重。同時也是小學(xué)奧數(shù)專題中的難點，“行程問題”經(jīng)常作為一份試卷中的壓軸難題出現(xiàn)，提高解決“行程問題”的能力不僅能幫助在小升初考試和各類數(shù)學(xué)競賽中取得優(yōu)異成績，還能為今后初中階段數(shù)學(xué)、物理學(xué)科的學(xué)習(xí)打下良好的根底。典型的相遇和追及所有行程問題是圍繞“”這一條根本關(guān)系式的展開，比方我們遇到的兩大典型行程題相遇問題和追及問題的本質(zhì)也是這三個量之間的關(guān)系，在這里：；；這兩組關(guān)系式中“路程和”或“路程差”實際上對應(yīng)的是相遇或追及問題中的原始〔初始〕距離，我們可以通過圖示來理解。屢次相遇追及通過圖示介紹直線上的相遇和追及的規(guī)律，這局部內(nèi)容涉及以下幾個方面：求相遇次數(shù)，求相遇地點，由相遇地點求全程舉個例子：假設(shè)A、B兩地相距6000米，甲從A地出發(fā)在AB間往返運動，速度為6千米/小時，乙從B出發(fā)，在AB間往返運動，速度為4千米/小時。我們可以依次求出甲、乙每次到達A點或B點的時間。為了說明甲、乙在AB間相遇的規(guī)律，我們可以用“折線示意圖”來表示。如果甲、乙是從線段兩端出發(fā)，那么相鄰的兩次相遇事件的時間間隔都相等，并且第n次相遇時，他倆行走路程和相當于〔2n-1〕個線段總長。同樣的相鄰兩次的追及事件〔速度快的追上速度慢的〕發(fā)生的時間間隔都相等。第n次追及時，他倆行走路程差相當于〔2n-1〕個線段總長。發(fā)車間隔問題有關(guān)公共汽車與行人的問題，主要涉及到這幾個量：行人速度、汽車速度、前后相鄰汽車間距、汽車發(fā)車時間間隔、相遇〔追及〕事件時間間隔。這些貌似不相關(guān)的數(shù)量之間隱含著很多數(shù)量關(guān)系：經(jīng)典透析甲、乙、丙三人每分鐘分別行60米、50米和40米，甲從B地、乙和丙從A地同時出發(fā)