秘籍12用數(shù)學(xué)方法解決物理問題（原卷版）

秘籍12用數(shù)學(xué)方法解決物理問題1、本專題主要是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決物理問題，考查分析、歸納和推理能力，對(duì)數(shù)學(xué)能力的要求較高。2、本專題選擇題和計(jì)算題都可涉及;選擇題一般考查某一數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用，難度中等;計(jì)算題主要考查應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析、解決物理問題的能力，題目難度較大。題型一利用指數(shù)或數(shù)列研究n次碰撞問題（計(jì)算題）題型二數(shù)學(xué)不等式的應(yīng)用（計(jì)算題）題型三微元法的應(yīng)用（計(jì)算題）1.數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，日常生活中的很多實(shí)際問題都可以利用數(shù)列知識(shí)進(jìn)行求解，物理情境中也有很多問題與數(shù)列有關(guān)．某一復(fù)雜物理過程中如果同一物理情境重復(fù)出現(xiàn)，往往會(huì)涉及數(shù)學(xué)歸納法和數(shù)列知識(shí)的應(yīng)用．高中物理涉及的數(shù)列知識(shí)主要有等差數(shù)列、等比數(shù)列、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用等．解題的基本思路分三步：第一步，逐個(gè)分析開始階段的幾個(gè)物理過程；第二步，利用數(shù)學(xué)歸納法尋找變化物理量的通項(xiàng)公式；第三步，應(yīng)用數(shù)列知識(shí)分析求解．2.對(duì)于兩個(gè)大于零的變量a、b，若其和a＋b為一定值，則當(dāng)a＝b時(shí)，其積ab有極大值；若其積ab為一定值，則當(dāng)a＝b時(shí)，其和a＋b有極小值．3.在電磁感應(yīng)中，如導(dǎo)體切割磁感線運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E＝BLv，感應(yīng)電流I＝eq\f(BLv,R)，受安培力為F＝BIL＝eq\f(B2L2,R)v，因?yàn)槭亲兞栴}，所以可以用微元法．4.三角函數(shù)y＝acosθ＋bsinθ＝eq\r(a2＋b2)(eq\f(a,\r(a2＋b2))cosθ＋eq\f(b,\r(a2＋b2))sinθ)令sinφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，cosφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))則有：y＝eq\r(a2＋b2)(sinφcosθ＋cosφsinθ)＝eq\r(a2＋b2)sin(φ＋θ)所以當(dāng)φ＋θ＝eq\f(π,2)時(shí)，y有最大值，且ymax＝eq\r(a2＋b2).5.二次函數(shù)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a、b、c為常數(shù)且a≠0)，當(dāng)x＝－eq\f(b,2a)時(shí)，y有極值ym(a>0時(shí)，ym為極小值；a<0時(shí)，ym為極大值)．1．（2024?安徽模擬）為激發(fā)學(xué)生參與體育活動(dòng)的興趣，某學(xué)校計(jì)劃修建用于滑板訓(xùn)練的場(chǎng)地。老師和同學(xué)們圍繞物體在起伏地面上的運(yùn)動(dòng)問題，討論并設(shè)計(jì)了如圖所示的路面，其中AB是傾角為53°的斜面，凹圓弧BCD和凸圓弧DEF的半徑均為R，且D、F兩點(diǎn)處于同一高度，B、E兩點(diǎn)處于另一高度，整個(gè)路面無摩擦且各段之間平滑連接。在斜面AB上距離水平面BE高度為h（未知量）的地方放置一個(gè)質(zhì)量為m的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)），讓它由靜止開始運(yùn)動(dòng)。已知重力加速度為g，取sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。（1）當(dāng)h＝0.6R時(shí)，求小球經(jīng)過最低點(diǎn)C時(shí)，路面受到的壓力；（2）若小球一定能沿路面運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)，求h的取值范圍；（3）在某次試驗(yàn)中，小球運(yùn)動(dòng)到BC段的G點(diǎn)時(shí)，重力功率出現(xiàn)了極大值，已知該點(diǎn)路面傾角θ＝37°，求h的值。2．（2023?樂清市校級(jí)模擬）如圖所示為某品牌拼接玩具搭建的場(chǎng)景。AB、BC為粗糙直軌道，摩擦系數(shù)均為0.25，在B點(diǎn)平滑連接，BC＝4cm，CDE是光滑半圓弧軌道，半徑r＝15cm，與直軌道在C點(diǎn)平滑連接，直軌道AB與水平面夾角θ＝37°，一質(zhì)量為0.1kg物塊從直軌道AB某處下滑，恰好能通過圓弧軌道最高點(diǎn)E，不計(jì)空氣阻力，假設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，求：（1）物塊第一次經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)加速度大小；（2）某同學(xué)計(jì)算物塊平拋時(shí)間為0.2s，試分析該同學(xué)計(jì)算結(jié)果是否正確。（物塊平拋后會(huì)與軌道AB碰撞，只考慮碰撞前平拋運(yùn)動(dòng)情況）（3）欲使物塊不脫離軌道，且盡可能使物塊在直軌道上滑行較長(zhǎng)距離，求物塊釋放位置以及最終停下來位置。3．（2023?西湖區(qū)校級(jí)模擬）如圖甲所示是一款名為“反重力”磁性軌道車的玩具，軌道和小車都裝有磁條，軌道造型可以自由調(diào)節(jié)，小車內(nèi)裝有發(fā)條，可儲(chǔ)存一定彈性勢(shì)能。圖乙所示是小明同學(xué)搭建的軌道的簡(jiǎn)化示意圖，它由水平直軌道AB、豎直圓軌道BCD、水平直軌道DM和兩個(gè)四分之一圓軌道MN與NP平滑連接而組成，圓軌道MN的圓心O2與圓軌道NP的圓心O3位于同一高度。已知小車的質(zhì)量m＝50g，直軌道AB長(zhǎng)度L＝0.5m，小車在軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的磁吸引力始終垂直軌道面，在軌道ABCDM段所受的磁力大小恒為其重力的0.5倍，在軌道MNP段所受的磁力大小恒為其重力的2.5倍，小車脫離軌道后磁力影響忽略不計(jì)。現(xiàn)小明將具有彈性勢(shì)能EP＝0.3J的小車由A點(diǎn)靜止釋放，小車恰好能通過豎直圓軌道BCD，并最終從P點(diǎn)水平飛出。假設(shè)小車在軌道AB段運(yùn)動(dòng)時(shí)所受阻力大小等于軌道與小車間彈力的0.2倍，其余軌道均光滑，不計(jì)其他阻力，小車可視為質(zhì)點(diǎn)，小車在到達(dá)B點(diǎn)前發(fā)條的彈性勢(shì)能已經(jīng)完全釋放，重力加速度g取10m/s2。（1）求小車運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的速度大小vB；（2）求小車運(yùn)動(dòng)到圓軌道B點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小FN；（3）同時(shí)調(diào)節(jié)圓軌道MN與NP的半徑r，其他條件不變，求小車落地點(diǎn)與P點(diǎn)的最大水平距離xm。4．（2024?鄭州一模）如圖所示，左、右兩平臺(tái)等高，在兩平臺(tái)中間有一個(gè)順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的水平傳送帶，傳送帶的速度恒為v＝6m/s、長(zhǎng)度L＝27m。t＝0時(shí)刻將一質(zhì)量mA＝1kg的物體A無初速地放在傳送帶左端，t＝6s時(shí)與靜止在傳送帶右端的質(zhì)量mB＝1kg的物體B發(fā)生彈性碰撞，一段時(shí)間后B又與質(zhì)量mC＝3kg的物體C發(fā)生彈性碰撞。已知開始時(shí)C與傳送帶右端相距L1＝3m，距離臺(tái)邊L2，A與傳送帶的動(dòng)摩擦因數(shù)和C與平臺(tái)的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，B與傳送帶和平臺(tái)均無摩擦，所有碰撞時(shí)間均很短，物體均可視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度g取10m/s2。求：（1）動(dòng)摩擦因數(shù)μ。（2）A與B第1次碰撞后至A與B第3次碰撞前的過程中，A與傳送帶間因摩擦產(chǎn)生的熱量。（3）為使B與C多次碰撞后C不會(huì)從臺(tái)邊落下，L2的最小值。5．（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）在安全領(lǐng)域有一種常用的“軟”性材料，其特性是越碰越軟，經(jīng)測(cè)定：當(dāng)在第k次碰撞時(shí)，碰后反彈速度為首次碰前速度大小的2k2+k。如圖a所示，一質(zhì)量為M＝5kg的足夠長(zhǎng)木板放在傾角θ＝37°的光滑斜面上，并在外力作用下保持著靜止?fàn)顟B(tài)。木板A端距斜面底端的距離為132m，由此“軟”性材料做成的擋板固定在斜面底端。t＝0時(shí)刻，撤去作用在木板上的外力，同時(shí)將一質(zhì)量m＝10kg的小物塊從距離木板B端3m處，以沿木板向上的初速度v0＝4m/s滑上木板，并對(duì)小物塊施加沿斜面向上的外力F，F(xiàn)隨時(shí)間的變化如圖b所示，其中F0＝80N，當(dāng)木板第一次與擋板相碰時(shí)，撤去施加在小物塊上的外力。已知木板與物塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.5，小物塊可以看作質(zhì)點(diǎn)，取g（1）0至1s時(shí)間內(nèi)，小物塊和木板的加速度的大小和方向；（2）首次與擋板碰撞中，木板動(dòng)量的改變量；（3）從開始至木板與擋板進(jìn)行第k次碰撞，摩擦產(chǎn)生的Q。（計(jì)算結(jié)果用k表示并化簡(jiǎn)）6．（2023?黃州區(qū)校級(jí)二模）新型電動(dòng)汽車在剎車時(shí)，可以用發(fā)電機(jī)來回收能量。假設(shè)此發(fā)電機(jī)原理可抽象為如圖所示，兩磁極之間的磁場(chǎng)可近似為均勻磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。繞有n匝導(dǎo)線的線圈為長(zhǎng)方形，長(zhǎng)、寬分別為a和b，整個(gè)線圈都處于磁場(chǎng)中。線圈轉(zhuǎn)軸為兩條短邊的三分點(diǎn)連線（如圖所示），線圈外接有阻值為R的純電阻負(fù)載。忽略線圈電阻，假設(shè)電動(dòng)汽車剎車時(shí)受到的地面摩擦力等阻力與發(fā)電機(jī)線圈轉(zhuǎn)動(dòng)導(dǎo)致的阻力相比可以忽略，即剎車時(shí)失去的動(dòng)能全部用來發(fā)電，電動(dòng)汽車質(zhì)量為M。（1）初始時(shí)刻線圈平面與磁場(chǎng)垂直，若線圈轉(zhuǎn)動(dòng)角速度恒為ω，求電路開路時(shí)線圈兩端電壓隨時(shí)間的變化；（2）線圈和電阻回路閉合后，電動(dòng)汽車在水平面上以某初始速度開始剎車。假設(shè)在另一種剎車模式下，剎車開始時(shí)線圈平面剛好與磁場(chǎng)垂直，且發(fā)電機(jī)線圈轉(zhuǎn)動(dòng)第一圈時(shí)角速度為ω1，之后每轉(zhuǎn)動(dòng)一圈角速度的值為前一圈角速度的一半。若在發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)完第N圈，且未轉(zhuǎn)完第N+1圈時(shí)，電動(dòng)汽車剎停。求電動(dòng)汽車初速度的范圍。7．（2023?臺(tái)州模擬）小紅在查閱資料時(shí)看到了“嫦娥五號(hào)”的月球著落裝置設(shè)計(jì)，她也利用所學(xué)知識(shí)設(shè)計(jì)了一個(gè)地球著落回收的電磁緩沖裝置，其工作原理是利用電磁阻尼作用減緩返回艙和地面間的沖擊力。如圖甲所示，在返回艙的底盤安裝有均勻?qū)ΨQ的4臺(tái)電磁緩沖裝置，電磁緩沖結(jié)構(gòu)示意圖如圖乙所示。在緩沖裝置的底板上，沿豎直方向固定著兩個(gè)光滑絕緣導(dǎo)軌PQ、MN。導(dǎo)軌內(nèi)側(cè)，安裝電磁鐵（圖中未畫出），能產(chǎn)生垂直于導(dǎo)軌平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。導(dǎo)軌內(nèi)的緩沖滑塊K由高強(qiáng)度絕緣材料制成，滑塊K上繞有閉合矩形線圈abcd，線圈的總電阻為R，匝數(shù)為n，ab邊長(zhǎng)為L(zhǎng)。假設(shè)整個(gè)返回艙以速度v0與地面碰撞后，滑塊K立即停下，此后在線圈與軌道的磁場(chǎng)作用下使艙體減速，從而實(shí)現(xiàn)緩沖。返回艙質(zhì)量為m，地球表面的重力加速度為g，一切摩擦阻力不計(jì)，緩沖裝置質(zhì)量忽略不計(jì)。（1）求滑塊K的線圈中最大感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大?。唬?）若緩沖裝置向下移動(dòng)距離H后速度為零，則此過程中每個(gè)緩沖線圈abcd中通過的電量和產(chǎn)生的焦耳熱各是多少？（3）若要使緩沖滑塊K和返回艙不相碰，且緩沖時(shí)間為t，則緩沖裝置中的光滑導(dǎo)軌PQ和MN長(zhǎng)度至少多大？8．（2023?和平區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，有形狀為“”的光滑平行導(dǎo)軌MQ和MP水平放置，其中寬軌間距為2d，窄軌間距為d，軌道足夠長(zhǎng)。N1M1右側(cè)均為絕緣材料，其余為金屬導(dǎo)軌，N0N1＝M0M1＝d。MN間接有一電阻阻值為r。金屬棒ab質(zhì)量為m、長(zhǎng)度為2d、電阻阻值為2r，在水平向右、大小為F的恒力作用下，從靜止開始加速，離開寬軌前，速度已達(dá)最大值。金屬棒滑上窄軌瞬間，迅速撤去力F。cdef是質(zhì)量為m、電阻阻值為r、三邊長(zhǎng)度均為d的“U”形金屬框，如圖平放在絕緣導(dǎo)軌上。以f點(diǎn)所在處為坐標(biāo)原點(diǎn)O，沿feP方向建立坐標(biāo)軸Ox。整個(gè)空間存在豎直向上的磁場(chǎng)，cf左側(cè)為磁感應(yīng)強(qiáng)度為B0的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，cf右側(cè)磁感應(yīng)強(qiáng)度分布規(guī)律B＝B0+kx（x≥0），其中k＞0，金屬導(dǎo)軌電阻不計(jì)，ab棒、金屬框與導(dǎo)軌始終接觸良好。（1）求ab棒在寬軌上運(yùn)動(dòng)的最大速度vm及剛滑上窄軌時(shí)ab兩端電壓Uab；（2）求ab棒運(yùn)動(dòng)至與金屬框碰撞前瞬間的速度大小v1；（3）若ab棒與金屬框碰撞后連接在一起，求金屬框靜止時(shí)f端的位置坐標(biāo)x。9．（2023?海淀區(qū)校級(jí)三模）利用超導(dǎo)體可以實(shí)現(xiàn)磁懸浮，如圖甲是超導(dǎo)磁懸浮的示意圖。在水平桌面上有一個(gè)周長(zhǎng)為L(zhǎng)的超導(dǎo)圓環(huán)，將一塊永磁鐵沿圓環(huán)中心軸線從圓環(huán)的正上方緩慢向下移動(dòng)，由于超導(dǎo)圓環(huán)與永磁鐵之間有排斥力。結(jié)果永磁鐵能夠懸浮在超導(dǎo)圓環(huán)的正上方h1高處。（1）從上向下看，試判斷超導(dǎo)圓環(huán)中的電流方向。（2）若此時(shí)超導(dǎo)圓環(huán)中的電流強(qiáng)度為I1。圓環(huán)所處位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B1、磁場(chǎng)方向與水平方向的夾角為θ1（如圖乙），圖丙是圖乙中A點(diǎn)處的電流元及磁場(chǎng)正面視角的二維平面圖。a.請(qǐng)?jiān)趫D丙上畫出該電流元所受安培力的方向。b.圖乙中整個(gè)超導(dǎo)圓環(huán)所受的安培力的合力F的方向。c.圖乙中整個(gè)超導(dǎo)圓環(huán)所受的安培力的合力F的大小。（3）在接下來的幾周時(shí)間內(nèi)，發(fā)現(xiàn)永磁鐵在緩慢下移。經(jīng)過較長(zhǎng)時(shí)間t0，永磁鐵的平衡位置變?yōu)殡x桌面h2高處。有一種觀點(diǎn)認(rèn)為超導(dǎo)體也有很微小的電阻率，只是現(xiàn)在一般儀器無法直接測(cè)得超導(dǎo)圓環(huán)內(nèi)電流的變化造成了永磁鐵下移，若已知永磁鐵在h2高處時(shí)，圓環(huán)所處位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B2，磁場(chǎng)方向與水平方向的夾角為θ2，永磁鐵的質(zhì)量為m，重力加速度為g。a.永磁鐵的平衡位置變?yōu)殡x桌面h2高處時(shí)，求超導(dǎo)圓環(huán)內(nèi)的電流強(qiáng)度I2；b.若超導(dǎo)圓環(huán)中的電流強(qiáng)度的平方隨時(shí)間變化的圖像如圖丁所示，且超導(dǎo)圓環(huán)的橫截面積為S，求該超導(dǎo)圓環(huán)的電阻率ρ。10．（2023?青羊區(qū)校級(jí)模擬）超級(jí)高鐵（Pneumatic。Tubes）是一種以“真空鋼管運(yùn)輸”為理論核心的交通工具，具有超高速、高安全、低能耗、噪聲小、污染小等特點(diǎn)，2017年8月中國(guó)航天科工公司啟動(dòng)時(shí)速1000千米的“高速飛行列車”研發(fā)項(xiàng)目，后續(xù)還將研制最大運(yùn)行速度2000千米和4000千米的超級(jí)高速列車，如圖甲是中國(guó)超級(jí)高鐵模型效果圖；在管道中固定著兩根水平的平行導(dǎo)軌MN和PQ，兩導(dǎo)軌間