新教材高中數(shù)學(xué)人教B版選擇性第一冊訓(xùn)練2-6-1雙曲線的標準方程

第二章平面解析幾何2.6雙曲線及其方程2.6.1雙曲線的標準方程課后篇鞏固提升必備知識基礎(chǔ)練1.若一雙曲線與橢圓4x2+y2=64有公共的焦點,且它們的離心率互為倒數(shù),則該雙曲線的方程為()A.y23x2=36 B.x23y2=36C.3y2x2=36 D.3x2y2=36答案A解析橢圓的標準方程為y264+x216=1,焦點為(0,±43),離心率為32,則雙曲線的焦點在y軸上,c=43,e=23,從而a=6,b2=12,故所求雙曲線的方程為2.(多選)當α∈π4,3π4時,方程x2sinα+y2cosα=A.兩條直線 B.圓C.橢圓 D.雙曲線答案ACD解析當α∈π4,3π4時,sinα∈22,1,cosα∈-22,22,可得方程x2sinα+y2cosα=1表示的曲線可以是橢圓(sinα>0,cosα>0).也可以是雙曲線(sinα>3.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,點P在雙曲線的右支上,若|PF1||PF2|=b,A.x24y2=1 B.xC.x2y24=1 D.x答案C解析由題意得|PF則該雙曲線的方程為x2y24=4.已知雙曲線x24-y25=1上一點P到左焦點F1的距離為10,則PF1的中點NA.3或7 B.6或14C.3 D.7答案A解析設(shè)右焦點為F2,連接PF2,ON(圖略),ON是△PF1F2的中位線,∴|ON|=12|PF2|∵||PF1||PF2||=4,|PF1|=10,∴|PF2|=14或6,∴|ON|=12|PF2|=7或35.動圓與圓x2+y2=1和x2+y28x+12=0都外切,則動圓圓心的軌跡是()A.雙曲線的一支 B.圓C.橢圓 D.雙曲線答案A解析設(shè)動圓的圓心為M,半徑為r,圓x2+y2=1與x2+y28x+12=0的圓心分別為O1和O2,半徑分別為1和2,由兩圓外切的充要條件,得|MO1|=r+1,|MO2|=r+2.∴|MO2||MO1|=1,又|O1O2|=4,∴動點M的軌跡是雙曲線的一支(靠近O1).6.已知雙曲線x2m-y2n=1(m>0,n>0)和橢圓x25+yA.2 B.3 C.4 D.5答案B解析由題意,雙曲線x2m-y2n=1(m>0,n>0)和橢圓x25+y∴4m+1n=13(m+n)4m+1n=135+4nm+mn≥135+24nm·m7.平面上兩點F1,F2滿足|F1F2|=4,設(shè)d為實數(shù),令D表示平面上滿足||PF1||PF2||=d的所有P點組成的圖形,又令C為平面上以F1為圓心、6為半徑的圓.下列結(jié)論中,其中正確的有(寫出所有正確結(jié)論的編號).

①當d=0時,D為直線;②當d=1時,D為雙曲線;③當d=2時,D與圓C交于兩點;④當d=4時,D與圓C交于四點;⑤當d>4時,D不存在.答案①②⑤解析①當d=0時,D為線段F1F2的垂直平分線,∴①正確;②當d=1時,∵||PF1||PF2||=d<|F1F2|=4,由雙曲線的定義知D為雙曲線,∴②正確;③當d=2時,D是雙曲線,且c=2,a=1,∵C為平面上以F1為圓心、6為半徑的圓,∴D與圓C有4個交點,∴③錯誤;④當d=4時,D是兩條射線,∴D與圓C有2個交點,∴④錯誤;⑤當d>4時,由雙曲線的定義知,不表示任何圖形,∴D不存在,∴⑤正確.8.焦點在x軸上的雙曲線經(jīng)過點P(42,3),且Q(0,5)與兩焦點的連線互相垂直,則此雙曲線的標準方程為.

答案x216解析設(shè)焦點F1(c,0),F2(c,0)(c>0),則由QF1⊥QF2,得kQF∴5c·5-c=設(shè)雙曲線方程為x2a2-y2∵雙曲線過點(42,3),∴32a2又∵c2=a2+b2=25,∴a2=16,b2=9,∴雙曲線的標準方程為x216-9.已知與雙曲線x216-y29=1解已知雙曲線x216則c2=16+9=25,∴c=5.設(shè)所求雙曲線的標準方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0).故所求雙曲線方程可寫為x2a2∵點P-52∴-52化簡得4a4129a2+125=0,解得a2=1或a2=1254當a2=1254時,a2>c2,不合題意,舍去∴a2=1,b2=24,∴所求雙曲線的標準方程為x2y224=10.如圖所示,已知定圓F1:(x+5)2+y2=1,定圓F2:(x5)2+y2=42,動圓M與定圓F1,F2都外切,求動圓圓心M的軌跡方程.解圓F1:(x+5)2+y2=1,圓心F1(5,0),半徑r1=1;圓F2:(x5)2+y2=42,圓心F2(5,0),半徑r2=4.設(shè)動圓M的半徑為R,則有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4,∴|MF2||MF1|=3<10=|F1F2|.∴點M的軌跡是以F1,F2為焦點的雙曲線的左支,且a=32,c=5,于是b2=c2a2=914.∴動圓圓心M的軌跡方程為x29關(guān)鍵能力提升練11.(多選)已知方程x24-t+y2t-A.當1<t<4時,曲線C表示圓B.當t>4或t<1時,曲線C表示雙曲線C.若曲線C表示焦點在x軸上的橢圓,則1<t<5D.若曲線C表示焦點在y軸上的雙曲線,則t>4答案BCD解析由圓的定義可知,當4t=t1時,得t=52,此時方程x24-t+y2由雙曲線的定義可知,當(4t)(t1)<0時,即t<1或t>4時,方程x24-t+y2t由橢圓的定義可知,當橢圓焦點在x軸上時,滿足4t>t1>0,解得1<t<52,故C選項正確當曲線C表示焦點在y軸上的雙曲線,則4-t<0,t-綜上所述,正確的選項為BCD.12.若雙曲線上存在點P,使得P到兩個焦點的距離之比為2∶1,則稱此雙曲線存在“L點”,下列雙曲線中存在“L點”的是()A.x2y24=1 B.x2yC.x2y215=1 D.x2y答案A解析若雙曲線的方程為x2y24則a=1,c=5,不妨設(shè)|PF1|=2|PF2|,則由雙曲線的定義可得|PF1||PF2|=|PF2|=2a=2,即(x5)2+y2=4,與雙曲線方程4x2y2=4聯(lián)立可得5x225x3=0,其判別式Δ=20+60=80>0,故存在“L點”.13.已知定點F1(2,0),F2(2,0),N是圓O:x2+y2=1上任意一點,F1關(guān)于N的對稱點為M,線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點P,則點P的軌跡是()A.橢圓 B.雙曲線C.拋物線 D.圓答案B解析連接ON,由題意可得|ON|=1,且N為MF1的中點,∴|MF2|=2.∵F1關(guān)于N的對稱點為M,線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點P,由垂直平分線的性質(zhì)可得|PM|=|PF1|,∴||PF2||PF1||=||PF2||PM||=|MF2|=2<|F1F2|.由雙曲線的定義可得點P的軌跡是以F1,F2為焦點的雙曲線.14.已知F是雙曲線C:x2y23=1的右焦點,P是C上一點,且PF與x軸垂直,點A的坐標是(1,3),則△APF的面積為答案3解析因為F是雙曲線C:x2y23=1所以F(2,0).因為PF⊥x軸,所以可設(shè)P的坐標為(2,yP).因為P是C上一點,所以4yP23=1,解得yP所以P(2,±3),|PF|=3.又因為A(1,3),所以點A到直線PF的距離為1,所以S△APF=12×|PF|×1=12×3×1=15.數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過,“數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微”,事實上,有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決.如:與(x-a)2+(y-b)2相關(guān)的代數(shù)問題可以考慮轉(zhuǎn)化為點A(x,y)與點B(a,b)之間距離的幾何問題答案±4解析|x2+8即|(x+4)其幾何意義是動點(x,2)到定點(4,0)和(4,0)的距離之差的絕對值為4,∴該曲線為雙曲線,∴2a=4,a=2,c=4,b2=12,∴雙曲線的標準方程為x24-y212=1.∵點(x,2)在該雙曲線上,∴x216.在周長為48的Rt△MPN中,∠MPN=90°,tan∠PMN=34,求以M,N為焦點,且過點P的雙曲線方程解因為△MPN的周長為48,且tan∠PMN=34所以設(shè)|PN|=3k,|PM|=4k,則|MN|=5k.由3k+4k+5k=48,得k=4.所以|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20.以MN所在直線為x軸,以MN的中點為原點建立直角坐標系,如圖所示.設(shè)所求雙曲線方程為x2a2-y2b由|PM||PN|=4,得2a=4,a=2,a2=4.由|MN|=20,得2c=20,c=10,c2=100,所以b2=c2a2=1004=96,故所求方程為x24-17.已知雙曲線x216-y24=1的左、右焦點分別為(1)若點M在雙曲線上,且MF1·MF2=0,(2)若雙曲線C與已知雙曲線有相同焦點,且過點(32,2),求雙曲線C的方程.解(1)如圖所示,不妨設(shè)M在雙曲線的右支上,M點到x軸的距離為h,MF1·MF2=0,則設(shè)|MF1|=m,|MF2|=n,由雙曲線定義,知mn=2a=8,①又m2+n2=(2c)2=80,②由①②得m·n=8,∴12mn=4=12|F1F2|·h,∴h=(2)設(shè)所求雙曲線C的方程為x216-λ-y24+λ=1(4<λ<16),由于雙曲線C過點(32,2),∴1816-λ∴所求雙曲線C的方程為x212-學(xué)科素養(yǎng)拔高練18.設(shè)F1,F2分別是雙曲線x2y29=1的左、右焦點.若P在雙曲線上,且PF1·PF2=0,A.25 B.5 C.210 D.10答案C解析由題意,知雙曲線兩個焦點的坐標分別為F1(10,0),F2(10,0).設(shè)點P(x,y),則PF1=(10x,y),PF2=(10x∵PF1∴x2+y210=0,即x2+y2=10.∴|PF1=2(x2+19.設(shè)以O(shè)為中心,F為其中一個焦點的雙曲線經(jīng)過點Q,如圖所示.已知△OFQ的面積為26,且OF·FQ=m,其中O(1)設(shè)6<m<46,求OF與FQ的夾角θ(2)設(shè)|OF|=c,m=64-1c2,當|OQ|取得最小值時解(1)因為1所以tanθ=