中考數(shù)學(xué)解題技巧 82四邊形中的輔助線問(wèn)題

四邊形中的輔助線問(wèn)題1、如圖1，已知正方形ABCD，E是線段BC上一點(diǎn)，N是線段BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以AE為邊在直線BC的上方作正方形AEFG．（1）連接GD，求證DG＝BE；（2）連接FC，求tan∠FCN的值；（3）如圖2，將圖1中正方形ABCD改為矩形ABCD，AB＝3，BC＝8，E是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)B，C），以AE為邊在直線BC的上方作矩形AEFG，使頂點(diǎn)G恰好落在射線CD上．當(dāng)點(diǎn)E由B向C運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷tan∠FCN的值是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）如圖1，∵正方形ABCD和正方形AEFG中，∴∠BAD＝∠EAG＝90°，AB＝AD，AE＝AG，∴∠BAE＝∠GAD，∴△BAE≌△GAD（SAS），∴DG＝BE；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥BN于M，則∠B＝∠AEF＝∠FME＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝∠FEM+∠AEB＝90°，即∠BAE＝∠FEM，又AE＝EF，∴△BAE≌△MEF（ASA），∴FM＝BE，EM＝AB，又BE+EC＝AB，EM＝EC+CM，∴CM＝FM，在Rt△FCM中，tan∠FCN＝＝1；（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥BN于M，則∠B＝∠AEF＝∠FME＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝∠FEM+∠AEB＝90°，即∠BAE＝∠FEM，同理可證∠GAD＝∠FEM，又AG＝EF，∴△DAG≌△MEF，△BAE∽△MEF，∴EM＝AD＝BC＝8，＝，設(shè)BE＝a，則EM＝EC+CM＝BC＝BE+EC，∴CM＝BE＝a，∴＝，∴FM＝，∴tan∠FCN＝＝＝，即tan∠FCN的值為定值．2、已知在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊AB，BC上的點(diǎn)，∠ADE＝∠BAF，DE，AF交于點(diǎn)M．（1）如圖1，若∠ABC＝90°，求證：△AEM∽△AFB；（2）若E為AB中點(diǎn)．①如圖2，若AF⊥BC，＝，求的值；②如圖3，若∠ABC＝60°，＝n，請(qǐng)直接寫出的值（用n的式子表示）．證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ABC＝90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，且∠ADE＝∠BAF，∴∠BAD﹣∠BAF＝∠ABC﹣∠BAF∴∠AED＝∠AFB，且∠BAF＝∠BAF，∴△AEM∽△AFB（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AF于點(diǎn)N，∵EN⊥AF，BF⊥AF，∴EN∥BF，∴∴AF＝2AN，BF＝2EN，∵＝，∴AD＝3BF，∴AD＝6EN，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥EN∴△MNE∽△MAD∴，∠ADE＝∠MEN，∴AM＝6MN，∴AN＝7MN，∵∠ADE＝∠MEN，∠BAF＝∠ADE，∴∠BAF＝∠MEN，且∠ANE＝∠ANE，∴△ENM∽△ANE，∴∴EN2＝MN?AN＝AN2，∵設(shè)AE＝BE＝a，EN＝b，∴BF＝2b，AD＝6b，∴b2＝（a2﹣b2）∴a＝2b∴AB＝2AE＝2a＝4b，AD＝6b，∴②如圖3，過(guò)點(diǎn)A作AH平分∠BAD，交BC的延長(zhǎng)線于H，過(guò)點(diǎn)B作BG∥AH交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∵＝n，E為AB中點(diǎn)．∴AB＝nAD，AE＝BE＝AD∵∠ABC＝60°，AD∥BC，∴∠BAD＝120°，∵AH平分∠BAD，∴∠BAH＝60°＝∠ABC∴△ABH是等邊三角形，∴AB＝AH＝BH＝nAD，∵BG∥AH∴∠H＝∠GBF＝60°，∴∠ABG＝120°＝∠EAD，且∠BAF＝∠ADE，∴△ABG∽△DAE，∴∴BG＝AD∵BG∥AH∴△BFG∽△HFA∴∴∴FH＝BF∵BH＝BF+FH∴nAD＝（）BF∴＝3、【操作發(fā)現(xiàn)】如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)N、M分別在邊BC、CD上，連結(jié)AM、AN、MN．∠MAN＝45°，將△AMD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，得到△ABE．易證：△ANM≌△ANE，從而得DM+BN＝MN．【實(shí)踐探究】（1）在圖①條件下，若CN＝3，CM＝4，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)是．（2）如圖②，點(diǎn)M、N分別在邊CD、AB上，且BN＝DM．點(diǎn)E、F分別在BM、DN上，∠EAF＝45°，連接EF，猜想三條線段EF、BE、DF之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【拓展】（3）如圖③，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，點(diǎn)M、N分別在邊DC、BC上，連結(jié)AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝1，求DM的長(zhǎng)．【實(shí)踐探究】（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝90°，由旋轉(zhuǎn)得：△ABE≌△ADM，∴BE＝DM，∠ABE＝∠D＝90°，AE＝AM，∠BAE＝∠DAM，∴∠BAE+∠BAM＝∠DAM+∠BAM＝∠BAD＝90°，即∠EAM＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°，∴∠MAN＝∠EAN，在△AMN和△EAN中，，∴△AMN≌△EAN（SAS），∴MN＝EN．∵EN＝BE+BN＝DM+BN，∴MN＝BN+DM．在Rt△CMN中，MN＝＝＝5，則BN+DM＝5，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，則BN＝BC﹣CN＝x﹣3，DM＝CD﹣CM＝x﹣4，∴x﹣3+x﹣4＝5，解得：x＝6，即正方形ABCD的邊長(zhǎng)是6；故答案為：6；（2）EF2＝BE2+DF2，理由如下：如圖②，將△AFD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，得到△ABH，連結(jié)EH，∴∠ADF＝∠ABH，DF＝BH，∠DAF＝∠BAH，AH＝AF，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°＝∠BAH+∠BAE，∴∠HAE＝45°＝∠EAF，又∵AH＝AF，AE＝AE，∴△EAH≌△EAF（SAS），∴HE＝EF，∵BN＝DM，BN∥DM，∴四邊形BMDN是平行四邊形，∴DN∥BM，∴∠AND＝∠ABM，∵∠ADN+∠AND＝90°，∴∠ABH+∠ABM＝90°＝∠HBM，∴BE2+BH2＝HE2，∴EF2＝BE2+DF2；（3）如圖③，延長(zhǎng)AB至P，使BP＝BN＝1，過(guò)P作BC的平行線交DC的延長(zhǎng)線于Q，延長(zhǎng)AN交PQ于E，連接EM，則四邊形APQD是正方形，∴PQ＝DQ＝AP＝AB+BP＝4，設(shè)DM＝x，則MQ＝4﹣x，∵PQ∥BC，∴△ABN∽△APE，∴，∴PE＝BN＝，∴EQ＝PQ﹣PE＝4﹣＝，由（1）得：EM＝PE+DM＝+x，在Rt△QEM中，由勾股定理得：（）2+（4﹣x）2＝（+x）2，解得：x＝2，即DM的長(zhǎng)是2．4、如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)P為BC邊上一點(diǎn)（BP＞CP），∠APD＝90?，將△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，PC′的延長(zhǎng)線交AD于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)A作AN∥PM交BC于點(diǎn)N．（1）試判斷四邊形AMPN的形狀并說(shuō)明理由；（2）如圖2，連接BD，分別交MP，AP于點(diǎn)E，F(xiàn)，若tan∠PDC＝，求的值．解：（1）四邊形AMPN是菱形；理由：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴AM∥PN，∵AN∥PM，∴四邊形ANPM是平行四邊形，∵將△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，∴∠DPC＝∠DPC′，∵AD∥BC，∴∠ADP＝∠DPC，∴∠ADP＝∠DPM，∴DM＝PM，∵∠APD＝90°，∴AM＝DM＝PM，∴四邊形AMPN是菱形；（2）∵tan∠PDC＝＝，可設(shè)PC＝1，CD＝2，過(guò)P作PG⊥AD于G，則四邊形PCDG與四邊形ABPG是矩形，∴CP＝DG＝1，PG＝CD＝2，∵PG⊥AD，∠APD＝90°，∴PG2＝AG?GD，∴4＝1?GD，∴AG＝PB＝4，AD＝AG+GD＝5，∵BP∥AD，∴△PBF∽△ADF，∴＝＝，∴＝，∵DM∥PB，∴△PBE∽△MDE，DM＝AD＝，∴＝＝＝，∴＝，∴EF＝DF﹣DE＝BD﹣BD＝BD，∴＝＝5、已知四邊形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，E為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)且不與B、C重合，連接AE（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AE交CD于點(diǎn)N①若BE＝1，求CN的長(zhǎng)；②將△ECN沿EN翻折，點(diǎn)C恰好落在邊AD上，求BE的長(zhǎng)；（2）如圖2，連接BD，設(shè)BE＝m，試用含m的代數(shù)式表示S四邊形CDFE：S△ADF值．解：（1）①∵BE＝1，∴CE＝BC﹣BE＝4﹣1＝3，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠BEA＝90°，∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠BEA+∠FEC＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，∴△ABE∽△ECF，∴＝，即：＝，解得：CN＝；②過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD于F，如圖1所示：則四邊形ABEF是矩形，∴AB＝EF＝2，AF＝BE，由折疊的性質(zhì)得：CE＝C′E，CN＝C′N，∠EC′N＝∠C＝90°，∴∠NC′D+∠EC′F＝90°，∵∠C′ND+∠NC′D＝90°，∴∠EC′F＝∠C′ND，∵∠D＝∠EFC′，∴△EC′F∽△NC′D，∴＝＝，∴＝＝，∵＝，∴＝，∴＝＝，∴C′D＝BE，設(shè)BE＝x，則C′D＝AF＝x，C′F＝4﹣2x，CE＝4﹣x，∴＝，＝，∴DN＝x（2﹣x），CN＝，∴CN+DN＝x（2﹣x）+＝CD＝2，解得：x＝2或x＝，∴BE＝2或BE＝；（2）∵四邊形ABCD為矩形，∴BC＝AD，AD∥BC，∴△ADF∽△EBF，∴＝＝，∴＝（）2＝，∴S△ADF＝s△BEF，S△ABF＝＝＝S△BEF，S四邊形CDFE＝S△ADF+S△ABF﹣S△BEF＝S△BEF+S△BEF﹣S△BEF＝（+﹣1）S△BEF，∴S四邊形CDFE：S△ADF＝（+﹣1）S△BEF：s△BEF＝1+﹣．6、如圖①，在矩形ABCD中，AB＝，AD＝3，點(diǎn)E是邊AD靠近A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且EP⊥EB，點(diǎn)G是BE上任意一點(diǎn)，過(guò)G作GH∥BP，交EP于點(diǎn)H．將△EGH繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0＜α＜90°），得到△EMN（M、N分別是G、H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)）（1）求BP的長(zhǎng)；（2）求的值；（3）如圖②當(dāng)α＝60°時(shí)，點(diǎn)M恰好落在GH上，延長(zhǎng)BM交NP于點(diǎn)Q，取EP的中點(diǎn)K，連接QK．若點(diǎn)G在線段EB上運(yùn)動(dòng)，問(wèn)QK是否有最小值？若有最小值，請(qǐng)求出點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到EB的什么位置時(shí)，QK有最小值及最小值是多少，若沒有最小值，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）如圖①中，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°，∵AE＝AD＝1，AB＝，∴BE＝＝2，∵BE⊥PE，∴∠PEB＝90°，∴∠ABE+∠CBE＝90°，∠CBE+∠EPB＝90°，∴∠ABE＝∠EPB，∵∠A＝∠BEP＝90°，∴△BAE∽△PEB，∴＝，∴PB＝＝4．（2）在Rt△ABE中，∵tan∠ABE＝＝，∴∠ABE＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠EBC＝60°，∵GH∥BC，∴∠EGH＝∠EBC＝∠EMN＝60°，∴PE＝EB，EN＝EM，∴＝＝，∵∠PEB＝∠MEN＝90°，∴∠EM＝∠PEN，∴△BEM∽△PEN，∴＝＝．（3）如圖2中，取PB的中點(diǎn)O，連接OQ，OK．設(shè)BQ交PE于J．∵△BEM∽△PEN，∴∠EBM＝∠EPN，∵∠BJE＝∠PJO，∴BEJ＝∠PQJ＝90°，∵BO＝OP，∴OQ＝PB＝2，∵PO＝OB，PK＝KE，∴OK＝BE＝1，∴QK≥OQ﹣OK＝1，∴QK的最小值為1，此時(shí)O，K，Q共線，PK⊥OQ，OK＝QK，∴PO＝PQ，∴∠OPK＝∠QPK＝30°，∴∠EBQ＝∠QPK＝30°，∵EG＝EM，∠GEM＝60°，∴△EGM是等邊三角形，∴EG＝GM，∠EGM＝60°，∵∠EGM＝∠GBM+∠GMB＝60°，∴∠GBM＝∠GMB＝30°，∴GB＝GM，∴EG＝GB，∴點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)到EB的中點(diǎn)位置時(shí)，QK有最小值及最小值是1．7、已知：矩形ABCD中，點(diǎn)E、F為對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，AF＝CE．（1）如圖1，求證：BE∥DF；（2）如圖2，當(dāng)AB＝BE＝AD時(shí)，連接DE、BF，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出四個(gè)三角形，使寫出的每個(gè)三角形的面積都等于矩形ABCD面積的．（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAF＝∠BCE，在△AFD和△CEB中，，∴△AFD≌△CEB（SAS），∴∠AFD＝∠CEB，∴BE∥DF；（2）解：△ABF，△CDE，△ADF，△BCE；理由如下：由（1）得：△AFD≌△CEB，同理：△ABF≌△CDE（SAS），∴△AFD的面積＝△CEB的面積，△ABF的面積＝△CDE的面積，作BG⊥AC于G，如圖2所示：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，BC＝AD，∵AB＝BE＝AD，∴AB＝BE＝BC，∴BC＝2AB，AC＝＝AB，AG＝EG，∵△ABC的面積＝AC×BG＝AB×BC，∴BG＝＝＝AB，∴AG＝＝＝AB，∴AE＝2AG＝AB，∵AF＝CE，∴△ABF的面積＝△BCE的面積，CF＝AE＝AB，∴AF＝AC﹣CF＝AB﹣AB＝AB，∴△ABF的面積＝AF×BG＝×AB×AB＝AB2，∵矩形ABCD的面積＝AB×BC＝AB×2AB＝2AB2，∴△ABF的面積＝矩形ABCD面積的，∴△ABF的面積＝△CDE的面積＝△ADF的面積＝△BCE的面積＝矩形ABCD面積的．8、如圖1，在正方形ABCD（正方形四邊相等，四個(gè)角均為直角）中，AB＝8，P為線段BC上一點(diǎn)，連接AP，過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥AP，交CD于點(diǎn)Q，將△BQC沿BQ所在的直線對(duì)折得到△BQC′，延長(zhǎng)QC′交AD于點(diǎn)N．（1）求證：BP＝CQ；（2）若BP＝PC，求AN的長(zhǎng)；（3）如圖2，延長(zhǎng)QN交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，若BP＝x（0＜x＜8），△BMC'的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式．解：（1）證明：∵∠ABC＝90°∴∠BAP+∠APB＝90°∵BQ⊥AP∴∠APB+∠QBC＝90°，∴∠QBC＝∠BAP，在△ABP于△BCQ中，，∴△ABP≌△BCQ（ASA），∴BP＝CQ，（2）由翻折可知，AB＝BC'，連接BN，在Rt△ABN和Rt△C'BN中，AB＝BC'，BN＝BN，∴Rt△ABN≌△Rt△C'BN（HL），∴AN＝NC'，∵BP＝PC，AB＝8，∴BP＝2＝CQ，CP＝DQ＝6，設(shè)AN＝NC'＝a，則DN＝8﹣a，∴在Rt△NDQ中，（8﹣a）2+62＝（a+2）2解得：a＝4.8，即AN＝4.8．（3）解：過(guò)Q點(diǎn)作QG⊥BM于G，由（1）知BP＝CQ＝BG＝x，BM＝MQ．設(shè)MQ＝BM＝y(tǒng)，則MG＝y(tǒng)﹣x，∴在Rt△MQG中，y2＝82+（y﹣x）2，∴．∴S△BMC′＝S△BMQ﹣S△BC'Q＝＝，＝．9、已知四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，且AB＞CE．（1）如圖1，連接BG、DE．求證：BG＝DE；（2）如圖2，如果正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到某一位置恰好使得CG∥BD，BG＝BD．①求∠BDE的度數(shù)；②若正方形ABCD的邊長(zhǎng)是，請(qǐng)求出△BCG的面積．（1）證明：∵四邊形ABCD和四邊形CEFG為正方形，∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°．∴∠BCD+∠DCG＝∠GCE+∠DCG，∴∠BCG＝∠DCE．在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（SAS）．∴BG＝DE；（2）解：①連接BE，如圖2所示：由（1）可知：BG＝DE，∵CG∥BD，∴∠DCG＝∠BDC＝45°，∴∠BCG＝∠BCD+∠DCG＝90°+45°＝135°，∵∠GCE＝90°，∴∠BCE＝360°﹣∠BCG﹣∠GCE＝360°﹣135°﹣90°＝135°，∴∠BCG＝∠BCE，在△BCG和△BCE中，，∴△BCG≌△BCE（SAS），∴BG＝BE，∵BG＝BD＝DE，∴BD＝BE＝DE，∴△BDE為等邊三角形，∴∠BDE＝60°；②延長(zhǎng)EC交BD于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)G作GN⊥BC于N，如圖3所示：在△BCE和△DCE中，，∴△BCE≌△BCG（SSS），∴∠BEC＝∠DEC，∴EH⊥BD，BH＝BD，∵BC＝CD＝，∴BD＝BC＝2，∴BE＝2，BH＝1，∴CH＝1，在Rt△BHE中，由勾股定理得：EH＝＝＝，∴CE＝﹣1，∵∠BCG＝135°，∴∠GCN＝45°，∴△GCN是等腰直角三角形，∴GN＝CG＝（﹣1），∴S△BCG＝BC?GN＝××（﹣1）＝．10、利用“同角的余角相等”可以幫助我們得到相等的角，這個(gè)規(guī)律在全等三角形的判定中有著廣泛的運(yùn)用．（1）如圖①，B，C，D三點(diǎn)共線，AB⊥BD于點(diǎn)B，DE⊥BD于點(diǎn)D，AC⊥CE，且AC＝CE．若AB+DE＝6，求BD的長(zhǎng)．（2）如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC為等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，1）．求直線AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．（3）如圖③，∠ACB＝90°，OC平分∠AOB，若點(diǎn)B坐標(biāo)為（b，0），點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，a）．則S四邊形AOBC＝．（只需寫出結(jié)果，用含a，b的式子表示）解：（1）∵AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，∴∠ABC＝∠CDE＝∠ACE＝90°，∴∠A+∠ACB＝90°，∠ECD+∠ACB＝180°﹣∠ACE＝90°，∴∠A＝∠ECD，在△ABC和△CDE中，，∴△ABC≌△CDE（AAS），∴AB＝CD，BC＝DE，∴BD＝CD+BC＝AB+DE＝6；（2）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于D，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸于E，如圖②所示：∵△ABC為等腰直角三角形∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，AC＝CB，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∠ECB+∠ACD＝180°﹣∠ACB＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD＝CE，CD