人教版八年級數學下冊 專題17 特殊平行四邊形中最常考的五種幾何模型（原卷版+解析）

專題17特殊平行四邊形中最?？嫉奈宸N幾何模型（原卷版）類型一對角互補模型1．(2023春?江岸區(qū)校級月考）如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，點O又是正方形A1B1C1O的一個頂點，且這兩個正方形的邊長相等．OA1與OC1分別交AB，BC于點E，F．（1）求證：OE＝OF；（2）若BE＝a，BF＝b，請直接寫出四邊形EBFO的面積為（用含有a，b的式子表示）；（3）已知AE＝2，CF＝3，求A1E的長．2．(2023?隆昌市校級三模）某研究性學習小組在探究矩形的折紙問題時，將一塊直角三角板的直角頂點繞著矩形ABCD（AB＜BC）的對角線交點O旋轉（如圖①→②→③），圖中M、N分別為直角三角板的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點．（1）該學習小組中一名成員意外地發(fā)現：在圖①（三角板的一直角邊與OD重合）中，BN2＝CD2+CN2；在圖③（三角板的一直角邊與OC重合）中，CN2＝BN2+CD2．請你對這名成員在圖①和圖③中發(fā)現的結論選擇其一說明理由．（2）試探究圖②中BN、CN、CM、DM這四條線段之間的關系，寫出你的結論，并說明理由．

類型二將軍飲馬模型兩定一動模型3．(2023春?洛陽期末）如圖，正方形ABCD的邊長為16，點M在邊DC上，且DM＝4，點N是對角線AC上一動點，則線段DN+MN的最小值為（）A．16 B．162 C．20 D．4174．(2023?霍邱縣二模）如圖，菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中點，P是對角線AC上的一個動點，則PE+PB的最小值是．5．(2023春?紅安縣期中）如圖，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內，在對角線AC上有一點P，使PD+PE的和最小，則這個最小值為．（2）兩動一定模型6．如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，P，E分別是線段AC，AB上的動點，PE+PB的最小值為（）A．1.5 B．2 C．2 D．37．(2023春?合肥期末）如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，點P、Q、K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點，則PK+QK的最小值為（）A．1 B．3 C．2 D．3（3）兩動兩定模型8．（如圖，矩形OABC放在以O為原點的平面直角坐標系中，A(3，0)，C(0，2)，點E是AB的中點，點F在BC邊上，且CF＝1，若M為x軸上的動點，N為y軸上的動點，則四邊形MNFE的周長最小值是． （4）造橋選址模型9．如圖，已知菱形ABCD的邊長為10，E為AB中點，對角線BD上有兩個動點P，Q總保持PQ＝2，若BD＝16，則四邊形AEPQ的周長最小值為（）A．16 B．21 C．7+85 D．7類型三十字架模型10．(2023春?淮南期中）數學活動：探究正方形中的“十字架”①猜想：如圖1，在正方形ABCD中，點E、F分別在CD、AD邊上，且BF⊥AE，猜想線段AE與BF之間的數量關系：．②探究：如圖2，在正方形ABCD中，點E、F、G、H分別在AB，BC，CD，AD邊上，且EG⊥HF，此時線段HF與EG相等嗎？如果相等請給出證明，如果不相等請說明理由．③應用：如圖3，將邊長為4的正方形紙片ABCD折疊，使點A落在CD邊的中點E處，點B落在點F處，折痕為MN，則線段MN的長為25．

11．(2023?新化一模）如圖1，在矩形ABCD中，點E，F分別在AB，BC邊上，DE＝AF，DE⊥AF于點G．（1）求證：四邊形ABCD是正方形；（2）延長CB到點H，使得BH＝AE，判斷△AHF的形狀，并說明理由．（3）如圖2，在菱形ABCD中，點E，F分別在AB，BC邊上，DE與AF相交于點G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，請類比（2），求DE的長．類型四一線三直角模型12．(2023春?禹州市期末）如圖1，在正方形ABCD中，點E、F分別是BC、AB上的點，且CE＝BF，連接DE，過點E作EG⊥DE，使EG＝DE，連接FG、FC．（1）判斷：FG與CE的位置關系是，BE、CD、FG之間的數量關系為．（2）如圖2，若點E，F分別是邊CB，BA延長線上的點，其它條件不變，（1）中結論是否仍然成立？請作出判斷并給予證明；（3）如圖3，若點E、F分別是邊BC、AB延長線上的點，正方形ABCD的邊長為12，GE＝13，其他條件不變，請直接寫出四邊形FGEB的面積．

類型五半角模型13．(2023春?南崗區(qū)期末）問題解決：如圖1，在正方形ABCD中，點E，F分別在AB，AD上，連接CE，CF，EF，且∠ECF＝45°．（1）求證：BE+DF＝EF；（2）若AB＝6，EF＝5，AE＞AF，求線段AE的長．類比遷移：如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，對角線AC平分∠BAD，點E、F分別在AB、AD上，且AE＞AF，連接CE，CF，EF，∠ECF＝60°，若AC=2033，EF14．(2023春?無錫期中）如圖，菱形ABCD中，∠B＝60°，點E，F分別在AB，AD上，且BE＝AF．（1）求證：△ECF為等邊三角形；（2）連接AC，若AC將四邊形AECF的面積分為1：2兩部分，當AB＝6時，求△BEC的面積．

15．(2023秋?交口縣期末）如圖1，在正方形ABCD中，點E，F分別為DC，BC邊上的點，且滿足∠EAF＝45°，連接EF，求證：DE+BF＝EF．小明是這樣解決的：將△ADE繞點A順時針旋轉90°得到△ABG，此時AB與AD重合，再證明△GAF≌△EAF，可得結論．（1）如圖2，在四邊形ABCD中，AD∥BC（AD＞BC），∠D＝90°，AD＝CD＝10，且∠BAE＝45°，DE＝4，求BE的長．（2）類比（1）證明思想完成下列問題：在同一平面內，將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點，∠BAC＝∠AGF＝90°，若△ABC固定不動，△AFG繞點A旋轉，AF、AG與邊BC的交點分別為D、E（點D不與點B重合，點E不與點C重合），在旋轉過程中，等式BD2+CE2＝DE2始終成立，請說明理由．專題17特殊平行四邊形中最?？嫉奈宸N幾何模型（解析版）類型一對角互補模型1．(2023春?江岸區(qū)校級月考）如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，點O又是正方形A1B1C1O的一個頂點，且這兩個正方形的邊長相等．OA1與OC1分別交AB，BC于點E，F．（1）求證：OE＝OF；（2）若BE＝a，BF＝b，請直接寫出四邊形EBFO的面積為（用含有a，b的式子表示）；（3）已知AE＝2，CF＝3，求A1E的長．思路引領：（1）由“ASA”可證△AOE≌△BOF，可得OE＝OF；（2）由全等三角形的性質可得S△AOE＝S△BOF，AE＝BF，由正方形的面積公式可求解；（3）由等腰直角三角形的性質可求EO，即可求解．（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AO＝BO，∠AOB＝90°，∠OAB＝∠OBC＝45°，∵∠AOE+∠EOB＝90°，∠BOF+∠EOB＝90°，∴∠AOE＝∠BOF．在△AOE和△BOF中，∠OAE=∠OBFOA=OB∴△AOE≌△BOF（ASA），∴OE＝OF；（2）解：∵△AOE≌△BOF，∴S△AOE＝S△BOF，AE＝BF，∴四邊形EBFO的面積＝S△AOB，AB＝BE+AE＝a+b，∴四邊形EBFO的面積=14（a+b）（3）如圖，連接EF，∵BF＝AE＝2，CF＝3，∴BC＝5，∴A1E＝BC＝5，∴BE＝3，∴EF=BE∵EO＝FO，∠EOF＝90°，∴△EOF是等腰直角三角形，∴EO＝FO=13∴A1E＝5?26總結提升：本題考查了全等三角形的判定和性質，正方形的性質，勾股定理，等腰直角三角形的性質，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵．2．(2023?隆昌市校級三模）某研究性學習小組在探究矩形的折紙問題時，將一塊直角三角板的直角頂點繞著矩形ABCD（AB＜BC）的對角線交點O旋轉（如圖①→②→③），圖中M、N分別為直角三角板的直角邊與矩形ABCD的邊CD、BC的交點．（1）該學習小組中一名成員意外地發(fā)現：在圖①（三角板的一直角邊與OD重合）中，BN2＝CD2+CN2；在圖③（三角板的一直角邊與OC重合）中，CN2＝BN2+CD2．請你對這名成員在圖①和圖③中發(fā)現的結論選擇其一說明理由．（2）試探究圖②中BN、CN、CM、DM這四條線段之間的關系，寫出你的結論，并說明理由．思路引領：（1）連接DN，根據矩形得出OB＝OD，根據線段垂直平分線得出BN＝DN，根據勾股定理求出DN的平方，即可求出答案；（2）延長NO交AD于點P，連接PM，MN，證△BNO≌△DPO，推出OP＝ON，DP＝BN，根據線段垂直平分線求出PM＝MN，根據勾股定理求出即可．（1）選①，證明：連接DN，∵四邊形ABCD是矩形，∴OB＝OD，∵∠DON＝90°，∴BN＝DN，∵∠BCD＝90°，∴DN2＝CD2+CN2，∴BN2＝CD2+CN2；（2）證明：延長NO交AD于點P，連接PM，MN，∵四邊形ABCD是矩形，∴OD＝OB，AD∥BC，∴∠DPO＝∠BNO，∠PDO＝∠NBO，在△BON和△DOP中∵∠NBO=∠PDO∠BNO=∠DPO∴△BON≌△DOP（AAS），∴ON＝OP，BN＝PD，∵∠MON＝90°，∴PM＝MN，∵∠ADC＝∠BCD＝90°，∴PM2＝PD2+DM2，MN2＝CM2+CN2，∴PD2+DM2＝CM2+CN2，∴BN2+DM2＝CM2+CN2．總結提升：本題考查了矩形的性質，線段垂直平分線，全等三角形的性質和判定，勾股定理等知識點的綜合運用，主要考查學生的猜想能力和推理能力，題目比較好，但是有一定的難度．類型二將軍飲馬模型兩定一動模型3．(2023春?洛陽期末）如圖，正方形ABCD的邊長為16，點M在邊DC上，且DM＝4，點N是對角線AC上一動點，則線段DN+MN的最小值為（）A．16 B．162 C．20 D．417思路引領：連接MB交AC于N，此時DN+MN最小，先證明這個最小值就是線段BM的長，利用勾股定理就是即可解決問題．解：如圖，連接MB交AC于N，此時DN+MN最小．∵四邊形ABCD是正方形，∴B、D關于AC對稱，∴DN＝BN，∴DN+MN＝BN+NM＝BM，在Rt△BMC中，∵∠BCM＝90°，BC＝16，CM＝CD﹣DM＝16﹣4＝12，∴BM=B故選：C．總結提升：本題考查最短問題、正方形性質、勾股定理、兩點之間線段最短等知識，解題的關鍵是利用對稱找到點N的位置，屬于中考常考題型．4．(2023?霍邱縣二模）如圖，菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中點，P是對角線AC上的一個動點，則PE+PB的最小值是．思路引領：根據軸對稱最短問題作法首先求出P點的位置，再結合菱形的性質得出△AEE′為等邊三角形，進而求出PE+PB的最小值．解：作E點關于AC對稱點E′點，連接E′B，E′B與AC的交點即是P點，∵菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，E是AB的中點，∴AE′＝AE＝BE＝1，∴△AEE′為等邊三角形，∴∠AEE′＝60°，∴∠E′EB＝120°，∵BE＝EE′，∴∠EE′B＝30°，∴∠AE′B＝90°，BE′=A∵PE+PB＝BE′，∴PE+PB的最小值是：3．故答案為：3．總結提升：此題主要考查了菱形的性質以及軸對稱中最短路徑求法，正確地作出P點從而利用菱形性質得出是解決問題的關鍵．5．(2023春?紅安縣期中）如圖，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內，在對角線AC上有一點P，使PD+PE的和最小，則這個最小值為．思路引領：由于點B與D關于AC對稱，所以連接BD，與AC的交點即為F點．此時PD+PE＝BE最小，而BE是等邊△ABE的邊，BE＝AB，由正方形ABCD的面積為12，可求出AB的長，從而得出結果．解：連接BD，與AC交于點F．∵點B與D關于AC對稱，∴PD＝PB，∴PD+PE＝PB+PE＝BE最小．∵正方形ABCD的面積為12，∴AB＝23．又∵△ABE是等邊三角形，∴BE＝AB＝23．故所求最小值為23．故答案為：23．總結提升：此題主要考查軸對稱﹣﹣最短路線問題，要靈活運用對稱性解決此類問題．（2）兩動一定模型6．如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，P，E分別是線段AC，AB上的動點，PE+PB的最小值為（）A．1.5 B．2 C．2 D．3思路引領：由菱形的性質，找出B點關于AC的對稱點D，連接DE，則DE就是PE+PB的最小值，再由勾股定理可求出DE．解：連接DE、BD，由菱形的對角線互相垂直平分，可得B、D關于AC對稱，則PD＝PB，∴PE+PB＝PE+PD＝DE，即DE就是PE+PB的最小值，∵∠BAD＝60°，AD＝AB，∴△ABD是等邊三角形，∵AE＝BE，∴DE⊥AB（等腰三角形三線合一的性質），在Rt△ADE中，DE=AD故選：D．總結提升：此題是軸對稱﹣最短路線問題，熟悉菱形的基本性質及兩點之間線段最短的知識是解決本題的關鍵．7．(2023春?合肥期末）如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，點P、Q、K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點，則PK+QK的最小值為（）A．1 B．3 C．2 D．3思路引領：作P點關于BD的對稱點P'，過P'作P'Q⊥CD交于點Q，交BD于點K，連接KP，當P'、K、Q三點共線時，PK+QK的值最小，最小值為CD邊上的高．解：作P點關于BD的對稱點P'，過P'作P'Q⊥CD交于點Q，交BD于點K，連接KP，∵四邊形ABCD是菱形，∴P'在AB上，由對稱性可知，PK＝P'K，∴PK+QK＝P'K+KP'≥P'Q，當P'、K、Q三點共線時，PK+QK的值最小，最小值為CD邊上的高，∵∠DAB＝120°，∴∠ADC＝60°，過點A作AM⊥CD交于點M，∵AD＝2，∴AM＝AD×sin60°=3∴PK+KQ的最小值為3，故選：B．總結提升：本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握軸對稱求最短距離的方法，菱形的性質，直角三角形的性質是解題的關鍵．（3）兩動兩定模型8．（如圖，矩形OABC放在以O為原點的平面直角坐標系中，A(3，0)，C(0，2)，點E是AB的中點，點F在BC邊上，且CF＝1，若M為x軸上的動點，N為y軸上的動點，則四邊形MNFE的周長最小值是． 答案：5＋解：由圖可得；E(3，1)；F(1，2)如圖，作點E關于x軸的對稱點E′，作點F關于y軸的對稱點F′，連接E′F′，分別與x軸、y軸交于點M、N，連接FN、NM、ME，此時四邊形MNFE的周長最?。郋′(3，－1)，F′(－1，2)，設直線E′F′的解析式為y＝kx＋b，有3k＋b＝?∴直線E′F′的解析式為y＝?34x＋54，∴M點為(∵E與E′關于x軸對稱，F與F′關于y軸對稱，∴NF＝NF′，ME＝ME′，F′B＝4，E′B＝3．在Rt△BE′F′中，F′E′＝F'B2＋E'B2＝16＋9＝5．∴FN＋NM＋ME＝F′在Rt△BEF中，EF＝BE2＋BF2．∴FN＋NM即四邊形MNFE的周長最小值是5＋5．故答案為：5（4）造橋選址模型9．如圖，已知菱形ABCD的邊長為10，E為AB中點，對角線BD上有兩個動點P，Q總保持PQ＝2，若BD＝16，則四邊形AEPQ的周長最小值為（）A．16 B．21 C．7+85 D．7思路引領：將菱形ABCD放置在平面直角坐標系中，使得B為原點，BD在x的正半軸上，根據題意得出A、B、E三點的坐標，將A平行向左移動2個單位到A'點，作A'關于x軸的對稱點F，則F（6，﹣6），連EF，交x軸于點P，在x軸上向正方向上截取PQ＝2，此時四邊形AEPQ的周長最小，AQ+EP＝A'P+EP＝FP+EP＝EF，由此即可得出結論．解：如圖所示：將菱形ABCD放置在平面直角坐標系中，使得B為原點，BD在x的正半軸上，∵菱形ABCD的邊長是10，對角線BD＝16，點E是AB的中點，∴A（8，6），B（0，0），E（4，3），將A平行向左移動2個單位到A'點，則A'（6，6），作A'關于x軸的對稱點F，則F（6，﹣6），連EF，交x軸于點P，在x軸上向正方向上截取PQ＝2，此時，四邊形AEPQ的周長最小，∵AE=AB2=5，PQ＝2，AQ+EP＝A'P+EP＝FP+EP四邊形四邊形AEPQ的周長＝5+2+(4?6)2故選：C．總結提升：本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，根據題意作出輔助線是解答此題的關鍵．類型三十字架模型10．(2023春?淮南期中）數學活動：探究正方形中的“十字架”①猜想：如圖1，在正方形ABCD中，點E、F分別在CD、AD邊上，且BF⊥AE，猜想線段AE與BF之間的數量關系：．②探究：如圖2，在正方形ABCD中，點E、F、G、H分別在AB，BC，CD，AD邊上，且EG⊥HF，此時線段HF與EG相等嗎？如果相等請給出證明，如果不相等請說明理由．③應用：如圖3，將邊長為4的正方形紙片ABCD折疊，使點A落在CD邊的中點E處，點B落在點F處，折痕為MN，則線段MN的長為25．思路引領：①設AE交BF于點P，由四邊形ABCD是正方形得AD＝BA，∠D＝∠BAF＝90°，由BF⊥AE得∠APB＝90°，根據同角的余角相等可證明∠DAE＝∠ABF，即可證明△DAE≌△ABF，得AE＝BF；②作AQ∥FH交BC于點Q，作DR∥EG交AB于點R、交AQ于點P、交HF于點K，則四邊形AQFH是平行四邊形，四邊形DREG是平行四邊形，所以AQ＝HF，DR＝EG，再證明AQ⊥DR，則AQ＝DR，于是得HF＝EG；③作AT∥MN交CD于點T，連接BE交MN于點J、交AT于點K，先由折疊得點E與點B關于直線MN對稱，則MN⊥BE，證明四邊形AMNT是平行四邊形，則MN＝AT，可證明AT⊥BE，則AT＝BE，根據勾股定理求出BE的長，得MN＝AT＝BE，即可求出MN的長．解：①AE＝BF，理由：如圖1，設AE交BF于點P，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝BA，∠D＝∠BAF＝90°，∵BF⊥AE，∴∠APB＝90°，∴∠DAE+∠EAB＝90°，∠ABF+∠EAB＝90°，∴∠DAE＝∠ABF，∴△DAE≌△ABF（ASA），∴AE＝BF，故答案為：AE＝BF．②HF＝EG，證明：如圖2，作AQ∥FH交BC于點Q，作DR∥EG交AB于點R、交AQ于點P、交HF于點K，∵AH∥FQ，AQ∥FH，∴四邊形AQFH是平行四邊形，∴AQ＝HF，∵DG∥ER，DR∥EG，∴四邊形DREG是平行四邊形，∴DR＝EG，設HF交EG于點L，∵∠APR＝∠HKR＝∠HLE＝90°，∴AQ⊥DR，由（1）得AQ＝DR，∴HF＝EG．③如圖3，作AT∥MN交CD于點T，連接BE交MN于點J、交AT于點K，由折疊得點E與點B關于直線MN對稱，∵MN⊥BE，∴∠MJB＝∠AKB＝90°，∴AT⊥BE，由（1）得MN＝AT，∵四邊形ABCD是正方形，AB＝AD＝4，點E是AD的中點，∴∠BAE＝90°，AE＝DE=12∴BE=AB2∴AT＝25，∵AM∥NT，AT∥MN，∴四邊形AMNT是平行四邊形，∵MN＝AT＝25，∴線段MN的長為25，故答案為：25．總結提升：此題考查正方形的性質、全等三角形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質、軸對稱的性質、勾股定理等知識，正確地作出輔助線構造全等三角形和平行四邊形是解題的關鍵．11．(2023?新化一模）如圖1，在矩形ABCD中，點E，F分別在AB，BC邊上，DE＝AF，DE⊥AF于點G．（1）求證：四邊形ABCD是正方形；（2）延長CB到點H，使得BH＝AE，判斷△AHF的形狀，并說明理由．（3）如圖2，在菱形ABCD中，點E，F分別在AB，BC邊上，DE與AF相交于點G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝6，BF＝2，請類比（2），求DE的長．思路引領：（1）根據矩形的性質得∠DAB＝∠B＝90°，由等角的余角相等可得∠ADE＝∠BAF，利用AAS可得△ADE≌△BAF（AAS），由全等三角形的性質得AD＝AB，即可得四邊形ABCD是正方形；（2）利用AAS可得△ADE≌△BAF（AAS），由全等三角形的性質得AE＝BF，由已知BH＝AE可得BH＝BF，根據線段垂直平分線的性質可得即可得AH＝AF，△AHF是等腰三角形；（3）延長CB到點H，使BH＝AE＝6，連接AH，利用SAS可得△DAE≌△ABH（SAS），由全等三角形的性質得AH＝DE，∠AHB＝∠DEA＝60°，由已知DE＝AF可得AH＝AF，可得△AHF是等邊三角形，則AH＝HF＝HB+BF＝AE+BF＝6+2＝8，等量代換可得DE＝AH＝8．（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠B＝90°，∵DE⊥AF，∴∠DAB＝∠AGD＝90°，∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，∴∠ADE＝∠BAF，∵DE＝AF，∴△ADE≌△BAF（AAS），∴AD＝AB，∵四邊形ABCD是矩形，∴四邊形ABCD是正方形；（2）解：△AHF是等腰三角形，理由：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAB＝∠ABH＝90°，∵DE⊥AF，∴∠DAB＝∠AGD＝90°，∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°，∴∠ADE＝∠BAF，∵DE＝AF，∴△ADE≌△BAF（AAS），∴AE＝BF，∵DE＝AF，∴BH＝AE，∴BH＝BF，∵∠ABH＝90°，∴AH＝AF，∴△AHF是等腰三角形；（3）解：延長CB到點H，使BH＝AE＝6，連接AH，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB＝AD，∴∠ABH＝∠BAD，∵BH＝AE，∴△DAE≌△ABH（SAS），∴AH＝DE，∠AHB＝∠DEA＝60°，∵DE＝AF，∴AH＝AF，∴△AHF是等邊三角形，∴AH＝HF＝HB+BF＝AE+BF＝6+2＝8，∴DE＝AH＝8．總結提升：本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質，正方形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，等邊三角形判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．類型四一線三直角模型12．(2023春?禹州市期末）如圖1，在正方形ABCD中，點E、F分別是BC、AB上的點，且CE＝BF，連接DE，過點E作EG⊥DE，使EG＝DE，連接FG、FC．（1）判斷：FG與CE的位置關系是，BE、CD、FG之間的數量關系為．（2）如圖2，若點E，F分別是邊CB，BA延長線上的點，其它條件不變，（1）中結論是否仍然成立？請作出判斷并給予證明；（3）如圖3，若點E、F分別是邊BC、AB延長線上的點，正方形ABCD的邊長為12，GE＝13，其他條件不變，請直接寫出四邊形FGEB的面積．思路引領：（1）根據正方形的性質得到BC＝CD，∠FBC＝∠ECD＝90°，進而證明△FBC≌△ECD，根據全等三角形的性質得到CF＝DE，∠BFC＝∠CED，證明四邊形GECF為平行四邊形，根據平行四邊形的性質解答即可；（2）仿照（1）的作法解答；（3）根據勾股定理求出BF，根據三角形的面積公式、平行四邊形的面積公式計算，得到答案．解：（1）設AB與GE交于點H，∵四邊形ABCD為正方形，∴BC＝CD，∠FBC＝∠ECD＝90°，在△FBC和△ECD中，BF=CE∠FBC=∠ECD∴△FBC≌△ECD（SAS），∴CF＝DE，∠BFC＝∠CED，∵EG＝DE，∴EG＝CF，∵EG⊥DE，∴∠BEH+∠CED＝90°，∵∠BEH+∠BHE＝90°，∴∠BHE＝∠CED，∴∠BHE＝∠BFC，∴GE∥FC，∴四邊形GECF為平行四邊形，∴FG∥EC，GF＝EC，∴BE+FG＝BE+EC＝BC＝CD，故答案為：FG∥EC；BE+FG＝CD；（2）（1）中結論不成立，FG∥CE，FG﹣BE＝CD，證明：仿照（1）的作法可得：△FBC≌△ECD（SAS），∴CF＝DE，∠BCF＝∠CDE，∵EG＝DE，∴EG＝CF，∵EG⊥DE，∴∠GED＝90°，∵∠CDE+∠CED＝90°，∴∠BCF+∠CED+∠GED＝180°，∴GE∥FC，∴四邊形GECF為平行四邊形，∴FG∥EC，GF＝EC，∴FG﹣BE＝EC﹣BC＝CD；（3）同（1）的作法可得：四邊形GECF為平行四邊形，∴CF＝GE＝13，在Rt△BFC中，由勾股定理得：BF=C∴CE＝BF＝5，∴四邊形FGEB的面積＝△BFC的面積+平行四邊形FGEC的面積=1總結提升：本題考查的是正方形的性質、平行四邊形的判定和性質、全等三角形的判定和性質，能夠證明△FBC≌△ECD是解題的關鍵．類型五半角模型13．(2023春?南崗區(qū)期末）問題解決：如圖1，在正方形ABCD中，點E，F分別在AB，AD上，連接CE，CF，EF，且∠ECF＝45°．（1）求證：BE+DF＝EF；（2）若AB＝6，EF＝5，AE＞AF，求線段AE的長．類比遷移：如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，對角線AC平分∠BAD，點E、F分別在AB、AD上，且AE＞AF，連接CE，CF，EF，∠ECF＝60°，若AC=2033，EF思路引領：問題解決：（1）延長AB到G，使得BG＝DF，連接CG，證明△BCG≌△DCF（SAS），由全等三角形的性質得出CG＝CF，∠BCG＝∠DCF，證明△CEF≌△CEG（SAS），由全等三角形的性質得出EF＝EG，則可得出結論；（2）令BE＝n，則AE＝6﹣n，由勾股定理得出（6﹣n）2+（n+1）2＝52，求出n則可得出答案；類比遷移：過點C分別作CM⊥AD交AD的延長線于點M，CN⊥AB于點N，證明△ACM≌△ACN（AAS），由全等三角形的性質得出AM＝AN，CM＝CN，由勾股定理求出AM＝10，證明△CDM≌△CBN（AAS），由全等三角形的性質得出CD＝CB，DM＝BN，AB+AD＝20，延長AB到G，使得BG＝DF，連接CG，證明△CDF≌△CBG（SAS），由全等三角形的性質得出CF＝CG，∠DCF＝∠BCG，證明△CEF≌△CEG（SAS），由全等三角形的性質得出EG＝EF＝7，過點F作FH⊥AE于點H，令AF＝2m，則AE＝13﹣2m，由勾股定理求出m，則可得出答案．（1）證明：延長AB到G，使得BG＝DF，連接CG，∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝∠D＝∠ABC＝90°，∴∠CBG＝180°﹣∠ABC＝90°﹣∠D，∴△BCG≌△DCF（SAS），∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF，∴∠BCG+∠BCF＝∠DCF+∠BCF，∴∠FCG+∠BCD＝90°，∴∠ECG＝∠FCG﹣∠ECF＝45°＝∠ECF，又∵CE＝CE，∴△CEF≌△CEG（SAS），∴EF＝EG，∴BE+DF＝BE+BG＝EG＝EF；（2）解：令BE＝n，則AE＝6﹣n，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝6，∠A＝90°，∵BE+DF＝EF，∴DF＝EF﹣BE＝5﹣n，∴AF＝AD﹣DF＝6﹣（5﹣n）＝n+1，∵AE2+AF2＝EF2，∴（6﹣n）2+（n+1）2＝52，∴n1＝2，n2＝3，∵AE＞AF，∴6﹣n＞n+1，∴n＜5∴n＝2，∴AE＝6﹣2＝4；類比遷移：解：如圖2，過點C分別作CM⊥AD交AD的延長線于點M，CN⊥AB于點N，∵AC平分∠BAD，∠BAD＝60°，∴∠CAM＝∠CAN＝30°，又∵∠M＝∠ANC＝90°，AC＝AC，∴△ACM≌△ACN（AAS），∴AM＝AN，CM＝CN，∵∠CAM＝30°，∴CM=12AC∴AM=A∴AN﹣AM＝10，在四邊形ABCD中，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC＝360°，∴60°+∠ABC+120°+∠ADC＝360°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，又∵∠CDM+∠ADC＝90°，∴∠CDM＝∠ABC，∴△CDM≌△CBN（AAS），∴CD＝CB，DM＝BN，∴AB+AD＝AM﹣DM+AN+BN＝20，延長AB到G，使得BG＝DF，連接CG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠CBG＝180°，∴∠ADC＝∠CBG，∴△CDF≌△CBG（SAS），∴CF＝CG，∠DCF＝∠BCG，∴∠DCF+∠BCF＝∠BCG+∠BCF，∠FCG＝∠BCD＝120°，∴∠ECG＝120°﹣∠ECF＝60°＝∠ECF，又∵CE＝CE，∴△CEF≌△CEG（SAS），∴EG＝EF＝7，∴DF+BE＝BG+BE＝EG＝7，∴EA+AF＝AB﹣BE+AD﹣DF＝（AB+AD）﹣（BE+DF）＝20﹣7＝13，過點F作FH⊥AE于點H，令AF＝2m，則AE＝13﹣2m，在Rt△AFH中，∠AFH＝90°﹣∠FAH＝30°，∴AH＝m，∴FH=AF2?AH2=(2m)2∵EH2+FH2＝EF2，∴(13?3m)∴m1＝4，m2=5∵AE＞AF，∴13﹣2m＞2m，解得m＜13∴m=5∴AE＝13﹣5＝8．總結提升：本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質，角平分線的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，直角三角形的性質等知識；熟練掌握正方形的性質，證明三角形全等是解題的關鍵．14．(2023春?無錫期中）如圖，菱形ABCD中，∠B＝60°，點E，F分別在AB，AD上，且BE＝AF．（1）求證：△ECF為等邊三角形；（2）連接AC，若AC將四邊形AECF的面積分為1：2兩部分，當AB＝6時，求△BEC的面積．思路引領：（1）連接AC，由菱形的性質可證明△ACE≌△CDF，得出EC＝FC，再證出∠ECF＝60°，根據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形即可得出結論；（2）作AH⊥BC，分兩種情況：當S△CBE：S△CAE＝1：2時；當S△CBE：S△CAE＝2：