河南省部分學(xué)校2023屆高三高考仿真適應(yīng)性測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題（含答案）

理科數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干

凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的.

1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合Λ∕={x∣V-3χ+2=θ},Λ^={x∈Z∣x2-6x+5＜θ},則集合

心（VUN）中的子集個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.16D.無數(shù)個(gè)

2.已知復(fù)數(shù)ZO=I段，其中i為虛數(shù)單位，且|z—Zo∣=l,則復(fù)數(shù)Z的模的最大值為（）

A.1B.2C.3D.4

3.已知α是第二象限角，則點(diǎn)（COS（Sina）,sin（cosα））所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

22

4.關(guān)于橢圓。：「+當(dāng)=1（。＞。＞0）,有下面四個(gè)命題：

Clu

C2

甲：長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4；乙：短軸長(zhǎng)為2：丙：離心率為---；J：—=4

2c

如果只有一個(gè)假命題，則該命題是（

A.甲B.乙C.丙D.T

5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果是5,若機(jī)=Ig（1-5）,則，”的值為（）

99

A.BC.-2D.lg99-2

100-?

6.數(shù)學(xué)與生活密不可分，在一次數(shù)學(xué)討論課上，老師安排5名同學(xué)講述圓、橢圓、雙曲線、拋物線在實(shí)際生

活中的應(yīng)用,要求每位學(xué)生只講述一種曲線,每種曲線至少有1名學(xué)生講述,則可能的安排方案的種數(shù)為()

A.240B.480C.360D.720

7.在正方體ABCO—44GA中，下列說法不正確的是()

A.直線AG與直線BC垂直

B.直線ACl與平面ABO垂直

C.三棱錐A-CfO的體積是正方體ABS-AgGR的體積的三分之一

D.直線A崗與直線BG垂直

8.B?ll?∣Mα=(2cos75°,2sin75),∕>=(cos15,-sin15),K(2π+?)±(α-λb),則實(shí)數(shù)2的值為()

A.8B.-8C.4D.-4

9.點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為2的正方體ABCr)-A4GA外接球球面上的任意一點(diǎn)，則四棱錐P—ABCD的體積的最

大值為()

4口4(l+√3)4(√3-l)8

3333

10.已知數(shù)列｛a,,｝滿足q=2,aιn+n-am+an,若4t+1+4+2++?+∣0=310,則A=()

A.10B.15C.20D.25

11.已知函數(shù)/(幻=2$拘(?！?工］+機(jī)(?！?)的最小正周期為了，若工＜T＜萬，且y=∕(x)的圖象關(guān)于

對(duì)稱，則/￡=()

A.-1B.1C.3D.1+百

12.已知x+e"=y+lny,且f=y—x+l,則實(shí)數(shù)/的最小值為()

12

A.1B.-C.2D.一

ee

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.直線y=gx+l與拋物線∕=4y交于A,B兩點(diǎn)，則IABl=.

14.已知圓C經(jīng)過拋物線y=/一4x—8與X軸的交點(diǎn)，且過點(diǎn)(0,2),則圓C的方程為

15.若二項(xiàng)式(五―的常數(shù)項(xiàng)為-80,則〃=____

INX)

16.已知函數(shù)/(x)=eτ-e*,若函數(shù)〃(X)=/(x—3)+x+l,則函數(shù)〃(x)的圖象的對(duì)稱中心為；若

數(shù)列｛為｝為等差數(shù)列，q+4+/++/022=6066,則〃(4)+〃(％)++^(。2022)=-

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，每個(gè)試題考生都

必須作答，第22、23題為選做題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.(本小題滿分12分)在AABC中，。是邊BC上的點(diǎn)，AC平分N84C,ZXABO的面積是AACD的

面積的兩倍.

(1)如圖1,若NBAC=I20°,且IADl=1,求ZsACD的面積；

(2)如圖2,若點(diǎn)E在邊AB上，且IBCl=石IAC∣A￡|=——?AB?,求tanN8CE的值.

2

18.(本小題滿分12分)在四棱錐Q—ABCC中，底面ABC。是正方形，若AO=2,QD=QA=逐,QC=3.

(1)證明：平面Qlo_L平面A8CZ)；

4

(2)若點(diǎn)P為四棱錐。一ABCO的側(cè)面QCQ內(nèi)(包含邊界)的一點(diǎn)，且四棱錐P—ABCQ的體積為§,求

BP與平面ABCD所成角的正弦值的最小值.

19.(本小題滿分12分)為了探討學(xué)生的物理成績(jī)y與數(shù)學(xué)成績(jī)X之間的關(guān)系，從某校高三學(xué)生中抽取10名

學(xué)生，他們的成績(jī)(x∣＞學(xué)(ι=l,2,???,10)如下表:

Xi729096102108117120132138147

y39495359616969798090

(1)請(qǐng)用相關(guān)數(shù)據(jù)說明該組數(shù)據(jù)中)，與X間的關(guān)系是否可用線性回歸模型擬合；

(2)求物理成績(jī)y關(guān)于數(shù)學(xué)成績(jī)X的線性回歸方程；(結(jié)果保留三位小數(shù))

(3)從統(tǒng)計(jì)的10名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，求至少有一名學(xué)生物理成績(jī)不少于60分的概率.

附：參考數(shù)據(jù)與參考公式

1010IO10IO3257.43257.4

χLX?√10687455.36

Σ%Σ%∑iyiΣH4845.63269.16738

/=1i=l/=I/=I/=I

112264875963130734441960.6723269.167380.9964

n.

z(?,-?)(z-?)zu-?)(?,-?)

相關(guān)系數(shù)，=—/目，b=^-^ι------------,a=y-bx.

J∑u-^2∑(χ-y)2￡(—)2

V/=1/=1E

22

20.(本小題滿分12分)已知雙曲線C:=*—)(α>0,6>0)的離心率為B且雙曲線C過點(diǎn)A(Jl2卜

直線交雙曲線C于尸，。兩點(diǎn)(異于點(diǎn)A),直線AP,A。的傾斜角互補(bǔ).

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求證：直線1與直線2√Σx+y=0平行

21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)/(x)=lar—αx.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)討論函數(shù)/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.

(-)選做題：共10分

請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.

22.(本小題滿分10分)［選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

',4

X=I+τ

在平面直角坐標(biāo)系XO)，中，己知直線的參數(shù)方程為<5C為參數(shù))，拋物線C的極坐標(biāo)方程為

Psin2θ=4cos6*.

(1)求直線/和拋物線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)求直線/被拋物線C截得的弦長(zhǎng).

23.(本小題滿分10分)［選修4—5：不等式選講］

己知α,b,C是正實(shí)數(shù)，且α+b+c=3.求證：

(1)abc<1；

(2)4α2+4Z?2+C2>6.

答案

1.B先求M={1,2),7V={x∈Z∣l<x<5)={2,3,4},所以MDN={1,2,3,4},則布(MUN)={5}

,所以子集的個(gè)數(shù)為2.

【易錯(cuò)提醒】注意補(bǔ)集的概念，不能錯(cuò)誤的選成C.

【解題提示】此題要注意運(yùn)算技巧，另外要注意復(fù)數(shù)的幾何意義。

2.CZO=IU)=2i,則IZ-ZoI=I表示的是以(0,2)為圓心，1為半徑的圓，則IZl的最大值為

3.

【易錯(cuò)提醒】不注意運(yùn)算技巧，直接分子分母同時(shí)乘以3Mi再求可能容易算錯(cuò).

3.【解題提示】先確定OVSina<1,TvcosavO,進(jìn)而確定COS(Sina)>0,Sin(CoSa)vθ.

D因?yàn)镺VSinaVL—l<cosɑ<0,所以COS(sinɑ)>0,sin(cosɑ)<0,(cos(sinɑ),sin(cosɑ))在

第四象限.

4.【解題提示】先假設(shè)某兩個(gè)正確，則另兩個(gè)必有一個(gè)正確一個(gè)錯(cuò)誤；否則這兩個(gè)不可能都正確.

所以e=￡=立，—??,則丙正確，丁

D假設(shè)甲、乙都正確，則a=2,6=1,所以C=Ja2_廿=6

a2c√3

錯(cuò)誤.

5.【解題提示】利用循環(huán)語句研究數(shù)列的前99項(xiàng)和，注意裂項(xiàng)相消求和法的應(yīng)用.

C由程序框圖可知，本題要求的是先求「一+」一+—!—++—?—的值，即求

1×22×33×199×100

1--+---++-——L=I—--,然后再求1—S=」一,故m=一2.

22399100100100

6.A先選出2人講同一種曲線，再全排列，C；&=240.

【易錯(cuò)提醒】必須注意，先選后掉.

7.D設(shè)正方體ABCD-的棱長(zhǎng)為1,以C為原點(diǎn)，以CB,CD,CG所在直線分別為x,y,z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則AG=(-11),B1C=(-l,0,-l),AB=(OT_1),

AD=(-1,0,-1),ABi=(0,-1,1),BCi=(-1,0,1).

所以AG?4C=(T)X(T)+(T)Xo+lχ(T)=0,AGAB=(T)χ0+(T)χ(T)+IX(T)=0,

AC1?^r>=(-ι)×(-ι)+(-ι)×o+ι×(-ι)=o,

所以AC?LBC,AC^lΛlβ-ACl±A,D

即AC∣,BC,AC1YA1B,AC1YAtD

又A∣8cAO=4,所以AC∣J?平面AB。，故A,B正確.

AB1-BC1=O×(-l)+(-l)×O+l×l=l≠O.所以ABl與BG不垂直，所以D錯(cuò)誤，

匕cm。T-4x；XgXlXlxl=；.

VI

所以AiCiBD------,故C正解.

VABCDAlB￡53

8?【解題提示】此題不需要知道15°和75度的三角函數(shù)值，只需知道”,b兩個(gè)向量的模及“，b兩個(gè)向量垂

直即可.

人因?yàn)椤?。=28$(15+75)=0,忖=2,忖=1.

所以(24+b)?(α-九7=8—4=0.

所以)=8,

9.【解題提示】關(guān)鍵是求出四棱錐尸一ABCQ的高的最的最大值.

B由正方體與外接球的關(guān)系知2R=百?"=2百，即R=G.則四棱錐P-ABCD的京的最大值為√3+l,

所以四棱錐P-ABCD的體積的最大值為

10.【解題提示】由a,”+,,=。,.+?！翱傻谩Ｏ??！?4=2,進(jìn)而可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列｛α,,｝是首項(xiàng)和公差均為2的等

差數(shù)列.

A因?yàn)閍nι+n=am+a”所以an+1-an=al-2,故數(shù)列

{4}是首項(xiàng)和公差均為2的等差數(shù)列，所以q=2+(〃-1)x2=2〃，

2(Z+l)l+2(Z+10)

所以a,,÷∣+4+1+■?-+fln+10=———---------×10=310-解得G10?

IL【解題提示】先根據(jù)周期T的范圍確定。的范圍，再利用對(duì)稱性確定①的值，進(jìn)而求出f的值即可.

JFTT2TT

C因?yàn)楣ぃ?＜)，所以上＜絲＜乃，即2＜口＜6,

33ω

又因?yàn)閥=∕(x)的圖象關(guān)于(篝,1)對(duì)稱，所以m=1,

5ωππ24左一4.

-----v-=kπ,Z∈Z,所以=-------,KeZj,

2465

又因?yàn)?<<υ<6,所以刃=4,所以/(專C,?！??[?

=2sιn—I—+1=3.

(36)

12.【解題提示】先將X+,=y+Iny化成X+/=Iny+/”,

再利用函數(shù)y=x+e"在R上單調(diào)遞增得到kIny,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求片y—lny+l的最小值即可,

C因?yàn)閤+e"=y+Iny可化成x+e'=Iny+/”.又因?yàn)楹瘮?shù)y=x+e"在R上單調(diào)遞增,

所以X=Iny,由t=y-↑ny+?的最小值是在y=l時(shí)取得可知，^min=2.

13.【解題提示】聯(lián)立方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后代入公式直接求解.

V=?/?X+1fx=2>∕3+4[x=2Λ∕3-4

【解析】由匕,X十人得「l廠，7L

X~4y,%=7+4>/3%=7—4j3

所以A,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)為Q√5+4,7+4√^),(2√3-4,7-4√3)),所以

∣AB∣=^(2√3+4)-(2√3-4)]2+p7+4√3)-(7-4√3)2=16.

答案：16

14.【解題提示】用圓的一般式方程，再結(jié)合兩個(gè)一元二次方程同解即可.

2

【解析】設(shè)圓。的方程為/+V+Dr+Ey+尸=o,令y=。，X+DX+F=0,則由圓C經(jīng)過拋物線

y=f—4χ-8與X軸的交點(diǎn)可知方程V+DX+E=。與/一4》一8=0同解，所以。=T,/=一8,所

以圓C的方程為χ2+y2-4x+6y-8=0,又因?yàn)閳A。過點(diǎn)(0,2),所以4+2E-8=0,所以E=2,所以

圓。的方程為f+/—4χ+2y-8=0.

答案：x2+y2-4x+2y-8=0

【易錯(cuò)提醒】直接求出與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)，再用一般式方程或標(biāo)準(zhǔn)方程求解都比較復(fù)雜，容易算錯(cuò).

n-rr

15?【解析】由題意可知=(-2)yQ

r

(-2)C>-80r=3

且r,〃為整數(shù)，可得《‘

n=5.

答案：5

16.【解析】因?yàn)?(x)+x為奇函數(shù)，所以〃(力=/。-3)+%-3+4的圖象關(guān)于(3,4)成中心對(duì)稱，由數(shù)列

{/}為等差數(shù)列可知4+4o23τ?=60=1,2,3,,2022),故(a,,MaJ)與(々必-,，"％^,))關(guān)于點(diǎn)(3,4)對(duì)

稱，故〃(OI)+〃3)++〃(4022)=8088.

答案：(3,4)8088

【易錯(cuò)提醒】注意由函數(shù)/(x)+x為奇函數(shù)找出函數(shù)∕z(x)的對(duì)稱中心.

17.【解題提示】運(yùn)用面積關(guān)系及正弦定理.

【解析】(1)因?yàn)閆VLBO的面積是AACD的面積的兩倍，∕84C=120,且IAO=1,Ao平分/84C.

所以S.=；IAOHA卻?*=2SACD=2TAO∣?∣AC∣?亭，所以|他卜2∣4q,

又因?yàn)镾ABC=3SW=31|4*|4葉曰=乎|Aq=JABHACl?日=白?2∣ACl2,

所以IAc=|,所以SAS=*C∣∣AD∣岑g乎=浮

所以ZXACD的面積為之叵；

8

(2)由(1)知I相=2∣AC∣.設(shè)IAq=RW∣J∣AB∣=2?,

又因?yàn)殁頒=GIAq=J?,

IACI2+∣BCI2=b1+3b1=4從=∣AS『,

所以AABC是以/AC8為直角的直角三角形,

bAE

在Z?ACE中,由正弦定理可得---------=-----------=

sin/AECsin∠fACEsin∠fACE

在zλ8CE中,由正弦定理可得

BE2?-(√3-l)?(3-√3)?

SinZBECSinZBCEsinZBCEsinZBCE

因?yàn)镾inZAEC=SinZBEC,所以sin/ACE=smZBCE,

又因?yàn)镹AC￡,NBCE均為銳角，

JT

所以ZACE=ZBCE=上，所以IanZBCE的值為1.

4

18.【解題提示】取AO中點(diǎn)為0,可以先證明QO_L平面ABCD(或Co_L平面AOQ),

第(2)問可以利用第一問的證明建系落實(shí).

【解析】(1)取AO的中點(diǎn)為。，連接Q。，CO.

因?yàn)镼A=Qr>,OA=OD.則QOLAO,而AD=2,QA=亞,故QO=√ΓΠ^=2.

在正方形ABCz)中，因?yàn)锳D=2,故。。=1,故CO=非,

因?yàn)镼C=3,故QC2=QO?+OC2,故^QOC為直角三角形且QO_LOC,

因?yàn)镺CCA￡>=0,故Qo_L平面ABCD,

因?yàn)镼oU平面QAO,故平面QA。，平面A8C。.

(2)在平面ABS內(nèi)，過。作OT〃C￡),交8。于T,則OT_L4).

結(jié)合(1)中的QOL平面ABe。，故可建如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則。(0,1,0),Q(0,0,2),B(2,-1,0),C(2,1,0),

故BQ=(-2,1,2),8。=(-2,2,0),CD=(-2,0,0).

14

因?yàn)?二二工，所以用

Vχ4χ∕Zr1,

P-ABCD§??

又因?yàn)辄c(diǎn)P為四棱錐Q-ABCD的側(cè)面QCD內(nèi)的一點(diǎn)(包含邊界)，

所以點(diǎn)P的軌跡是AQCD的中位線EF,

設(shè)"=∕IE∕(O≤;1≤1),則EP=曰CD=(一40,0),BP=BE+EP=(-?-λ,^,l

1^2√29

設(shè)BP與平面ABCr)所成角為α,貝IJSina2-------，

29

α+D2+j

所以BP與平面ABCr)所成角的正弦值的最小值為2叵.

29

75963-10×1^x648L4

z(?,-?)(z--?)3

19?【解析】（1）因?yàn)閞=i=l------------1Q-一=-157?4-≈0.9964,

23269.167383269.16738

V(=1(=1

而0.9964非常接近于1,所以可用線性回歸模型擬合.

32574^

(2)因?yàn)閎=2=--------≈0.672,a=64,8-0.672×112.2≈-10.598,

4845.6

∑α-力

/=1

所以物理成績(jī)y關(guān)于數(shù)學(xué)成績(jī)X的線性回歸方程為y=0.672x-10.598.

（3）記“從統(tǒng)計(jì)的10名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名，至少有一名同學(xué)物理成績(jī)不少于60分的為事件A”，則一次

試驗(yàn)中所含有的基本事件的個(gè)數(shù)〃=C富=45,

事件A中所含有的基本事件的個(gè)數(shù)m=Gj-C;=39.

所以從統(tǒng)計(jì)的K）名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名，至少有一名同學(xué)物理成績(jī)不少于60分的概率為

m3913

P(A)

n4515

20.【解題提示】已知離心率通常將a,b,C用同一字母表示，注意定點(diǎn)定值問題的處理方法.

y2

【解析】（1）因?yàn)殡p曲線C:二=?（a>0,b>0）的離心率為逐，所以雙曲線的方程可表示為

a

22

l?--?-=!,又因?yàn)殡p曲線。過點(diǎn)A（、歷,21

21

所以一2-----J"——1)所以￠/=1,b2=4,

cia~

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為/=1;

4

（2）根據(jù)題意可知直線/的斜率一定存在，故可設(shè)直線/的方程為y="+加（加≠2-√^t）,將y=履+機(jī)代

22

入得(一公卜2所以+超-2kmrn+4

W-3=142-2knvc-tτι-4=0,XI-----，XlX2

二一4廠k2-4

又因?yàn)橹本€AP,AQ的傾斜角互補(bǔ),

設(shè)尸點(diǎn)坐標(biāo)為（x∣,χ）,Q點(diǎn)坐標(biāo)為（工2，%），所以--7==---%---T=>即

-

X2V2X、-72

(%-0)(3+m_2)=_(%22

所以2AxM2+(加一2-V∑A)(X+x2)-2?∕2(∕w-2)=O,

2km2+8?+2y∣2k2m+4km-2km2-2y[2^k2m-2k2-4m+8)

所以=O

k2-4

化簡(jiǎn)得卜〃+岳-2)卜+2&)=0.

又因?yàn)閙+J5%—2≠0,所以k=-2>

又因?yàn)锳=4?2-4()t2-4)(m2+4)=16(m2-?2+4)>0,

所以機(jī)2一8+4>0,所以|討>2，

所以直線Ly=-2岳+/〃與直線2√Σx+y=0平行.

【易錯(cuò)提醒】第(2)問不僅僅是求到直線/的斜率就行，要注意證平行.

21.【解題提示】第(2)問當(dāng)&e(θ,j時(shí)要注意用放縮法，設(shè)法取值是關(guān)鍵.

【解析】(1)因?yàn)?"(X)=L-。=匕竺，

XX

當(dāng)α≤0時(shí),AX)>0,

所以/。)在(0,+”)上單調(diào)遞增，

當(dāng)α>0時(shí)，令r(χ)=O,得X=L

所以/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0」)，單調(diào)遞減區(qū)間是口,+e

⑵由(1)可知，當(dāng)α<0時(shí)，/(x)在(0,+a)上單調(diào)遞增，/⑴=一α>0,/(e")=α-αe"=α(l-e")<0,

又因?yàn)?(x)在［e",l］上是連續(xù)不間斷的，所以/(x)在(e",l)上有唯一零點(diǎn)，

所以當(dāng)α<0時(shí)，〃x)在(0,+“)上有唯一零點(diǎn)，

當(dāng)α=0時(shí)，/(x)在(0,+⑹上有唯一零點(diǎn)，

當(dāng)a>