高中數(shù)學(xué)一題多解經(jīng)典題型匯編

高中數(shù)學(xué)一題多解經(jīng)典題型匯編

【典例1】設(shè)48是全集〃的兩個(gè)子集，且IqS則下列式子成立的是()

?.CUA=CUBB.CuAUCuB=U

C.A[?CυB=φD.CuArlB=O

解法一：運(yùn)算法

A.?.?CtzA=(CβA)U(Cf7β)=>Ct7B?CyΛ,A錯(cuò)誤

B.CuA?jA=U^CuB?jB=U,B錯(cuò)誤

C.VA?B=>A∩B=A,又?.?CfγBn8=0=>Cu8Γ∣A=0,C正確

D.?.?A?B=>A∩B=A=>CσA∩B≠(?,D錯(cuò)誤

解法二：特殊值法

由題意，不妨設(shè)U={1,2,3},B={1,2},A=⑴，則

CUA={2,3}

?.n{3}={2,3}n(Q5)u(QA),A錯(cuò)誤

QB={3}

Xl1丁0(QB)U(CU4)={2,3}X{1,2,3}=U,B錯(cuò)誤

B.

8—l??

C.CυB={i},A=??}^>CljBΓ?A=φ,C正確

D.QA={2,3},B={l,2}nQAnB={2}≠0,D錯(cuò)誤

解法三：韋恩圖法

如右圖所示，通過(guò)韋恩圖直接判斷選項(xiàng)的正誤.

??方法解讀

解法一：應(yīng)用這種解法一定要熟悉掌握和理解集合的基本運(yùn)算法則，比較抽象也有難度。

解法二：通過(guò)取特殊值后，使各式的運(yùn)算結(jié)果一目了然，更便于判斷，因此該方法比較簡(jiǎn)

單。

解法三：韋恩圖更加地形象直觀，能夠快速、準(zhǔn)確的作出判斷，此法它利用了數(shù)形結(jié)合的

思想。

【典例2】己知(1-，)2=3+痣，(，是虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)于的點(diǎn)位于第象

限.

解法一：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法

???(lr?R=3+"n”如亙=(3+同(l+i)=(3-揚(yáng)+(3+揚(yáng)、三在+也互

1-z(l-z)(l+r)222

.?.Z=上叵一±也i=第四象限.

22

解法二：利用相等復(fù)數(shù)法(待定系數(shù)法)

設(shè)復(fù)數(shù)z=α+瓦,則5=α-0i

.?.(l-z)z=3+√2∕=>(1-Z)(α-?O=3+√2z=>(α-fc)-(α+fo)Z=3+√2z

-3-√2

"b=3"=2,.3-√23+√2.給Iraana

/—={LnZ=α+Zn=-------------------1=>第四家限.

-(α+?)=√2,3+√222

D=----------

2

??方法解讀

解法一：先通過(guò)解方程得出復(fù)數(shù)Z的共匏復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)與共加復(fù)數(shù)的關(guān)系判斷出復(fù)數(shù)

在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的象限，該方法比較直接。

解法二：復(fù)數(shù)有固定的表達(dá)形式，有時(shí)不妨假設(shè)出復(fù)數(shù)的表達(dá)式，然后再利用待定系數(shù)法

解出a,6的值，這種方法在有些時(shí)候非要有用。

'y≤2x

【典例3］若變量X,y滿足約束條件■2x+y≤l,則?z=3*+y的最大值是________.

y≥-1

解法一：解方程法

y=2x①

將原式的不等號(hào)看成等號(hào)，得2x+y=l②

J=T③

1

X=—

y=2x4CC115

由①②，得=>z=3x+y=3?—I=一

2x+y=1l424

1

y=2x一X—___

由①③，得+(-∣)=-∣

V=T=2=>Z2=3x+y=3?

J=T

2χ+y=1X=I

由②③，得

=>z3=3x+y=3?l+(-1)=2

y=-ι=J=T

比較z∣,z2,z3的大小，得,3jf+y的最大值是2.

解法二：作圖法

J=2Λ?

P

y=-ι

2x+y=?

?y=-3x+z?

由圖可知，只有當(dāng)待定直線y=-3x+z過(guò)點(diǎn)P(l,-1)時(shí)，直線的截距b=z才最大，即

zman=3x+y=3-1+(-1)=2.

??方法解讀

解法一：解方程法雖然來(lái)得快，但是并不是所有線性規(guī)劃題型都適用，具有一定的局限性。

解法二：作圖法比較直觀，但是很多同學(xué)作圖不規(guī)范、區(qū)域找不準(zhǔn)也容易造成丟分。因此

一定要掌握好作圖法的精髓，避免不必要的丟分。

【典例4］當(dāng)0<x<2時(shí)，函數(shù)y=x(6-3x)的最大值是

解法一：二次函數(shù)圖像法

y=x(6—3x)=—3X2+6X=Λ?=---=-------=1

-f2a2-(-3)

,3

∕ωmax=∕()=?

解法二：均值不等式法

由不等式"?^[4/7€尺+知

3x+3v

y=x(6-3x)=?-3x(6-??)≤??^^~^?=3

當(dāng)且僅當(dāng)3x=6-3x,即x=l時(shí)，等號(hào)成立

故/(x)max=/⑴=3?

解法三：?jiǎn)握{(diào)性法(求導(dǎo)法)

已知函數(shù)的定義域?yàn)?0⑵，則

f(X)=-3X2+6X=>f'(x)=-6x+6

f?x)>0=-6x+6>0=>0<x<l

∕,(x)<0=>l<x<2

.?.∕(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,2)單調(diào)遞減

n∕(x)max=AD=3?

??方法解讀

解法一：二次函數(shù)圖像法在初中階段就已經(jīng)深入學(xué)習(xí)，要用此法一定要充分掌握二次函數(shù)

的圖像和性質(zhì)，知道如何求二次函數(shù)的對(duì)稱軸，最值等方法。

解法二：觀察該函數(shù)的結(jié)構(gòu)，可用均值不等式求其最值。但是用均值不等式求最值一定要

注意三個(gè)前提條件“一正、二定、三相等"，如果無(wú)法取到等號(hào)那討論將失去意義，同學(xué)們

應(yīng)當(dāng)特別注意。

解法三：通過(guò)求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，再將函數(shù)的極值與端點(diǎn)值進(jìn)行比較，從而得到最值。

【典例5］已知Sina+cosα=,且?^≤a44,貝∣Jtan(a-?)=

~5

解法一：解方程組法

1

?.?sma+cosa=——①

5

又?.?sin2α+cos2a=1②

2

=>sin2α+(-E-Sina)2=1=∑>25sinα+5sina-12=0

即(5sina-3)(5Sina+4)=O

解得Sina=3或Sina=-4

55

由工≤α≤乃=Sina3

25

3

.?.cos?=-l-sin?=-4,tanaSina_53

55CoSa44

5

π3

tana-tan—

tanα-l

.,.tan(α-44

九I+tana

I1+tanatan—

4

解法二：整體代入法

πsina?

tanσ-tan

πtanof-1CoSa_sina-COSa

tan(α----)=4=

4.冗l÷tana??sinorSina+cosα

1+tancrtan—

4CoSa

1

??SIna+cosα=——①

5

(sinα+cosa)2=>sι.n2α+c2s?ιnαcosα+cosi~α=——?

25

?+2sinacosα=Lnsinacosa=--

2525

(Sina-COSa)2=sin20-2sinacosσ+cos2<7=(sinor+cosσ)2-4sinacosa

又?.?工≤α≤τr=sinα—CoSa>O

2

,7小

SIna-CoSa=W3

7

∏-Sina-CoSa5

「?原s式μ=----------=?='-7.

Sina+cosa_?

~5

解法三：萬(wàn)能公式法

1

?.?s?nɑ+costz=——

5

2(1Y

=(Sina+cosa)=I--Insm2a+c2sm?acosa÷cos2a=——?

25

??

s?nc2a-2csιnacosa=---2-4-

25

2tanX

2tan。24Ie2CUICC

?.?sinx=--------2-=>s.inC2a=--------==>12tana+25tan。+12=0

,2χ2

1+tan—l+tana25

2

=>(3tan。+4)(4tana+3)=O

解得tana=-9或tana=--∣(舍)

43

π

tana-tan_2,,

.?.tan(σ-?)=--------------?=tana-l_4_

'+tana-

1+tanatan-

4

??方法解讀

解法一：解方程組法是非常常規(guī)的方法，是大多數(shù)同學(xué)普遍使用的方法。但是應(yīng)用該方法

計(jì)算相當(dāng)繁瑣，而且不易計(jì)算。

解法二：觀察所求式子的結(jié)構(gòu)，采用整體代入法是本題的技巧，但是該方法不是所有題目

都適用，同學(xué)們要靈活的運(yùn)用，不能死記硬背，機(jī)械記憶。

解法三：此題也可以用萬(wàn)能公式法，但是很多同學(xué)記不住萬(wàn)能公式。因此有些必要的公式

還需要同學(xué)們加強(qiáng)記憶和鞏固，只有基本功扎實(shí)了，才能應(yīng)付靈活多變的數(shù)學(xué)難題。

【典例6】已知向量蘇=(匕2),OB=(-2,3),e?=(34,-4),且A,8,C三點(diǎn)共線，則Z=.

解法一：距離公式法

AB,C三點(diǎn)共線n∣ΛB∣+∣BC∣=∣AC∣

取。點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0),則

A(*,2),β(-2,3),C(3k,-4)

=>IABI=7(-2-?2+(3-2)2

22

=>?BC?=y∣(3k+2)+(-4-3)

=>IAq=J(3A-Z)2+(T-2)2

由∣AB∣+忸q=,q,解得Z=_3.

解法二：共線向量法

A,B,C三點(diǎn)共線=>ΛB∕∕BC∕∕AC

AB=OB-OA=(-2,3)-(Λ,2)=(-2-?,1)①

IiC=OC-OB=(3?-4)-(-2,3)=(3?+2,-7)②

AB//BC=>xiy2-X2y↑=O

(-2-*)?(-7)-(3*+2)?l=0=>?=-3.

解法三：斜率法

AB,C三點(diǎn)共線=>kAB=kBC=kAC

又???A(k2),B(-2,3),C(3kT)

噎=-ξ1ξ2-==L②

氏3我-(-2)32+2

,,1-7

??方法解讀

解法一：距離公式法屬于常規(guī)法，容易想到。但應(yīng)用此法主要的困難是去掉根號(hào)這一步，

要等式兩邊同時(shí)平方兩次才能將根號(hào)去掉，計(jì)算量相當(dāng)大，一般來(lái)說(shuō)不建議應(yīng)用此方法。

解法二：將三點(diǎn)共線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共線向量問(wèn)題，是解決該題最好的方法和思路。因此在以

后遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題當(dāng)中，轉(zhuǎn)化思想仍然值得每位同學(xué)理解和掌握。

解法三：斜率法也是解決該題很好的方法，應(yīng)用此法可以減少很多計(jì)算，過(guò)程簡(jiǎn)單，邏輯

鮮明。

【典例7】已知函數(shù)滿足f(x-2)=χ2+5χ+7,則/(X)=.

解法一：圖像平移法

2

f(x-2)=X+5X+1是將/(X)的圖像向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到

因此再將/(x-2)=χ2+5χ+7的圖像向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得

/(x+2-2)=(x+2)2+5(x+2)+7=x2+9x+21

2

BP∕?(Λ-)=X+9X+21.

解法二：賦值法

為了得到/(x),不妨令X=X+2,貝IJ

/(X+2-2)=(X+2)2+5(A?+2)+7=√+9X+21

即/(χ)=χ2+9x+21.

解法三：換元法

令“=x—2,貝IJX=〃+2

/(x-2)=x2+5x+7n/("+2-2)=(w+2)2+5(?+2)+7=M2+9?+21

n/(w)=W2+9M+21

2

g[J∕(x)=x+9x+21.

解法四：構(gòu)造法

/(x-2)=x2+5x+7=(x2—4x+4)+4x-4+5x+7

=(X-2)2+9Λ?+3=(X-2)2+(9JT-18)+18+3=(X-2)2+9(X-2)+21

將X-2看成整體X,g∣J∕(x)=x2+9x+21.

解法五：待定系數(shù)法(特殊值法)

由題意知，/(X)為二次函數(shù)

不妨設(shè)/(X)=ax2+bx+c(a≠0),則

,

由t∕(x-2)=X-+5x+7,得

當(dāng)x=2時(shí)，W∕(O)=22+5?2+7=α?O2+??O+c①

當(dāng)X=O時(shí)，Wf(-2)=02+5-0+7=a-(-2)2+b-(-2)+c②

?x=3l?,W∕(l)=32+5?3+7=α?l2+??l+c③

聯(lián)立解得α=l,6=9,c=21

即/(χ)=χ2+9x+21.

??方法解讀

解法一：應(yīng)用圖像平移法一定要清楚函數(shù)圖像平移的原則：左加右減，上加下減。左右平

移變化的是χ(橫坐標(biāo))，上下平移變化的是y(縱坐標(biāo))o

解法二：賦值法的本質(zhì)是換元法，所以此方法與換元法相一致，值得一提的是戶戶2的意

思是將廣2賦給X,這里的等號(hào)不是嚴(yán)格意義上的等號(hào)，否則出現(xiàn)0=2的邏輯錯(cuò)誤。

解法三：換元法是求函數(shù)解析式最重要的方法之一，同學(xué)們一定要熟悉掌握。但此方法也

有局限性，不是所有題目都適用，有些題目只能用其他方法如解方程組法、整體代入法等。

解法四：構(gòu)造法也叫配湊法，也是求函數(shù)解析式常用的方法之一，配湊的原則是“形式一

致性”，只有配湊與函數(shù)自變量一致的形式，才能整體換元。

解法五：待定系數(shù)法最重要的思想是已知函數(shù)的類型，從而假設(shè)出函數(shù)的解析式，進(jìn)而轉(zhuǎn)

變?yōu)榍蠛瘮?shù)的系數(shù)或參數(shù)。

【典例8】函數(shù)/(x)=ln(x2-9x+20)的單調(diào)遞增區(qū)間是,

解法一：利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

f(x)=In(X2-9x+20)的定義域?yàn)閒-9χ+20>0n(x-4)(X-5)>0

=>x<4?lx>5

令"(x)=χ2-9x+20,則X對(duì)=--—=—

12a2

；.“(x)在(-∞,4)單調(diào)遞減，在(5,?w)單調(diào)遞增

又?.?/(〃)=In"在(0,-κo)上單調(diào)遞增

故/(x)在(YO,4)單調(diào)遞減，在(5,^o)單調(diào)遞增

解法二：利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系

f(x)=In(X2-9x+20)的定義域?yàn)?TO,4)U(5,+∞)

f,ω=-y—!-------(χ2-9x+20y=

√-9x+20J√-9"x+20

9

f?x)>0=>2x-9>0=>x>?=>x>5

9

f,M<0=>2x-9<0=>x<-=>x<4

故F(X)在(FO,4)單調(diào)遞減，在(5,轉(zhuǎn))單調(diào)遞增.

??方法解讀

解法一：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”的原則，即當(dāng)內(nèi)、外層函數(shù)的單調(diào)性相同時(shí),

復(fù)合函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)內(nèi)、外層函數(shù)的單調(diào)性不同時(shí)，復(fù)合函數(shù)單調(diào)遞減。值得一提的是,

所有函數(shù)都要在定義域的范圍之內(nèi)進(jìn)行討論和研究，超出定義域的范圍函數(shù)沒(méi)有意義。

解法二：利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系來(lái)求函數(shù)的單調(diào)性，是中學(xué)階段最重要的思想方法

之一。同學(xué)們一定要掌握：只要導(dǎo)函數(shù)大于零的區(qū)間，函數(shù)一定單調(diào)遞增；只要導(dǎo)函數(shù)小

于零的區(qū)間，函數(shù)一定單調(diào)遞減；在導(dǎo)數(shù)為零處，函數(shù)的增減性無(wú)法判斷。

【典例9】已知直線區(qū)-y+2-3k=O過(guò)定點(diǎn)P,則P點(diǎn)的坐標(biāo)是.

解法一：點(diǎn)斜式法

由kx-y+2-3k=0=>y-2=k(x-3)

顯然，當(dāng)x=3時(shí)，y=2

點(diǎn)(3⑵與直線斜率左無(wú)關(guān)

故直線過(guò)定點(diǎn)P(3,2).

解法二：解方程組法(特殊直線交點(diǎn)法)

取A=O時(shí)，得y=2①

取&=1時(shí)，得x-y-l=0②

聯(lián)立①②式，解得x=3,y=2

即直線過(guò)定點(diǎn)P(3,2).

??方法解讀

解法一：點(diǎn)斜式法求直線過(guò)定點(diǎn)是最直接的方法，這也是最常規(guī)的方法。但在有些題型中

很難將給定的待定直線寫成點(diǎn)斜式，這就要求同學(xué)們另尋他法，以求得解。

解法二：解方程組法的基本思路是尋找特殊的兩條直線的交點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)即為直線所經(jīng)過(guò)

的定點(diǎn)。這是目前解決此類問(wèn)題最好的方法，同學(xué)們一定要掌握其精髓，已達(dá)到事半功倍

的效果。

【典例10】已知A46C為等邊三角形，。是6C上的點(diǎn)，AB=4,BD=X,則荔?瓦—

解法一：直接運(yùn)算法(數(shù)量積公式、向量的加法)

A

^?B^?D=^B(AC+CD)=ABAC+ABCD

—?—?—?3—?—?—?3—?—?

=AB?AC+AB-CB=?AB^AC?cos60°+-1AB∣∣Cβ∣cos600

44

B1DC

131

4×4×-+—×4×4×-=14.

242

解法二：三角函數(shù)法(余弦定理法)

由余弦定理，得

A

AD-=AC2+α>2-2AC?8?cos60°=42+32-2X4X3XL13

2

4

=>AD=√13

6o?i

C

42+(而)2一半_7

COSa=

2A8?AQ2×4×√13^2√13

/.Aβ?ΛD=∣Λβ∣∣AD∣cosa=4×√13×-^==14.

2√13

解法三：建立坐標(biāo)系法

y

取的中點(diǎn)為。，建立平面直角坐標(biāo)系XO)，如圖所示:

A(0,2√3),8(-2,0),D(TO)

CX

^ΛB=(-2-2√3),ΛD=(-l,-2√3)

2Λ∕3)

=>AB-AD=xlx2+y}y2——2×(―1)+(―2??∕3)×(―=14.

??方法解讀

解法一：直接運(yùn)算法是解決此類題型最常規(guī)的方法之一，應(yīng)用此方法要求熟悉向量的基本

運(yùn)算法則，掌握平行四邊形法則和三角形法則，只有基本功扎實(shí)了，才能如魚得水。

解法二：三角函數(shù)法是利用正弦定理、余弦定理、面積公式以及射影定理等公式結(jié)合向量

運(yùn)算規(guī)律求解，綜合性較強(qiáng)，要求熟悉掌握解三角形的有關(guān)知識(shí)。在一定程度上也是解題

不錯(cuò)的方法。

解法三：建立坐標(biāo)系法是解決此題的一大亮點(diǎn)，通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向

量的坐標(biāo)運(yùn)算，很大程度上減少了運(yùn)算過(guò)程和難度，是同學(xué)們應(yīng)當(dāng)理解并掌握的解題方法。

【典例11】求過(guò)點(diǎn)P(2,l),且與圓(X-I)2+(y+2)2=4相切的直線/的方程是

解法一：判別式法

由題意知，設(shè)直線的方程為y-l=%(x-2),則

f>?-l=?(χ-2)2r

?,?=>√-2x+l+k(x-2)+3^V=4

l(Λ-l)2+(y+2)2=4

=>(l+λ2)√+(-4λ2+6?-2)x+4Λ2-12?+6=0

Δ=?2-Aac=(-4M+6&_2)2_4(1+k2)(4k2-12?+6)=0

nQk2-3?+l)2-(l+?2)(4?2-12Zr+6)=0

=>∣4Λ4+2(2k1)(1-3?)+(1-3?)2]-(4?2-12?+6+4?4-12?3+6?2)=0

=>4?4+4?2-l2?3+(l-6?+%2)-4?2+12?-6-4?4+12?3-6?2=0

=>3?2-6?-5=0

解得&=士)也=過(guò)普

故所求直線方程為y-l=3-；痣(X-2)或y-l=3+;"(χ-2).

解法二：圓切線的性質(zhì)法

由題意知，設(shè)直線的方程為y-l=A(."2),則

Ax-y+l-2?=0

又因?yàn)閳A心為(1,-2)

圓心到直線的距離等于半徑，即

IAr+ByO+C∣|4+2+1-2我|

a=-----0/:—=------7----=r=Z

√Λ2+B2y∣lc2+1

=^∣3-?∣=2√jt2+l≈>9-6Ar+?2=4M+4=3/+6Z-5=0

解得女三偵也二主吆.

33

故所求直線方程為y-l=±2僅(x-2)或y-l=主心近(x-2).

??方法解讀

解法一：依據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想，直線與圓相切，意味著將直線與圓聯(lián)立方程后消去y得到

的關(guān)于X的一元二次方程有唯一的實(shí)數(shù)根，從而轉(zhuǎn)化為△=()的解方程問(wèn)題。該方法的思路

非常簡(jiǎn)單，也屬于常規(guī)法之一。但是應(yīng)用此方法解題有時(shí)候計(jì)算量太大，通常不建議應(yīng)使

用該方法。

解法二：利用切線的性質(zhì)是解決此類題型非常好的方法，而且計(jì)算量小，過(guò)程簡(jiǎn)單，非常

值得每位同學(xué)去學(xué)習(xí)和掌握。

①當(dāng)OCXCl時(shí)，log2x<0,x-^<0,止匕時(shí)有/(x)=2T0g2*+x-L=L+x-L=x

XXXX

②當(dāng)x21時(shí)，log2X>0,x-^>0，此時(shí)有/(x)=2∣°g2*-卜-L)=x-(x-l)=L

只有D符合題意

解法二：特殊值法

①取x=!，則∕d)=2∣-∣!-l∣=!,排除B、C

2222

②取x=2,則/(2)=2∣-∣2-gbg,排除A

只有D符合題意

解法三：極限法

?im/(x)=Iim(2儂"-IX」|]=0

A→+∞X->4oc(XJ

Iimf(x)=Iimf2l'0g2λ1-∣?-?11=0

Λ→0Λ→θlX)

只有D符合題意

??方法解讀

解法一：觀察題目中函數(shù)的表達(dá)式有絕對(duì)值，因此考慮去掉絕對(duì)值，方法是將函數(shù)區(qū)間討

論。

解法二：特殊值法是解決函數(shù)圖像題型最好的方法之一，通過(guò)取特殊的自變量值大致知道

函數(shù)值，然后將答案一一排除。應(yīng)用此法應(yīng)當(dāng)注意的問(wèn)題是：所取的特殊值一要能夠猜測(cè)

函數(shù)值的大小，而要能夠和其他選項(xiàng)的圖像區(qū)分開來(lái)，否則所取數(shù)值將失去意義。

解法三：極限思想是同學(xué)們學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)較難理解和掌握的一個(gè)重要思想，它所指的就是

無(wú)限逼近的意思。掌握好此方法，一定能夠讓你在學(xué)習(xí)的道路上脫穎而出！

【典例13】已知定義在R上的偶函數(shù)/(x)在區(qū)間(7,0］上單調(diào)遞增，則滿足/(3Λ-4)>/(8)

的解集為.

解法一：偶函數(shù)特性法

由題意，得-8<3x-4<8=?-4<3x<12=>--<x<4

3

即不等式的解集為(-±4)./

3/

解法二：特殊函數(shù)法-8O8X

由題意，不妨取/(x)=-f,則

/(3x-4)>/(8)=>-(3X-4)2>-82

=9f-24x+16<64=>(3x-12)(3x-4)<0=>--<χ<4

3

即不等式的解集為(-*4).

??方法解讀

解法一：根據(jù)偶函數(shù)的定義和性質(zhì)，畫出草圖，便于分析結(jié)論。草圖只要滿足題意，可以

任意畫，只要方便解題即可。

解法二：特殊函數(shù)法是解決此類問(wèn)題非常好的方法之一。首先題干只給了函數(shù)的某些性質(zhì),

具體解析式并沒(méi)有直接給出，這是典型的抽象函數(shù)。同學(xué)們可根據(jù)題干描述，找到性質(zhì)與

之相對(duì)應(yīng)的特殊函數(shù)，從而使問(wèn)題迎刃而解。這種方法在選擇題或填空題中非要好用，因

為它并不要求過(guò)程的嚴(yán)謹(jǐn)性，但用此法的前提是要熟悉一些常見(jiàn)函數(shù)的圖像與性質(zhì)。

42I

53

【典例14】已知CI=23,?=4,c=25,貝IJ()

A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

解法一：函數(shù)圖像法

422

a=2^=4^,Z?=4^

22—2~2X

由y=4，的圖像與性質(zhì)知：->-=>4]>4*=。>匕①I-

35

4212

a=2^=43,c=253=53

A.VA、

a值越大函數(shù)圖像越靠近y軸C∕v^4

由y=""(α>l)的圖像與性質(zhì)知：4z

22

∑z>5?>=>c>a②

綜上所述，得c>a>b.

解法二：跟特殊值比較法

43

。=2§>2§=2

>=>a>2>b①

245

Z?=45=25<25=2

43'

<2孑=2

I>=>a<2<c=>cKC②

c=25^<(23)5=2

綜上所述，得c>α>b.

解法三：假設(shè)法（反證法）

①假設(shè)4>6,則

15Z2?15

23>45=>>4]^2'5>46=2l2,假設(shè)成立.?.a>b

②假設(shè)0>c,貝IJ

4?(C1V

V>25≡=>2?>25§=>24>25=>16>25,假設(shè)不成立.?a<c

?J\/

綜上所述，得c>a>t>.

??方法解讀

解法一：函數(shù)圖像法是解決比較大小題型的常用方法之一，此類題型一般都考察我們對(duì)指

數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及幕函數(shù)的圖像和性質(zhì)的理解及掌握情況，因此要求同學(xué)們一定要熟悉

掌握基本初等函數(shù)的有關(guān)圖像與性質(zhì)，做到融會(huì)貫通，靈活應(yīng)用。

解法二：跟特殊值比較法是解決此類題型的專用方法，很有具有特殊和代表性。這里的特

殊值一般是O或L但有些時(shí)候也會(huì)跟其他特殊值比較，比如此題就是跟特殊值2作比較后

得出了結(jié)論。同學(xué)們要活學(xué)活用，靈活應(yīng)對(duì)。

解法三：假設(shè)法是老師自己想出來(lái)的方法，但假設(shè)法（反證法）的確在高中學(xué)習(xí)中占有重

要的地位，在數(shù)學(xué)和物理中經(jīng)常用到。有時(shí)候在題目中需要判斷一種說(shuō)法或命題是否正確，

不妨假設(shè)其成立，再用邏輯推理證明，使問(wèn)題迎刃而解。

【典例15】化簡(jiǎn)：/(x)=v?sinl2x--j+2sin2∣x-■—I=.

解法一：配湊和差角公式

I-CoSl4/一,

/(x)=?/?sinf+2sin2Ix-2xcos工-cos2xsin—+2-

662

.C1?I.冗.A.冗

sinLx——cos2x+11-cos4xcos-+sin4xsιn—

266

=-sin2x--cos2x+l--eos^-?sin4x

2222

=sin4x-V3cos4x+l

=2f1sin4x--cos4x?l

22

c(?4.?II

=2sin4z1xcos-----cos4xsin—÷1

33

=2sinf4x-yj+l.

解法二：輔助角公式

l-cos^4x--^

2

/(x)=v?sin(2x--^?j+2sinf2x-2xcos--cos2xsin-+2?

662

ππ

sin2x—cos2x÷1-∣CoS4xcos工+sin4xsin?

266

=-sin2x--cos2x+l--cos4x--^-sin4x

2222

=sin4x-也cos4x+1

=2pUin4x-立cos4x]+l

22

\2

=2,sin(4x+^)+1

=2sin(4x+^>)+l

π

tan￠9=—b=---2=-√h3=<p=----

a13

2

f(x)=2sinl4x-yj+l.

??方法解讀

解法一：配湊和差角法有兩個(gè)要求，一要熟悉和差角公式，二要記得特殊角的三角函數(shù)值。

只有對(duì)三角恒等變換相當(dāng)?shù)氖煜ぃ拍苋跁?huì)貫通。

解法二：輔助角公式是將“asin戶AoSX”化為“AsinU+e)”形式的有力工具，一般情況

下我們都采用輔助角公式來(lái)處理類似的問(wèn)題，但唯獨(dú)需要注意的問(wèn)題是：角夕一般是銳角，

有時(shí)還可能是負(fù)的銳角。

【典例16］若數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為品,則數(shù)列｛*｝的通項(xiàng)公式%=.

解法一：定義法

由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式S“="二維=--^-an+?=Aall+B知:

?-q?-q?-q

%=》+資足上式子,因此數(shù)列&｝是等比數(shù)列

1-q3(al=1

且有B=-J=b=-2

?-q3

,n*1

a,,=α1√-*=(-2)-.

法二：a”與S關(guān)系法

(1)當(dāng)幾=1時(shí)，q=S[=gq+；=%=1

⑵當(dāng)〃≥2時(shí)，Sn=-an+-①

n33

O1

S〃-i=50,1+5②

①—②，得

C。2222

ss

∏~n-ι=1%Tn%=Ia“一§。"-1

nl

an=aiq'-'=(-2)-.

??方法解讀??

解法一：觀察等比數(shù)列的前A項(xiàng)和S發(fā)現(xiàn)，其具有S=Z&+S的結(jié)構(gòu)，即滿足該式的數(shù)列一

定為等比數(shù)列，這就是判斷某個(gè)數(shù)列是否為等比數(shù)列的一個(gè)方法。既然題干中的式子滿足

S=Za(I+8,直接利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解即可。

解法二：通常情況下，如果在題目中看到某個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為與前〃項(xiàng)和S的關(guān)系，即

&與S的關(guān)系，我們就要首先想到公式%=q∣e值得一提的是，該公式適用

于所有數(shù)列，如果題目中已經(jīng)給出了結(jié)的數(shù)值，那么在利用上式求得的劣公式時(shí)，一定要

驗(yàn)證這里的為跟題干的a是否相同，如果不相同，則要寫成分段數(shù)列的形式；如果相同，

則不需要分開來(lái)寫。這是大多數(shù)同學(xué)容易犯錯(cuò)的地方，注意題中的陷阱，要非常小心！

【典例17］若x,yeR+,且滿足2x+y+6=孫，則Ay的最小值是.

解法一：均值不等式法

cι+h≥2?[ab,a,heR+

xy=2x+y+6=(2x+y)+6≥2y∣2xy+6

不妨令〃=J^,“≥0,則

W2≥2Λ∕Ξ"+6=u2-2y[2u-6≥O=(w-3^2)(?+V∑)≥O

w≥3√2w≤-√2(舍去)

u>3JΣ=>y∣xy≥3V2=>xy≥↑S

當(dāng)且僅當(dāng)y=2x時(shí)，等號(hào)成立

2x+y+6=xy%=3T

或

y=2xy=6;二⑴

即當(dāng)x=3,y=6時(shí)，(Xy)mm=18.

解法二：轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最小值法

_///2x+6

xy=2x+y+6=>(x—l)y=2x+6=>y=-------

x-1

21+6CX2+3X(x*^—2,x÷1)÷5%-1

：.xy=X----------2-=---2-------------------------------

x—1x—1x-1

C(x-l)2+(5x-5)+4C(X-I)2÷5(x-l)÷4

=2--------------------------=2--------------------------

x-lx-1

Q

=2(x-l)÷——+10

x-1

(1)當(dāng)x>l時(shí):

QIQ8

2(x-l)+——+10≥2J2(x-l)------+10=2×4+10=18

?-lVx-1

當(dāng)且僅當(dāng)2(x-l)=±,即x=3時(shí)，等號(hào)成立

?-l

?(??)min???-

⑵當(dāng)O<XV1時(shí):

QQIQ

2(x-l)+——+10=-2(1-x)+——+10≤-22(1-%)----+10=-2x4+10=2

x-1L1-xJΛV1-x

當(dāng)且僅當(dāng)2(1T)=Y^―,即X=T或r=3時(shí)，等號(hào)成立

又?.?0<x<l

而X=—1任(0,1)且X=3任(0,1)

因此不滿足題意

綜上所述，得(Wmin=18.

??方法解讀

解法一：均值不等式α+b≥2∕石(α,8eR+)中的a,b不一定是單個(gè)變量，它可以是一個(gè)整

體或式子。應(yīng)用時(shí)只要滿足均值不等式的使用條件，原則上都可以運(yùn)用。

解法二：X,y是兩個(gè)變量，這在大學(xué)的學(xué)習(xí)中叫做二元函數(shù)，二元函數(shù)研究起來(lái)比一元函

數(shù)難度大得多，因此我們總是試圖將二元的變?yōu)橐辉摹Ｒ驗(yàn)轭}干中已經(jīng)給出了X與曠的

關(guān)系式，通過(guò)該式恰好可以用X的式子表示月這就成功的將二元函數(shù)變?yōu)榱艘辉瘮?shù)，進(jìn)

而轉(zhuǎn)化為討論一元函數(shù)的值域問(wèn)題，非常簡(jiǎn)單。

【典例18］已知橢圓C：上+￠=l,在橢圓C上存在一點(diǎn)P,使得P點(diǎn)到直線/:2x-)，+8=0

169

的距離最短，則最短距離為.

解法一：常規(guī)法

設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（XO，加），則

22

因?yàn)辄c(diǎn)尸在橢圓上=9+當(dāng)?=1

169

?o=16-y>0=>Xo=±+6-與'

又?.?-3≤%≤3

÷∕(X)=2^16-^X2+X-8=∣√9-X2+X-8,X€[―3,3J,則

O1一1_or

//U)=τ?-?(9-χ2)2?(-2X)+1=—--'—+1

323y∣9-x2

①/(x)>0n+l>0n—<1=>8/<3)9——

3√9-√3√9-√

=>64X2<9(9-x2)=>73X2<81=>——=<x<-^=

√73√73

oo

(2)/z(χ)<O=>—3<X<—"或一^=-<%<3

√73√73

.?J（幻在（-3,-3）單調(diào)遞減，在—二＜χ＜二單調(diào)遞增，在二＜χ＜3單調(diào)遞減

√73√73√73√73

解法二：數(shù)形結(jié)合法

當(dāng)點(diǎn)尸到直線的距離最小時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)。的直線方程為L(zhǎng)y=2x+m,如圖所示，則

Δ=Z?2—4ac=(64/77)2—4?73?(16m2—144)=Onm=±V73

解法三：參數(shù)方程法

設(shè)P(4cosα,3sina)，則

,

d_IAv0+B>0+C∣_12?4cosa-3sina÷8∣_13sina-8cosa-8∣_∣V73sin(a÷^)-8∣

Λ∣A2+B2√22+(-l)2亞石

當(dāng)且僅當(dāng)sin(α+φ)=?時(shí)，dmι-n=---?=—.

J5

??方法解讀

解法一：通常的思路是假設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，點(diǎn)戶又在橢圓上，因此滿足橢圓方程，此時(shí)將有

關(guān)y的式子代替力使得未知數(shù)變?yōu)橐粋€(gè)。然后再利用點(diǎn)到直線的距離公式列出式子，最后

轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)最值的問(wèn)題。此方法思路簡(jiǎn)單，但過(guò)程繁瑣，不建議使用。

解法二：數(shù)學(xué)結(jié)合是解決高中數(shù)學(xué)最常用的方法之一，而且通過(guò)圖形能夠形象地反映問(wèn)題

的性質(zhì)，便于分析和理解，是非常好用的解題方法。

解法三：本題最好的解決方法就是參數(shù)方程法，利用橢圓的參數(shù)方程，假設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，

最后將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最值問(wèn)題，從而順利、快速的解決了問(wèn)題。由此得

到這樣的啟發(fā)：數(shù)學(xué)模塊并不是孤立的，很多知識(shí)結(jié)構(gòu)存在著這樣或者那樣的聯(lián)系，這給

我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)增加難度的同時(shí)，也為我們提供了更多的解決問(wèn)題的思路和方法。

【典例19】設(shè)ΔABC的內(nèi)角48,列所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c,且有2sinBcosA=SinAcosC+

CosAsinC.求角A的大小.

解法一：和差角公式法

2sinBCoSA=SinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)

,.?A-^-B+C=7Γ=>A+C=τr-B

:.sin(A+Q=Sin(%—B)=sinB

=>2sinBcosA=sinB

又?.?sinB≠O

_.,.1

=2cosA=I=cosA=—=A=—.

23

解法二：正、余弦定理法

2sinBcosA=sinAcosC+cosΛsinC=sin(A+C)

由正弦定理，得

2Z?cosA=αcosC+ccosA

由余弦定理，得

~b.9-VC2-a?a2+bι2-c2b>2+c2-a2

2bc2ab2bc

2222222222

b+c-aa+b-cb+c-a2b人

c2b2b2b

=>b2+c2-a2=bc

b2c2-a2be1

:.cosA-+

2bc2

,冗

=A=—

3

解法三：射影定理法

2sinBcos4=sinAcosC+cosAsinC

=>2Z?cosA=acosC+CCoSA①

由射影定理，得

b=acosC+ccosA②

n2∕?cosA=b=2cosA=1=>cosA=?

2

π

nA=一.

3

??方法解讀

解法一：和差角公式在三角函數(shù)中占有舉足輕重的地位，非常重要，應(yīng)用要注意前后同角，

即都為α,B,不是同角的要先用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)后再使用和差角公式，特別注意。

解法二：正弦定理和余弦定理是解三角形題型必考知識(shí)，同學(xué)們處理熟記正、余弦定理公

式外，還應(yīng)當(dāng)記住它們常用的變式，只有這樣，才能應(yīng)對(duì)靈活多變的數(shù)學(xué)題目。

解法三：射影定理一般很少使用，但有些時(shí)候應(yīng)用射影定理解題非常方便。公式本身也特

別好記憶，請(qǐng)同學(xué)們牢記于心。

【典例20】設(shè)函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，且在(0,包)內(nèi)單調(diào)遞增，又滿足/(-2)=0,則/(x)<O的

解集是.

解法一：特殊圖像法

由題意，畫出函數(shù)/(x)的草圖，如圖所示

由圖可知：/(x)<0=xv-2或0<x<2

即f(x)<O的解集為(γo,-2)U(0,2).

解法二：特殊函數(shù)法

根據(jù)題意，不妨設(shè)f(x)=1"-'"O,則

(x+2,x<0

①當(dāng)x>0時(shí)，/(x)<0=>x-2<0=0<x<2

②當(dāng)x<0時(shí)，/(x)<0nx+2<O=XC-2

綜上所述，得

F(X)<O的解集為(γo,-2)U(0,2).

??方法解讀

解法一：題干中所描述的函數(shù)f(χ)不知其解析式，屬于抽象函數(shù)。在不違背題意的情況下,

可以畫出滿足題意的草圖，從而直觀的分析和解決問(wèn)題。圖像法是解決函數(shù)題型非常好用

的方法。

解法二：特殊函數(shù)不具備普遍性，但對(duì)于選擇填空題來(lái)說(shuō)，只要找到滿足題意的函數(shù)即可,

過(guò)程的嚴(yán)謹(jǐn)性不作要求，因此同學(xué)們盡管大膽地猜想，只要滿足題意的函數(shù)都可以解決該

題。后面做壓軸題就會(huì)發(fā)現(xiàn)，特殊函數(shù)大有用武之處！

【典例21］如圖所示，在底面是矩形的四棱錐。-4戰(zhàn)中，必，底面力及力，E,尸分別是PG

外的中點(diǎn)，Λ4=45=l,Bg.求證：跖〃平面必8

解法一：線面關(guān)系轉(zhuǎn)化線線關(guān)系

...[P'=ECnE尸為ΔPCZ)的中位線

[PF=FD

BPEFH-CD①

=2

又?.?四邊形A88為矩形

=ABuCD②

.?.EFH-AB

=2

而ABG面「AB,EF(Z面PAB

故EF〃面PAB.得證

解法二：線面關(guān)系轉(zhuǎn)化為線與面的法向量關(guān)系

PAJ_MBCDnPALAO①

四邊形ABa>為矩形=>AB_LAD②

又?.?PA,ABα面PA8,且PAΓ?AB=A

而47<2面出8

nA。，面PAB

n而為面PAB的法向量③

PE=EC]

EFH-CD

PF=FD?