高二上學(xué)期期末復(fù)習(xí)【第二章 直線和圓的方程】十大題型歸納（拔尖篇）（解析版）

高二上學(xué)期期末復(fù)習(xí)第二章十大題型歸納（拔尖篇）【人教A版（2019）】題型1題型1由直線與線段的相交關(guān)系求斜率范圍1．（2023上·江蘇鹽城·高二鹽城中學(xué)?？计谀┮阎狝2,0、B2,3，直線l過(guò)定點(diǎn)P1,2，且與線段AB相交，則直線l的斜率kA．-2≤k≤1 B．-12≤k≤1 C．k≠1 D．【解題思路】設(shè)直線l與線段AB交于點(diǎn)Q2,y，其中0≤y≤3，利用斜率公式可求得k的取值范圍【解答過(guò)程】設(shè)直線l與線段AB交于點(diǎn)Q2,y，其中0≤y≤3所以，k=y-2故選：A.2．（2023上·江西撫州·高二統(tǒng)考期末）已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)A-1,1,B1,1,C2,3+1，D為△ABC的邊ACA．0,33 BC．33,3【解題思路】作出圖象，求出AB,BC的斜率，再結(jié)合圖象即可得解.【解答過(guò)程】如圖所示，kAB因?yàn)镈為△ABC的邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，所以直線BD斜率k的變化范圍是-∞故選：D.3．（2023上·四川巴中·高二?？茧A段練習(xí)）已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)A-1,1，B1,1，(1)求直線AC的傾斜角；(2)若D為△ABC的AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，求直線CD的傾斜角的取值范圍.【解題思路】（1）由兩點(diǎn)式斜率公式求出斜率，然后根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可（2）數(shù)形結(jié)合，利用兩點(diǎn)式斜率公式，根據(jù)斜率與傾斜角變化的規(guī)律分析求解即可.【解答過(guò)程】（1）由A-1,1，C2,3因?yàn)樾甭实扔趦A斜角的正切值，且傾斜角的范圍是0,π，所以直線AC的傾斜角為π（2）如圖，當(dāng)直線CD繞點(diǎn)C由CA逆時(shí)針轉(zhuǎn)到CB時(shí)，直線CD與線段AB恒有交點(diǎn)，即D在線段AB上，

此時(shí)kCD由kAC增大到kBC，又kAC=33即直線CD的傾斜角的取值范圍為π64．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知兩點(diǎn)A-2,-3,B3,0，過(guò)點(diǎn)P-1,2的直線l與線段AB始終有公共點(diǎn)，求直線

【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合圖形求出直線AP的斜率kAP，直線BP的斜率kBP，即得直線【解答過(guò)程】根據(jù)圖形，∵直線AP的斜率是kAP直線BP的斜率是kBP∴過(guò)點(diǎn)P的直線l與線段AB有公共點(diǎn)時(shí)，直線l的斜率的取值范圍是-∞,-題型2題型2直線平行、垂直的判定在幾何中的應(yīng)用1．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）順次連接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所構(gòu)成的圖形是（）A．平行四邊形 B．直角梯形C．等腰梯形 D．以上都不對(duì)【解題思路】結(jié)合直角梯形的性質(zhì)，利用兩直線間的平行和垂直關(guān)系來(lái)判斷即可得出結(jié)論.【解答過(guò)程】kAB=3-5-4-2=所以AB//CD,AD與BC不平行，k因此AD⊥AB故構(gòu)成的圖形為直角梯形.故選：B.2．（2023·山西運(yùn)城·康杰中學(xué)校考二模）數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線稱為歐拉線已知ΔABC的頂點(diǎn)A2,0,B0,4，若其歐拉線的方程為x-y+2=0，則頂點(diǎn)CA．-4,0 B．-3,-1 C．-5,0 D．-4,-2【解題思路】設(shè)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，由重心坐標(biāo)公式求得重心，代入歐拉線得一方程，求出AB的垂直平分線，和歐拉線方程聯(lián)立求得三角形的外心，由外心到兩個(gè)頂點(diǎn)的距離相等得另一方程，兩方程聯(lián)立求得點(diǎn)C的坐標(biāo)【解答過(guò)程】設(shè)C（m，n），由重心坐標(biāo)公式得，三角形ABC的重心為2+m3,4+n3代入歐拉線方程得：AB的中點(diǎn)為（1，2），kAB=4-00-2=-2即x-2y+3=0．聯(lián)立x-2y+3=0x-y+2=0解得∴△ABC的外心為（-1，1）．則（m+1）2+（n-1）2=32+12=10，整理得：m2+n2+2m-2n=8②聯(lián)立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．當(dāng)m=0，n=4時(shí)B，C重合，舍去．∴頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-4，0）．故選A.3．（2023上·高二課前預(yù)習(xí)）如圖所示，已知四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別為A(0,0)，B(2,-1)，C(4,2)，D(2,3)，試判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明.

【解題思路】通過(guò)計(jì)算得到kAB=kCD，k【解答過(guò)程】由已知可得AB邊所在直線的斜率kABCD邊所在直線的斜率kCDBC邊所在直線的斜率kBCDA邊所在直線的斜率kDA因?yàn)閗AB=kCD，kBC因此四邊形ABCD是平行四邊形.4．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OPQR的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O0,0，P1,t，Q1-2t,2+t，R-2t,2，其中t>0且t≠1【解題思路】可借助斜率驗(yàn)證四邊形OPQR對(duì)邊平行，鄰邊垂直，對(duì)角線不垂直即得解【解答過(guò)程】由斜率公式，得kOPkQRkORkPQkOQkPR∴kOP=k∴OP//QR，∴四邊形OPQR為平行四邊形.又kOP?kOR又kOQ?kPR≠-1，∴四邊形OPQR為矩形.題型3題型3根據(jù)兩直線平行、垂直求參數(shù)1．（2023下·貴州安順·高二統(tǒng)考期末）已知直線l1：ax+a+2y+1=0，l2：x-ay+3=0，其中a∈R，則“a=-1”是“A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】利用兩直線垂直求出a的范圍，再利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.【解答過(guò)程】直線l1：ax+a+2y+1=0，l2：x-ay+3=0，由l1⊥l所以“a=-1”是“l(fā)1⊥l故選：C.2．（2023上·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）若直線l經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A1,2t，B-t,1且與直線l':x+2y-2=0平行，則A．1 B．2 C．-14 D【解題思路】根據(jù)直線平行，即斜率相等，結(jié)合斜率兩點(diǎn)式列方程求參數(shù)即可.【解答過(guò)程】由題意2t-11+t=-1可得t=1故選：D.3．（2023上·湖南張家界·高二?？茧A段練習(xí)）已知直線l1：a+1x-2y-1=0，直線l(1)若l1//l(2)若l1⊥l【解題思路】（1）（2）利用直線平行、垂直的判定列方程求參數(shù)值，對(duì)于平行情況需要驗(yàn)證所得參數(shù)是否符合要求.【解答過(guò)程】（1）由l1//l2，則所以a=0或a=5，當(dāng)a=0，l1:x-2y-1=0，當(dāng)a=5，l1:6x-2y-1=0，綜上，a=5（2）由l1⊥l2，則所以(2a+5)(a-1)=0，即a=-52或4．（2023下·黑龍江·高二統(tǒng)考期末）已知兩直線l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，試確定m，n的值，使：(1)l1與l2相交于點(diǎn)P(m，－1)；(2)l1∥l2；(3)l1⊥l2，且l1在y軸上的截距為－1.【解題思路】（1）根據(jù)點(diǎn)P分別在直線l1和直線l2上，代入這兩條直線方程，解方程組即可求得m,n；（2）由l1∥l2可得m·m－8×2＝0得m＝±4,然后分別代入檢驗(yàn)排除掉兩直線重合的情況；（3）由l1⊥l2可知m·2＋8·m＝0，從而求得m,然后再根據(jù)l1在y軸上的截距求得n.【解答過(guò)程】解：(1)∵m2－8＋n＝0且2m－m－1＝0，∴m＝1，n＝7.(2)由m·m－8×2＝0得m＝±4.由8×(－1)－n·m≠0得{即m＝4，n≠－2時(shí)或m＝－4，n≠2時(shí)，l1∥l2.(3)當(dāng)且僅當(dāng)m·2＋8·m＝0，即m＝0時(shí)，l1⊥l2，又－n8＝－1∴n＝8.故當(dāng)m＝0且n＝8時(shí)滿足條件．題型4題型4三線能圍成三角形的問(wèn)題1．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）若三條直線l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,A．a(chǎn)=1或a=-2 B．a(chǎn)≠±1C．a(chǎn)≠1且a≠-2 D．a(chǎn)≠±1且a≠-2【解題思路】先排除平行與重合情況a≠±1，再排除交于一點(diǎn)的情況a=-2，最后給出答案.【解答過(guò)程】為使三條直線能構(gòu)成三角形，需三條直線兩兩相交且不共點(diǎn).①若l1//l2，則由②若l2//l3，則由③若l1//l3，則由當(dāng)a=1時(shí)，l1,l2與l3三線重合，當(dāng)④若三條直線交于一點(diǎn)，由x+ay+1=0,x+y+a=0,解得將l2,l3的交點(diǎn)解得a=1（舍去）或a=-2.所以要使三條直線能構(gòu)成三角形，需a≠±1且a≠-2.故選：D.2．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）使三條直線4x+y-4=0,mx+y=0,2x-3my-4=0不能圍成三角形的實(shí)數(shù)m的值最多有幾個(gè)（

）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【解題思路】根據(jù)題設(shè)，討論存在兩條直線平行或三條直線交于一點(diǎn)，分別求出對(duì)應(yīng)m值，進(jìn)而驗(yàn)證是否滿足題設(shè)，即可得答案.【解答過(guò)程】要使三條直線不能圍成三角形，存在兩條直線平行或三條直線交于一點(diǎn)，若4x+y-4=0,mx+y=0平行，則4m=1若mx+y=0,2x-3my-4=0平行，則m2若4x+y-4=0,2x-3my-4=0平行，則42=1若三條直線交于一點(diǎn)，4x+y-4=0mx+y=02x-3my-4=0，可得m=2經(jīng)檢驗(yàn)知：m∈{-1,-16,23,4}故選：B.3．（2023上·河北保定·高二統(tǒng)考期中）已知三條直線l1：ax+by+4=0，l2：a-1x+y+b=0，l(1)若l1⊥l2，且l1過(guò)點(diǎn)6,-1(2)若b=3，且l1、l2、l3【解題思路】（1）根據(jù)垂直滿足的關(guān)系，結(jié)合直線經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，即可聯(lián)立方程求解.（2）根據(jù)任意兩條直線平行不可構(gòu)成三角形，以及三條直線交于一點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，結(jié)合兩直線平行滿足的系數(shù)關(guān)系，以及兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解.【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閘1：ax+by+4=0，l2：a-1x+y+b=0，且l又直線l1過(guò)點(diǎn)6,-1，所以6a-b+4=0，所以b=6a+4即aa-1+6a+4=0，即a所以a=-1b=-2或a=-4（2）因?yàn)閎=3，則l1：ax+3y+4=0，l2：①當(dāng)l1∥l2時(shí)，由此時(shí)l1為3x+6y+8=0，l2為x+2y+6=0，l3為2x+3y+5=0，l②當(dāng)l1∥l3時(shí)，由3a=6得a=2，此時(shí)l1為2x+3y+4=0，l2為x+y+3=0，l3③當(dāng)l2∥l3時(shí)，由3a-3=2得a=53，此時(shí)l1為5x+9y+12=0，l2為2x+3y+9=0，④當(dāng)l1，l2，l3交于一點(diǎn)時(shí)，a≠32所以l1與l2的交點(diǎn)M-52a-3,-a+42a-3，將綜上所述：b=3時(shí)，l1，l2，l3三條直線能圍成三角形時(shí)a4．（2023上·江蘇常州·高二?？茧A段練習(xí)）已知直線l的方程為1+4mx-(1)證明：無(wú)論m為何值，直線l恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)若直線l與x、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在直線l使得△ABO的面積為9.若存在，求出直線l的方程；若不存，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解題思路】（1）在直線的方程中，先分離參數(shù)，再令參數(shù)的系數(shù)等于零，求得x、y的值，可得直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo).（2）求出A、B的坐標(biāo)，根據(jù)△ABO的面積為9，求出m的值，可得結(jié)論.【解答過(guò)程】（1）直線l的方程為1+4mx-即m4x+3y-14令4x+3y-14=0，可得x-2y+2=0，求得x=2，y=2，可得該直線一定經(jīng)過(guò)4x+3y-14=0和x-2y+2=0的交點(diǎn)2,2.（2）若直線l與x、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則A14m-21+4m,0、B0,，∴m<-14，或則△ABO的面積為12即2×7m-12=9∴m=52，或故存在直線l滿足條件，且滿足條件的出直線l的方程為22x+11y-66=0，或x+2y-6=0.題型5題型5與距離有關(guān)的最值問(wèn)題1．（2023上·河北滄州·高二滄縣中學(xué)?？茧A段練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事體．”事實(shí)上，有很多代數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決，如：(x-a)2+(y-b)2可以轉(zhuǎn)化為平面上點(diǎn)M(x,y)與點(diǎn)N(a,b)的距離．結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得A．42 B．22 C．2+【解題思路】利用兩點(diǎn)間距離公式可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為x軸上一點(diǎn)Px,0到點(diǎn)A-2,-2與點(diǎn)B2,2的距離之和的最小值，當(dāng)A,P,B三點(diǎn)共線時(shí)【解答過(guò)程】∵y=f(x)=x

則fx可看作x軸上一點(diǎn)Px,0到點(diǎn)A-2,-2與點(diǎn)B則可知當(dāng)A,P,B三點(diǎn)共線時(shí)，PA+即PA+故選：A.2．（2023上·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)P到直線l1：x-y-4=0和直線l2：x-y-2=0的距離相等，則點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的最小值為（A．32 B．2 C．322【解題思路】由兩直線平行可判斷點(diǎn)P所在直線，垂直時(shí)距離最小，再由點(diǎn)到直線的距離公式求出即可.【解答過(guò)程】因?yàn)橹本€l1：x-y-4=0和直線l2：x-y-2=0平行，且點(diǎn)所以點(diǎn)P在直線l:x-y-3=0上，當(dāng)OP⊥l時(shí)，點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的最小，為-3故選：C.3．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）已知兩條平行直線分別過(guò)點(diǎn)A6,2和B-3,-1，并且各自繞點(diǎn)A，【解題思路】首先求出AB，即可求出距離的范圍，求出最大距離，此時(shí)兩直線和直線AB垂直，求出kAB，再由點(diǎn)斜式求出直線方程【解答過(guò)程】?jī)蓷l平行直線分別過(guò)點(diǎn)A6,2、B-3,-1，并且各自繞點(diǎn)A，且AB=故這兩條平行線之間的距離d的變化范圍為d∈0,3這兩條平行直線之間的距離有最大值，最大值為310此時(shí)的兩直線和直線AB垂直．∵直線AB的斜率kAB=2+1則兩平行直線分別為y-2=-3(x-6)、y+1=-3(x+3)，即3x+y-20=0和3x+y+10．4．（2023上·河南南陽(yáng)·高二校聯(lián)考期中）已知直線l：ax-y+3+a(1)若l不經(jīng)過(guò)第三象限，求a的取值范圍；(2)求坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l距離的最小值，并求此時(shí)直線l的方程.【解題思路】（1）將直線方程轉(zhuǎn)化為斜截式，從而得到關(guān)于a的不等式組，解之即可得解；（2）利用點(diǎn)線距離公式，結(jié)合基本不等式即可得解.【解答過(guò)程】（1）直線l的方程可化為y=ax+3+a要使直線l不經(jīng)過(guò)第三象限，則必須有a≤0a解得a≤0，故a的取值范圍是-∞（2）設(shè)原點(diǎn)O到直線l的距離為d，則d=3+當(dāng)且僅當(dāng)2a2+1所以原點(diǎn)O到直線l的距離的最小值為22此時(shí)直線l的方程為x-y+4=0或x+y-4=0.題型6題型6點(diǎn)、線間的對(duì)稱問(wèn)題1．（2022上·河南南陽(yáng)·高二校考階段練習(xí)）直線l:4x+3y-2=0關(guān)于點(diǎn)A1,1對(duì)稱的直線方程為（

A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0【解題思路】首先設(shè)對(duì)稱直線上任意一點(diǎn)Px,y，得到Px,y關(guān)于A1,1對(duì)稱點(diǎn)為2-x,2-y【解答過(guò)程】設(shè)直線l:4x+3y-2=0關(guān)于點(diǎn)A1,1對(duì)稱的直線上任意一點(diǎn)P則Px,y關(guān)于A1,1對(duì)稱點(diǎn)為又因?yàn)?-x,2-y在4x+3y-2=0上，所以42-x+32-y故選：B.2．（2023上·湖南益陽(yáng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句為“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，其中隱含了一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”，即將軍白天觀望烽火臺(tái)，黃昏時(shí)從山腳下某處出發(fā)先到河邊飲馬再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，已知將軍從山腳下的點(diǎn)A2,0處出發(fā)，軍營(yíng)所在的位置為B2,3，河岸線所在直線的方程為y=3x+2，則“將軍飲馬”的最短總路程為（A．3 B．4 C．5 D．6【解題思路】確定A關(guān)于y=3x+2的對(duì)稱點(diǎn)A'，設(shè)飲馬點(diǎn)為C，利用|AC|+|BC|≥|A【解答過(guò)程】若A'(x,y)是A關(guān)于y=3x+2的對(duì)稱點(diǎn)，則設(shè)飲馬點(diǎn)為C，如下圖示，

由圖知：|AC|+|BC|=|A'C|+|BC|≥|所以(|AC|+|BC|)min故選：C.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線l：3x－y＋3＝0，求：(1)點(diǎn)P(4,5)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)；(2)直線x－y－2＝0關(guān)于直線l對(duì)稱的直線方程；(3)直線l關(guān)于(1,2)的對(duì)稱直線．【解題思路】(1)設(shè)P(x，y)關(guān)于直線l：3x－y＋3＝0的對(duì)稱點(diǎn)為P′(x′，y′)，由題得x'把x＝4，y＝5代入（3）（4）即得解；（2）用（3）（4）分別代換x－y－2＝0中的x，y即得解；（3）在直線l：3x－y＋3＝0上取點(diǎn)M(0,3)，求出其關(guān)于(1,2)的對(duì)稱點(diǎn)M′(x′，y′)，又對(duì)稱直線的斜率為3，即得解.【解答過(guò)程】(1)設(shè)P(x，y)關(guān)于直線l：3x－y＋3＝0的對(duì)稱點(diǎn)為P′(x′，y′)，因?yàn)閗PP′·kl＝－1，即y'-yx'-x×3又PP′的中點(diǎn)在直線3x－y＋3＝0上，所以3×x'+x2-y'+y由（1）（2）得x把x＝4，y＝5代入（3）（4）得x′＝－2，y′＝7，所以點(diǎn)P(4,5)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(－2,7)．(2)用（3）（4）分別代換x－y－2＝0中的x，y，得關(guān)于l對(duì)稱的直線方程為-4x+3y-95化簡(jiǎn)得7x＋y＋22＝0.(3)在直線l：3x－y＋3＝0上取點(diǎn)M(0,3)，關(guān)于(1,2)的對(duì)稱點(diǎn)M′(x′，y′)，所以x'+02=1，x′＝2，y'+32=2，l關(guān)于(1,2)的對(duì)稱直線平行于l，所以k＝3，所以對(duì)稱直線方程為y－1＝3×(x－2)，即3x－y－5＝0.4．（2023上·上海浦東新·高二校考階段練習(xí)）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，點(diǎn)P是邊AB上異于A,B的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC,CA反射后又回到原點(diǎn)P，光線QR經(jīng)過(guò)△ABC的重心G．以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB為x軸（AB為正方向），建立平面直角坐標(biāo)系．(1)求△ABC的重心G的坐標(biāo)，及點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)求△PQR的周長(zhǎng)．【解題思路】（1）建立坐標(biāo)系，確定三角形頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得重心G的坐標(biāo)；設(shè)Pa,0，P關(guān)于直線BC,AC的對(duì)稱點(diǎn)分別設(shè)為P1,P2，表示出P（2）根據(jù)對(duì)稱知識(shí)可知△PQR的周長(zhǎng)即為P1P【解答過(guò)程】（1）如圖所示：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB,AC為x,y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A0,0故△ABC的重心G的坐標(biāo)為0+4+03,0+0+43設(shè)Pa,0，P關(guān)于直線BC,AC的對(duì)稱點(diǎn)分別設(shè)為P則P2-a,0，設(shè)直線BC的方程為x+y-4=0，則y解得x0=4y由光的反射原理可知P1,P故4-a-04--a=43故點(diǎn)P的坐標(biāo)為43（2）由（1）可得a=43，所以P14,4-a即為P1由題意可知PQ=故△PQR的周長(zhǎng)為PQ+題型7題型7圓的切線長(zhǎng)及切線方程問(wèn)題1．（2023上·安徽滁州·高二校考期末）過(guò)點(diǎn)P2,3引圓x2+A．x=2 B．12x-5y+9=0C．5x-12y+26=0 D．x=2和12x-5y-9=0【解題思路】根據(jù)題意，分析圓的圓心和半徑，分切線的斜率是否存在兩種情況討論，求出切線的方程，綜合可得答案．【解答過(guò)程】解：根據(jù)題意，圓x2即x-12+y+22=1，其圓心為1,-2過(guò)點(diǎn)P2,3引圓x若切線的斜率不存在，切線的方程為x＝2，符合題意；若切線的斜率存在，設(shè)其斜率為k，則有y-3=kx-2即kx－y＋3－2k＝0，則有5-k1+解得k=12此時(shí)切線的方程為y-3=12即12x－5y－9＝0．綜上：切線的方程為x＝2和12x－5y－9＝0．故選：D．2．（2023上·四川內(nèi)江·高二統(tǒng)考期末）已知P是直線l:x+y-7=0上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作兩條直線與圓C:(x+1)2+y2=4相切，切點(diǎn)分別為A、A．47 B．142 C．23【解題思路】當(dāng)PC⊥l時(shí)，|PC|取得最小值，根據(jù)切線長(zhǎng)的表達(dá)式可知，|PA|最小，此時(shí)四邊形PACB面積S=PA【解答過(guò)程】圓C:(x+1)2+y2當(dāng)PC⊥l時(shí)，|PC|取得最小值，即|PC|的最小值為點(diǎn)C到直線l的距離d=|-8|∵PA=PC2-AC2∵四邊形PACB面積S=PA∴四邊形PACB面積S的最小值為47故選：A．3．（2023上·江西吉安·高二統(tǒng)考期末）已知圓M經(jīng)過(guò)A2,4，B5,1(1)求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過(guò)點(diǎn)P-1,5的直線l與圓M相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，求直線l的方程及四邊形PEMF的面積S【解題思路】（1）設(shè)出圓的一般式方程，根據(jù)在兩坐標(biāo)軸上的四個(gè)截距之和是6，以及韋達(dá)定理和圓過(guò)A，B坐標(biāo)，列出方程組即可求解；（2）設(shè)切線方程為x=ty-5-1，由直線與圓相切列出方程求出t即可得切線方程；求出PM2，根據(jù)四邊形PEMF的面積S=2【解答過(guò)程】（1）設(shè)圓M與x軸的交點(diǎn)為(x1,0),(x2設(shè)圓M:x2令y=0，得x2+Dx+F=0，則令x=0，得y2+Ey+F=0，則∵圓M在兩坐標(biāo)軸上的四個(gè)截距之和是6，∴D+E=-6，∵圓過(guò)A2,4，B∴將A,B代入方程得4+16+2D+4E+F=025+1+5D+E+F=0，即2D+4E+F=-20解得：D=-4,E=-2,F=-4，故得圓M:x∴圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為x-22（2）由（1）得圓M的圓心為M2,1，半徑r=3過(guò)點(diǎn)P-1,5斜率為0的直線方程為y=5直線y=5與圓x-22+y-1不妨設(shè)過(guò)P-1,5的圓的切線l的方程為x=t即x-ty+5t+1=0，則d=2-t+5t+1t2解得t=0或t=-24故切線l方程為x=-1或7x+24y-113=0.又PM2則四邊形PEMF的面積S=2S4．（2023上·廣東清遠(yuǎn)·高二統(tǒng)考期末）已知△ABC的頂點(diǎn)分別為A(-1,7),B(-4,-2),C(3,-1)．(1)求△ABC外接圓的方程；(2)設(shè)P是直線l:4x-3y-25=0上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作△ABC外接圓的一條切線，切點(diǎn)為Q，求PQ最小值及點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解題思路】（1）設(shè)出圓的一般方程將A,B,C三點(diǎn)坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法即可求得△ABC外接圓的方程；（2）根據(jù)切線長(zhǎng)公式可知，當(dāng)P與圓心之間的距離最小時(shí)，切線長(zhǎng)PQ最小，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式和兩直線垂直關(guān)系即可求得最小值及點(diǎn)P的坐標(biāo).【解答過(guò)程】（1）設(shè)△ABC外接圓的方程為x2將A,B,C分別代入圓方程可得50-D+7E+F=020-4D-2E+F=010+3D-E+F=0，解得所以△ABC外接圓的方程為x2（2）△ABC外接圓(x+1)2+(y-2)2=25的圓心為因?yàn)镻Q=PM2-R當(dāng)PM⊥l時(shí)，PM最小，所以PMmin所以PQmin設(shè)P(x0,解得x0即點(diǎn)P的坐標(biāo)為P23題型8題型8求圓的弦長(zhǎng)與中點(diǎn)弦1．（2023下·甘肅白銀·高二校考期末）已知圓C：x2+y2-6x+4y-4=0，則過(guò)點(diǎn)MA．x+2y-2=0 B．x-y-5=0C．x+y-3=0 D．x-2y-6=0【解題思路】根據(jù)垂徑定理，分析出圓心和M4,-1連線的直線垂直于直線l時(shí)，所截得弦長(zhǎng)最短【解答過(guò)程】

由于42+(-1)x2+y如圖，設(shè)CH⊥l，垂足為H，設(shè)直線l和圓的交點(diǎn)是A,B，根據(jù)垂徑定理，AB=2為使得AB最小，必須CH最大，顯然CH≤H,M重合的時(shí)候取得等號(hào)，此時(shí)CM⊥l，由于kCM所以直線l的斜率為-1，故直線l的方程為y--1即x+y-3=0.故選：C.2．（2022上·廣東江門·高二統(tǒng)考期末）直線2m+2x+2m-3y+5=0m∈R與圓C:(x-1)2A．6 B．4 C．32 D．【解題思路】先求出直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)P，再由弦長(zhǎng)公式AB=2r2-d2【解答過(guò)程】因?yàn)?m+2x+2m-3y+5=0令2x+y=02x-3y+5=0所以直線AB恒過(guò)定點(diǎn)P(-1,1)，該點(diǎn)在圓內(nèi)，因?yàn)锳B=2r2-d2，所以要求AB的最小值，即求圓心顯然當(dāng)AB⊥PC時(shí)，d=PC最大，AB又因?yàn)閳AC:(x-1)2+(y+2)2=16，所以圓心故此時(shí)AB=2故選：D.3．（2023上·江西萍鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）已知直線l過(guò)點(diǎn)P1,-1，且在下列所給的三個(gè)條件中，任選一個(gè)補(bǔ)充在題中的橫線上，并完成解答.①與圓(x+1)2+y2=5相切；②傾斜角的余弦值為55；(1)求直線l的一般式方程；(2)若直線l與曲線C:x2+y2注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【解題思路】（1）選①，先得到點(diǎn)P在圓(x+1)2+y2=5上，從而根據(jù)垂直關(guān)系求出直線l的斜率，得到直線l的一般式方程；選②，求出tanα=2，從而得到直線l的一般式方程；選③，根據(jù)直線（2）求出圓心C到直線l的距離，利用垂徑定理求出弦長(zhǎng).【解答過(guò)程】（1）若選①：因?yàn)?1+1)2+-12=5且圓心-1,0與P連線的斜率為-1-01-因?yàn)橹本€l與圓(x+1)2+y2=5所以直線l的一般式方程為2x-y-3=0；若選②：設(shè)直線l的傾斜角為α(0≤α<π)，由cosα=故直線l的斜率k=tan所以直線l的一般式方程為2x-y-3=0；若選③：因?yàn)橹本€l的一個(gè)方向向量為a=-2,-4，所以l的斜率所以直線l的一般式方程為2x-y-3=0;（2）曲線C:x2+故C為圓，圓心為C3,1，半徑為r=2則圓心C到直線l的距離為d=6-1-3所以弦長(zhǎng)MN=24．（2023上·湖南長(zhǎng)沙·高二?？茧A段練習(xí)）已知圓C1:x(1)若直線mx-y+m-1=0m∈R與圓C1(2)是否存在點(diǎn)P，滿足經(jīng)過(guò)點(diǎn)P有無(wú)數(shù)對(duì)互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，并且直線l1被圓C1所截得的弦長(zhǎng)等于直線l【解題思路】（1）求出直線所過(guò)的定點(diǎn)M，根據(jù)圓的幾何條件可得AB取最小值時(shí)，AB⊥C（2）由題意可得直線l1,l2的斜率都存在且都不等于零，設(shè)直線l1的斜率為k，則l2的斜率為-【解答過(guò)程】（1）直線mx-y+m-1=0m∈AB取最小值時(shí)，AB⊥CC1∴ABmin（2）設(shè)Pa,b由題意可得直線l1設(shè)直線l1的方程為y-b=kx-ak≠0則直線l2的方程為y-b=-1k圓C1:x2+圓C2:(x-4)2+則圓心C10,-2到直線l1圓心C24,0到直線l2因?yàn)橹本€l1被圓C1所截得的弦長(zhǎng)等于直線l2被圓C所以d1即2-ak+bk2+1整理得a2-b所以a2-b2=0所以存在點(diǎn)P1,1或3,-3滿足題意題型9直線與圓有關(guān)的最值問(wèn)題題型9直線與圓有關(guān)的最值問(wèn)題1．（2023下·廣西南寧·高二南寧三中?？计谀┮阎獔AC：x-12+y-22=25，直線l：2m+1x+m+1y-7m-4=0，直線l與圓C交于A．1 B．45 C．255【解題思路】根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)，結(jié)合垂直關(guān)系求解弦長(zhǎng)的范圍，即可由二倍角公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【解答過(guò)程】直線l：2m+1x+m+1y-7m-4=0令2x+y-7=0和x+y-4=0，解得x=3,y=1，所以直線l恒過(guò)定點(diǎn)D3,1，D點(diǎn)在圓C內(nèi)部，當(dāng)AB垂直于CD時(shí)，AB最短，此時(shí)CD=5sin∠ACB=2sin∠ACB2cos∠ACB2=2×12故選：B.2．（2023下·河南南陽(yáng)·高二校聯(lián)考期末）已知直線l：x+y+2=0與x軸、y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，動(dòng)直線l1：y=-mxm∈R和l2：my-x-4m+2=0交于點(diǎn)P，則△MNPA．10 B．5-10 C．22 D【解題思路】根據(jù)l1,l2【解答過(guò)程】根據(jù)題意可知，動(dòng)直線l1:mx+y=0過(guò)定點(diǎn)O0,0，動(dòng)直線l2：my-x-4m+2=0，即因?yàn)閙×(-1)+1×m=0，所以無(wú)論m取何值，都有l(wèi)1所以點(diǎn)P在以O(shè)B為直徑的圓上，且圓心坐標(biāo)為1,2，半徑為12設(shè)Px,y，則點(diǎn)P的軌跡方程為x-1圓心到直線l的距離為1+2+22=522，則P由題可知M-2,0，N0,-2，則所以△MNP的面積的最小值為12故選：B.3．（2022上·四川成都·高二校聯(lián)考期中）已知圓C過(guò)點(diǎn)1,1，且與y軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)直線l:x-y+1=0上的一動(dòng)點(diǎn)P引圓C的兩條切線l1，l2，切點(diǎn)分別為A，(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求MCMO【解題思路】（1）根據(jù)圓C且與y軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)圓心為c,0，再根據(jù)圓C過(guò)點(diǎn)0,0，1,1，可得c的值與半徑，即可得圓C的方程；（2）設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為x1,y1，x2,y2，點(diǎn)P為a,a+1，得直線AC，AB【解答過(guò)程】（1）解：∵圓C與y軸相切，∴可設(shè)圓心C的坐標(biāo)為c,0；又∵圓C過(guò)點(diǎn)0,0，1,1，∴c2解得c=1，∴圓心C為1,0，半徑為1，∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x-12（2）解：如圖，設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為x1,y1，x2直線AC的方程為y1又∵l1過(guò)點(diǎn)A，且與直線AC垂直，∴l(xiāng)1為又知l1過(guò)點(diǎn)P，得到x整理可知點(diǎn)A滿足：a-1x同理點(diǎn)B滿足：a-1x∴直線AB的方程為a-1x+∴直線AB恒過(guò)定點(diǎn)12,1由題意可知當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)Q不重合時(shí)，MC⊥MQ，點(diǎn)M在以CQ為直徑的圓上（不包括點(diǎn)C），當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)Q重合時(shí)也在該圓上，∴點(diǎn)M的軌跡為x-342+y-MCMO當(dāng)xM=12時(shí)，MCMO=1又∵2yM+12xM-1進(jìn)而2xM-13綜上：MCMO∈0,2，∴4．（2023上·山東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元前262~公元前190年）的著作（圓錐曲線論）是古代數(shù)學(xué)的重要成果．其中有這樣一個(gè)結(jié)論：平面內(nèi)與兩點(diǎn)距離的比為常數(shù)λλ≠1的點(diǎn)的軌跡是圓，后人稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓．已知點(diǎn)O0,0、A2,0，動(dòng)點(diǎn)Px,y滿足POPA=22，點(diǎn)(1)求MP的最大值及最小值；(2)求△MCP的面積的最大值．【解題思路】（1）求出直線l所過(guò)定點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用距離公式求出曲線C的方程，利用圓的幾何性質(zhì)可求得MP的最大值及最小值；（2）求出MC以及點(diǎn)P到直線MC距離的最大值，再利用三角形的面積公式可求得△MCP的面積的最大值．【解答過(guò)程】（1）解：將直線l的方程變形為mx-2+y-3=0，由所以，直線l過(guò)定點(diǎn)M2,3由POPA=22可得所以，點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)C-2,0為圓心，半徑為2因?yàn)?+22+32>8所以，MPmax當(dāng)且僅當(dāng)P為直線MC與圓C的交點(diǎn)且C在線段MP上時(shí)，MP取最大值，MPmin當(dāng)且僅當(dāng)P為線段MC與圓C的交點(diǎn)時(shí)，MP取最小值.綜上所述，MP的最小值為5-22，最大值為5+2（2）解：因?yàn)镸C=2+22+32=5所以，S△MCP題型10題型10兩圓的公切線問(wèn)題1．（2023上·四川遂寧·高二統(tǒng)考期末）若圓C1:(x-1)2+y2=1與圓A．14 B．28 C．9 D．-11【解題思路】分別求出兩圓的圓心及半徑，再根據(jù)圓C1與圓C2有且僅有3條公切線，可得兩圓外切，則C【解答過(guò)程】圓C1:(x-1)2+圓C2:(x-5)