高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期中考模擬卷01（解析版）

高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期中考模擬卷01一、單選題1．（2023秋·海南?？凇じ呷？谝恢行？计谀┮阎希?，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)集合交集的定義求解判斷.【詳解】因?yàn)椋?，根?jù)交集的定義，可得.故選：C.2．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)校考一模）設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B．2 C． D．1【答案】A【分析】先求出復(fù)數(shù)，再求.【詳解】∵，∴.故選：A3．（2023·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷即可得出結(jié)果.【詳解】作出函數(shù)，的圖象如圖所示：則的單調(diào)遞增區(qū)間為：，單調(diào)遞減區(qū)間為：.，，.,.故選：A4．（2023春·海南省直轄縣級(jí)單位·高三?？计谀┮阎獮榈冗吶切危c(diǎn)分別是的中點(diǎn)，連接并延長到點(diǎn)使得，則=（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用向量的加法法則以及數(shù)乘運(yùn)算即可.【詳解】.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的加法法則以及數(shù)乘運(yùn)算.屬于較易題.5．（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出的定義域，然后求出的單調(diào)遞增區(qū)間即可.【詳解】由得或所以的定義域?yàn)橐驗(yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增所以在上單調(diào)遞增所以故選：D【點(diǎn)睛】在求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)一定要先求函數(shù)的定義域.6．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·嘉積中學(xué)校考三模）將甲、乙、丙、丁四人安排到籃球與演講比賽現(xiàn)場進(jìn)行服務(wù)工作，每個(gè)比賽現(xiàn)場需要兩人，則甲、乙安排在一起的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根先將四人平均分成兩組，再安排服務(wù)工作共有種，再根據(jù)全排求甲、乙安排一起服務(wù)的種數(shù)，結(jié)合古典概型即可求解.【詳解】將四人分成兩人兩組共有種，再安排四人到籃球與演講比賽現(xiàn)場進(jìn)行服務(wù)工作有種，又甲、乙安排在一起共有種，所以甲、乙安排在一起的概率為，故選：B.7．（2023秋·海南省直轄縣級(jí)單位·高三嘉積中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)對(duì)任意的，總有，若時(shí)，，且，則當(dāng)時(shí)，的最大值為（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】D【分析】先令，求出，再判斷函數(shù)的奇偶性，然后利用函數(shù)的單調(diào)性的定義結(jié)合已知條件判斷其單調(diào)性，再利用單調(diào)性可求出函數(shù)的最大值.【詳解】令，則，得，令，則，所以，所以為奇函數(shù)，任取，且，則，，所以，所以，所以在上遞減，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為，因?yàn)椋?，所以，故選：D8．（2023·海南?？凇ずＤ现袑W(xué)校考二模）傳說古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著“圓柱容球”，即：一個(gè)圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等.如圖是一個(gè)圓柱容球，為圓柱上下底面的圓心，為球心，為底面圓的一條直徑，若球的半徑，則平面DEF截球所得的截面面積最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】過作于，設(shè)到平面的距離為，平面截得球的截面圓的半徑為，由求解判斷.【詳解】由球的半徑為，可知圓柱的底面半徑為，圓柱的高為，過作于，如圖所示：

則由題可得，設(shè)平面截得球的截面圓的半徑為，當(dāng)EF在底面圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，到平面的距離所以所以平面截得球的截面面積最小值為，故D正確；故選：D.二、多選題9．（2023春·海南三亞·高三校考期中）某校擬從甲、乙兩名同學(xué)中選一人參加“網(wǎng)絡(luò)安全知識(shí)競賽”，于是抽取了甲、乙兩人最近同時(shí)參加校內(nèi)競賽的十次成績，將統(tǒng)計(jì)情況繪制成如圖所示的折線圖．根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論正確的是（）A．乙的成績的極差為7B．甲的成績的平均數(shù)與中位數(shù)均為7C．甲的成績的方差大于乙的成績的方差D．甲從第二次到第三次成績的上升速率要大于乙從第六次到第八次的上升速率【答案】BD【分析】結(jié)合折線圖，找到甲乙每次的成績，然后逐項(xiàng)分析即可.【詳解】對(duì)A：找到乙的成績的最小值為2.最大值為10，所以極差為8，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：甲的十次成績從小到大排列：5,6,6,7,7,7,7,8,8,9，所以中位數(shù)為，平均數(shù)為，故B正確；對(duì)C：從折線圖可以看出乙的成績比甲的成績波動(dòng)更大，所以甲的成績的方差小于乙的成績的方差，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：從折線圖可以看出甲從第二次到第三次成績上升速率要大于乙從第六次到第八次的上升速率，故D正確.故選：BD.10．（2023秋·海南儋州·高三?？计谥校┰O(shè)正實(shí)數(shù)a，b滿足，則（

）A．有最小值4 B．有最小值C．有最大值 D．有最小值【答案】ACD【分析】利用基本不等式結(jié)合條件逐項(xiàng)分析即得.【詳解】選項(xiàng)A：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A正確；選項(xiàng)B：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以有最大值，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故C正確；選項(xiàng)D：由，化簡得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確.故選：ACD.11．（2023秋·海南儋州·高三海南省洋浦中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的部分圖象如圖所示，將的圖象向左平移個(gè)單位，再將橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍得到的圖象，則下列說法正確的有（

）

A． B．C． D．是的一個(gè)對(duì)稱中心【答案】ACD【分析】根據(jù)圖象可得函數(shù)的周期，即可求出，再利用待定系數(shù)法求出即可，根據(jù)平移變換和周期變換求出的解析式，即可判斷C，根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱性即可判斷D.【詳解】由圖可知函數(shù)得周期，所以，故A正確；則，又，所以，所以，則，又，所以，故B錯(cuò)誤；則，將的圖象向左平移個(gè)單位，得，再將橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍得，，則，故C正確；因?yàn)?，所以是的一個(gè)對(duì)稱中心，故D正確.故選：ACD.12．（2023秋·四川成都·高三成都七中?？茧A段練習(xí)）在四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，，，底面ABCD，則（

）

A．B．PB與平面ABCD所成角為C．異面直線AB與PC所成角的余弦值為D．平面PAB與平面PBC夾角的余弦值為【答案】ABC【分析】由線面垂直的判定定理及異面直線所成角的求法，結(jié)合空間向量的應(yīng)用逐一判斷即可得解．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，，由余弦定理可得，從而，即，由底面，底面，可得，又面，即面，又面，即，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)榈酌?，所以就是與平面所成的角，又，即，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，顯然為異面直線與所成的角，易得，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則,0,，,0,，,,，,,，,0,，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，即，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，則，令，則，，即，則，即平面與平面夾角的余弦值為，故選項(xiàng)D不正確.故選：ABC．三、填空題13．（2023·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知向量和的夾角為，且，，則.【答案】10【分析】首先根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義求出，再根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)橄蛄亢偷膴A角為，且，，所以，所以故答案為：14．（2023春·海南省直轄縣級(jí)單位·高三嘉積中學(xué)校考階段練習(xí)）雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到其漸近線的距離為.【答案】【分析】由雙曲線方程，得到焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±3，0），漸近線為y＝±x．由點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行計(jì)算，結(jié)合雙曲線基本量的關(guān)系化簡，即可求出焦點(diǎn)F到其漸近線的距離．【詳解】∵雙曲線方程為∴雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±3，0）漸近線為y＝±x，即x±y＝0可得焦點(diǎn)F到其漸近線的距離為d．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到漸近線的距離，考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．15．（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·校考模擬預(yù)測）若函數(shù)（且）的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【詳解】試題分析：由于函數(shù)的值域是，故當(dāng)時(shí)，滿足，當(dāng)時(shí)，由，所以，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍.考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的值域.【方法點(diǎn)晴】本題以分段為背景主要考查了對(duì)數(shù)的圖象與性質(zhì)及函數(shù)的值域問題，解答時(shí)要牢記對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)數(shù)函數(shù)的特殊點(diǎn)的應(yīng)用是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題，著重考查了分類討論的思想方法的應(yīng)用，本題的解答中，當(dāng)時(shí)，由，得，即，即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍.16．（2023·遼寧·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】對(duì)不等式進(jìn)行合理變形同構(gòu)得，構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可.【詳解】易知，由可得，即，則有，設(shè)，易知在上單調(diào)遞增，故，所以，即，設(shè)，令，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則有，解之得．故答案為：.四、解答題17．（2023秋·海南·高三海南中學(xué)校考階段練習(xí)）在中，角所對(duì)的邊分別為，已知.(1)求角的大?。?2)若，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理結(jié)合三角恒等變換求解即可；（2）根據(jù)余弦定理結(jié)合三角形面積公式求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理有：，所以，所以，因?yàn)?，所以，所?又，所以；（2），又由（1）知由余弦定理得，即，則所以的面積為.18．（2023秋·海南海口·高三?？茧A段練習(xí)）從“①；②，；③，是，的等比中項(xiàng)”三個(gè)條件任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面的橫線處，并解答.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差不等于0，______，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求【答案】(1)，；(2).【分析】(1)選①，由取可求，再根據(jù)可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；選②，結(jié)合等差數(shù)列得通項(xiàng)公式及的意義，列關(guān)于，的方程，解方程可得，，由此確定數(shù)列的通項(xiàng)公式；選③，結(jié)合等比中項(xiàng)的定義，列關(guān)于，的方程，解方程可得，，由此確定數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)先確定數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用分組求和法求其前項(xiàng)和.【詳解】（1）選①：，令，得，所，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，，又，所，，選②：由，得因?yàn)椋?，選③：因?yàn)椋?，的等比中?xiàng)，所以，即又，所以解得，所以，（2）由(1)可得，所以，又，所以，所以，所以.19．（2023春·海南三亞·高三?？奸_學(xué)考試）（理）某學(xué)校高三年級(jí)學(xué)生某次身體素質(zhì)體能測試的原始成績采用百分制，已知所有這些學(xué)生的原始成績均分布在內(nèi)，發(fā)布成績使用等級(jí)制各等級(jí)劃分標(biāo)準(zhǔn)見下表，規(guī)定：三級(jí)為合格等級(jí)，為不合格等級(jí).百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等級(jí)為了解該校高三年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)情況，從中抽取了名學(xué)生的原始成績作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按照的分組作出頻率分布直方圖如圖所示，樣本中分?jǐn)?shù)在80分及以上的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示.，（1）求和頻率分布直方圖中的的值；（2）根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，若在該校高三學(xué)生任選3人，求至少有1人成績是合格等級(jí)的概率；（3）在選取的樣本中，從兩個(gè)等級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了3名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研，記表示所抽取的名學(xué)生中為等級(jí)的學(xué)生人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；，（2）（3）分布列見解析，期望為【分析】1）根據(jù)莖葉圖得人數(shù)，再根據(jù)頻率分布直方圖得概率，最后根據(jù)頻數(shù)、總數(shù)與頻率關(guān)系得根據(jù)莖葉圖得人數(shù)，根據(jù)頻數(shù)、總數(shù)與頻率關(guān)系得概率，最后根據(jù)頻率分布直方圖求根據(jù)所有頻率和為1得概率，再根據(jù)頻率分布直方圖頻率求（2）先求無合格等級(jí)的事件概率，再根據(jù)對(duì)立事件求結(jié)果，（3）先確定隨機(jī)變量取法，再分別求對(duì)應(yīng)概率，列表得分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求結(jié)果.【詳解】（1）；，（2）設(shè)至少有1人成績是合格等級(jí)的事件為（3）由題意可知等級(jí)的學(xué)生人數(shù)為人，等級(jí)的學(xué)生人數(shù)為3人，故的取值為，，，.所以的分布列為：【點(diǎn)睛】求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，第二步是“探求概率”，第三步是“寫分布列”，第四步是“求期望值”.20．（2023春·海南省直轄縣級(jí)單位·高三嘉積中學(xué)校考階段練習(xí)）已知、是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)，又軸.(1)求橢圓的方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)的直線l與橢圓E相交于點(diǎn)C，D，并且，求直線l的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）由條件可得、，然后結(jié)合可解出答案；（2）設(shè)直線的方程為，它與橢圓交于、，聯(lián)立直線與橢圓的方程消元，然后韋達(dá)定理可得，，然后由得，然后可解出答案.【詳解】（1）由軸，得，又由橢圓的通徑知，即，代入中，得，得，得，，所以橢圓E的方程為；（2）設(shè)直線的方程為，它與橢圓交于、，聯(lián)立直線與橢圓得：，①，②，又由，得③，將③代入①②得：④，⑤，再④將代入⑤并約分化簡得：，即，將代入（*）中得，故這樣的直線存在，且其方程為.21．（2023·吉林長春·東北師大附中校考一模）長方形中，，點(diǎn)為中點(diǎn)（如圖1），將點(diǎn)繞旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)處，使平面平面（如圖2）．

(1)求證：；(2)點(diǎn)在線段上，當(dāng)二面角大小為時(shí)，求四棱錐的體積．【答案】(1)證明見詳解(2)【分析】（1）由已知條件，先證明，再利用平面平面，可證平面，得到，又，可得平面，從而可證；（2）由題意，建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法求出平面和平面的法向量，進(jìn)而求出點(diǎn)坐標(biāo)，確定點(diǎn)位置，求出四棱錐的體積.【詳解】（1）證明：在長方形中，，為中點(diǎn)，，，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，又，平面，平面，，平面，平面，.（2）

如圖，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，由題意可得兩兩互相垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，，令，得，，又平面，是平面的一個(gè)法向量，，令，解得或（舍）.即為的靠近的三等分點(diǎn)時(shí)，二面角的平面角為，平面，且，到平面的距離為，又四邊形的面積為3，四棱錐的體積22．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增.(1)求的取值范圍；(2)若存在正數(shù)滿足（為的導(dǎo)函數(shù)），求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題意可知在上恒成立，即在上恒成立．結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）由題意可得，是方程的兩根，則，利用基本不等式得.根據(jù)換元法，令，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性