高三數學第一學期期中考模擬卷01（解析版）

高三數學第一學期期中考模擬卷01一、單選題1．（2023秋·海南?？凇じ呷？谝恢行？计谀┮阎?，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據集合交集的定義求解判斷.【詳解】因為，，根據交集的定義，可得.故選：C.2．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學?？家荒＃┰Oi為虛數單位，復數滿足，則（

）A． B．2 C． D．1【答案】A【分析】先求出復數，再求.【詳解】∵，∴.故選：A3．（2023·海南·統考模擬預測）已知函數，若，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由對數型復合函數的單調性判斷即可得出結果.【詳解】作出函數，的圖象如圖所示：則的單調遞增區(qū)間為：，單調遞減區(qū)間為：.，，.,.故選：A4．（2023春·海南省直轄縣級單位·高三?？计谀┮阎獮榈冗吶切危c分別是的中點，連接并延長到點使得，則=（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用向量的加法法則以及數乘運算即可.【詳解】.故選：A.【點睛】本題主要考查了向量的加法法則以及數乘運算.屬于較易題.5．（2024·海南省直轄縣級單位·?？寄M預測）已知函數在上單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出的定義域，然后求出的單調遞增區(qū)間即可.【詳解】由得或所以的定義域為因為在上單調遞增所以在上單調遞增所以故選：D【點睛】在求函數的單調區(qū)間時一定要先求函數的定義域.6．（2023·海南省直轄縣級單位·嘉積中學?？既＃⒓?、乙、丙、丁四人安排到籃球與演講比賽現場進行服務工作，每個比賽現場需要兩人，則甲、乙安排在一起的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根先將四人平均分成兩組，再安排服務工作共有種，再根據全排求甲、乙安排一起服務的種數，結合古典概型即可求解.【詳解】將四人分成兩人兩組共有種，再安排四人到籃球與演講比賽現場進行服務工作有種，又甲、乙安排在一起共有種，所以甲、乙安排在一起的概率為，故選：B.7．（2023秋·海南省直轄縣級單位·高三嘉積中學校考階段練習）已知函數對任意的，總有，若時，，且，則當時，的最大值為（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】D【分析】先令，求出，再判斷函數的奇偶性，然后利用函數的單調性的定義結合已知條件判斷其單調性，再利用單調性可求出函數的最大值.【詳解】令，則，得，令，則，所以，所以為奇函數，任取，且，則，，所以，所以，所以在上遞減，所以當時，的最大值為，因為，所以，所以，故選：D8．（2023·海南?？凇ずＤ现袑W?？级＃﹤髡f古希臘數學家阿基米德的墓碑上刻著“圓柱容球”，即：一個圓柱內有一個內切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等.如圖是一個圓柱容球，為圓柱上下底面的圓心，為球心，為底面圓的一條直徑，若球的半徑，則平面DEF截球所得的截面面積最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】過作于，設到平面的距離為，平面截得球的截面圓的半徑為，由求解判斷.【詳解】由球的半徑為，可知圓柱的底面半徑為，圓柱的高為，過作于，如圖所示：

則由題可得，設平面截得球的截面圓的半徑為，當EF在底面圓周上運動時，到平面的距離所以所以平面截得球的截面面積最小值為，故D正確；故選：D.二、多選題9．（2023春·海南三亞·高三?？计谥校┠承M從甲、乙兩名同學中選一人參加“網絡安全知識競賽”，于是抽取了甲、乙兩人最近同時參加校內競賽的十次成績，將統計情況繪制成如圖所示的折線圖．根據該折線圖，下列結論正確的是（）A．乙的成績的極差為7B．甲的成績的平均數與中位數均為7C．甲的成績的方差大于乙的成績的方差D．甲從第二次到第三次成績的上升速率要大于乙從第六次到第八次的上升速率【答案】BD【分析】結合折線圖，找到甲乙每次的成績，然后逐項分析即可.【詳解】對A：找到乙的成績的最小值為2.最大值為10，所以極差為8，故A錯誤；對B：甲的十次成績從小到大排列：5,6,6,7,7,7,7,8,8,9，所以中位數為，平均數為，故B正確；對C：從折線圖可以看出乙的成績比甲的成績波動更大，所以甲的成績的方差小于乙的成績的方差，故C錯誤；對D：從折線圖可以看出甲從第二次到第三次成績上升速率要大于乙從第六次到第八次的上升速率，故D正確.故選：BD.10．（2023秋·海南儋州·高三?？计谥校┰O正實數a，b滿足，則（

）A．有最小值4 B．有最小值C．有最大值 D．有最小值【答案】ACD【分析】利用基本不等式結合條件逐項分析即得.【詳解】選項A：，當且僅當時取等號，故A正確；選項B：，當且僅當時取等號，所以有最大值，故B錯誤；選項C：，所以，當且僅當時取等號，故C正確；選項D：由，化簡得，，當且僅當時取等號，故D正確.故選：ACD.11．（2023秋·海南儋州·高三海南省洋浦中學?？茧A段練習）函數的部分圖象如圖所示，將的圖象向左平移個單位，再將橫坐標擴大為原來的2倍得到的圖象，則下列說法正確的有（

）

A． B．C． D．是的一個對稱中心【答案】ACD【分析】根據圖象可得函數的周期，即可求出，再利用待定系數法求出即可，根據平移變換和周期變換求出的解析式，即可判斷C，根據正弦函數的對稱性即可判斷D.【詳解】由圖可知函數得周期，所以，故A正確；則，又，所以，所以，則，又，所以，故B錯誤；則，將的圖象向左平移個單位，得，再將橫坐標擴大為原來的2倍得，，則，故C正確；因為，所以是的一個對稱中心，故D正確.故選：ACD.12．（2023秋·四川成都·高三成都七中?？茧A段練習）在四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，，，底面ABCD，則（

）

A．B．PB與平面ABCD所成角為C．異面直線AB與PC所成角的余弦值為D．平面PAB與平面PBC夾角的余弦值為【答案】ABC【分析】由線面垂直的判定定理及異面直線所成角的求法，結合空間向量的應用逐一判斷即可得解．【詳解】對于選項A，因為，，由余弦定理可得，從而，即，由底面，底面，可得，又面，即面，又面，即，故選項A正確；對于選項B，因為底面，所以就是與平面所成的角，又，即，故選項B正確；對于選項C，顯然為異面直線與所成的角，易得，故選項C正確；對于選項D，建立如圖所示的空間直角坐標系，

設，則,0,，,0,，,,，,,，,0,，設平面的一個法向量為，則，即，令，則，即，設平面的一個法向量為，則，則，令，則，，即，則，即平面與平面夾角的余弦值為，故選項D不正確.故選：ABC．三、填空題13．（2023·海南·統考模擬預測）已知向量和的夾角為，且，，則.【答案】10【分析】首先根據平面向量數量積的定義求出，再根據向量數量積的運算律計算可得；【詳解】解：因為向量和的夾角為，且，，所以，所以故答案為：14．（2023春·海南省直轄縣級單位·高三嘉積中學校考階段練習）雙曲線的一個焦點到其漸近線的距離為.【答案】【分析】由雙曲線方程，得到焦點坐標為（±3，0），漸近線為y＝±x．由點到直線的距離公式進行計算，結合雙曲線基本量的關系化簡，即可求出焦點F到其漸近線的距離．【詳解】∵雙曲線方程為∴雙曲線的焦點坐標為（±3，0）漸近線為y＝±x，即x±y＝0可得焦點F到其漸近線的距離為d．故答案為．【點睛】本題考查了點到漸近線的距離，考查了雙曲線的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．15．（2024·海南省直轄縣級單位·?？寄M預測）若函數（且）的值域是，則實數的取值范圍是．【答案】【詳解】試題分析：由于函數的值域是，故當時，滿足，當時，由，所以，所以，所以實數的取值范圍.考點：對數函數的性質及函數的值域.【方法點晴】本題以分段為背景主要考查了對數的圖象與性質及函數的值域問題，解答時要牢記對數函數的單調性及對數函數的特殊點的應用是解答的關鍵，屬于基礎題，著重考查了分類討論的思想方法的應用，本題的解答中，當時，由，得，即，即可求解實數的取值范圍.16．（2023·遼寧·校聯考模擬預測）已知函數，若對恒成立，則實數a的取值范圍是．【答案】【分析】對不等式進行合理變形同構得，構造函數利用函數的單調性計算即可.【詳解】易知，由可得，即，則有，設，易知在上單調遞增，故，所以，即，設，令，，故在上單調遞減，在上單調遞增，所以，則有，解之得．故答案為：.四、解答題17．（2023秋·海南·高三海南中學?？茧A段練習）在中，角所對的邊分別為，已知.(1)求角的大??；(2)若，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據正弦定理結合三角恒等變換求解即可；（2）根據余弦定理結合三角形面積公式求解即可.【詳解】（1）因為，由正弦定理有：，所以，所以，因為，所以，所以.又，所以；（2），又由（1）知由余弦定理得，即，則所以的面積為.18．（2023秋·海南?？凇じ呷？茧A段練習）從“①；②，；③，是，的等比中項”三個條件任選一個，補充到下面的橫線處，并解答.已知等差數列的前項和為，公差不等于0，______，.(1)求數列的通項公式；(2)若，數列的前項和為，求【答案】(1)，；(2).【分析】(1)選①，由取可求，再根據可求數列的通項公式；選②，結合等差數列得通項公式及的意義，列關于，的方程，解方程可得，，由此確定數列的通項公式；選③，結合等比中項的定義，列關于，的方程，解方程可得，，由此確定數列的通項公式；(2)先確定數列的通項公式，再利用分組求和法求其前項和.【詳解】（1）選①：，令，得，所，所以，當時，，所以，，又，所，，選②：由，得因為，所，所，選③：因為，是，的等比中項，所以，即又，所以解得，所以，（2）由(1)可得，所以，又，所以，所以，所以.19．（2023春·海南三亞·高三?？奸_學考試）（理）某學校高三年級學生某次身體素質體能測試的原始成績采用百分制，已知所有這些學生的原始成績均分布在內，發(fā)布成績使用等級制各等級劃分標準見下表，規(guī)定：三級為合格等級，為不合格等級.百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等級為了解該校高三年級學生身體素質情況，從中抽取了名學生的原始成績作為樣本進行統計，按照的分組作出頻率分布直方圖如圖所示，樣本中分數在80分及以上的所有數據的莖葉圖如圖所示.，（1）求和頻率分布直方圖中的的值；（2）根據樣本估計總體的思想，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率，若在該校高三學生任選3人，求至少有1人成績是合格等級的概率；（3）在選取的樣本中，從兩個等級的學生中隨機抽取了3名學生進行調研，記表示所抽取的名學生中為等級的學生人數，求隨機變量的分布列及數學期望.【答案】（1）；，（2）（3）分布列見解析，期望為【分析】1）根據莖葉圖得人數，再根據頻率分布直方圖得概率，最后根據頻數、總數與頻率關系得根據莖葉圖得人數，根據頻數、總數與頻率關系得概率，最后根據頻率分布直方圖求根據所有頻率和為1得概率，再根據頻率分布直方圖頻率求（2）先求無合格等級的事件概率，再根據對立事件求結果，（3）先確定隨機變量取法，再分別求對應概率，列表得分布列，最后根據數學期望公式求結果.【詳解】（1）；，（2）設至少有1人成績是合格等級的事件為（3）由題意可知等級的學生人數為人，等級的學生人數為3人，故的取值為，，，.所以的分布列為：【點睛】求解離散型隨機變量的數學期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，第二步是“探求概率”，第三步是“寫分布列”，第四步是“求期望值”.20．（2023春·海南省直轄縣級單位·高三嘉積中學?？茧A段練習）已知、是橢圓：的左、右焦點，且橢圓經過點，又軸.(1)求橢圓的方程；(2)經過點的直線l與橢圓E相交于點C，D，并且，求直線l的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）由條件可得、，然后結合可解出答案；（2）設直線的方程為，它與橢圓交于、，聯立直線與橢圓的方程消元，然后韋達定理可得，，然后由得，然后可解出答案.【詳解】（1）由軸，得，又由橢圓的通徑知，即，代入中，得，得，得，，所以橢圓E的方程為；（2）設直線的方程為，它與橢圓交于、，聯立直線與橢圓得：，①，②，又由，得③，將③代入①②得：④，⑤，再④將代入⑤并約分化簡得：，即，將代入（*）中得，故這樣的直線存在，且其方程為.21．（2023·吉林長春·東北師大附中?？家荒＃╅L方形中，，點為中點（如圖1），將點繞旋轉至點處，使平面平面（如圖2）．

(1)求證：；(2)點在線段上，當二面角大小為時，求四棱錐的體積．【答案】(1)證明見詳解(2)【分析】（1）由已知條件，先證明，再利用平面平面，可證平面，得到，又，可得平面，從而可證；（2）由題意，建立空間直角坐標系，由向量法求出平面和平面的法向量，進而求出點坐標，確定點位置，求出四棱錐的體積.【詳解】（1）證明：在長方形中，，為中點，，，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，又，平面，平面，，平面，平面，.（2）

如圖，取的中點，的中點，連接，由題意可得兩兩互相垂直，以為坐標原點，以，，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，，，，設，則，設平面的一個法向量為，則，，令，得，，又平面，是平面的一個法向量，，令，解得或（舍）.即為的靠近的三等分點時，二面角的平面角為，平面，且，到平面的距離為，又四邊形的面積為3，四棱錐的體積22．（2023·海南·校聯考模擬預測）已知函數在上單調遞增.(1)求的取值范圍；(2)若存在正數滿足（為的導函數），求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題意可知在上恒成立，即在上恒成立．結合二次函數的性質即可求解；（2）由題意可得，是方程的兩根，則，利用基本不等式得.根據換元法，令，設，利用導數研究函數的性