2023高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)練31　不等式

微專題31不等式

高考定位1.對(duì)不等式的性質(zhì)及不等式的解法的考查一般不單獨(dú)命題，常與集合、

函數(shù)圖象與性質(zhì)相結(jié)合，也常滲透在三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等題目中；

2.基本不等式主要滲透在其他知識(shí)中求最值；3.題型多以選擇題、填空題的形式呈

現(xiàn)，中等難度.

真題演練感悟高考練真題明方向

1.（2018?全國I卷）已知集合A={X∣Λ2-X-2>0},則CRA=（）

A.{x∣—1<x<2}B.{x∣—1≤x≤2}

C.{X∣Λ<-1}U{x?x>2}D.{x∣x≤-1}U{x∣x22}

答案B

解析法一因?yàn)锳={x∣（χ-2）（x+l）>0}={x∣x<-1或x>2},

所以CRA=3一1WXW2},故選B.

法二因?yàn)锳={jφ?-x-2>0},

所以CRA={x*-X-2W0}={XI-IWXW2},故選B.

2.（2019?全國∏卷）若α>b,則（）

A.ln（α-?）>OB.3a<3b

C,a3~b3>QD.?a?>?b?

答案C

解析由函數(shù)y=ln尤的圖像（圖略）知，

當(dāng)0<a—Xl時(shí)，ln（α-?）<O,

故A不正確；

因?yàn)楹瘮?shù)y=3'在R上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)α泌時(shí)，3a>3b,故B不正確；

因?yàn)楹瘮?shù)y=x3在R上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)α>b時(shí),a3>b?

即爐一〃>0,故C正確；

當(dāng)b<a<O時(shí)，?a?<?b?,故D不正確.

3.（多選）（2022?新高考∏卷）若X,y滿足f+γ2-孫=1,則（）

A,x+γ≤1B?%+γ≥—2

C,x2+√≤2D?∕+y22

答案BC

?,.E)∕a+β?^,a2jcb1

解析r因?yàn)棣羈W(_二J≤—2-(。，OeR)，

由x2+y2一個(gè)=1可變形為

(x÷γ)2-1=3x?≤3θ^y^,

解得-2Wx+y≤2,

當(dāng)且僅當(dāng)X=y=—1時(shí)，x+y=~2,

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=l時(shí)，尤+y=2,所以A錯(cuò)誤，B正確；

由xi+y1-χy=?可變形為

x2÷γ2

(X27+/9)—1—,

解得f+γ2≤2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=±l時(shí)取等號(hào)，所以C正確；

因?yàn)閤1+y2-xy=?可變形為

D+IF

設(shè)X—]=COS仇坐y=sin仇

S

所以X=Cos6>÷?sinθ,

y=￥Sinθ,

因此x2+jr=cos2∕9÷∣-sin2^÷^^"sinOcosθ=1+^sin2。一geos2。+；

=針4科2《，26一d兀、)∈b「22^],

所以當(dāng)X=坐，y=一當(dāng)時(shí)滿足等式，

但是f+y221不成立，所以D錯(cuò)誤.

4.(2020?江蘇卷)已知5x2γ2+y4=l(x,^∈R),則x2+y2的最小值是一

答案I

解析法一由題意知y#0.

1—y4

由5x1y1+y4=1,可得x1=~^~,

所以X2+戶三+>2=W^=^+4)H*X2出

當(dāng)且僅當(dāng)5=4γ2,即y=±半時(shí)取等號(hào).

7乙

所以Λ2+γ2的最小值為*

法二設(shè)x2+y2=t>0,則/=f—y2.

因?yàn)?χ2V+y4=],

所以5(/—y2)y2+/=1,

所以4>,4-5∕y2÷1=0.

由J=25r2-16≥0,

解得5舍去).

故x2+y2的最小值為之

熱點(diǎn)聚焦分類突破研熱點(diǎn)析考向

熱點(diǎn)一不等式的性質(zhì)及應(yīng)用

I核心歸納

不等式的常用性質(zhì)

(i)a>b,c>0=^ac>bc;

a>b,CVonaCVSc

(2)a>b>0,c>d>0^ac>bd>0.

,jnf

(3)a>b>Q=>a>b,y∣a>?[b(n^'N9〃22).

(4)a>b,ab>0n><t.

例1(1)(多選)(2022?蘇州模擬)若。>0>0>c,貝∣J()

cch-cb

aba—ca

C.ac>bcD.a-c>2γ∣~hc

(2)(2022?長沙模擬)已知α,b,C滿足α>8>c,且ac>0,則下列選項(xiàng)中一定能成

立的是()

A..ab>acB.c(Z?-α)>0

C.ab(a-c)>OD.cb2>ca2

答案(I)ABD(2)C

解析(1)由于g>8>0>c,

對(duì)于A：T=/?-P=

ab?flb)?abJ

故9—E>0,?*?~>7,故A正確；

abab

h—cb

對(duì)于B：由于a>0>0,所以---->-,故B正確；

a—cci

對(duì)于C：當(dāng)Q>b>l時(shí)，ac<bc,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：由于α>b>0>c,所以a-c>b~~c>2y∣b(―c)=2?-be,故D正確.

(2)取α=-1,h=-2,c=-3,

貝?。?∕>=2Vαc=3,cb2=-l2<ca2=~3,排除A,D；

取α=3,b=2,c=l,則Cs—a)=—1<0,排除B；

因?yàn)閍>b>c,且ac>0,所以a,h,C同號(hào)，且a>c,

所以ab(a-c)>0.

規(guī)律方法判斷關(guān)于不等式命題真假的常用方法

(1)作差法、作商法.

(2)利用不等式的性質(zhì)推理判斷.

(3)利用函數(shù)的單調(diào)性.

(4)特殊值驗(yàn)證法，特殊值法只能排除錯(cuò)誤的命題，不能判斷正確的命題.

訓(xùn)練1(1)(多選X2022.廣州模擬)設(shè)a,b,C為實(shí)數(shù)且a>b,則下列不等式一定成

立的是()

A［〉］B.2023d^z,>l

ab

C.lniz>ln?D.a(c2+l)>?(c2+l)

(2)設(shè);Va<l,加=IOg“(次+i),n=loga(l-a),P=Iog倉,則加，n,P的大小關(guān)

系是()

A.n>m>pB.m>p>n

C.p>n>mD.n>p>m

答案(I)BD(2)D

解析(1)對(duì)于A,若α>0>0,貝弓V/所以A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,因?yàn)椤Ｒ回?gt;0,所以2023。”>1,所以B正確；

對(duì)于C,函數(shù)y=lnx的定義域?yàn)?0,+∞),而ɑ,人不一定是正數(shù)，所以C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,因?yàn)閏2+l>0,所以α(c2+l)>b(c2+l),所以D正確.故選BD.

(2)因?yàn)?<α<l,

12a3+2a-1

所以〃+1^■>0,

2a

11—2。+2層

五一a—a)=-2∑->0,y=log0%為減函數(shù),

所以m<p,PVrI.

可得n>p>m.

熱點(diǎn)二不等式的解法

I核心歸納

不等式恒成立問題的解題方法

(IV(X)>α對(duì)一切χd∕恒成立=y(x)min>a,xe/；?x)Va對(duì)一切χG∕恒成立<≠√3)max

<a,x∈∕.

(2)KX)>g(x)對(duì)一切x∈∕恒成立o當(dāng)x∈∕時(shí)，./U)的圖象在g(x)的圖象的上方.

(3)解決恒成立問題還可以利用分離參數(shù)法.

例2(1)已知關(guān)于X的不等式以一bWO的解集是［2,+∞),則關(guān)于X的不等式以2

+(3a-b)x~3b<0的解集是()

A.(-∞,-3)U(2,+∞)B.(-3,2)

C.(-∞,-2)U(3,+∞)D.(-2,3)

(2)若不等式Λ2-αx216—3x—4α對(duì)任意α∈［―2,4］都成立，則X的取值范圍為

()

A.(-∞,-8]U[3,+∞)B.(-∞,0)U[l,+∞)

C.[-8,6]D.(0,3]

答案(I)A(2)A

解析(1)由關(guān)于X的不等式以一AWO的解集是[2,+∞),

得b=2a且。V0,

則關(guān)于X的不等式0x2+(3α-?)χ-3fe<0可化為x2+χ-6>0,

即(x+3)(χ-2)>0,

解得XV—3或x>2,

所以不等式的解集為(-8,-3)U(2,+8).

(2)由題意得不等式(x—4)〃一Λ2—3χ+16≤0對(duì)任意2,4]都成立，

(χ-4)×(—2)-X2—3x÷16≤0,

則《

(X—4)×4-X2—3x+16≤0,

[-X2-5X+24≤0,

≡pl-√+x≤o,

解得Xe3或XW—8.故選A.

易錯(cuò)提醒求解含參不等式加+H+CVO恒成立問題的易錯(cuò)點(diǎn)

(1)對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論時(shí)分類不完整，易忽略α=0時(shí)的情況.

(2)不會(huì)通過轉(zhuǎn)換把參數(shù)作為主元進(jìn)行求解.

(3)不考慮α的符號(hào).

訓(xùn)練2(1)已知函數(shù)7U)在R上為增函數(shù)，若不等式.八一4x+a)》-3一/)對(duì)任意

%∈(0,3]恒成立，則α的取值范圍為()

A.[-l,+∞)B.(3,+∞)

C.[0,+∞)D.[l,+∞)

(2)若關(guān)于X的不等式4x—2—α>0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是()

A.(-∞,—2)B.(—2,+∞)

C.(-6,+o°)D.(—8,—6)

答案(I)D(2)A

解析(1)由題意得，不等式-4x+42-3-f對(duì)任意Xe(0,3『恒成立，

所以02—x2+4χ-3對(duì)任意XG(0,3]恒成立，

令g(x)=-Λ2+4X-3=-(x-2—+1,

當(dāng)x∈(0,3]時(shí),g(x)∈(-3,1],

所以α21,

即α的取值范圍為［1,+8).故選D.

22

(2)不等式x—4χ-2-α>0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解等價(jià)于α<(x-4χ-2)maχ,x∈(l,

4).

令g(x)=x2-4x—2,x∈(l,4),

所以g(x)Vg(4)=—2,

所以a<~2.

熱點(diǎn)三基本不等式及其應(yīng)用

I核心歸納

基本不等式求最值的三種解題技巧

(1)湊項(xiàng)：通過調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，配湊出符合基本不等式條件的項(xiàng)，使其積或和為定

值.

(2)湊系數(shù)：若無法直接運(yùn)用基本不等式求解，通過湊系數(shù)后可得到和或積為定值,

從而利用基本不等式求最值.

(3)換元：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將

式子分開，即化為γ=∕n+^-+Bg(Λ)(ΛB>O),g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后

運(yùn)用基本不等式來求最值.

例3(1)(多選)(2022,青島模擬)設(shè)正實(shí)數(shù)α,b滿足α+b=l,則()

117

A.log2“+k)g2。2一2B.ab+茄

211

C.-+^≤3+2√2D.2a^fc>2

o匕+3

(2)(2022?湖北九師聯(lián)盟質(zhì)檢)已知α>0,b≠0,且a+?b?=3,J?+%j-的最小值

為.

答案⑴BD(2)3+2√3

解析(1)logια÷log2?=l0g2(α?)

Wlog2代號(hào)=—2,A錯(cuò)誤；

因?yàn)閍>0,b>0,a+h=1,

所以當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào))，

所以0<abW；,

因?yàn)楹瘮?shù)y=x+1在(0,〃上單調(diào)遞減，

1117

所以次?+茄^^+4=彳，B正確；

因?yàn)樽?g(α+b)=3+鄉(xiāng)+注3+2啦(當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)=W時(shí)取等號(hào)),

?L4'Cx/CtI，CCIJ

?1

所焉+注3+2隹C錯(cuò)誤；

易知0<a<l,0<?<l,

所以一1<4一。<1,

所以2"”>2T，D正確.選BD.

f212^±3=9??

U%十?b?一。十網(wǎng)十以'

h

當(dāng)b>0時(shí)，而=1，

h

當(dāng)b<Q時(shí)，而=-1.

%房=居+散+創(chuàng))$2+乎+禍斗12+6√5)=4+2√5,

當(dāng)且僅當(dāng)學(xué)=群

即片黯,g*T時(shí)等號(hào)成立，

所以當(dāng)°=瑞''=一*7時(shí),

、+等取得最小值，且最小值為3+2√i

易錯(cuò)提醒利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的條件：

⑴一正二定三相等，三者缺一不可；

(2)若連續(xù)兩次使用基本不等式求最值，必須使兩次等號(hào)成立的條件一致，否則最

值取不到.

訓(xùn)練3（1）（2022?重慶質(zhì)檢）若x>O,y>O且x+y=孫,則言+言的最小值為（）

A.3B?2^∣-√6

C.3+√6D.3+2√2

(2)對(duì)任意〃?，∕7∈(0,÷∞),都有汴―twi"+2∕20,則實(shí)數(shù)α的最大值為()

A.√2B.2√2

9

C.4D，2

答案(I)D(2)B

解析(1)Vχ÷γ=χy,

Λ(χ-l)(y-l)=l,

X2y(%—1)+12(y—1)+212

=3+』+產(chǎn)T?3

x—l?-1-x~↑y~↑+

2--1?27=3+2√2,

χ-1y-1Y

12

當(dāng)且僅當(dāng)UT=戶時(shí)等號(hào)成立,故選D?

(2)?;對(duì)任意機(jī)，n∈(0,+∞),

都有m2-amn-?-2rr^0,

2

.*.m+2層2amn9

目"I"2+2∕”2〃L上`

即“Wf—=與+蔡恒成立，

U呼沁嚼=2也

當(dāng)且僅當(dāng)￡=知即m=γ∣2n時(shí)取等號(hào),

Λ^≤2√2,故。的最大值為2√L故選B.

高分訓(xùn)練對(duì)接高考重落實(shí)迎高考

一、基本技能練

1.若α,b,C為實(shí)數(shù)，且“<A<O,則下列說法正確的是（）

A.ac2<bc2

12

C.a^>bτD.a>ab>b

答案D

解析當(dāng)C=O時(shí)，A不成立；

11b-a11,??

5=工Γ>6即tlk1/"B錯(cuò)慶srf；

b4b1—冰(b+α)(一一α)

錯(cuò)誤;

ahahabC

由αV∕?V0,得42>α∕7>∕72,D正確.

4

2.不等式士WX—2的解集是（）

?乙

A.(-∞,0]∪(2,4]B.[0,2)U[4,+∞)

C.[2,4)D.(-∞,2)U(4,+∞)

答案B

解析當(dāng)x-2>0,即x>2時(shí)，（尤一2）224,

即χ-222,則尤24,

當(dāng)x—2V0,即χV2時(shí)，（χ-2）2≤4,

即一2Wχ-2<0,Λ0≤Λ<2,

綜上，OWXV2或x24.

3.（2022?泰安質(zhì)檢）若不等式以2—%—0（）的解集為卜—1<Λ<^∣,則函數(shù)y=cχ2-X

一。的圖象可以為（）

CD

答案c

解析由題意可得一1和;是方程加一X-C=O的兩個(gè)根，且α<0,

TXs十

解得a=-2,c=-l,

則y=cχ2-χ+2=-(χ+2)(χ-1),其圖象開口向下，與X軸交于(一

2,0),(1,0).故選C.

4.已知關(guān)于X的不等式/一以一6層>。3<0)的解集為(-8,Xl)U(X2,÷∞),且

X2-χ↑=5?∣2,則α等于()

A.—√5B.-1

C.-√2D「半

答案C

解析X2—ax—6a2=CX-3α)(x+2d)>0,

Va<0,/.x>-2a或XV3G,

??X2~~—2α,Xl=3。，

.φ.X2-xι=-5α=5也,Jo=-y∣2.

1Q

5.已知函數(shù)人幻=卒+丁7[(XV1)，下列結(jié)論正確的是()

A√U）有最大值日"B√U）有最大值一？

137

Cg:）有最小值了D√U）有最小值a

答案B

Y—1QI1-%911Cll~x9,1U

解析∕ω=丁+言+"、丁+=+不一27—7Ξ^÷4=_]，

當(dāng)且僅當(dāng)》=一5時(shí)等號(hào)成立.

6.原油作為“工業(yè)血液”“黑色黃金”，其價(jià)格的波動(dòng)牽動(dòng)著整個(gè)化工產(chǎn)業(yè)甚至

世界經(jīng)濟(jì).小李在某段時(shí)間內(nèi)共加油兩次，這段時(shí)間燃油價(jià)格有升有降，現(xiàn)小李有

兩種加油方案：第一種方案是每次加油40升，第二種方案是每次加油200元，則

下列說法正確的是（）

A.第一種方案更劃算B.第二種方案更劃算

C.兩種方案一樣D.無法確定

答案B

解析設(shè)小李這兩次加油的油價(jià)分別為X元/升、y元/升，則

方案-：兩次加油平均價(jià)格為嗨&=甘修歷

方案二：兩次加油平均價(jià)格為需明=空或曲,

-

xuuIXVJUXIy

X+y

故無論油價(jià)如何起伏，方案二比方案一更劃算.

7.設(shè)x>y>z,"∈N*,且言+士巳”；恒成立,則〃的最大值為（）

A.2B.3

C.4D.5

答案C

解析因?yàn)閤>y>z,"∈N*,

所以無一y>0,y-z>Q,χ-z>0,

由右十三G≡?

可得〃W(X—Z)昌;+士)

=[(x—jO+U—z)]+=)

x-y

=1+14

x-yy-z

22+2匚.0=4

χ-yy-z

當(dāng)且僅當(dāng)尤一y=y—z時(shí)，上式取得等號(hào)，

由題意可得〃W4,即〃的最大值為4.

8.已知關(guān)于X的不等式ax1-2x+3a<Q在（0,2］上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

B.(—8,9

A.—∞,

C惇,+8)D?(*+∞)

答案A

解析x∈(0,2］時(shí)，

不等式可化為0x+y<2;

當(dāng)α=O時(shí)，不等式為0<2,滿足題意；

32

當(dāng)AO時(shí)，不等式化為x+y

?Cl

則l^d!=2√5,

當(dāng)且僅當(dāng)X=小時(shí)取等號(hào)，

所以。<手，即0<α<坐；

32

當(dāng)a<0時(shí)，叵成立.

綜上所述，實(shí)數(shù)α的取值范圍是(一8,唱.選A.

9.(多選)(2022.泰州模擬)下列函數(shù)中最小值為6的是()

93

A?y=Ex+/B.γ=6∣sinx∣+2i^

,X2+25

C?y=3'+32`D.y=E

答案BC

解析對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，InX<0,

Q

此時(shí)InX+m：<0,故A不正確.

對(duì)于B選項(xiàng)，y=6∣sinx∣+2∣s^χ,∣≥2√9=6,

3

當(dāng)且僅當(dāng)6|SinXl=麗高，

即ISinXl=B時(shí)取"=",故B正確.

對(duì)于C選項(xiàng)，y=3?r+32^jc≥2√3^=6,

當(dāng)且僅當(dāng)3?v=32-jc,

即x=l時(shí)取“="，故C正確.

對(duì)于D選項(xiàng)，y=^^=√?6+√?>2√9=6,

._____Q

當(dāng)且僅當(dāng)16=五',即/=—7無解,

故D不正確.故選BC.

10.(多選)已知α>0,b>0,且α+8=l,則()

11

-B>-

22rt2

C.log2α+log2h2—2D.y[cι+γ∣b^γ∣2

答案ABD

解析因?yàn)棣?gt;0,b>Q,a+h=l,所以a+bN2?βL,當(dāng)且僅當(dāng)ɑ=/?=^時(shí)，等

號(hào)成立，即有"w"

對(duì)于A,a2+b2=(a+b)2-2ab=l-2ah^l-2×^=^,故A正確；

對(duì)于B,2a~b=22a~l=^×22a,因?yàn)閍>O,所以22。>1,即2"P>g,故B正確;

對(duì)于C,k>g2α+log2Z>=log2(αb)Wlog2W=-2,故C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,由（W+$）2=。+方+23^=1+2g^W2,得W+亞Wg,故D正確.

綜上可知，正確的選項(xiàng)為ABD.

11.函數(shù)y=lg（c+2χ-Λ2）的定義域是O，m+4）,則實(shí)數(shù)C的值為.

答案3

解析依題意得，一元二次不等式一x2+2x+c>0,

即Λ2-2χ-c<0的解集為（"?，"z+4）,

所以〃?，加+4是方程x2—2x—c=0的兩個(gè)根，

"z+"z+4=2,m=-1,

所以《解得

m(〃?+4)=~cc=3.

12.若命題"mx∈R,/-2x+mV0"為真命題，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為

答案（一8,D

解析由題意可知，不等式f—2x+〃zV0有解，

ΛJ=4-4m>0,m<?,

,實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（一8,1）.

二'創(chuàng)新拓展練

13.（多選）（2022?汕頭模擬）已知正實(shí)數(shù)α,8滿足α+28=M,則以下不等式正確的

是（）

A.一+722B.a+2828

ab

C.log2α+log2b<3D.2α+029

答案BD

解析對(duì)于A,因?yàn)檎龑?shí)數(shù)”,人滿足α+2∕?=",

“一〃+2力

所以F=1，

gp→2∣1=l,所以A錯(cuò)誤,

對(duì)于B,因?yàn)棣?gt;0,b>Q,a+2b=ab,

所以a+2b22小而=2?∣2（α+2b）,

當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)取等號(hào)，

所以(α+2b)2N8(α+2b),

因?yàn)閍+2b>0,

所以a+2?>8,

當(dāng)且僅當(dāng)α=28時(shí)取等號(hào)，所以B正確,

對(duì)于C,若10g2Λ+10g2?<3,

則IOg2。+lθg2?=lθg2(α?)<3=lθg28,

所以仍<8,所以α+2X8,而由選項(xiàng)B可知α+2828,

所以Iog2<a+log2?<3不成立，所以C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,因?yàn)檎龑?shí)數(shù)α,人滿足α+2∕?=",

“，,a-?-2b

所以K=ι,

即?1,

所以2α+b=（2α+b）（灣）=5+系+答5+2噌?=9,

當(dāng)且僅冷=張

即a=b=3時(shí)取等號(hào)，

所以D正確，故選BD.

14.（多選）（2022?全國名校大聯(lián)考）若實(shí)數(shù)X,y滿足2*+2>+∣=l,m=x+y,〃=（；）'

十曠,則（）

A.xV0且yV—1