2023年上海市15區(qū)中考一模數(shù)學(xué)試題知識(shí)點(diǎn)匯編 相似、銳角三角比的應(yīng)用與圓含詳解

2023年上海市15區(qū)中考數(shù)學(xué)一模匯編

專題07相似、銳角三角比的應(yīng)用與圓（13題）

一.選擇題（共1小題）

1.（2022秋?楊浦區(qū)校級(jí)期末）下列說法正確的是（）

A.三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓

B.當(dāng)半徑大于點(diǎn)到圓心的距離時(shí)，點(diǎn)在圓外

C.圓心角相等，它們所對(duì)的弧相等

D.邊長為R的正六邊形的邊心距等于近R

2

二.填空題（共2小題）

2.（2022秋?楊浦區(qū)校級(jí)期末）已知與。3兩圓外切，0102=5,。01的半徑為3,那么G）O2的半徑r為.

3.（2022秋?楊浦區(qū)校級(jí)期末）如圖，矩形ABCo中，AB=S,AD=6,以A為圓心，r為半徑作G）A,使得點(diǎn)。在

圓內(nèi)，點(diǎn)C在圓外，則半徑r的取值范圍是.

Ξ.解答題（共10小題）

4.（2022秋?楊浦區(qū)校級(jí)期末）已知：如圖，AB是OO的直徑，C是。。上一點(diǎn)，COL48,垂足為點(diǎn)。，尸是廢

的中點(diǎn)，OF與AC相交于點(diǎn)E,AC=?2,EF=3.

（1）求AO的長；

5.（2022秋?楊浦區(qū)校級(jí)期末）如圖，在aABC中，點(diǎn)。在邊AB上，點(diǎn)尸、E在邊AC上，且D尸〃BE,空望

FECE

（1）求證：DE//BC；

（2）如果生1」，S^ADF=2,求SMBC的值.

AE2

A

F

6.（2022秋?浦東新區(qū)期末）如圖，在RtZ?E4C中，NEAC=90°,NE=45°,點(diǎn)8在邊EC上，BDLAC,垂足

為。，點(diǎn)尸在BO延長線上，ZFAC=ZEAB,BF=5,tan/AFB=3.

4

求：（1）AO的長；

7.（2022秋?青浦區(qū)校級(jí)期末）如圖，在直角梯形ABCO中，AB∕∕DC,∕DAB=90°,AB=8,C￡）=5,BC=3娓.

（1）求梯形ABCD的面積；

（2）聯(lián)結(jié)B￡）,求/OBC的正弦值.

8.（2022秋?靜安區(qū)期末）如圖，己知在AABC中，為銳角，A。是BC邊上的高，cosB=-",AB=I3,BC=

13

21.

（1）求AC的長；

（2）求/BAC的正弦值.

9.（2022秋?黃浦區(qū)校級(jí)期末）如圖，在RtZ?48C中，∕C48=90°,SinC=旦，AC=8,3。平分NCBA交AC邊

5

于點(diǎn)ZX求:

(1)線段AB的長；

(2)ImZDBA的值.

10.(2022秋?青浦區(qū)校級(jí)期末)如圖，已知在RtZXABC中，NC=90°,tan/ABC萼，點(diǎn)。在邊BC上，BD=

4

8,連接AZλtanNDAC

(1)求邊AC的長；

(2)求cot∕8AO的值.

A

11.(2022秋?徐匯區(qū)期末)如圖，已知在BC中，CDLAB,垂足為點(diǎn)。，AD=2,80=6,tanB=2,點(diǎn)E是邊

3

8C的中點(diǎn).

(1)求邊AC的長；

(2)求NE4B的正弦值.

12.(2022秋?楊浦區(qū)期末)如圖，已知AABC是等邊三角形，AB=6,點(diǎn)。在AC上，AD=2CD,CM是/AC8的

外角平分線，連接并延長與CM交于點(diǎn)E.

(1)求CE的長；

(2)求NEBC的正切值.

A

M

B

13.(2022秋?金山區(qū)校級(jí)期末)如圖，在四邊形ABCD中，BO平分NABC,/8。C=NA=90°,cos,ZABD=-.

5

(1)求證：ZXABQS/JBC且求出的值;

5CD

(2)如果8C=25,求四邊形ABCO的面積.

2023年上海市15區(qū)中考數(shù)學(xué)一模匯編

專題07相似、銳角三角比的應(yīng)用與圓（13題）

一.選擇題（共1小題）

1.（2022秋?楊浦區(qū)校級(jí)期末）下列說法正確的是（）

A.三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓

B.當(dāng)半徑大于點(diǎn)到圓心的距離時(shí)，點(diǎn)在圓外

C.圓心角相等，它們所對(duì)的弧相等

D.邊長為R的正六邊形的邊心距等于近R

2

【分析】分別根據(jù)確定圓的條件，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，圓心角、弧、弦的關(guān)系及圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)

進(jìn)行逐一判斷.

【解答】解：A、只有不在同一條直線上的三點(diǎn)才可以確定一個(gè)圓，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、當(dāng)半徑大于點(diǎn)到圓心的距離時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、只有在同圓或等圓中圓心角相等，它們所對(duì)的弧相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、邊長為R的正六邊形的邊心距等于近R,故本選項(xiàng)正確.

2

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是確定圓的條件，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，圓心角、弧、弦的關(guān)系及圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)，熟

練掌握以上知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵.

二.填空題（共2小題）

2.（2022秋?楊浦區(qū)校級(jí)期末）已知Ool與OO2兩圓外切,0102=5,OOi的半徑為3,那么。。2的半徑r為2.

【分析】由兩圓外切，圓心距等于兩圓半徑的和，即可求得結(jié)果.

【解答】解：?.?∈）01與。。2兩圓外切，.?.5=3+r,.）=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩圓的位置關(guān)系:兩圓外切時(shí)兩圓的圓心距與兩圓半徑的關(guān)系，掌握這一關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

3.（2022秋?楊浦區(qū)校級(jí)期末）如圖，矩形ABC。中，AB=8,AD=G,以A為圓心，r為半徑作。A,使得點(diǎn)。在

圓內(nèi)，點(diǎn)C在圓外，則半徑r的取值范圍是6<r<10.

【分析】首先利用勾股定理得出AC的長，利用以A為圓心，r為半徑作GM，使得點(diǎn)。在圓內(nèi)，點(diǎn)C在圓外,

得出廠的取值范圍即可.

【解答】解：如圖，連接AC,

；矩形矩形ABCZ)中，AB=S,AO=6,

，AC=10,

：以A為圓心，r為半徑作。A,使得點(diǎn)￡>在圓內(nèi)，點(diǎn)C在圓外，

半徑，的取值范圍是：6<r<10,

故答案為:6<r<10.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系以及勾股定理，利用圖形得出r的取值范圍是解題關(guān)鍵.

Ξ.解答題(共10小題)

4.(2022秋?楊浦區(qū)校級(jí)期末)己知：如圖，AB是。。的直徑，C是。。上一點(diǎn)，Col_A8,垂足為點(diǎn)O,尸是菽

的中點(diǎn)，O尸與AC相交于點(diǎn)E,AC=12,EF=3.

(1)求Ao的長；

【分析】(1)由尸是菽的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理的推論，得AEVAC，OFLAC,在RtEO中，利用勾股定理

求解即可；

(2)由Cf)L48,利用同角的余角相等得到ZC=NAOE,COSC=COSZAOE,在RtZ?AEO,即可得到COSNAoE

的值.

【解答】解：⑴設(shè)40=r,貝∣JθB=r,

是標(biāo)中點(diǎn)，

?'?AE=^^AC=6旦OF?L4C,

在RtZ?AEO中，AE2+OE1=OA2,

.,.62+(r-3)2=/,

解得：「』，

r2

OA號(hào)

(2)VOELAE9

：.ZA+ZAOE=90o,

,

?CO-LABf

ΛZA+ZC=90o,

ΛZC=ZAOE9

9

"2"3

.?.cosC=cos×AOE=TTT-=V?

■L3D

~Γ

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理以及推論，勾股定理，解直角三角形，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

5.(2022秋?楊浦區(qū)校級(jí)期末)如圖，在AABC中，點(diǎn)。在邊AB上，點(diǎn)尸、E在邊AC上，KDF//BE,空望

FECE

(1)求證：DE//BC-,

(2)如果迎」，SMDF=2,求SΔABC的值.

AE2

【分析】(1)由。尸〃BE可得他望，再結(jié)合已知比例，可得他望，即可得證；

BDFEDBCE

(2)由圖可知△?1￡)尸與AOE尸等高，根據(jù)等高的兩個(gè)三角形面積比等于底邊的比，再由DE〃BC,得出aAOE

SZ?ABC,利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求解.

【解答】(1)證明：［￡)υ〃8E,

?.?ADAF,

BDFE

?V???AF二AE，

FECE

???—A■■D——~—AE,

DBCE

DE//BC.

(2)解：：空」，AE=AF+FE,

AE2

?'?AF=FE=yAE,

"SΔ?ADF=2^^?ADE,

5L'JDE∕∕BC,

：.∕?ADE<^^ABC,

又?.?迪qL=i，

ECFE

?'?AEVAo

,

**SA&E=（萬）2.SΔABC

?'?SZXABC=4,s?ADE=8SΔADF=16.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平行線分線段成比例.關(guān)鍵是利用平行線得出相

似三角形及比例，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方解題.

6.（2022秋?浦東新區(qū)期末）如圖，在RtAEAC中，NEAC=90°,ZE=45o,點(diǎn)8在邊EC上，BDlAC,垂足

為。，點(diǎn)F在B。延長線上，ZFAC^ZEAB,BF=5,tan∕AFB=3.

4

求：（1）A0的長；

【分析】(1)由銳角的正切定義，三角形面積公式，即可求解;

(2))由銳角的余切定義，即可求解.

【解答】解：⑴?.?4EAC=90°,

ΛZEΛB+ZBAC=90o,

VZMC=ZEAB,

.?.∕E4C+/BAC=90°,

ΛZfiAF=90o,

Ytan/AFB=旭=2,

AF4

令A(yù)8=3x,則AF=4x,

'：BF1=AB1+AF2,

.".BF2=(3x)2+(4x)2,

.?.BF=5x=5,

Vx=L

??AB=3x=3,AF=4X=49

,.*BF*AD=AB*AF=2S^ABF^

.?.5AO=3X4=12,

.?.AO=烏

5

(2)在RtZVlB尸中，ADlBF,

.".AB2=BD?BF,

.?.32=5BD,

.?.BQ=9

5

.?.DF=BF-BD=H

5

VZEAC=90o,NE=45°,

ΛZBCD=45o,

；.NDBC=45°,

：.DC=BD=^-,

5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查銳角的正切，余切的概念，關(guān)鍵是由勾股定理求出A3,4F的長；由射影定理求出BO的長.

7.(2022秋?青浦區(qū)校級(jí)期末)如圖，在直角梯形ABC。中，AB//DC,ND4B=90°,AB=S,CD=5,BC=3√5.

(1)求梯形A8CZ)的面積；

(2)聯(lián)結(jié)BD,求NOBC的正弦值.

【分析】(1)過C作CELA8于E,推出四邊形A。CE是矩形，得到AO=CE,AE=CO=5,根據(jù)勾股定理得到

C￡=VBC2-BE2=6,于是得到梯形ABCo的面積X(5+8)×6=39;

(2)過C作CHLBD于H,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到里山，根據(jù)勾股定理得到BD=JAB2+A∏2=

ADBDVAD+AU

√S2+62=10,于是得到結(jié)論.

【解答】解：(1)過C作CE_LA8于E,

?,AB∕∕DC,∕OA8=90°,

ΛZADC=90°,

NA=/AOC=/AEC=90°,

.?.四邊形A。CE是矩形，

.?AD=CE,AE=CD=5,

：.BE=AB-AE=3,

?：BC=3層,

ΛCE=√BC2,BE2=6,

梯形ABCZ)的面積=工X(5+8)×6=39;

2

(2)過C作CHLBD于H,

?'CD∕∕AB,

：.ZCDB^ZABD,

：NCHO=NA=90°,

JXCDHs∕?DBA,

.CHCD

"ADW

?：BD=>∕AB2+AD2=√82+62=10，

.CH_5

??—―，

610

：?CH=3,

：.ZDBC的正弦值=里='X?

BC3√55

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角梯形，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助

線是解題的關(guān)鍵.

8.（2022秋?靜安區(qū)期末）如圖，已知在AABC中，NB為銳角，AO是BC邊上的高，cosB=-S-,AB=13,BC=

13

21.

（1）求AC的長；

【分析】（1）由NB的余弦求出8。長，得到。C長，由勾股定理即可解決問題;

（2）過C作C4"L4B于H,由三角形的面積公式求出CH的長即可解決問題.

【解答】解：（I）TcosB=股=巨，AB=I3,

AB13

ΛβD=13×-^-=5,

13

：.CD=BC-BD=2l-5=16,

7ΛD≈VAB2-BD2=V132-52"⑵

?'?^C=VAD2+CD2=V122+162=20;

(2)作C〃_LA8于H,

CD

'：?ABC的面積=工

22

Λ13CH=21×12,

13

252

ΛZBAC的正弦值是《旦=」工=生■.

AC2065

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，關(guān)鍵是過C作CHLAB于”，由三角形的面積公式求出C”的長.

9.(2022秋?黃浦區(qū)校級(jí)期末)如圖，在RtZwWC中，NCAB=90°,SinC=3,AC=S,BO平分NCaA交AC邊

5

于點(diǎn)D.求：

(1)線段AB的長；

(2)tanNOBA的值.

【分析】(1)先解RtZ?A8C,得出SinC=姻?=2?,設(shè)出AB=3&,則BC=5晨?BC1-AB2=AC2,得出方程(5A)

BC5

2-(382=82,解方程求出左的值，進(jìn)而得到A8；

(2)過O點(diǎn)作。EJ_8C于E,設(shè)4O=x,貝IJCO=8-x.根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出。E=4O=x,利用"乙證明

RtΔβDE^RtΔBDΛ,得至IJBE=BA=6,那么CE=BC-8E=4.然后在RtZ?CDE中利用勾股定理得出Z)E2+CE2

=CD2,即/+42=(8-χ)2,解方程求出X的值，即為AO的長，再根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求解.

【解答】解：(1)：在RtZXABC中，ZCAB=90o,

.?.sinC=例■=旦，BC1-AB2=AC2,

BC5

.?.可設(shè)A5=3h則BC=5h

VAC=8,

.,.(5k)2-(3k)2=82,

?.k=2(負(fù)值舍去)，

?.ΛB=3×2=6;

(2)過。點(diǎn)作。E_L8C于E,設(shè)Af>=x,則CQ=8-χ.

?.?B。平分/C8A交AC邊于點(diǎn)。，NCAB=90°,

：.DE=AD=x.

在RtABDE與RtABDA中，

[BD=BD

IDE=DA)

.".Rt?BDE^RtΔβDACHL),

BE=BA=6,

.?CE=BC-BE=5×2-6=4.

在RtACDf中,

VZCED=90",

.,.∕)E2+CE2=CD2,

.?X2+42=(8-X)2,

解得X=3,

ΛAD=3,

.".tanZDBA--^-=—

AB62

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，難度適中.準(zhǔn)

確作出輔助線是解決第(2)問的關(guān)鍵.

10.(2022秋?青浦區(qū)校級(jí)期末)如圖，已知在RtZ?ABC中，ZC=90o,tanNABC^，點(diǎn)。在邊上，BD=

4

8,連接A。，tanNDAC=?∣??

(1)求邊AC的長；

(2)求cot/54。的值.

CDB

【分析】(1)設(shè)CD=Zr,解直角三角形RtA4CD得到AC=3x,再解RtZXABC得至∣J8C=4x,則BD=2x,由此

得到2Λ=8,解方程即可得到答案；

(2)先利用勾股定理得到A8=20,解RtZXABC得到COSB=芻，SinB=旦，再解RtaBOE,得至打后勢(shì)，BE=->

5555

則AE=AB-BE窄，即可得到cot/BAD=CotNDAE萼/?

DDD0

【解答】解：（I）設(shè)cn=2x,

在RtZ?ACD中，ZACD=90o,tanZDAC=I-

.CD2

AC3

；?AC=3x,

在RtZVlBC中，ZACB=90°,tanZABC=?>

4

.AC3

BC4

JBC=4x,

：.BD=BC-CD=2x,

VBD=8,

??2x=8，

解得x—4,

?*?AC=3x=12；

(2)如圖所示，過點(diǎn)。作。LAB于E,

由（1）得AC=12,BC=I6,

AB=VAC2+BC2=20）

...在RtAABC中，co≡B=-??,sinB=-??.

AB5AB5

.?.在RtZ）E中，DE=BDsinB-,BE=BDcosB--

55

?'?AE=AB-BE=^,

0

?*?cotZBAD=cotZDAE

UDO

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟知相應(yīng)的銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

11.(2022秋?徐匯區(qū)期末)如圖，已知在aABC中，CDlAB,垂足為點(diǎn)。，AD=2,8。=6,tanB=2,點(diǎn)E是邊

3

BC的中點(diǎn).

(1)求邊AC的長；

(2)求NEAB的正弦值.

【分析】（1）利用/B的正切值先求出CZλ再利用勾股定理求出AC；

（2）過點(diǎn)E作EnLAB,垂足為凡先判斷E尸是三角形的中位線，再求出EADF,AF及AE,最后求出NE48

的正弦值.

【解答】解：（1）-JCDYAB,

...△AC。、Z?BCZ）均為直角三角形.

在Rt?CDB中，

?：BD=6,tanB=型=2,

BD3

.,.CD=4.

在RtACDA中，

ΛC=VCD2+AD2

=V?2+22

=2?.

（2）過點(diǎn)E作EFLAB,垂足為凡

'JCDA-AB,EFVAB,

.'.CD//EF.

又；點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，

C.EF是ABCD的中位線.

：.DF=BF=3,EF=^CD=2.

2

.".AF=AD+DF^5.

在RtAAEF中，

AE=JAF2+EF2

=Vδ2+22

=√29.

sin/EAB=空

AE

_2

√29

="?

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解直角三角形和勾股定理，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系以及三角形的中位線定理是解

決本題的關(guān)鍵.

12.(2022秋?楊浦區(qū)期末)如圖，已知AABC是等邊三角形，AB=6,點(diǎn)。在AC上，AD=2CD,CM是NACB的

外角平分線，連接8。并延長與CM交于點(diǎn)￡

(1)求CE的長；

(2)求/EBC的正切值.

【分析】(1)首先證明CE〃AB,則4ABOsaCEC,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求解；

(2)過點(diǎn)E作￡7/_LBC于點(diǎn)H,在直角△(7￡：”中，利用三角函數(shù)求得C”和EH的長度，即可求得BH的大小,

即可求得三角函數(shù)值.

【解答】解：(1)在BC延長線上取一點(diǎn)尸,

VZ?ABC是等邊三角形，

ΛZABC^ZACB=GOQ,AB=B