統(tǒng)計學(xué)基本術(shù)語與常用抽樣分布

統(tǒng)計學(xué)基本術(shù)語與常用抽樣分布退出第六、七章§1常用統(tǒng)計學(xué)術(shù)語與統(tǒng)計分布數(shù)理統(tǒng)計常用術(shù)語、抽樣分布與點估計問題知識點、考點舉要總體與隨機變量簡單隨機樣本及其識別樣本函數(shù)與統(tǒng)計量的關(guān)系與識別退出正態(tài)算術(shù)平均量量與分布常用統(tǒng)計量及其分布的識別量與分布量與分布

五抽樣分布的臨界值及其查表計算常用基本統(tǒng)計量思考與練習(xí)一常用抽樣分布四二三統(tǒng)計學(xué)常用基本術(shù)語退出常用統(tǒng)計學(xué)術(shù)語與抽樣分布退出返回一、統(tǒng)計學(xué)常用基本術(shù)語0.描述統(tǒng)計學(xué)與推斷統(tǒng)計學(xué)隨機現(xiàn)象應(yīng)如何觀測和試驗，才能獲得有代表性的觀測數(shù)據(jù)?對已取得的觀測數(shù)據(jù)，應(yīng)如何進(jìn)行整理、分析，才能通過它們對整體的規(guī)律性作出正確的推斷和決策?前者由名為描述統(tǒng)計學(xué)的數(shù)學(xué)分支專門研究，后者由名為推斷統(tǒng)計學(xué)的數(shù)學(xué)分支專門研究．本章僅對推斷統(tǒng)計學(xué)的基本知識進(jìn)行簡要介紹．統(tǒng)計學(xué)總體X的分布及其數(shù)字特征.分布參數(shù)在許多時退出返回一、統(tǒng)計學(xué)常用基本術(shù)語1.總體與個體隨機變量X全部可能取值的集合稱為該隨機變量的統(tǒng)計學(xué)總體,并依然用X加以標(biāo)記.因此,隨機變量X的分布及其數(shù)字特征也被稱做相應(yīng)總體X內(nèi)包含的任一具體取值都稱做總體的一個個體.總體所含個體的總數(shù)稱為總體的容量.容量有限的總體叫有限總體,容量無限的總體叫無限總體.候，都被廣泛而形象地命名為“自由度”.一、統(tǒng)計學(xué)常用基本術(shù)語2.樣本與簡單隨機樣本設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x).若隨機變量X1,X2,…，Xn隨機變量所組成的整體(X1,X2,…，Xn)是取自相應(yīng)總體X相互獨立,而且各自的分布函數(shù)也都是F(x),那么就稱這n個或取自相應(yīng)分布F

(x)的、容量為n的簡單隨機樣本.在不致造成誤解的情況下,總體容量為n的簡單隨機樣本常n個隨機變量,已強制性地附加了獨立和同分布的含義.被簡稱為總體容量為

n的樣本.因此,統(tǒng)計學(xué)樣本內(nèi)所保含的由于這一原因,容量為

n的樣本(X1,X2,…，Xn),作為

n

維隨機變量，其分布函數(shù)和概率密度等,都可表為總體分布退出返回函數(shù)和概率密度的乘冪形式，并被稱為“似然函數(shù)”：3.統(tǒng)計量與統(tǒng)計值若X1,X2,…，Xn構(gòu)成總體X的一個樣本,且該樣本的函數(shù)g(X1,X2,…，Xn)完全不含總體中的未知分布參數(shù),那么這種完全不含總體未知參數(shù)的樣本函數(shù)就被稱作統(tǒng)計量.因為統(tǒng)計量依然是隨機變量,所以統(tǒng)計量的具體取值也用與該統(tǒng)計量同名的小寫字母表示,而且被稱為該統(tǒng)計量一、統(tǒng)計學(xué)常用基本術(shù)語的統(tǒng)計值.退出返回二、常用基本統(tǒng)計量退出返回1.樣本均值(算術(shù)平均量)其中,

(X1,X2,…，Xn)是總體

X中的容量為

n的樣本.是該樣本的樣本均值.2.樣本方差與樣本標(biāo)準(zhǔn)差其中,

(X1,X2,…，Xn)是總體

X中的容量為

n的樣本,離差平方和簡化計算恒等式實踐中最常使用的統(tǒng)計量（含統(tǒng)計值）有如下三種：3.樣本原點矩與樣本中心矩退出返回其中,

(X1,X2,…，Xn)是總體

X中容量為

n的樣本.離差平方和簡化計算恒等式二、常用基本統(tǒng)計量實踐中最常使用的統(tǒng)計量（含統(tǒng)計值）有如下三種：離差平方和簡化計算恒等式的證明證畢.推論:離差平方的和等于平方的和減去均值平方的等量和退出返回二、常用基本統(tǒng)計量

例1設(shè)Xi

~N(μi,σ2),i=1,2,…,10，其中各μi不盡相等.

問X1,X2,…,X10

是否為簡單隨機樣本?為什么?

例2設(shè)X1,X2,…,X9

是來自正態(tài)總體的簡單隨機樣本,且990307答不是:由于期望值不全等,因而分布不同;而且無法得知彼此間是否獨立!識別要點有三:來自同一總體同分布且相互獨立若記總體的方差為σ2,那么隨機變量服從什么分布?分布參數(shù)為多少?答服從N

(0,1).退出返回二、常用基本統(tǒng)計量

例3設(shè)X1,X2,…，X100是來自正態(tài)總體X的樣本.那么,在以下的樣本函數(shù)中,誰可能不是統(tǒng)計量?答⑷,理由是其中含有具體大小不明的許多未知參數(shù)ai

.退出返回二、常用基本統(tǒng)計量

1.獨立正態(tài)量算術(shù)平均量的分布2.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)量平方和的χ2

分布3.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)量與之商的

t

分布4.量與量之商的F分布（基于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)量的統(tǒng)計學(xué)常用分布）退出返回三、常用抽樣分布均值不變,方差等于原方差的容量(n)

分之一.1.獨立正態(tài)算術(shù)平均量的分布則算術(shù)平均量若獨立正態(tài)量的算術(shù)平均量仍是正態(tài)量:從而相互獨立抽樣結(jié)構(gòu)式三、常用抽樣分布退出返回（基于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)量的統(tǒng)計學(xué)常用分布）量是獨立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)量的平方和.２.分布(獨立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)量平方和的分布)可以證明自由度相互獨立1)若則平方和變量抽樣結(jié)構(gòu)式三、常用抽樣分布退出返回（基于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)量的統(tǒng)計學(xué)常用分布）（基于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)量的統(tǒng)計學(xué)常用分布）3)分布具有可加性,即若且二者相互獨立,則三、常用抽樣分布2)還可證明,

的密度函數(shù)密度函數(shù)的圖象是位于第一象限的非對稱曲線:n≥3時曲線單峰,峰體前傾;n=1或2時曲線無峰,形如雙曲線.２.分布(獨立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)量平方和的分布)退出返回并可證明自由度相互獨立4)若則平方和變量抽樣結(jié)構(gòu)式三、常用抽樣分布即相互獨立(證略).２.分布(獨立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)量平方和的分布)退出返回（基于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)量的統(tǒng)計學(xué)常用分布）3.分布(標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)量與量方根之商的分布)可以證明自由度相互獨立1)若則商變量抽樣結(jié)構(gòu)式三、常用抽樣分布,二者相互獨立,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)量與量除以其自由度的平方根的商是變量:退出返回（基于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)量的統(tǒng)計學(xué)常用分布）以及

,因而,當(dāng)n較大時,其概率密度三、常用抽樣分布2)還可證明,

的概率密度概率密度的圖象與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線極其相似3.分布(標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)量與量方根之商的分布)退出返回（基于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)量的統(tǒng)計學(xué)常用分布）其中自由度相互獨立3)若則商變量抽樣結(jié)構(gòu)式三、常用抽樣分布3.分布(標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)量與量方根之商的分布)退出返回（基于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)量的統(tǒng)計學(xué)常用分布）的證明顯然，且二者相互獨立.所以，依T變量的定義證畢.即三、常用抽樣分布退出返回4.分布(兩獨立量之商的分布)可以證明相互獨立1)若則商變量統(tǒng)計結(jié)構(gòu)式三、常用抽樣分布二者相互獨立,分子自由度分母自由度兩獨立量除以各自自由度的商是變量:退出返回（基于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)量的統(tǒng)計學(xué)常用分布）不難看出,若則必有三、常用抽樣分布2)的概率密度概率密度曲線是非對稱的單峰曲線,峰體前傾.

4.分布(兩獨立量之商的分布)退出返回（基于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)量的統(tǒng)計學(xué)常用分布）三、常用抽樣分布4.分布(兩獨立量之商的分布)※但當(dāng)二者的方差相同時，即若3)若則商變量抽樣結(jié)構(gòu)式分子自由度分母自由度其中則有退出返回（基于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)量的統(tǒng)計學(xué)常用分布）證畢.的證明此外，且二者相互獨立,所以，依T變量的定義三、常用抽樣分布退出返回且依分布的可加性,可知二者的和要使，問正常數(shù)α應(yīng)取什么值？

例5總體X~N(0,0.25

).X1,X2,…,X10是來自總體的一個樣本

.而三、常用抽樣分布退出返回問隨機變量服從什么分布？

例4總體X~N(0,0.32

).抽取容量為10的樣本

X1,X2,…,X10

.解解退出返回三、常用抽樣分布

例6試證:若X~t(n),則X2~F(1,n).

證∵∴可設(shè)其中Z與Y相互獨立.

又(標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)量的平方是χ2量)∴依F統(tǒng)計量的定義即知證畢.(兩χ2量與各自自由度相除所得的商是F

量)退出返回三、常用抽樣分布

例7若X~t(n)(n>1)，Y=1/X2,則有

().030104(3)

例8設(shè)樣本X1,X2,…,Xn

來自N(μ,σ2),且940303那么以下隨機變量中服從分布t(n－1)的是().B函數(shù),并且還不難看出:隨機變量在α臨界值處的*四、抽樣分布的臨界值及其查表計算分布函數(shù)值恰好等于1－α,即換言之,α臨界值或說α上(側(cè))分位點是概率α的是X所服從分布的α臨界值[或說α上(側(cè))分位點],并將取值C

特別地記成的形式;則稱實數(shù)1.若隨機變量X的取值概率從而顯然有退出返回退出返回*四、抽樣分布的臨界值及其查表計算函數(shù),并且還不難看出:隨機變量在α臨界值處的分布函數(shù)值恰好等于1－α,即換言之,α臨界值或說α上(側(cè))分位點是概率α的退出返回四、抽樣分布的臨界值及其查表計算因為隨機變量在α臨界值處的分布函數(shù)值始終等于1－α,所以它在1－α臨界值處的分布函數(shù)值就應(yīng)反過來等于α,即有實際上,這些α臨界值完全可反查正態(tài)分布表的表值而得出.下所示:四、抽樣分布的臨界值及其查表計算值得注意的是,近來有些正態(tài)分布表也將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)或說α上(側(cè))分位點.外,其它常用抽樣分布表(包括t、χ2和F分布表)2.除正態(tài)分布表提供的表值是分布函數(shù)的取值之所提供的,都僅僅是隨機變量所服從分布的α臨界值α0.100.050.0250.010.0050.00250.0010.0005uα1.2821.6451.9602.3262.5762.8083.0903.291分布的若干常用α臨界值置放在表的附加末行上,如退出返回四、抽樣分布的臨界值及其查表計算原點的距離是不相等的,即它們一般不關(guān)于原點為對稱.但是,若分布函數(shù)是偶函數(shù),則必有3.一般講,α上(側(cè))分位點與1－α上(側(cè))分位點到即有此時亦即有退出返回標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(對稱)曲線四、抽樣分布的臨界值及其查表計算t分布(對稱)曲線退出返回F分布(非對稱)曲線χ2分布(非對稱)曲線四、抽樣分布的臨界值及其查表計算注注退出返回對稱曲線非對稱曲線非對稱曲線四、抽樣分布的臨界值及其查表計算退出返回您真的要退出嗎？YesNo多媒體研制組二0一0年十一月概率論多媒體課件Exit退出返回《概率統(tǒng)計練習(xí)冊》第六章基礎(chǔ)練習(xí)

批改題P37：4.(識別統(tǒng)計量)5.(求常用統(tǒng)計量的數(shù)學(xué)期望與方差)7.(識別標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)量的平方所歸屬或服從的分布)P38:13.(識別并確證統(tǒng)計量的歸屬)

四、范例、思考與練習(xí)2.(1)相互獨立9.3.4.(1),(2),(3),(5),(6);(2)各Xi

都與總體X同分布8.1.總體7.5.6.退出返回P37~P38參考答案四、范例、思考與練習(xí)11.

10.

退出返回P37~P38參考答案四、范例、思考與練習(xí)12.

13.

∵∴可設(shè)其中Z與Y相互獨立.

又∴依F統(tǒng)計量的定義即知證畢.退出返回P37~P38參考答案四、范例、思考與練習(xí)返回返回返回２.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)量平方和的

分布的函數(shù)式推導(dǎo)如下:,∴各Xi2

的密度函數(shù)都應(yīng)為∵【附錄】時,其概率密度函數(shù)(p49)平方的概率密度如何求?２.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)量平方和的

分布依定義,各∴依Γ分布的可見,其密度函數(shù)即可加性即得立知,各又∵各不同的故由明顯相互獨立,證畢分別為和

例4從正態(tài)總體N(20,3

)隨機抽取兩個獨立的樣本,樣本均值顯然因此,,容量依次為100和50.那么可見解退出