幾類基于微分包含的不連續(xù)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究

幾類基于微分包含的不連續(xù)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)研究眾所周知,泛函微分包含是泛函微分方程的一般化.為了處理和研究右端不連續(xù)的時(shí)滯微分方程的解的基本問(wèn)題及其動(dòng)力學(xué)行為,考慮到給定的向量場(chǎng)不再是光滑的或者是全局Lipschitz的,在經(jīng)典的微分方程理論體系下的解可能不存在,本學(xué)位論文通過(guò)Filippov微分包含正規(guī)化,重新給出了右端不連續(xù)的時(shí)滯微分方程的Filippov解和在給定的初始值條件下的解的定義.并在此基礎(chǔ)上,我們進(jìn)一步借助泛函微分包含框架對(duì)不連續(xù)的變時(shí)滯微分方程和泛函微分包含的在Filippov意義下解的基本性質(zhì)和穩(wěn)定性問(wèn)題進(jìn)行了研究.這些基本問(wèn)題主要包括：解的局部存在性、解的延拓性、解軌線各種不同的穩(wěn)定性和收斂性行為(例如,全局漸近或指數(shù)穩(wěn)定性、同步和擬同步性、全局耗散性和魯棒穩(wěn)定性)等等.通過(guò)對(duì)這些基本理論問(wèn)題的研究,我們?cè)谝欢ǔ潭壬贤茝V和改進(jìn)了右端不連續(xù)的時(shí)滯微分方程和泛函微分包含理論.然后,我們把所獲得的理論性成果應(yīng)用到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、生物學(xué)以及自動(dòng)控制工程等科學(xué)與工程領(lǐng)域.我們主要從兩方面著手研究.一是根據(jù)現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活中出現(xiàn)的一些不連續(xù)現(xiàn)象,我們制定和探討了不同領(lǐng)域中可由右端不連續(xù)微分方程來(lái)刻畫的各種數(shù)學(xué)模型.并且通過(guò)構(gòu)造Filippov集值映射(即Filippov正規(guī)化)把右端不連續(xù)的微分方程轉(zhuǎn)化為微分包含.其二是在Filippov微分包含的框架內(nèi),綜合運(yùn)用集值映射的不動(dòng)點(diǎn)理論、廣義的Lyapunov方法、集值分析中的拓?fù)涠壤碚?、矩陣分析、矩陣測(cè)度理論和一些廣義的不等式、非光滑分析等一些新穎的工具與方法來(lái)研究各種動(dòng)力學(xué)行為.所研究的動(dòng)力學(xué)行為主要有(正)平衡點(diǎn)、(正)周期軌、解的各種穩(wěn)定性等等.本學(xué)位論文共分為五章.在第一章中,我們回顧了不連續(xù)微分動(dòng)力系統(tǒng)和微分包含理論的研究歷史與發(fā)展概況.同時(shí),我們對(duì)不連續(xù)生物學(xué)動(dòng)力系統(tǒng)和不連續(xù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力系統(tǒng)的研究歷史與現(xiàn)狀進(jìn)行了介紹.最后,我們簡(jiǎn)要地概述了本文的主要內(nèi)容與結(jié)構(gòu)安排.在第二章中,我們給出一些基本理論知識(shí).剩下的幾章是本文的主要工作,所得主要研究結(jié)果如下所述.在第三章中,我們首先推廣一類重要的不等式：廣義的Halanay不等式.可以說(shuō),在處理具有變時(shí)滯的泛函微分包含或者具有變時(shí)滯的不連續(xù)泛函微分方程的穩(wěn)定性問(wèn)題時(shí),廣義的Halanay不等式是一個(gè)非常有效的工具.其次,我們給出了具有單個(gè)和多個(gè)變時(shí)滯的泛函微分包含在Filippov意義下解的定義,然后主要對(duì)給定初值條件下Filippov解的延拓性問(wèn)題進(jìn)行了討論,得到了關(guān)于解的有效性的兩個(gè)重要定理.最后,我們借助廣義的Halanay不等式著重處理了變時(shí)滯的泛函微分包含在擾動(dòng)意義下Filippov解的穩(wěn)定性問(wèn)題.我們不僅通過(guò)構(gòu)造徑向無(wú)界的輔助函數(shù)分析了擾動(dòng)意義下泛函微分包含的魯棒耗散性和全局魯棒穩(wěn)定性,而且通過(guò)引進(jìn)合適的狀態(tài)-反饋控制器,研究了擾動(dòng)意義下泛函微分包含的魯棒擬同步性問(wèn)題.在第四章中,我們提出了一個(gè)更加現(xiàn)實(shí)且更一般的不連續(xù)捕獲管理策略,并將它引入到著名的Lotka-Volterra競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng).借助Filippov微分包含理論、集值映射的錐壓縮-拉伸不動(dòng)點(diǎn)定理、非光滑分析以及廣義的Lyapunov方法,我們研究了正周期解的存在性、唯一性和全局漸近穩(wěn)定性.此外,我們還討論了捕獲解的依測(cè)度收斂性.最后,我們也給出了一些推論和數(shù)值例子來(lái)驗(yàn)證主要結(jié)論的有效性.在第五章中,我們主要研究三大類不連續(xù)時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為.本章所用的工具和方法涉及到集值映射版本的不動(dòng)點(diǎn)定理、廣義的Lyapunov理論、集值分析中的拓?fù)涠壤碚?、M-矩陣?yán)碚?、矩陣測(cè)度方法、一些廣義的不等式技巧及微分包含理論框架等.首先,在不假設(shè)神經(jīng)激勵(lì)函數(shù)的有界性和單調(diào)性條件的前提下,我們?cè)敱M地分析了具有不連續(xù)激勵(lì)函數(shù)和變時(shí)滯的細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的周期解的存在性、唯一性和全局指數(shù)穩(wěn)定性.而且我們也研究了該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型所對(duì)應(yīng)的自治系統(tǒng)的輸出解以依測(cè)度的方式收斂到一個(gè)輸出平衡點(diǎn)以及任意的狀態(tài)解在有限的時(shí)間內(nèi)收斂到平衡點(diǎn)的性質(zhì).其次,我們對(duì)一類一般性的具有離散和分布時(shí)滯的不連續(xù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的周期動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行討論.最后,我們建立一個(gè)基