上海曹楊第九中學高二數(shù)學理下學期期末試卷含解析

上海曹楊第九中學高二數(shù)學理下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)直線與函數(shù)的圖象分別交于點，則當達到最小時的值為（）A．1

B．

C．

D．參考答案：D2.過拋物線焦點的直線與該拋物線交于A，B兩點，若|AB|=4，則弦AB的中點到直線的距離等于（

）A．

B．

C．4

D．2參考答案：B如圖所示，過弦中點作準線的垂線，做直線的垂線，過點作準線的垂線，由梯形中位線的性質(zhì)結(jié)合拋物線的定義可得：，則弦的中點到直線的距離等于.本題選擇B選項.

3.設(shè)x、y滿足約束條件的最大值為

（

）

A．0

B．2

C．3

D．參考答案：D4.若雙曲線的左焦點在拋物線的準線上,則的值為(

)A．

B．3

C．

D．6參考答案：D5.函數(shù)是A.最小正周期為的奇函數(shù)

B.最小正周期為的偶函數(shù)C.最小正周期為的奇函數(shù)

D.最小正周期為的偶函數(shù)參考答案：D6.若正實數(shù)a，b滿足a+b=1，則+的最小值是（）A．4 B．6 C．8 D．9參考答案：D【考點】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．【分析】由已知中正實數(shù)a，b滿足a+b=1，根據(jù)基本不等式“1的活用”，我們將分子式中的“1”全部變形成a+b，然后利用分式的性質(zhì)，化簡得到兩數(shù)為定值的情況，利用基本不等式即可得到答案．【解答】解：∵正實數(shù)a，b滿足a+b=1，∴+==5+（）≥9故+的最小值是9故選D7.定義在上的函數(shù)滿足：，并且當時，總有.若，，，則的大小關(guān)系是（

）A．

B．

C．

D．不能確定參考答案：B略8.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S3=6，a3=0，則公差d等于A．2 B．1 C．-1 D．-2參考答案：D9.在極坐標系中，點與的位置關(guān)系是（

）A.關(guān)于極軸所在直線對稱 B.關(guān)于極點對稱C.重合 D.關(guān)于直線對稱參考答案：A【分析】結(jié)合坐標系確定兩點位置關(guān)系.【詳解】在極坐標系中，點與如圖，則點與的位置關(guān)系是關(guān)于極軸所在直線對稱．故選：A．【點睛】本題考查極坐標中點的位置關(guān)系，考查基本分析判斷能力，屬基礎(chǔ)題.10.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度參考答案：C【考點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】把化為，故把的圖象向左平移個單位，即得函數(shù)y=cos2x的圖象．【解答】解：=，故把的圖象向左平移個單位，即得函數(shù)的圖象，即得到函數(shù)的圖象．故選C．【點評】本題考查誘導公式，以及y=Asin（ωx+?）圖象的變換，把兩個函數(shù)化為同名函數(shù)是解題的關(guān)鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知直線y=x+b與圓x2+y2﹣2x+4y﹣4=0相交于A，B兩點，O為坐標原點，若?=0，則實數(shù)b的值為．參考答案：1或﹣4【考點】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】將直線方程代入圓的方程，利用韋達定理，及以AB為直徑的圓過原點，可得關(guān)于b的方程，即可求解，注意方程判別式的驗證．【解答】解：由直線y=x+b與圓x2+y2﹣2x+4y﹣4=0，消去y，得2x2+（2+2b）x+b2+4b﹣4=0①設(shè)直線l和圓C的交點為A（x1，y1），B（x2，y2），則x1、x2是①的兩個根．∴x1x2=，x1+x2=﹣b﹣1．

②由題意有：OA⊥OB，即x1x2+y1y2=0，∴x1x2+（x1+b）（x2+b）=0，即2x1x2+b（x1+x2）+b2=0③將②代入③得：b2+3b﹣4=0．

解得：b=1或b=﹣4，b=1時，方程為2x2+4x+1=0，判別式△=16﹣8＞0，滿足題意b=﹣4時，方程為2x2﹣6x﹣4=0，判別式△=36+32＞0，滿足題意所以滿足條件的b為：b=1或b=﹣4．故答案為1或﹣4．12.在處連續(xù)，則實數(shù)的值為

。

參考答案：略13.如圖，偶函數(shù)f（x）的圖象如字母M，奇函數(shù)g（x）的圖象如字母N，若方程f（g（x））=0，g（f（x））=0的實根個數(shù)分別為m、n，則m+n=

．參考答案：18【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】若方程f（g（x））=0，則g（x）=﹣，或g（x）=0，或g（x）=，進而可得m值；不妨僅g（x）的三個零點分別為﹣a，0，a（0＜a＜1），若g（f（x））=0，則f（x）=﹣a，或f（x）=0，或f（x）=a，進而得到n值．【解答】解：若方程f（g（x））=0，則g（x）=﹣，或g（x）=0，或g（x）=，此時方程有9個解；不妨僅g（x）的三個零點分別為﹣a，0，a（0＜a＜1）若g（f（x））=0，則f（x）=﹣a，或f（x）=0，或f（x）=a，此時方程有9個解；即m=n=9，∴m+n=18，故答案為：1814.雙曲線的漸近線方程為y=，則雙曲線的離心率為________參考答案：15.一個簡單幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個正三角形，俯視圖是等腰直角三角形，則該幾何體的體積為，表面積為．參考答案：，

【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】由已知中的三視圖，可知該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐，求出底面面積，代入棱錐體積公式，可得幾何體的體積，累加各個面的面積可得，幾何體的表面積．【解答】解：由三視圖知：幾何體是三棱錐，且?guī)缀误w的后側(cè)面SAC與底面垂直，高SO為，如圖：其中OA=OB=OC=1，SO⊥平面ABC，AB=BC=，SA=SB=SC=2，底面△ABC的面積為：，后側(cè)面△SAC的面積為：，左右兩個側(cè)面△SAB和△SBC的底面邊長為，兩腰長為2，故底邊上的高為：=，故左右兩個側(cè)面△SAB和△SBC的面積為：，故幾何體的表面積：，幾何體的體積V==，故答案為：，16.四棱錐P-ABCD的每個頂點都在球O的球面上，PA與矩形ABCD所在平面垂直，，球O的表面積為13π，則線段PA的長為_____________.參考答案：1【分析】先利用球O的表面積得出球O的直徑，再利用可求出的長.【詳解】設(shè)球O的半徑為R，則，，由于底面ABCD，且四邊形ABCD為矩形，所以，，即，解得，故答案為：1?！军c睛】本題考查多面體的外接球，考查利用球體的表面積計算直棱錐的高，在計算直棱柱或直棱錐的外接球時，若直棱柱或直棱錐的底面外接圓直徑為，高為，外接球的直徑為，則，解題時注意一些常規(guī)模型的應(yīng)用。17.將全體正奇數(shù)排成一個三角形數(shù)陣如圖：按照以上排列的規(guī)律，第n行（n≥3）從左向右的第3個數(shù)為

．參考答案：n2﹣n+5【考點】F1：歸納推理．【分析】根據(jù)數(shù)陣的排列規(guī)律確定第n行（n≥3）從左向右的第3個數(shù)為多少個奇數(shù)即可．【解答】解：根據(jù)三角形數(shù)陣可知，第n行奇數(shù)的個數(shù)為n個，則前n﹣1行奇數(shù)的總個數(shù)為1+2+3+…+（n﹣1）=個，則第n行（n≥3）從左向右的第3個數(shù)為為第個奇數(shù)，所以此時第3個數(shù)為：1=n2﹣n+5．故答案為：n2﹣n+5．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)為常數(shù)，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與x軸平行．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）設(shè)g（x）=xf′（x），其中f′（x）為f（x）的導函數(shù)．證明：對任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．參考答案：【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（Ⅰ）由題意，求出函數(shù)的導數(shù)，再由曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與x軸平行可得出f′（1）=0，由此方程即可解出k的值；（II）由（I）知，=，x∈（0，+∞），利用導數(shù)解出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（III）先給出g（x）=xf'（x），考查解析式發(fā)現(xiàn)當x≥1時，g（x）=xf'（x）≤0＜1+e﹣2一定成立，由此將問題轉(zhuǎn)化為證明g（x）＜1+e﹣2在0＜x＜1時成立，利用導數(shù)求出函數(shù)在（0，1）上的最值，與1+e﹣2比較即可得出要證的結(jié)論．【解答】解：（I）函數(shù)為常數(shù)，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)），∴=，x∈（0，+∞），由已知，，∴k=1．（II）由（I）知，=，x∈（0，+∞），設(shè)h（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，+∞），h'（x）=﹣（lnx+2），當x∈（0，e﹣2）時，h'（x）＞0，當x∈（e﹣2，1）時，h'（x）＜0，可得h（x）在x∈（0，e﹣2）時是增函數(shù)，在x∈（e﹣2，1）時是減函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)，又h（1）=0，h（e﹣2）＞0，又x趨向于0時，h（x）的函數(shù)值趨向于1∴當0＜x＜1時，h（x）＞0，從而f'（x）＞0，當x＞1時h（x）＜0，從而f'（x）＜0．綜上可知，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，+∞）．（III）由（II）可知，當x≥1時，g（x）=xf'（x）≤0＜1+e﹣2，故只需證明g（x）＜1+e﹣2在0＜x＜1時成立．當0＜x＜1時，ex＞1，且g（x）＞0，∴．設(shè)F（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，1），則F'（x）=﹣（lnx+2），當x∈（0，e﹣2）時，F(xiàn)'（x）＞0，當x∈（e﹣2，1）時，F(xiàn)'（x）＜0，所以當x=e﹣2時，F(xiàn)（x）取得最大值F（e﹣2）=1+e﹣2．所以g（x）＜F（x）≤1+e﹣2．綜上，對任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．19.袋子中放有大小和形狀相同的小球若干，其中標號為0的小球1個，標號為1的小球1個，標號為2的小球個。已知從袋子中隨機的抽取1個小球，取到標號為2的小球的概率是。（1）求的值；（2）從袋子中不放回地隨機抽取2個小球，記第一次取出的小球標號為，第二次取出的小球標號為。①記事件表示為“”，求事件的概率；②在區(qū)間內(nèi)任取兩個實數(shù)，求事件的概率。參考答案：解：（1）由題意知：（2）①兩次不放回抽取小球的所有基本事件為：共12個，事件包含的基本事件有：共4個，所以事件的概率為②事件等價于，可以看成坐標平面內(nèi)的點，則全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為圖中正方形，其面積為4，事件所構(gòu)成的區(qū)域為圖中陰影部分，所以事件的概率為略20.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的短軸長為2，離心率為．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)過點M（2，0）的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，F(xiàn)1為橢圓的左焦點．（1）若B點關(guān)于x軸的對稱點是N，證明：直線AN恒過一定點；（2）試求橢圓C上是否存在點P，使F1APB為平行四邊形？若存在，求出F1APB的面積，若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】證明題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（Ⅰ）由題意知2b=2，e==，由此能求出橢圓C的方程．（Ⅱ）（1）設(shè)過M（2，0）的直線l：y=k（x﹣2），與橢圓聯(lián)立，得（1+2k2）x﹣8k2x﹣2=0，由此利用根的判別式、韋達定理、點的對稱、直線方程等知識結(jié)合已知條件能證明直線l過定點（1，0）．（2）橢圓左焦點F1（﹣1，0），設(shè)AB的中點N（x0，y0），假設(shè)存在點P（x3，y3）使F1APB為平行四邊形，則N是F1P的中點，由此利用橢圓性質(zhì)、弦長公式、點到直線距離公式能求出平行四邊形F1APB的面積．【解答】解：（Ⅰ）∵橢圓C：+=1（a＞b＞0）的短軸長為2，∴由題意知2b=2，解得b=1，∵離心率為e==，∴a2=2c2=2a2﹣2b2，解得a=，∴橢圓C的方程為．證明：（Ⅱ）（1）設(shè)過M（2，0）的直線l：y=k（x﹣2），聯(lián)立，得（1+2k2）x﹣8k2x﹣2=0，∵直線與橢圓交于兩點，∴△＞0，即0＜k2＜，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，x1x2=，∵B點關(guān)于x軸的對稱點是N，∴N（x2，﹣y2），設(shè)直線AN：y﹣y1==（x﹣x1），∵A（x1，y1），B（x2，y2）滿足直線l：y=k（x﹣2），∴y=（x﹣x1）+y1=x﹣+y1==[（x1+x2﹣4）x﹣2（x1x2﹣（x1+x2））]=﹣，∴直線l過定點（1，0）．解：（2）橢圓左焦點F1（﹣1，0），設(shè)AB的中點N（x0，y0），則=，，假設(shè)存在點P（x3，y3）使F1APB為平行四邊形，則N是F1P的中點，∴x3﹣1=2x0，y3=2y0，即，，∵P（x3，y3）在橢圓C上，∴=1．整理，得92k4+4