03 微專題3　解三角形 【正文】教師

微專題3解三角形[備選理由]例1是結(jié)構(gòu)不良問題,考查正弦定理化邊為角、誘導(dǎo)公式、倍角公式及商數(shù)關(guān)系式的變形;例2考查直角三角形的邊角關(guān)系、三角形面積公式、三角恒等變換及求函數(shù)的最小值,難度較大;例3考查利用正、余弦定理解三角形,以及平面向量在解三角形中的應(yīng)用.1[配例1使用][2023·浙江金麗衢十二校聯(lián)考]設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=3cosC,b=1.(1)證明:tanC=2tanB.(2)從①②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件,求cos2B的值.①△ABC的面積取到最大值;②c=102解:(1)證明:因?yàn)閍=3cosC,b=1,所以a=3bcosC,所以由正弦定理得sinA=3sinBcosC,又A+B+C=π,所以3sinBcosC=sin(π-B-C)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,所以2sinBcosC=cosBsinC,顯然cosB≠0,cosC≠0,所以tanC=2tanB.(2)若選擇①.由題意得S△ABC=12absinC=32cosCsinC=34sin則當(dāng)C=π4時(shí),S△ABC取得最大值34,此時(shí)tan又由(1)知tanB=12tanC=12故cos2B=cos2B-sin2B=cos2B-sin2若選擇②.由正弦定理得bsinB=csinC,則sinC=csinBb=102sinB,由(1)知tanC=2tanB,所以sin2Ccos2C=4sin2Bcos2B,所以sin2C+cos2C=52sin2B+58cos2B,即1=158sin2B+58,解得sin故cos2B=1-2sin2B=1-2×15=32[配例2使用][2023·福州質(zhì)檢]如圖,直線l1∥l2,線段DE與l1,l2均垂直,垂足分別是E,D,點(diǎn)A在DE上,且AE=1,AD=2.C,B分別是l1,l2上的動(dòng)點(diǎn),且滿足∠BAC=π3.設(shè)∠ABD=x,△ABC的面積為S(x).(1)寫出S(x)與x的函數(shù)關(guān)系式;(2)求S(x)的最小值.解:(1)結(jié)合圖形可知,若∠ABD=x,則x∈0,π3,所以∠DAB=π2-x,又∠BAC=π3,所以∠CAE=π-π在Rt△ACE中,AC=AEcos∠CAE=在Rt△ABD中,AB=ADsin∠ABD=所以S(x)=12·1cosπ6+x·2sinx·(2)由(1)知S(x)=32cosπ6+xsinx因?yàn)閤∈0,π3,所以2x+π6∈π6,5π6故當(dāng)x=π6時(shí),S(x)取得最小值233[配例3使用][2023·安徽黃山三模]記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知c=3,b(1+cosC)=3csinB.(1)求角C的大小和b的取值范圍;(2)若O是△ABC的外心,求OC·AB+CA·CB的最大值.解:(1)在△ABC中,由b(1+cosC)=3csinB結(jié)合正弦定理,可得sinB(1+cosC)=3sinCsinB,因?yàn)锽∈(0,π),所以sinB≠0,所以1+cosC=3sinC,則3sinC-cosC=2sinC-π6=1,即sinC又因?yàn)镃∈(0,π),所以C-π6∈-π6,5π6,所以C-π6由正弦定理得bsinB=csinC=332=2,因?yàn)?<B<2π3,所以0<sinB≤1,所以0<b≤2,故b的取值范圍為(0,2](2)方法一:連接OA,OB,由題意得|OA|=|OB|=|OC|=1,且∠AOB=2π3則OC·AB+CA·CB=OC·(OB-OA)+(OA-OC)·(OB-OC)=OC·OB-OC·OA+OA·OB-OA·OC-OC·OB+OC=-2OC·OA+OA·OB+OC2=-2cos∠AOC-12+12=12-當(dāng)點(diǎn)O不在△ABC外部時(shí)(如圖①),可得∠AOC=2∠ABC,則此時(shí)OC·AB+CA·CB=12-2cos2∠ABC=12-2(1-2sin2∠ABC)=4sin2∠ABC-32=b2當(dāng)點(diǎn)O在△ABC外部時(shí)(如圖②),可得∠AOC=2(π-∠ABC)=2π-2∠ABC,則此時(shí)OC·AB+CA·CB=12-2cos(2π-∠ABC)=12-2cos2∠ABC=12-2(1-2sin2∠ABC)=4sin2∠ABC-32=b由(1)可知0<b≤2,則當(dāng)b=2時(shí),OC·AB+CA·CB取得最大值52 方法二:由題可知CA·CB=a·bcosπ3=1如圖,分別取線段BC,AC的中點(diǎn)D,E,連接OD,OE.因?yàn)镺是△ABC的外心,所以O(shè)D⊥BC,OE⊥AC,則OC·AB=-CO·(CB-CA)=-CO·CB+CO·CA=-CD·CB+CE·CA=-a22+所以O(shè)C·AB+CA·CB=b2由余弦定理