強(qiáng)基計(jì)劃專(zhuān)題練05 數(shù)列（原卷版）

專(zhuān)題訓(xùn)練05數(shù)列一、單選題1．已知數(shù)列滿(mǎn)足，.給出下列四個(gè)結(jié)論：①數(shù)列每一項(xiàng)都滿(mǎn)足；②數(shù)列的前n項(xiàng)和；③數(shù)列每一項(xiàng)都滿(mǎn)足成立；④數(shù)列每一項(xiàng)都滿(mǎn)足.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②④2．若，且對(duì)任意正整數(shù)n，均有，則稱(chēng)一個(gè)復(fù)數(shù)數(shù)列為“有趣的”．若存在常數(shù)C，使得對(duì)一切有趣的數(shù)列及任意正整數(shù)m，均有，則C的最大值為（

）A． B．1 C． D．二、多選題3．定義：若數(shù)列滿(mǎn)足，則稱(chēng)為“Titus雙指數(shù)迭代數(shù)列”.已知在“Titus雙指數(shù)迭代數(shù)列”中，首項(xiàng)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列C．當(dāng)時(shí)，有最小值D．當(dāng)取任意非零實(shí)數(shù)時(shí)，一定有最大值或最小值4．已知函數(shù)，記的最小值為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．若數(shù)列滿(mǎn)足，則5．利用“”可得到許多與n（且）有關(guān)的結(jié)論，則正確的是（

）A． B．C． D．6．意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：，.該數(shù)列的特點(diǎn)如下：前兩個(gè)數(shù)均為1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱(chēng)為斐波那契數(shù)列，現(xiàn)將中的各項(xiàng)除以2所得的余數(shù)按原來(lái)的順序構(gòu)成的數(shù)列記為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．若，則C． D．三、填空題7．已知數(shù)列、、的通項(xiàng)公式分別為、、，其中，，，，，令，（表示、、三者中的最大值），則對(duì)于任意，的最小值為_(kāi)_________．8．作單位圓的外切和內(nèi)接正邊形，記外切正邊形周長(zhǎng)的一半為，內(nèi)接正邊形周長(zhǎng)的一半為.計(jì)算可得，其中是正邊形的一條邊所對(duì)圓心角的一半.給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④記，則，.其中正確結(jié)論的序號(hào)是__________.9．對(duì)任意，函數(shù)滿(mǎn)足，，數(shù)列的前15項(xiàng)和為，數(shù)列滿(mǎn)足，若數(shù)列的前項(xiàng)和的極限存在，則___________.四、解答題10．已知數(shù)列．給出兩個(gè)性質(zhì)：①對(duì)于中任意兩項(xiàng)，在中都存在一項(xiàng)，使得；②對(duì)于中任意連續(xù)三項(xiàng)，均有．(1)分別判斷以下兩個(gè)數(shù)列是否滿(mǎn)足性質(zhì)①，并說(shuō)明理由：（i）有窮數(shù)列：；（ⅱ）無(wú)窮數(shù)列：．(2)若有窮數(shù)列滿(mǎn)足性質(zhì)①和性質(zhì)②，且各項(xiàng)互不相等，求項(xiàng)數(shù)m的最大值；(3)若數(shù)列滿(mǎn)足性質(zhì)①和性質(zhì)②，且，求的通項(xiàng)公式．11．對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的數(shù)列、、、，定義變換，將數(shù)列變換成數(shù)列、、、、．對(duì)于每項(xiàng)均是非負(fù)整數(shù)的數(shù)列、、、，定義變換，將數(shù)列各項(xiàng)從大到小排列，然后去掉所有為零的項(xiàng)，得到數(shù)列；又定義．設(shè)是每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，令．(1)如果數(shù)列為、、，寫(xiě)出數(shù)列、；(2)對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的有窮數(shù)列，證明；(3)證明：對(duì)于任意給定的每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，．12．已知數(shù)列滿(mǎn)足，其前8項(xiàng)的和為64；數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列，，．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)記，，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)記，求．13．若無(wú)窮數(shù)列滿(mǎn)足，，則稱(chēng)具有性質(zhì)．若無(wú)窮數(shù)列滿(mǎn)足，，則稱(chēng)具有性質(zhì)．(1)若數(shù)列具有性質(zhì)，且，請(qǐng)直接寫(xiě)出的所有可能取值；(2)若等差數(shù)列具有性質(zhì)，且，求的取值范圍；(3)已知無(wú)窮數(shù)列同時(shí)具有性質(zhì)和性質(zhì)，，且不是數(shù)列的項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．14．對(duì)于一個(gè)有窮單調(diào)遞增正整數(shù)數(shù)列P，設(shè)其各項(xiàng)為，，，，若數(shù)列P中存在不同的四項(xiàng)，，，滿(mǎn)足，則稱(chēng)P為等和數(shù)列，集合稱(chēng)為P的一個(gè)等和子集，否則稱(chēng)P為不等和數(shù)列．(1)判斷下列數(shù)列是否是等和數(shù)列，若是等和數(shù)列，直接寫(xiě)出它的所有等和子集；A：1，3，5，7，9；B：2，4，6，7，10；(2)已知數(shù)列P：，，，，是等和數(shù)列，并且對(duì)于任意的，總存在P的一個(gè)等和子集M滿(mǎn)足集合，求證：數(shù)列P是等差數(shù)列；(3)若數(shù)列P：，，，是不等和數(shù)列，求證：．15．高鐵的建設(shè)為一個(gè)地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展提供了強(qiáng)大的推進(jìn)力，也給人們的生活帶來(lái)極大便捷.以下是2022年開(kāi)工的雄商高鐵線路上某個(gè)路段的示意圖，其中線段?代表山坡，線段為一段平地.設(shè)圖中坡的傾角滿(mǎn)足，長(zhǎng)長(zhǎng)長(zhǎng).假設(shè)該路段的高鐵軌道是水平的（與平行），且端點(diǎn)分別與在同一鉛垂線上，每隔需要建造一個(gè)橋墩（不考慮端點(diǎn)建造橋墩）(1)求需要建造的橋墩的個(gè)數(shù)；(2)已知高鐵軌道的高度為，設(shè)計(jì)過(guò)程中每放置一個(gè)橋墩，設(shè)橋墩高度為（單位：），單個(gè)橋墩的建造成本為（單位：萬(wàn)元），求所有橋墩建造成本總和的最小值.16．給定整數(shù)，由元實(shí)數(shù)集合定義其相伴數(shù)集，如果，則稱(chēng)集合S為一個(gè)元規(guī)范數(shù)集，并定義S的范數(shù)為其中所有元素絕對(duì)值之和.(1)判斷、哪個(gè)是規(guī)范數(shù)集，并說(shuō)明理由；(2)任取一個(gè)元規(guī)范數(shù)集S，記、分別為其中最小數(shù)與最大數(shù)，求證：；(3)當(dāng)遍歷所有2023元規(guī)范數(shù)集時(shí)，求范數(shù)的最小值.注：、分別表示數(shù)集中的最小數(shù)與最大數(shù).17．約數(shù)，又稱(chēng)因數(shù).它的定義如下：若整數(shù)除以整數(shù)除得的商正好是整數(shù)而沒(méi)有余數(shù)，我們就稱(chēng)為的倍數(shù)，稱(chēng)為的約數(shù).設(shè)正整數(shù)共有個(gè)正約數(shù)，即為.(1)當(dāng)時(shí)，若正整數(shù)的個(gè)正約數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)的值；(2)當(dāng)時(shí)，若構(gòu)成等比數(shù)列，求正整數(shù)；(3)記，求證：.18．定義圈數(shù)列X：；X為一個(gè)非負(fù)整數(shù)數(shù)列，且規(guī)定的下一項(xiàng)為，記，這樣的相鄰兩項(xiàng)可以統(tǒng)一表示為（的相鄰兩項(xiàng)為，即；的相鄰兩項(xiàng)為）.定義圈數(shù)列X做了一次P運(yùn)算：選取一項(xiàng)，將圈數(shù)列X變?yōu)槿?shù)列：，即將減2，相鄰兩項(xiàng)各加1，其余項(xiàng)不變.并記下標(biāo)k輸出了一次.記X進(jìn)行過(guò)i次P運(yùn)算后數(shù)列為：（規(guī)定）(1)若X：4，0，0，直接寫(xiě)出一組可能的；(2)若進(jìn)行q次P運(yùn)算后，有，此時(shí)下標(biāo)k輸出的總次數(shù)為，記直接寫(xiě)出一組非負(fù)實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意，都成立，并證明；(3)若X：，0，0，…，0，證明：存在M，當(dāng)正整數(shù)時(shí)，中至少有一半的項(xiàng)非零.19．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱(chēng)數(shù)列是“數(shù)列”.(1)數(shù)列的前項(xiàng)和，判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”，并說(shuō)明理由；(2)數(shù)列是等差數(shù)列，其首項(xiàng)，公差，數(shù)列是“數(shù)列”，求的值；(3)證明：對(duì)任意的等差數(shù)列，總存在兩個(gè)“數(shù)列”和，使得成立.20．定義：對(duì)于任意一個(gè)有窮數(shù)列，在其每相鄰的兩項(xiàng)間都插入這兩項(xiàng)的和，得到的新數(shù)列稱(chēng)為一階和數(shù)列，如果在一階和數(shù)列的基礎(chǔ)上再在其相鄰的兩項(xiàng)間插入這兩項(xiàng)的和，得到二階和數(shù)列，以此類(lèi)推可以得到階和數(shù)列，如的一階和數(shù)列是，設(shè)n階和數(shù)列各項(xiàng)和為．(1)試求數(shù)列的二階和數(shù)列各項(xiàng)和與三階和數(shù)列各項(xiàng)和，并猜想的通項(xiàng)公式（無(wú)需證明）；(2)設(shè)，的前項(xiàng)和，若，求的最小值21．已知數(shù)列：，其中，且．若數(shù)列滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，或，則稱(chēng)：為數(shù)列的“緊數(shù)列”．例如，數(shù)列：2，4，6，8的所有“緊數(shù)列”為2，3，5，8；2，3，7，8；2，5，5，8；2，5，7，8．(1)直接寫(xiě)出數(shù)列A：1，3，6，7，8的所有“緊數(shù)列”；(2)已知數(shù)列A滿(mǎn)足：，，若數(shù)列A的所有“緊數(shù)列”均為遞增數(shù)列，求證：所有符合條件的數(shù)列A的個(gè)數(shù)為；(3)已知數(shù)列A滿(mǎn)足：，，對(duì)于數(shù)列A的一個(gè)“緊數(shù)列”，定義集合，如果對(duì)任意，都有，那么稱(chēng)為數(shù)列A的“強(qiáng)緊數(shù)列”．若數(shù)列A存在“強(qiáng)緊數(shù)列”，求的最小值．（用關(guān)于N的代數(shù)式表示）22．已知和是各項(xiàng)均為正整數(shù)的無(wú)窮數(shù)列，如果同時(shí)滿(mǎn)足下面兩個(gè)條件：①和都是遞增數(shù)列；②中任意兩個(gè)不同的項(xiàng)的和不是中的項(xiàng).則稱(chēng)被