廣東省東莞市石竹實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試卷

東莞市石竹實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期3月月考高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1.化簡的結(jié)果等于（）A. B. C. D.2.已知向量，且，則x＝（）A.9B.6C.5D.33.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則角C＝（）A. B. C. D.4.已知向量，若，則x的值為（）A.－2 B.－1 C.1 D.25.已知向量，的夾角為，且，，則（）A.1 B. C.2 D.6.在△ABC中，若三邊之比，則等于（）A. B. C.2 D.－27.在平行四邊形ABCD中，E是對(duì)角線AC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F在BE上，若，則（）A.B.C.D.十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家、被譽(yù)為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王的皮埃爾·德·費(fèi)馬提出的一個(gè)著名的幾何問題：“已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其與這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小”它的答案是：當(dāng)三角形的三個(gè)角均小于120°時(shí)，所求的點(diǎn)為三角形的正等角中心，即該點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的連線兩兩成角；當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于時(shí)，所求點(diǎn)為三角形最大內(nèi)角的頂點(diǎn)．在費(fèi)馬問題中所求的點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn)．已知分別是三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且，，若點(diǎn)P為的費(fèi)馬點(diǎn)，則（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知平面向量，，則下列說法正確的是（）A. B.C.向量與的夾角為 D.向量在上的投影向量為10.在中，已知，下列結(jié)論中正確的是（）A.這個(gè)三角形被唯一確定 B.一定是鈍角三角形C. D.若，則的面積是11.如圖所示，設(shè)，是平面內(nèi)相交成角兩條數(shù)軸，、分別是與，軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標(biāo)系為斜坐標(biāo)系，若，則把有序數(shù)對(duì)叫做向量的斜坐標(biāo)，記為.在的斜坐標(biāo)系中，，.則下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（）AB.C.D.在上的投影向量為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，若，，，則______．13.設(shè)向量滿足，，，則_______．14.如圖，點(diǎn)，在無法到達(dá)的河對(duì)岸，為測(cè)量出，兩點(diǎn)間的距離，在河岸邊選取，兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，測(cè)得，，，，則，兩點(diǎn)之間的距離為____________（結(jié)果用m表示）.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（13分）已知向量，．（1）求與的坐標(biāo)；（2）求向量，的夾角的余弦值．16.（15分）在銳角中，的對(duì)邊分別為，且（1）確定角的大??；（2）若，且，求邊.17．（15分）已知，.（1）若，且、、三點(diǎn)共線，求的值.（2）當(dāng)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，與垂直？18．（17分）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，．（1）求；（2）若點(diǎn)是上的點(diǎn)，平分，且，求面積的最小值．19．（17分）對(duì)于三維向量，定義“變換”：，其中，．記，．（1）若，求及；（2）證明：對(duì)于任意，經(jīng)過若干次變換后，必存在，使；（3）已知，將再經(jīng)過次變換后，最小，求的最小值．高一數(shù)學(xué)3月月考參考答案單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1.【詳解】根據(jù)向量的三角形法則，可得.故選：B.2.【詳解】解：因?yàn)橄蛄浚?，所以，解得x＝6.故選：B3.【詳解】由余弦定理可得，，．故選：．4.【詳解】因?yàn)?，所以，即，解得，故選：D.5.詳解】解：．故答案為：A.6.【詳解】根據(jù)正弦定理可得.故選：B.7.【詳解】由題可知，∵點(diǎn)F在BE上，∴，∴．∴，．∴．故選：C．8.【詳解】,即,又,即,,又.由三角形內(nèi)角和性質(zhì)知：△ABC內(nèi)角均小于120°，結(jié)合題設(shè)易知：P點(diǎn)一定在三角形的內(nèi)部，再由余弦定理知,,,,.由等號(hào)左右兩邊同時(shí)乘以可得：，.故選：C.二、多選題9.【詳解】，所以，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，，，，故C錯(cuò)誤；向量在上的投影向量為，故D正確．故選：BD10.【詳解】依題意可設(shè)，則對(duì)于A，當(dāng)取不同的值時(shí)，三角形顯然不同，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，則三角形為鈍角三角形，故B正確；對(duì)于C，由正弦定理可知，，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，即，又因?yàn)?，所以則，故D錯(cuò)誤.故選:BC.11.【詳解】由題意得：，，對(duì)于A項(xiàng)，，由題意得：，故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，，，故B不正確；對(duì)于C項(xiàng)，，故C項(xiàng)不正確；對(duì)于D項(xiàng)，在上的投影向量為：，又，，，故D不正確.故選：BCD填空題：12.【詳解】由余弦定理得即，解得（舍），故答案為:.13.【詳解】解：因?yàn)?，，，所?故答案為：.14.【詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，所以為等邊三角形，所?在中，,,所以.由正弦定理得：，即，解得：.在中，,,,由余弦定理解得：故答案為：四.解答題：15.【詳解】（1），．（2），，，,．16.【詳解】（1）由及正弦定理得因?yàn)?，故又銳角，所以.（2）由余弦定理，，得解得:或.17．【解析】（1）由題意可得，，且、、三點(diǎn)共線，則可得，即，解得；（2）由題意可得，，因?yàn)榕c垂直，則可得，解得18．【解析】（1）由題意知中，，故，即,即,所以，而，故，即，又，故；（2）由于點(diǎn)是上的點(diǎn)，平分，且，則，由，得，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即面積的最小值為19．【解析】（1）因?yàn)?，，，所以?）設(shè)，假設(shè)對(duì)，則均不為0．所以．即．因?yàn)?，所以．所以．與矛盾，故假設(shè)不正確．綜上，對(duì)于任意，經(jīng)過若干次變換后，必存在，使．（3）設(shè)，因?yàn)椋杂谢颍?dāng)時(shí)，可得三式相加得．又，可得．當(dāng)時(shí)，也可得，于是．設(shè)的